導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用論文

1、導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義及在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用研究摘 要數(shù)學(xué)是一種適于定量分析的比較嚴(yán)密的抽象符號(hào)系統(tǒng),具有較強(qiáng)的客觀性,應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題在一定程度上能減少分析中主觀因素的影響.微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑,導(dǎo)數(shù)作為微積分的核心概念之一,在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域有其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用.論文就導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用，對(duì)邊際分析、彈性分析以及經(jīng)濟(jì)優(yōu)化問(wèn)題作出探討,并給出導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用實(shí)例.旨在拓寬人們分析問(wèn)題的思路,提高人們解決問(wèn)題的能力，說(shuō)明高等數(shù)學(xué)處理復(fù)雜經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的優(yōu)越性和重要性,為廣大企業(yè)管理者進(jìn)行科學(xué)決策提供參考.關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；經(jīng)濟(jì)學(xué)；邊際分析；彈性分析；優(yōu)化分析目 錄1 引言12 文

2、獻(xiàn)綜述12.1 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀12.2 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià)22.3 提出問(wèn)題23 導(dǎo)數(shù)的概念與意義24 經(jīng)濟(jì)分析中常用的函數(shù)34.1 需求函數(shù)與供給函數(shù)34.2 成本函數(shù)與平均成本函數(shù)34.3 價(jià)格函數(shù)、收入函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)45 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用45.1 邊際分析45.1.1 邊際成本45.1.2 邊際收入55.1.3 邊際利潤(rùn)分析55.2 需求價(jià)格彈性分析及應(yīng)用75.2.1 需求價(jià)格彈性的概念與分析85.2.2 需求價(jià)格彈性在企業(yè)經(jīng)營(yíng)中的應(yīng)用85.2.3 需求價(jià)格彈性在國(guó)家經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用105.3 收入彈性分析及應(yīng)用146 最優(yōu)分析及案例156.1 用邊際函數(shù)求最低成本156.2 利用

3、邊際函數(shù)求最大利潤(rùn)176.3 資源合理利用的優(yōu)化分析197 結(jié)論217.1 主要發(fā)現(xiàn)217.2 啟示217.3 局限性217.4 努力方向21 參考文獻(xiàn)231 引言 數(shù)學(xué)是一種適于定量分析的比較嚴(yán)密的抽象符號(hào)系統(tǒng),具有較強(qiáng)的客觀性,應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題在一定程度上能減少分析中主觀因素的影響.當(dāng)然在經(jīng)濟(jì)研究中應(yīng)用數(shù)學(xué)也會(huì)有它的局限性.它不可能使經(jīng)濟(jì)理論家或?qū)嵺`者徹底擺脫在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中所遇到的困境和煩惱.但總體來(lái)說(shuō),在經(jīng)濟(jì)研究中應(yīng)用數(shù)學(xué)是很有益的.從當(dāng)前來(lái)看,在國(guó)內(nèi)外經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)中應(yīng)用數(shù)學(xué)作分析工具的越來(lái)越多,應(yīng)該說(shuō)這是經(jīng)濟(jì)學(xué)進(jìn)步的一個(gè)重要標(biāo)志,即它使經(jīng)濟(jì)學(xué)走向了定量化、精密化和準(zhǔn)確化.微積分的創(chuàng)

4、立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑,導(dǎo)數(shù)作為微積分的核心概念之一,在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域有其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用.如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)去分析、解決經(jīng)濟(jì)中的問(wèn)題是一個(gè)必須引起重視和研究的課題.本文本著“數(shù)學(xué)為體,經(jīng)濟(jì)為用”的原則,就導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的成功應(yīng)用范例:著名的邊際分析、彈性分析以及經(jīng)濟(jì)優(yōu)化問(wèn)題等作一些探討,并給出導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的一些應(yīng)用實(shí)例.旨在拓寬人們分析問(wèn)題的思路,提高人們解決問(wèn)題的能力.通過(guò)本文的討論,我們不難發(fā)現(xiàn),利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明和解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題是非常有效的方式,使我們可以從數(shù)學(xué)的角度得出結(jié)論,又可以在經(jīng)濟(jì)的理論上得到合理解釋,從而達(dá)到為企業(yè)經(jīng)營(yíng)者科學(xué)決策提供依據(jù)的目的.2 文獻(xiàn)綜述2.1 國(guó)內(nèi)外研究

