2024年初升高數(shù)學(xué)銜接教材講義

初升高銜接教材

數(shù)學(xué)

目錄

乘法公式測試題及答案解析

因式分解

因式分解測試題及答案解析

分式與根式

分式與根式測試題及答案解析

分式不等式及其解法

分式不等式及其解法測試題及答案解析

一元一次方程

一元二次方程測試題及答案解析

簡單的二元二次方程組

簡單的根式方程

二次函數(shù)的解析式

集合的概念

集合的概念測試題及答案解析

集合間的基本關(guān)系

集合間的基本關(guān)系測試題及答案解析

集合的基本運(yùn)算

集合的基本運(yùn)算測試題及答案解析

充分條件與必要條件

充分條件與必要條件測試題及答案解析

全稱量詞與存在量詞

全稱量詞與存在量詞測試題及答案解析

初升高之乘法公式測試題

202307112307

1.若。+6=8,。6=2,則43+63=

(A)128(B)464(C)496(D)512

2,若x+y+z=0,則/+/+z，=

(A)0(B)x2y+y2z+z2x

(C)x2+y2z2(D)3xyz

3.若/+,機(jī)》+《是一個完全平方式，則左等于

2

(A)m2(B)-m2(C)-m2(D)—m2

2316

4.已矢口Q+b+c=4,Qb+bc+QC=4^iJa2+c2=

(A)2(B)4(C)6(D)8

5,若4+^=3,則+/+。4+3+3+占=

aa-aa

(A)7(B)25(C)47(D)72

6.(5-X)(25+5X+X2)=.

7.觀察下列各式的規(guī)律：

(a-b\a+6)=a2—b?,

(a-b)[a2+ab+t>2)=a，,

2

(白-切口a2h+ah2+b3)=a4-h4.

可得至lj(a—6)(。"+。"%+???+。6〃“+〃)=(〃為正整數(shù)).

8.(1)設(shè)工-，=省,求一+二的值；

xx

(2)設(shè)/+-1r=2(x<0)，求x+，的值.

XX

9.已知3x+l=0,求的值.

x

10.對于任意實數(shù)4,試比較(1+4)(1-4)(1+4+42*1一4+42)與1的大小.

11.已知一+工一1=0,求證:(x+l)3-(x-1)3=8-6x.

3

12.已知(a-b)3=々3-3〃26+3〃/一/.

求證-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

13.已知4〉0,『=3,求"+。'的值

優(yōu)+。一”

4

14.求函數(shù)N=（x-2）3-d的最大值

15.當(dāng)％=當(dāng)時，求代數(shù)式（2%+￡|（4/一2+J）—｝的值.

16.已知a+b+c=O,求證:/+a2c+b2c-abc+b3=0.

5

初升高之乘法公式測試題答案解析

1.B2.D3.D4.D5.D

6.125-x37.an+'-b"+'

8.解：(1)Vx--=V3

X

?，?/+二二(x—+2=(4)+2=5;

(2)VX2+-!-=2

xz

?**(x+=x2+二+2=2+2=4

x<0

***XH---<0

X

XH—二一2.

X

9.解:由題意可知:XHO

,/x2-3x+l=0

x2+1=3x

X

6

+占=卜+二)_2=1+工)-2-2=(32-2)2-2=47.

10.解：(1+以1-。)(1+4+42*1-4+42)-1

=(1+a)(1-a+a2)(l-a)(l+a+a2)-l

3

二(1+Q3*1—a)—1

=1-/-1

=-a6

???〃為任意實數(shù)

J-dWO

?，.(1+Q)(1-4乂1+Q+Q2x1一Q+Q2)W1.

11.證法一:(x+1)3-(x-1)3

=+3x2+3x+1-(x?-3x^+3x-1)

—+3x2+3x+1-x，+3x~—3x+1

=6x2+2

Vx2+x-l=0

/.x2=l-x

原式二6(1-x)+2=8-6x;

證法二:(x+，-(x-Ip

=[(x+1)-(X-1)][(^+I)2+(x+l)(x-1)+(x-1)2]

=2(x^+2x+1+-1+-2x+1)

=2(3x2+1)

=6x2+2

后同證法一.

12.證明：???(〃—6)3=〃3-3/6+3〃/一63

，一"=(。—乃3+3/6—3ab2

二(Q-bp+3ab(a-b)

=(a-b)[(a-b)2+3ah\

=(a-b)(a2-2ah+/>2+3ah)

=[a-b](a2+仍+人2)

a3-b3=(a-b)(a2-\-ab+b2\

13.解:=3

.L+q』_(優(yōu)丫+5)3_(優(yōu)+//2》]+戶

ax+a~xax^a~xax+a-x

=a2x+a~2x—1=a2xH—\—1=3+——1=—.

a2x33

14.解:歹=(x-2)3--

y=—6x?+12x—8—=-6x?+12x—8

/.y=-6(x-l)2-2

???當(dāng)x=l時，函數(shù)y=(%-2)3-V的最大值為一2.

15.解：,+以4?+

=8x3+J__Y

XX

=81

當(dāng)x=時

原式=8x(VJ，=8X3=24.

16.證明：'：a+h+c^O

8

/.a，++b2c-abc+b3

=(a3+/73)+(a2c-^-b2c-abc)

=((7+/))(?2-仍+8^+電)-ab+b2)

=(a+h+c)(a2-ab+b2)

=0

/.a2-ha2c+b2c—abc+h3=0.

初升高銜接之因式分解

202307102255

本節(jié)銜接概況

因式分解是整個中學(xué)階段非常重要的內(nèi)容，有著許多重要的應(yīng)用.

在初中階段，教材只是提供了兩種因式分解的方法:提公因式法和公式法，有

些老師可能還補(bǔ)充了十字相乘法,有些有心的學(xué)生還從資料中學(xué)習(xí)了換元法.對

于公式法而言，教材也只是提供了平方差公式和完全平方公式兩類公式.由于所

學(xué)方法有限，學(xué)生們能解決的問題非常有限，且不足以應(yīng)對將來高中的學(xué)習(xí).有鑒

于此，我們需要多學(xué)習(xí)一些因式分解的公式和方法,為將來高中的學(xué)習(xí)打下良好

的基礎(chǔ).

因式分解的方法

（1）提公因式法；

（2）公式法;

（3）分組分解法；

（4）十字相乘法；

（5）求根公式法；

（6）待定系數(shù)法；

（7）添項拆項法.

9

下面,重點講解公式法及其后面的方法.

公式法

逆用乘法公式進(jìn)行因式分解的方法，叫做公式法.

(1)平方差公式(a+h\a-b)=a2-b2\

(2)完全平方公式(〃±b)2=a2±2ab+b?;

(3)立方和公式(Q+6)(Q2-ab+b?)：/+/?3;

(4)立方差公式(a-h^a1+ab+h2)=ay-h3;

(5)三數(shù)和平方公式(Q+b+=a?+〃+/+2ah+2bc+2ca;

（6）完全立方公式(。土=a3±3a2h-^-3ab2±h3.

公式法例題講解

例1.因式分解:

(1)/+8;(2)a1-ab6.

分析：（1）如果一個二項式可以化為兩式立方和（差）的形式，那么這個二項式

可以逆用立方和（差）公式進(jìn)行因式分解；

（2）因式分解時,若多項式含有公因式，則先提取公因式，再用其他的方法繼續(xù)

分解，注意要保證每一個因式都分解徹底.

解：（1）原式=/+23=々+2）（——2x+4）;

(2)原式={a，a[ay+b:'\a3

=a(a+b^2-ab+b~\a-b^a2+ab+b2)

=a(a+b\a-b^a2-ah+h2\a2+ab+b2).

例2因式分解:(a+b+cf-

解:原式=[(<2+/)+C)3-6f3]-(/)3+C3)

10

=(Q+6+c-a|(a+b+c)2+6f(^4-6+c)+fl2]-(Z)34-c3)

=(6+C)(3Q2+匕2+/+3.6+2bc+3ca)-0+c)02-bc+c2)

=(6+c)(3a2+3ab+3bc+3ca)

=3+C)[3Q(Q+6)+3c(a+6)]

=3(a+b)(b+c)(c+a)

例3.因式分解：。3+b3+c3-3abc.

解:原式=(Q+6)’-3。26-3。/+c"-3abc

二(Q+by+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(Q+6+c)[(a+療-c(a+6)+c2]-3ab(a+6+c)

=(Q+6+8(〃2+62+C2+lab-ac-be)-3ab(a4-64-c)

=(Q+6+C)(Q2+/>2+c2-ab-bc-ac).

例4.因式分解:/a2c+b2c-abc+b3.

解:原式=(a3+b3)+(a2c+b2c-abc)

=(a+b)(a2-ab+62)+C(Q2+〃-ab)

=(a4-6+c)(a2-ab+b2).

點評本題在進(jìn)行因式分解時，逆用了立方和公式，并且還涉及到了分組分解法，

是兩種方法的綜合應(yīng)用.

分組分解法

如果把一個多項式的項分組并提出公因式之后，各組之間又有公因式,那么這

個多項式就可以用分組分解法來分解因式.