5、現(xiàn)狀 現(xiàn)查閱到的文獻(xiàn)中,分別就導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)研究中的應(yīng)用做出以下說(shuō)明.其中高汝憙?cè)谖墨I(xiàn)1中精確的解釋了導(dǎo)數(shù)的概念,強(qiáng)調(diào)了對(duì)數(shù)學(xué)概念的精確理解是解決問(wèn)題的前提. 高鴻業(yè)、哈爾R范里安、周曉暉、宋承先分別在文獻(xiàn)2,5中對(duì)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用類型和相應(yīng)的方法給予了較詳細(xì)的說(shuō)明,并介紹了經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)及大量的實(shí)例. 李鳳香,程敬松在文獻(xiàn)6中對(duì)邊際的概念展開描述,并舉例說(shuō)明邊際收益,邊際成本等概念.文獻(xiàn)8中, 張賢澳對(duì)需求價(jià)彈性與收益進(jìn)行了詳細(xì)的的解析. 文獻(xiàn)10,12中,劉玉紅,李春萍,彭文學(xué)通過(guò)彈性分析說(shuō)明了數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的具體應(yīng)用.周學(xué)勤在文獻(xiàn)14中提出了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中應(yīng)注意的問(wèn)題. 葉子祥

6、,于信,宿金勇, 保羅·A·薩繆爾森等在文獻(xiàn)15,16中提出針對(duì)生活中的有些問(wèn)題可利用優(yōu)化分析的方法達(dá)到經(jīng)濟(jì)效益的最高的策略.2.2 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià)文獻(xiàn)1,16分別就導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義與其在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用做出說(shuō)明,文獻(xiàn)中主要闡述了經(jīng)濟(jì)方面相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí),沒(méi)有很全面地介紹導(dǎo)數(shù)在研究經(jīng)濟(jì)各方面的運(yùn)用,而且文獻(xiàn)中對(duì)最優(yōu)化分析給出的分析也相對(duì)較少,對(duì)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用所需要注意的問(wèn)題也未給出詳細(xì)深入的說(shuō)明.2.3 提出問(wèn)題 本文從數(shù)學(xué)的基本理論導(dǎo)數(shù)的概念出發(fā),探討了經(jīng)濟(jì)管理學(xué)中重要的概念-邊際函數(shù)和彈性函數(shù),研究它們的經(jīng)濟(jì)意義,進(jìn)而分析了經(jīng)濟(jì)科學(xué)中常見的函數(shù)及應(yīng)用實(shí)例,給出了利用導(dǎo)數(shù)

7、解決經(jīng)濟(jì)管理學(xué)問(wèn)題的一般方法,通過(guò)數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的結(jié)合來(lái)分析問(wèn)題,說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)中的重要性和優(yōu)越性.3 導(dǎo)數(shù)的概念與意義定義11：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量 x在點(diǎn)處取得增量（點(diǎn)+仍在該鄰域內(nèi)）時(shí),相應(yīng)地函數(shù)y取得增量=f（+）-f（）；如果與之比當(dāng)0時(shí)的極限存在,則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)處可導(dǎo),并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),記為,即.若函數(shù) y=f（x）在某區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),則稱 y=f（x）在該區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),記為y=f（x）在該區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）.函數(shù)增量與自變量增量之比y/x是函數(shù)在以和為端點(diǎn)的區(qū)間上的平均變化率,而導(dǎo)數(shù)則是函數(shù)y=在點(diǎn)處