如，對多項式wx+〃x+2加+2n進(jìn)行因式分解，我們把前、后兩項各分為一組,

成為(如c+內(nèi))+(2加+2〃)，然后各組提出公因式，進(jìn)行局部分解，成為

x(加+〃)+2(加+〃),發(fā)現(xiàn)各組出現(xiàn)了公因式(加+〃),所以該多項式就可以用分組

分解法來進(jìn)行因式分解.

當(dāng)然,分組分解法的關(guān)鍵在于分組，而分組又有嘗試性.分組有時不是唯一的，只

要分組后各組能出現(xiàn)公因式即可.

11

如，上面所舉的例子中，把多項式分組為(〃a+2〃?)+(內(nèi)+2〃),提出各組的公因

式機(jī)(x+2)+〃(x+2),發(fā)現(xiàn)各組的公因式為(x+2).該多項式的分解結(jié)果為

(%+2)(加+〃).

有的多項式進(jìn)行分組后,雖然各組沒有公因式，但可以用公式法繼續(xù)進(jìn)行分解.

如對多項式/一2"+/-1進(jìn)行因式分解，可以分組為年—2"+〃)-1,初步分

解為(。-與2-1,從而可以用公式法繼續(xù)分解為(a-b+l)(a-b-l).

以上，我們可以得出,如果對一個多項式進(jìn)行合理的分組后各組能出現(xiàn)公因式

或能使用公式法繼續(xù)分解，那么我們使用分組分解法分解因式.

分組分解法分解因式的一般步驟是：

(1)觀察式子各項的特征，進(jìn)行分組.用小括號表示一組；

(2)對所分的組分別進(jìn)行因式分解.這一步是局部分解；

(3)各組分解后,把各組的公因式提出來,進(jìn)行整體分解;或使用公式法繼續(xù)分

解因式；

(4)檢查因式分解是否徹底.

例5.因式分解:-62c2一C.4.

解：/+6Z2/)2-b2C2-C4

=(a4-c4)+(a2b2-b2c2)(這一步是分組，每個小括號表示一組)

=(a2+c2\a2-_/)

=(/+片'a+C)(Q-C)+〃Q+C)(Q-C)(對各組進(jìn)行因式分解)

=(a+c)(a-c)(a2+〃+c)

嘗試分解因式:以3+2加之+5m+10.

12

例6.因式分解：4口+1—4--y2.

解:原式=l-(4x2-4xy+y2)

=l-(2x-y)2

—(1+2xy)(l—2x+y).

嘗試分解因式:，-_/一2/+1.

十字相乘法

十字相乘法主要用于二次三項式的因式分解.

例如，二次三項式or?+bx+c(q,ac均不等于0)或ax?+bxy+cy2(a,b,ci&)

不等于0)的因式分解.有些二元二次六項式ax?+ba+c/+dx+ey+f的分解

也可使用十字相乘法(雙十字相乘法).

x2+(p+4)x+pq型的因式分解

這種類型的特點是：

(1)二次項系數(shù)是1；

(2)常數(shù)項是兩個因數(shù)的乘積；

(3)一次項系數(shù)是上面兩個因數(shù)的和.

這種類型因式分解的結(jié)果是：/+(p+q)x+pq=(x+pXx+q).

例7.因式分解一5X+6.

解:原式=/+[(-2)+(-3)]x+(-2)x(-3)=[x+(-2)][x+(-3)]=(x-2)(x-3).

例8.因式分解:x?-2x-15.

13

解:原式=X2+(-5+3)x+(-5)x3=(x-5)(x+3).

點評上面兩個例題，大家只需理解一下就行，在實際解決問題時不必用，而是直

接使用下面的十字相乘法.

一般二次三項式+法+。型的因式分解

容易知道(。]》+。1)(。2工+。2)=。1。2/+(a\C2+。2。1)%+駐2,反過來就得到:

2

a]a2x+(<?|C2+a2c])x+ctc2=(%x+c{)(a2x+c2).

上面的現(xiàn)象告訴我們，把二次項系數(shù)。分解成兩個因數(shù)q,%,把常數(shù)項c分解

??|Ct

成兩個因數(shù)得到：

把四個因數(shù)按斜線交叉相乘，再相加,就得到。凸+生.，如果%。2+。2.正好等于

一次項系數(shù)b，即，那么原二次三項式就可分解為(atx+c}\a2x+c2).

像這樣，借助于十字交叉線，把二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

關(guān)于十字相乘法：

(1)使用十字相乘法對二次三項式進(jìn)行因式分解,往往是在有理數(shù)的范圍內(nèi)進(jìn)

行的.

(2)對于十字相乘法，把二次項系數(shù)和常數(shù)項分解成兩個因數(shù)容易，且分解的結(jié)

果往往不唯一，要使恰好等于一次項系數(shù)以可能需要進(jìn)行多次嘗試.

(3)并非所有類型的二次三項式都可以使用十字相乘法進(jìn)行因式分解.

如果二次三項式依2+bx+c或"2+6k+c)2滿足/-4ac的值為完全平方

數(shù),那么多項式可用十字相乘法分解因式.

十字相乘法例題講解

例9.因式分解:2--7X+3.

分析:按照十字相乘法，對二次項系數(shù)2和常數(shù)項3作出如下的分解：

14

解:原式=(x-3)(2x-1).

例10.因式分解:一6/+7a+5.

分析：當(dāng)二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)，先把負(fù)號提到小括號的外面，再對小括號里面的多

項式進(jìn)行因式分解.上式可變形為：-（6/-7a-5）.

按照十字相乘法，對二次項系數(shù)6和常數(shù)項-5作出如下的分解:

解:原式=—(/-7cz-5)=-(2a+l)(3a-5).

例11.因式分解:3式+26-/.

分析：我們把這個二元二次三項式看作是關(guān)于x的多項式，按照十字相乘法，對

二次項系數(shù)3和常數(shù)項作如下的分解:

解:原式=(x+aX3x-a).

例12.因式分解:J2-J-(.X2-X)-2.

分析：先將--X視為一個整體，再兩次使用十字相乘法進(jìn)行分解.

解:原式=（/一%+1卜2一%一2）=（X+1乂l-2）（工2一%+1）

嘗試分解因式:

15

(1)X2+13X+36;(2)X2+5X-24;

(3)x2+xy-(>y2■,(4)5x~+6xy-8y2.

例13.解不等式：

(1)x~—2,x-3>0j(2)12x~—5x—2<0.

分析:這是大家在初中階段沒有學(xué)習(xí)過的一元二次不等式的解法，利用因式分解

對一元二次不等式進(jìn)行變形，可以達(dá)到求解的目的.

例題中的兩個不等式，可以用十字相乘法分解因式.

解：(1)x2-2x-3>0

(x+lXx-3)>0

fx+l>0TXfx+1<0

'匕同解于不等式組4或《

(x—3>0(x—3<0

解之得:x>3或》<-1

二原不等式的解集為x>3或x<-1;

(2)12x2-5^-2<0

(4x+lX3x-2)<0

它同解于不等式組《-2<。4x+l<0

3x—2>0

解之得:-i!<x<?4或無解

43

16

12

，原不等式的解集為-!<X<4.

43

例14.因式分解+盯_6y2+》+]3^-6.

分析:這是關(guān)于XJ的二元二次六項式，可以兩次應(yīng)用十字相乘法解決問題.

我們可以先將/+盯—6/利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，再次利用十字相

乘法，對整個多項式進(jìn)行因式分解；也可以先將/+盯一6/利用十字相乘法進(jìn)

行因式分解，設(shè)出未知數(shù)，用待定系數(shù)法分解因式，還可以視x為主元，y為常數(shù),

恰當(dāng)變形,利用十字相乘法分解因式.

下面，我們提供三種不同的解法.

解法一分析：

解法一:原式=(x+3y)(x-2y)+x+13y-6

=(x+3y—2)(x—2y+3).

解法二：(待定系數(shù)法)???，+盯-6/=(x+3y)(x—2田

???可設(shè)x?+xy-Gy2+x+l3y-6=(x+3y+rn^x-ly+n)

x2+xy-6y2+x+l3y-6=x?+xy-6y~+(加+n)x+(3n-2m)y+mn

m+n-\

r\IV!—9

<3n—2m=13，解之得:\=

[n=3

mn=-6

??+xy—6y2+x+13y—6=(x+3y—2)(x—2y+3).

解法三：一xy-6y2+x+l3y-6

=，+(y+1卜一佰/-13歹+6)

=，+(y+l)x-(2y-3)(3y-2)

17

=(x+3y-2)(x-2y+3).

嘗試分解因式：2丁+孫一/-4x+5y—6.

求根公式法

對于關(guān)于x的一元二次方程ar?+hx+c=0(tzw0),當(dāng)△=〃-4ac20時，方

程有兩個實數(shù)根匹,巧，根據(jù)韋達(dá)定理(根與系數(shù)的關(guān)系定理)可得：

hc

Xj+X2=----，1]12=一

aa

22

因止匕,ax~-^-bx+c=a\x+—x+—?=a\x-(玉+x2)x+x1x2]=a(x-x})(x-x2),

\aa)

于是有下面的結(jié)論：

對于多項式依2+bx+c(aw0),當(dāng)〃-4">0時，可分解為：

其中心主近三逅為多項式對應(yīng)的一元二次方程狽2+隊+。=0(。工0)的兩個

2a

實數(shù)根.