8、的瞬時(shí)變化率,它反映了函數(shù)隨自變量的變化而變化的快慢程度.函數(shù)y=在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是:曲線y=在點(diǎn)處的切線的斜率.西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究涉及邊際經(jīng)濟(jì)變量時(shí)都是用增加某一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量一個(gè)單位從而對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量帶來(lái)的影響是多少,如邊際效用、邊際成本、邊際收益、邊際替代率等等,這些概念都是經(jīng)濟(jì)學(xué)中非常重要的概念.而在這些經(jīng)濟(jì)學(xué)概念中,幾乎都要用到導(dǎo)數(shù)的概念,它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式也可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)表示.因此,導(dǎo)數(shù)在邊際分析、彈性分析、最優(yōu)化分析等方面都具有重要的作用.DpQp1Q1p2Q204. 經(jīng)濟(jì)分析中常用的函數(shù)4.1 需求函數(shù)與供給函數(shù)圖1 需求曲線SPQP2Q1P1Q20圖2 供給曲線（1）需求函數(shù).市

9、場(chǎng)上的任何一種商品,其需求量受到很多因素影響,如商品的市場(chǎng)價(jià)格、消費(fèi)者的喜好等.為了便于討論我們先不考慮其他因素,假設(shè)商品的需求量盡受市場(chǎng)價(jià)格的影響,即Q表示某種商品的需求量,P表示此種商品的價(jià)格,則用 Q=f（P）表示對(duì)某種商品的需求函數(shù).例如,某空調(diào)的價(jià)格從3000元/臺(tái)降到2000元/臺(tái)時(shí),相應(yīng)的需求量就從600臺(tái)增到1000臺(tái),顯然需求是和價(jià)格相關(guān)的一個(gè)變量.一般來(lái)說(shuō),對(duì)某種商品的需求量Q隨價(jià)格減少而增加,隨價(jià)格增加而減少,所以需求函數(shù)是單調(diào)減少的函數(shù)（如圖1）.（2）供給函數(shù).站在賣方的立場(chǎng)上,設(shè)Q表示對(duì)某種商品的供給量,P表示此種商品的價(jià)格,則用Q=F（P）表示某種商品的供給函數(shù).

10、一般來(lái)說(shuō),作為賣方,對(duì)某種商品的供給量Q是隨價(jià)格P的增加而增加,隨價(jià)格P的減少而減少,所以供給函數(shù)是單調(diào)增加的函數(shù)（如圖2）.4.2 成本函數(shù)與平均成本函數(shù)（1）成本函數(shù).產(chǎn)品的成本一般有兩類：一類隨產(chǎn)品的數(shù)量變化,如需要的勞動(dòng)力,消耗的原料等；這種生產(chǎn)成本稱為可變成本.另一類成本無(wú)論生產(chǎn)水平如何都固定不變,如房屋 設(shè)備的折舊費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi)等,稱為固定成本.設(shè)Q為某種產(chǎn)品的產(chǎn)量,C為生產(chǎn)此種產(chǎn)品的成本,生產(chǎn)每個(gè)單位產(chǎn)品的成本為a,固定成本為,則成本函數(shù)為C =C（Q）=aQ+.（2）平均成本函數(shù).用表示每單位的平均成本函數(shù)2.4.3 價(jià)格函數(shù)、收入函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)（1）價(jià)格函數(shù).一般來(lái)說(shuō),價(jià)格是銷售

11、量的函數(shù).生活中隨處可見,買的東西越多,消費(fèi)者就可以把價(jià)格壓得更低.例如,某批發(fā)站批發(fā)100件衣服給零售商,批發(fā)定價(jià),30元,若每次多批發(fā)10件衣服,相應(yīng)的批發(fā)價(jià)格就降低2元,顯然價(jià)格是和銷售量相關(guān)的一個(gè)變量.在廠商理論中,強(qiáng)調(diào)的是既定需求下的價(jià)格.在這種情況下,價(jià)格是需求量的函數(shù),表示為P=P（Q）.要注意的是需求函數(shù) Q=f（P）與價(jià)格函數(shù) P=P（Q）是互為反函數(shù)的關(guān)系.（2）收入函數(shù).在商業(yè)活動(dòng)中,一定時(shí)期內(nèi)的收益,就是指商品售出后的收入,記為R.銷售某商品的總收入取決于該商品的銷售量和價(jià)格.因此,收入函數(shù)為R=R（Q）=PQ.其中 Q 表示銷售量,P表示價(jià)格.（3）利潤(rùn)函數(shù).利潤(rùn)是指