利用上面的結(jié)論進(jìn)行因式分解的方法，叫做求根公式法，顯然，利用求根公式

法可以把多項式在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式.若4ac<0,則多項式不能在實數(shù)范

圍內(nèi)進(jìn)行因式分解.

求根公式法例題講解

例15.因式分解:4/_i2x-3.

18

解:令4--12工-3=0

3-273

解之得:修

2

3+2V3Y3—2⑸

：.4x2-12x-3=4x----------X

2人2

例16.因式分解:一3》2+4盯+10^2.

解：令-3,+4盯+10/=。

2+V342-734

解之得:范---y^2=~~y

2+7342-V341

，-3x2+4xy+10y2=-3x；y

3—-

添項、拆項法

這種方法添什么項、拆哪一項是分解的關(guān)鍵，需要具體問題具體分析.

例17.因式分解9X+8.

解:原式=-x-8x+8

=—l)—8(x—l)

-+l)(x-l)-8(x-l)

=。-％2+x-8).

例18.因式分解：。4+//+64.

解:原式="+2a2b2+b4-a2b2

=(a2+/)2-(ab)2

={a'+b2+ab\a2+/-ab)

二(a2ab+b2\a2—ab+b2\

例19.因式分解:。2_/+4”2b+3.

解:原式=(/+4a+4)-伊+26+1)

19

=(Q+2)2_0+1)2

=(4+2+6+1)(67+2—力一1)

=(〃+/?+-b+1).

例20.因式分解:(加2一1%2-1)+4-〃

解:原式=而〃2一加2一〃2+]+4〃〃？

=m2n2+2機(jī)〃+1-(/%2—2機(jī)〃+〃2)

=(mn+1)2-(/?7-H)2

=(mn+1+加一n^tnn+1—加+〃)

=(mn+m一〃+]^mn一加+〃+1)?

例21.因式分解:/+x+l.

解:原式+x24-X+l=X2(X3-1)+(X2+X+l)

=(X-l)(12+X+1)+(X“+X+l)

=(x2+x+l)(x3-x2+l).

例22.因式分解:/+/+/+2.

解：原式=X4+X3+X2-X+X+I+I

=(X4+x)+(x3+1)+(x2-x+1)

=x(x3+l)+(x3+1)+(x2-x+1)

=(x+l)(x3+1)+(x2-x+1)

=(x+l)2(x2-x+l)+(x2-x+1)

=(x2-x+l)[(x+1)2+1]

二(x2—x+12+2x+2).

另解：(待定系數(shù)法)設(shè)/+/+—+2=(12+。工+1112+法+2)

20

??x4++x~+2-x"+(<?+b)x，+(ab+3)x~+(2a+b)x+2

a+b=\

."“b+3=l,解之得:["-T

[b=2

2。+b=0

??%4+x，+x~+2—(x~-x+l)(x"+2x+2).

嘗試分解因式—V+4/+3x+5.

小結(jié)因式分解的題型多種多樣，使用的方法也不盡相同,即使是同一個題目,

分解的方法可能也不是唯一的.因為在進(jìn)行因式分解時要求分解一定要徹底，所

以結(jié)果的獲得往往是多種分解方法的綜合應(yīng)用.希望大家熟練掌握以上所介紹

的因式分解的方法.

初升高之因式分解測試題

202307131818

1.下列因式分解，錯誤的是[]

(A)l-9x2=(1+3x)(1-3x)

(B)a+；=(a—

(C)-3+my=-m(x+y)

(D)ax-ay-bx+by=(x-y\a-b)

2.若+24%+6=(必一3)2,則〃2,〃,/?的值是

(A)m=—4,tz=16,A=9(B)m——4,tz=-16,Z)=—9

21

(C)tn=-8,a=64,6=9(D)m=4,a=16,6=9

3.要使二次三項式/—6x+m在整數(shù)范圍內(nèi)可分解因式，”為正整數(shù)，那么加的

取值可以有【】

(A)2個(B)3個(C)5個(D)6個

4.若多項式2-+7x+加分解因式的結(jié)果中有因式x+3,則此多項式分解因式的

結(jié)果中另一個因式為【】

(A)2x-l(B)2x+l(C)x+1(D)x-1

5.多項式/—3/—2肛分解因式的結(jié)果是【】

(A)-(x+y)(x+3y)(B)(x+y)(x-3y)

(C)-(x-j/)(x-3y)(D)(x+-y)

6.分解因式：

(1)x2-I2x+20=;

(2)-/+x-Q=.