12、收入扣除成本后的剩余部分,記為L(zhǎng).則L=L（Q）=R（Q）-C（Q）.其中Q 表示產(chǎn)品的的數(shù)量,R（Q）表示收入,C（Q）表示成本.總收入減去變動(dòng)成本稱為毛利,再減去固定成本稱為純利潤(rùn).5 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用5.1 邊際分析邊際概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念,通常指經(jīng)濟(jì)變量的變化率.利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量的邊際變化的方法,即邊際分析方法,是經(jīng)濟(jì)理論中的一個(gè)重要分析方法.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,習(xí)慣用平均和邊際的概念描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量y對(duì)于另外一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量x的變化.平均概念y表示在自變量x的某一個(gè)范圍內(nèi)的平均值.顯然,平均值x隨著范圍不同而不同,邊際概念表示當(dāng)x的改變量x趨于0時(shí),y的相應(yīng)改變量y與x的比值y

13、/x的變化,即當(dāng)x在某一給定值附近有微小變化時(shí),y的瞬時(shí)變化.5.1.1邊際成本設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品q單位時(shí)所需要的總成本函數(shù)c(q)可導(dǎo),則其邊際成本定義為3.邊際成本是總成本函數(shù)c(q)關(guān)于產(chǎn)量q的導(dǎo)數(shù),其經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)產(chǎn)量為q時(shí),再生產(chǎn)一個(gè)單位（即q=1）所增加的總成本為c(q).因此,近似地記為.例1 生產(chǎn)某種產(chǎn)品q個(gè)單位時(shí)成本函數(shù)為c(q)=200+0.05求生產(chǎn)90個(gè)單位與生產(chǎn)100個(gè)單位該產(chǎn)品時(shí)的邊際成本.解：邊際成本為=0.1q當(dāng)q=90時(shí),=0.1×90=9;當(dāng)q=100時(shí),=0.1×100=10;即生產(chǎn)90個(gè)單位該產(chǎn)品與生產(chǎn)100個(gè)單位該產(chǎn)品時(shí)的邊際成本分別為

14、9和10.在這里需要注意的是：平均成本、平均變化率、邊際成本三個(gè)概念雖然都反映一定意義下的平均,但是又有一定的區(qū)別.平均成本C(q)/q是生產(chǎn)一定數(shù)量產(chǎn)品時(shí)的成本平均,它只與產(chǎn)量范圍q有關(guān).平均變化率C(q)/q是生產(chǎn)一定數(shù)量產(chǎn)品時(shí)再增加生產(chǎn)q時(shí),成本增加值C在q范圍內(nèi)的平均,這個(gè)比值既與產(chǎn)量q有關(guān),又與增量q有關(guān).邊際成本是極限意義下的平均,是當(dāng)增量q0時(shí),總成本C(q)的瞬時(shí)變化率,這個(gè)值只與產(chǎn)量q有關(guān).5.1.2 邊際收入與邊際成本類似,邊際收入定義為,即邊際收入是總收入函數(shù)R(q)關(guān)于銷售量q的導(dǎo)數(shù),其經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)銷售量為q時(shí),再銷售一個(gè)單位（即q=1）所增加的總收入R(q).例2

15、某企業(yè)某種產(chǎn)品的收入R(單位：元)是產(chǎn)量q(單位：噸)的函數(shù)求生產(chǎn)200噸時(shí)的邊際收入.解：邊際收入為,生產(chǎn)200噸時(shí)的邊際收入為.其經(jīng)濟(jì)含義是:當(dāng)銷售量為200噸時(shí),再銷售一噸（即q=1）所增加的總收入為700元.5.1.3邊際利潤(rùn)分析邊際利潤(rùn)與邊際成本類似,邊際利潤(rùn)定義為總利潤(rùn)函數(shù)L(q)關(guān)于銷售量q的導(dǎo)數(shù).其經(jīng)濟(jì)含義是:當(dāng)銷售量為q時(shí),再銷售一個(gè)單位（即q=1）所增加的總利潤(rùn)L(q).在這里要強(qiáng)調(diào)的是:邊際利潤(rùn)0與利潤(rùn)L(q)0是不同的概念. 0即邊際利潤(rùn)小于零這意味著：當(dāng)產(chǎn)量（銷量）為q時(shí),再改變一個(gè)單位的產(chǎn)量（銷量）(即q=1)總利潤(rùn)將減少,此時(shí),可能是虧損,也可能是盈利,即總利潤(rùn)減

16、少不一定是虧損.而L(q)0即利潤(rùn)小于零則意味著：當(dāng)產(chǎn)量（銷量）為q時(shí)企業(yè)是虧損的.例3 設(shè)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本C元是產(chǎn)量Q件的函數(shù),.每件產(chǎn)品的銷售單價(jià)為800元,試寫出利潤(rùn)函數(shù),邊際利潤(rùn)及生產(chǎn)350件、398件及400件時(shí)的邊際利潤(rùn),并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.解：設(shè)產(chǎn)量與銷量一致,令Q為產(chǎn)量(或銷量),由題設(shè)收益為,總成本,從而利潤(rùn)函數(shù),邊際利潤(rùn).于是 .經(jīng)濟(jì)意義為: , 表示當(dāng)產(chǎn)量在350件的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí),利潤(rùn)將近似地增加96元; ,表示在產(chǎn)量398件的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí),利潤(rùn)將不再增加,而且開始減少; .表示在產(chǎn)量為400件的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)一件產(chǎn)品,利潤(rùn)就要近似地減少4元.

17、例44 假定有酒100噸,現(xiàn)價(jià)8元/公斤,多陳一年可增值2元/公斤,貯存費(fèi)每年10000元,因貯存酒積壓資金引起機(jī)會(huì)成本每年增加（其中為酒的貯量,P為當(dāng)年白酒價(jià)格,r 為利息率,且假定r=10%）,那么這些酒須儲(chǔ)存多久效益才最大呢？分析：假設(shè)須貯X年才最佳,由已知可得如下函數(shù)關(guān)系：1. x年增加的總收入函數(shù)（元）.2. x年增加的貯存總成本（元）.3. x年凈增利潤(rùn)函數(shù) （元）.此時(shí)邊際收入：.邊際成本：.因?yàn)楫?dāng)時(shí)利潤(rùn)最大,所以有,即x=2.75（年）.由于駐點(diǎn)唯一,故只有當(dāng)儲(chǔ)存期為2.75年時(shí),企業(yè)才能獲得最佳經(jīng)濟(jì)效益,其最大凈增利潤(rùn)為151250元.由上進(jìn)一步表明,邊際分析這種以導(dǎo)數(shù)為工具

18、,以經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象為內(nèi)容的數(shù)學(xué)分析方法已深深融人到了經(jīng)濟(jì)學(xué)中,并成為經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)重要組成部分.5.2 需求價(jià)格彈性分析及應(yīng)用在西方微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中, 彈性是用來(lái)表示因變量對(duì)自變量變化的反應(yīng)的敏感程度.具體地說(shuō), 當(dāng)一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量發(fā)生1%的變動(dòng)時(shí), 由它引起另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變動(dòng)的百分比.因此, 需求的價(jià)格彈性表示在一定時(shí)期內(nèi)一種商品的需求量的變動(dòng)對(duì)于該商品的價(jià)格的變動(dòng)的反應(yīng)程度.或者說(shuō),它是衡量一種商品的需求量對(duì)其價(jià)格變化的反應(yīng)敏感程度, 這種敏感程度通常是用需求價(jià)格彈性系數(shù)來(lái)表示.其公式為需求的價(jià)格彈性系數(shù)=需求量變動(dòng)率/價(jià)格變動(dòng)率5.同樣, 供給的價(jià)格彈性表示在一定時(shí)期內(nèi)一種商品的價(jià)格變動(dòng)對(duì)于該商品的供給