7.因式分角星:7714+7712+1=.

8.若8/+I2x2y2+6盯4+/可分解為(2x+y"1,貝lj加=.

9.分解因式:

(1)4工2—x—3;(2)3工2+2ax—.

10.將下列各式分解因式:

(1)x3-y3-x2y+xy2;(2)2a2—b?+ab—2a+b.

22

11.因式分解：

(1)(l-a2)(l-62)-4^；(2)8x3+4x2-2x-l;

(3)4xy+l-4x2-y2;(4)x2+4(xy-\)+4y2.

12.因式分解:(/+x+l)(x2+》+2)—[2.

13.已知m=x-y,n=xy，試用m,n表示(x，+/)?.

14.當(dāng)x=-l時+2/一5%一6=0.

請你根據(jù)這一事實，將/+2--5x-6分解因式.

23

初升高之因式分解測試題答案解析

1.C2.A3.B4.B5.B

6.(x-2)(x-10)7.(加?+加+1]加2_加+])8.2

9.解：(1)原式=(x-l)(4x+3);(2)原式=(X+QX3X-Q).

10.解：(1)原式=(/一/)一工火工一力

=(x_y)(x2+呼+/)_孫(x-y)

=(x-^)(x2+/);

(2)原式=+。2一力2+。6-2。+b

=(a2+Q6)+(Q2-Z)2)-(2a-6)

=a(a+b)+(a+h\a-h)-(2a-b)

=(Q+b)(2a-b)-(2a-b)

二(2〃-力)(〃+6-1).

11.解：(1)原式=1-〃-a?+a2b2-2ab-2ab

=(a2b2-lab4-2ab+b2]

=(a6-l)2_(a+6)2

={ab-1+a+b^ab-\-a-b)

(ab+a+6—i^ub—Q—b—1);

(2)原式=4/(2X+1)-(2X+1)

=(2x+l)(4x2-1)

=(2x+l)(2x+lX2x-l)

=(2X+1)2(2X-1);

(3)原式=l-(4x之一4盯+/)

24

=l-(2x-y)2

=(14-2x-y)(l_2x+y)；

(4)原式=/+4盯-4+"2

=(x2+4盯+4/)―4

=(x+2y)2-22

=(x+2y+2\x+2y-2).

12.解:原式=仔+x+H+x+l)+l]-12

=(x2+x+1)2+(x2+x+1)-12

=(x2+x+1-+x+1+4)

=(x?+x—21工2+x+5)

=(x-l)(x+2)(12+%+5).

13.Vm=x-y9n=xy

(丁+/)2=[(x+j)(x2-xy+/)f

=(x+y)2(x2_初+、2)2

=[(x-y)2+4號[(x-y)2+xy\

-(m2+4〃X加之+〃y.

14.解:由題意可設(shè)/+2x2-5x-6=(x+l)(x+〃Xx+b)

/.x3+2x2-5x-6=x3+(a+b+l)x2+(〃+/?+ab)x+ah

a+b+1—2

J4a+6+=-5

ab=-6

Q]=—2(a=3

解之得:4=3九2

=-2

，x3+2x2-5x-6=(x+iXx-2)(x+3).

25

初升高之分式與根式

202307140905

本節(jié)銜接概況

在初中階段，我們就已經(jīng)學(xué)習(xí)了分式的概念和性質(zhì)，并能進(jìn)行一些簡單的分式

的運(yùn)算或分式與整式的混合運(yùn)算，通過學(xué)習(xí)，我們知道了因式分解在分式的學(xué)習(xí)中

始終扮演著非常重要的角色，分式的化簡與通分、分式的運(yùn)算等都要用到因式分

解.由于我們學(xué)習(xí)的因式分解的方法和掌握的乘法公式有限,導(dǎo)致我們所能解決的

問題比較單一.在前面，我們補(bǔ)充學(xué)習(xí)了因式分解的其它方法并拓展了乘法公式,

所以再進(jìn)行分式的運(yùn)算時，我們能解決的問題也豐富了.

在這一節(jié),我們還要補(bǔ)充繁分式的概念，并利用分式的性質(zhì)對繁分式進(jìn)行化簡.

在初中階段，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的概念和性質(zhì)，三次根式的概念和性質(zhì),

并會進(jìn)行一些簡單的根式的運(yùn)算，但這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,在本節(jié)，我們還要補(bǔ)充學(xué)習(xí)〃次根

式的概念和性質(zhì).

在本節(jié)，會給出有理化因式的概念，你既要學(xué)會分母有理化，還要學(xué)會分子有理

化.