19、量變動(dòng)的影響.其公式為供給的價(jià)格彈性系數(shù)=供給量變動(dòng)率/價(jià)格變動(dòng)率.需求的價(jià)格彈性和供給的價(jià)格彈性分為點(diǎn)彈性和弧彈性.而價(jià)格弧彈性的計(jì)算可以有三種情況, 它們分別是漲價(jià)時(shí)的弧彈性、降價(jià)時(shí)的弧彈性, 以及中心公式計(jì)算的弧彈性.至于到底應(yīng)該采用哪一種計(jì)算方法, 這需要具體情況和需要而定.并且, 一種商品需求的價(jià)格彈性與供給的價(jià)格彈性的大小是各種影響因素綜合作用的結(jié)果, 是決定商品供求變化方向、均衡數(shù)量及價(jià)格水平的重要因素.6用西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的價(jià)格彈性理論研究中國(guó)市場(chǎng)的價(jià)格彈性的變化, 最關(guān)鍵是科學(xué)地計(jì)算產(chǎn)品的供給價(jià)格彈性和需求價(jià)格彈性.定義27 設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo),函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量

20、的相對(duì)改變量之比,當(dāng)時(shí)的極限稱為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)處的相對(duì)變化率,或稱為彈性函數(shù).記為.5.2.1需求價(jià)格彈性的概念與分析需求價(jià)格彈性的概念：經(jīng)濟(jì)學(xué)中,把需求量對(duì)價(jià)格的相對(duì)變化率稱為需求的價(jià)格彈性.記為.由于需求函數(shù)是價(jià)格的遞減函數(shù),所以需求彈性一般為負(fù)值.其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)某種商品的價(jià)格下降（或上升）1%時(shí),其需求量將增加（或減少）.當(dāng)=-1（即|=1）時(shí),稱為單位彈性.即商品需求量的相對(duì)變化與價(jià)格的相對(duì)變化基本相等.5.2.2需求價(jià)格彈性在企業(yè)經(jīng)營(yíng)中的應(yīng)用（1）需求價(jià)格彈性在廠商定價(jià)中的應(yīng)用對(duì)廠商來(lái)說(shuō),利潤(rùn)最大化是其經(jīng)營(yíng)目標(biāo),而廠商一般通過(guò)調(diào)整價(jià)格來(lái)實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),然而通過(guò)這一方式能否達(dá)到預(yù)

21、期效果還要由Ed來(lái)定.在市場(chǎng)上,廠商若能判定某些商品是屬于需求富有性的,則可以采取降價(jià)的策略,也就是“薄利多銷”策略.“薄利”就是降價(jià),降價(jià)能“多銷”,因需求增加而增加的收入大于價(jià)格下降而減少的收入,會(huì)使總收益增加,但不能采取提價(jià)的策略.比如,公園除了比較大的節(jié)日,像五一節(jié)、六一節(jié)、十一節(jié)去游玩的人比較多以外,其余的時(shí)間游人非常少,造成了社會(huì)資源的閑置,非?？上?公園的門票就屬于需求富有彈性的商品,票價(jià)應(yīng)該下降,因?yàn)橄陆狄院罂梢晕笈谋镜鼐用袢ス珗@消費(fèi).而且對(duì)于園來(lái)說(shuō),一般是固定費(fèi)用較大,而變動(dòng)費(fèi)用較少,游客增加公園支出的總費(fèi)用不會(huì)有太大影響,公園在增加收入的同時(shí),支出的費(fèi)用卻增加很少,何

22、樂(lè)而不為呢?8在市場(chǎng)上,商家若能夠準(zhǔn)確地判斷出某種商品是屬于需求缺乏彈性的話,就不能采取降價(jià)的策略而應(yīng)該采取提價(jià)的策略.比如,在農(nóng)產(chǎn)品市場(chǎng)上,由于糧食是生活必需品,需求價(jià)格彈性小.也就是說(shuō),人們不會(huì)因?yàn)榧Z食便宜而多吃糧食.由于豐收了而造成糧價(jià)下跌,并不會(huì)使需求量同比例地增加,從而使總收益減少,農(nóng)民蒙受損失.這就是中國(guó)古語(yǔ)“谷賤傷農(nóng)”經(jīng)濟(jì)學(xué)道理,意思是豐收了,由于糧價(jià)的下跌,農(nóng)民的收入減少.以上分析了產(chǎn)品的需求價(jià)格彈性大小與企業(yè)總收益之間的關(guān)系及其在實(shí)際中的一些運(yùn)用.在真正應(yīng)用時(shí),我們還要注意兩點(diǎn)：一是上面所提到的總收益包括了成本與利潤(rùn),總收益增加并不意味著利潤(rùn)增加,總收益減少不意味著利潤(rùn)減少.

23、二是商品的需求價(jià)格彈性會(huì)由于人們收人水平、所處的地區(qū)等因素的改變而改變.綜上所述,企業(yè)在制定或變動(dòng)產(chǎn)品價(jià)格時(shí),一定要考慮自己產(chǎn)品需求價(jià)格彈性的大小,這樣才能夠更好地利用價(jià)格策略,在競(jìng)爭(zhēng)中求得生存與發(fā)展.例59 某企業(yè)某產(chǎn)品的需求價(jià)格彈性在1.5-2.0之間,如果預(yù)計(jì)明年把價(jià)格降低10,問(wèn)明年的銷售量預(yù)期會(huì)增加多少？總收入將會(huì)增加多少？ 解：由,.因此時(shí), ,.當(dāng)時(shí),.所以,明年該企業(yè)銷售量預(yù)期會(huì)增加15-20,總收入將會(huì)增加5-10.由此可見,在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中,企業(yè)經(jīng)營(yíng)者關(guān)心的是商品漲價(jià)（p>0）或者降價(jià)（p<0）對(duì)總收入的影響程度,利用需求彈性概念可以知道漲價(jià)未必增收,降價(jià)未必減收.

24、（2）需求價(jià)格彈性在價(jià)格預(yù)測(cè)中的作用由于Ed在公式上等于需求量變動(dòng)的百分比與價(jià)格變動(dòng)的百分比之比,所以在產(chǎn)品需求彈性、基期價(jià)格已知的條件下,我們可以在預(yù)測(cè)未來(lái)需求量或需求量變動(dòng)率后,預(yù)測(cè)商品在未來(lái)某一時(shí)期的價(jià)格.如：某一商品的彈性系數(shù)為2,2005年的銷售價(jià)格是500元,預(yù)計(jì)2006年的銷售量會(huì)從2000件上升到3000件,則可預(yù)測(cè)2006年的價(jià)格變動(dòng)率=需求變動(dòng)率/彈性系數(shù)=50%/2=25%,預(yù)期價(jià)格=基期價(jià)格(1+價(jià)格變動(dòng)率)= 500*1.25=625（3）需求價(jià)格彈性在需求量預(yù)測(cè)中的作用在基期需求量和已知Ed的條件下,企業(yè)在知曉價(jià)格變化的情況后,也可以用上面的原理來(lái)預(yù)測(cè)一下自己的商品