本節(jié)知識要點

(1)分式的概念和性質(zhì)；

(2)利用分式的性質(zhì)進(jìn)行分式的化簡與運(yùn)算；

(3)繁分式的概念與化簡；

(4)二次根式的概念和性質(zhì)；

(5)二次根式的化簡與運(yùn)算；

(6)分母(子)有理化；

(7)〃次根式的概念及其性質(zhì).

分式的概念和性質(zhì)

形如△(8中含有字母，且3W0)的式子，叫做分式.

B

分式有意義的條件是8Ho.

分式具有如下的兩條性質(zhì):

26

A_A-MAA^M

性質(zhì)1(A/#0)性質(zhì)2(M#0).

~B~BM萬一B三M

性質(zhì)1主要用于分式的通分，把異分母分式化為同分母分式;性質(zhì)2主要用于分

式的化簡，把分式化為最簡分式.

、」Mra~+7a+l067+1a+l

例1.計算：—；----------；--------+-----

a-a+1a+4。+4<7+2

分析：在進(jìn)行分式的運(yùn)算時，要對分子和分母分解因式.

我們用十字相乘法對多項式/+7a+l0分解因式，逆用立方和公式對多項式

"+1分解因式，這些是你們在初中不能做到的.

(a+2)(a+5)(a+l)(a~-a+l)a+2

解:原式=

a~—<7+I(a+2)~a+l

=a+5.

2

先化簡，再求值：/+〃2加’+3加2〃+3m?4-

例2.

m+2mn+nmn\mn)m32n-mn2-n3

其中TH=57,n=3.

分析：中括號外面的分式，其分子逆用完全立方和公式可分解為（加+〃）3,其分母

的分解使用分組分解法.

m24.-n2m3+3m2n+3mn2+/

解:

m2+2mn+n2m3+m2n-mn2-n3

m2+n22m2n2[m+n)3

(m+n)2fnn[m+nf(加一〃)(加2+mn+〃？)+加〃(/%一〃)

m2-2mn4-n2(m+n)3

(m+〃)2(w-+2mn+n2)

(加一”)2(加+〃了

=-------?--------------

(m+("2-n^m+n)

_m-n

m-\-n

當(dāng)m=571=3時

原式5上7-39

57+3To

27

XX

例3.已知=1,求的值.

x2-3x+1x4-9x2+1

分析：本題考查分式的條件求值，要用到下面的結(jié)論:

2

/+1=Ix+-1

-2.

X

該結(jié)論在高中還常寫作：/+丁2=6+/1）2一2.

X

解:1

x~—3x+1

Ax2-3x4-1=x,x2+1=4x

.-.%+1=4

X

x2]1

~2-

x4-9x2+1，+二一9

x+lI-2—9

XX

1__J_

42-11-5

5x+4AB

例4.(1)若---------■-----F，求常數(shù)4、8的值;

x(x+2)xx+2

（2）證明二—一L（其中〃是正整數(shù)）.

n\n+1）nn+1

/1、銀？5x+4AB

(1)解：1-----；=—+——-

x(x+2)xx+2

5x+4_4(x+2)Bx_(Z+8)x+2Z

x(x+2)x(x+2)x(x+2)x(x+2)

A+B=5,解之得:憶:

2A=4

(2)證明:7二=(/1)9〃+11

n\n+1)n\n+1)n[n+1)n4-1

例5.求分式3/+6x+5的最小值

12?

—X+X+1

2

28

3x~+6x+56x~+12x+10~+2x+2)-22

=6-

12,,ix"+2,x+2+2x+2x2+2x+2

—x4-X+l

2

6------」—

(x+1)'+1

,??對于任意實數(shù)xC+iy+121

2

0<——=--W2

(x+1)-+1

22

二—2+6<6-----J—<6,即4W6-----------<6

(x+l)2+l(x+l)2+l

分式千土出土2的最小值為4.（另解見后面例31）

-x2+X+1

2

11

例6.已知q+b+c=0,求—：---；----r的值.

b2+c2-a2+/+[2_62+滔工序

解：'：a+h+c^0

b+c=—a,a+c=—b,a+h=—c

.111

"b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2

111

-----------------1-----------------1----------------

(6+c)~-/一2bc(Q+c)~-b2-lac(a+b)~-c2-lab

111

=-----------------1------------------1----------------

(-tz)—a2—2bc(-/?)-b2—lac(-c)-c2-2ab

1_____1_____1_

2bc2ac2ab

=.in+±+n

2\bcacab)

=—1---Q-+-6--+-c

2ahc

=0.

例7.已知6+,=1,。+,=1,求證:。+』=1.

cah

分析:根據(jù)兩個已知條件消去c,即可得。力的關(guān)系式.

29

證明:?.?6+,=1,C+L=1

ca

ah-\-\=h

??ClH-=1?

b

例8.已知abc=1，求證:一-—+--—+—-—=1

+Q+1be+6+1QC+c+1

證明：：abc=1

Q,b,c均不為0

.abcachc

??-----------1--------------1------------=-----------------1-----------------1------------

。6+。+1be+6+1ac+c+1abc+QC+cbc+b+abcQC+c+1

ac1c

------------H--------------1------------

QC+C+1ac+c+1QC+C+1

_ac+c+1

ac+c+1

=1.

例9.閱讀材料：

對某些分式，經(jīng)過一系列的變形之后,可以把分子中的字母“分離”出來，如:

(1)2X+1_2(X-3)+72(x-%7刀7；

x—3x—3x—3x—3x—3

(2)x“+7x+10(x~+2x+1)+(5x+5)+4(x+1)^+5(x+1)+4

x+1x+1x+1

?4「

=X+1H--------F5.

x+1

按照上面的變形方法，把下列分式中的字母從分子中“分離”出來：

(1)生工(2)'-2X+4.

x+1x-2

解：(1)j￡zl=2(x+l)3_2一3.

x+lx+1x+l

30

-—2X+4付-4X+4)+(2X-4)+4(X-2)2+2(X-2)+4

(2)

x-2x—2x—2

(X-2)22(X-2)444

x—2x—2x—2x—2x—2

繁分式的概念和化簡

分子或分母中含有分式的分式叫做繁分式.

工+工

如‘T'H都是繁分式.

x+-------

xah

利用分式的性質(zhì)可以把繁分式化為普通的分式.

例10.化簡:一、.

x+-

X

的xx

解:二IT=m=7TT

XH---XX4-------

X\xj

例(M.化簡:一

孫

孫+y(lT)=肛+)一肛二y

解:原式=

xy-(l-xy)xy-\-\-xy2xy-1

11c

X2H—--xF3

例12.化簡:[x+￡|XX

"Ii~FT

x~4---2xF3

XX

分析：題目中出現(xiàn)了很多的x+L考慮到/+上=仁+11-2,為了簡化運(yùn)算,

XX\X)

可設(shè)x+」=a.

X

解:設(shè)x+L”,則：

X

31

原式=/

2

_。2+(6Z-I)

Ia-1)/-Q+I

=/_(I_.+])2("1)2

(4-1)2/_Q+]

=a2-(a2-a+1)

—ci~-ci~+。-1

二Q—1

1,

=XA---1.

X

二次根式的概念和性質(zhì)

形如〃■(口20)的式子，叫做二次根式.

二次根式具有如下的性質(zhì)：

性質(zhì)1(雙重非負(fù)性)”N0且々20.

性質(zhì)2(V?)2=a(a20).

性質(zhì)3"田圖九

性質(zhì)1主要用于求解二次根式有意義的條件，性質(zhì)2主要用于二次根式的計算,

性質(zhì)3主要用于二次根式的化簡.

二次根式的運(yùn)算性質(zhì)：

性質(zhì)44ab=4a-4b(a20,620).

性質(zhì)5.=苧(a20,b>0).

例13.若-l<x<2，化簡Vx2-4x+4-y/x2+2x+l.

解：-1<x<2

原式=杰-2)27(X+1)2

=|x-2|-|x+1|

32

=2—x—(x+1)

=2-x-x-l

=1—2x.

例14.化簡:43-2五+口1—五）\

分析：題目涉及到雙重二次根式的化簡，應(yīng)考慮最外面根號下的被開方式是否為

完全平方式.如:3-—2x1xV2+1=（V2—1）.

結(jié)論:對于二次根式4A±B4C，若不一B2C是完全平方數(shù)，則A±Byfc也是完全平方

數(shù).

有些二次根式,武士兀的化簡,需要先變形為F4土;衣，然后再進(jìn)行化簡.

解:原式="（五-1）2+（1-V2）

=|V2-1|+1-V2

=V2-1+1-V2

=0.

例15.化簡:，8-病.

分母（子）有理化

把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化.

為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要補(bǔ)充有理化因式的概念:兩個含有二次根式的

33

代數(shù)式相乘，如果它們的積中不含二次根式，我們就稱這兩個代數(shù)式互為有理化因

式.

如“^+^^石―J^)=(石)—(V2)=1,則百+與JJ—互為有理化因

式.

分母有理化是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過

程;分子有理化是分子和分母都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根號的過

程.

例16.化簡：

(1)(2)(x^y)