25、在未來(lái)某一時(shí)期內(nèi)的需求量.5.2.3需求價(jià)格彈性在國(guó)家經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用（1）利用需求價(jià)格彈性合理調(diào)控經(jīng)濟(jì),做出科學(xué)決策.在現(xiàn)實(shí)生活中,某些需求缺乏彈性的商品,如農(nóng)場(chǎng)品,在供給量增加后,價(jià)格大幅下降,而需求量不會(huì)增加很多,從而使均衡價(jià)格維持在很低的水平,這就會(huì)極大的挫傷生產(chǎn)者的積極性,最終使得未來(lái)供應(yīng)量減少,而在供應(yīng)量減少后,該產(chǎn)品的價(jià)格就會(huì)大幅上升,而價(jià)格的大幅上升,又不會(huì)引起需求量的大幅減少,因此會(huì)均衡價(jià)格達(dá)到很高的水平.如：近來(lái)豬肉價(jià)的大幅上漲就與這種情形相似.而這種價(jià)格水平的急劇波動(dòng),對(duì)經(jīng)濟(jì)的健康發(fā)展造成很大的危害,因此國(guó)家對(duì)這商品應(yīng)采用最低保護(hù)價(jià)政策,維持價(jià)格的穩(wěn)定.（2）利用需求價(jià)格

26、彈性制定科學(xué)的國(guó)貿(mào)政策一般情況下,人們普遍認(rèn)為一國(guó)的貨幣貶值可以改善國(guó)際收支.實(shí)際上一國(guó)貨幣貶值是否能達(dá)到這種效果還看該國(guó)進(jìn)出口商品的Ed來(lái)定, 即進(jìn)出口商品的Ed之和大于1,只有在這個(gè)條件下,一國(guó)的貨幣貶值才能改善這個(gè)國(guó)家的國(guó)際收支.因此國(guó)家在制定國(guó)際貿(mào)易政策時(shí),要充分考慮本國(guó)進(jìn)出口商品的Ed,這樣才可以提高決策的科學(xué).（3）利用需求價(jià)格彈性制定科學(xué)的稅收政策國(guó)家根據(jù)財(cái)政收支的需要和國(guó)家產(chǎn)業(yè)的發(fā)展規(guī)劃,對(duì)具有不同Ed的商品制定不同的征稅標(biāo)準(zhǔn).對(duì)那些Ed為零且不關(guān)乎國(guó)計(jì)民生的商品,征收較高的稅收,從而增加國(guó)家的財(cái)政收入；而對(duì)那些富有彈性的商品,降低稅率,已達(dá)到增加需求量,促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的目的；而

27、對(duì)那些低彈性且關(guān)乎國(guó)計(jì)民生的商品,如農(nóng)產(chǎn)品,國(guó)家不僅不征稅,還要提供財(cái)政補(bǔ)貼,鼓勵(lì)這些弱勢(shì)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展.例610 某商品的需求函數(shù)為.求:（1）需求價(jià)格彈性函數(shù);（2）當(dāng)P=5時(shí)的需求價(jià)格彈性并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義;（3）當(dāng)P=10時(shí)的需求價(jià)格彈性并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義;（4）當(dāng)P=15時(shí)的需求價(jià)格彈性并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.解：（1）按彈性定義：.（2）.由于,所以當(dāng)P=5時(shí),該商品的需求缺乏彈性,此時(shí)價(jià)格上漲1%,需求量下降.(3).由于,所以當(dāng)P=10時(shí),該商品具有單位彈性,此時(shí)價(jià)格上漲1%,將引起需求量下降1%.（4）由于,所以當(dāng)P=15時(shí),該商品是富有彈性的,此時(shí)若價(jià)格下降1%,將導(dǎo)致需求量增加3%.那

28、么,“邊際”與“彈性”之間有什么聯(lián)系與區(qū)別呢？請(qǐng)看下面一個(gè)例子.例7 某商品的需求函數(shù)為,P為價(jià)格（1）求P=4時(shí)的邊際需求.（2）求P=4時(shí)的需求彈性.（3）當(dāng)P=4時(shí),若價(jià)格上漲1%,總需求將變動(dòng)百分之幾,上升還是下降？若價(jià)格增加一個(gè)單位,總需求將變動(dòng)多少,增加還是減少？（4）當(dāng)P=4時(shí),若價(jià)格上漲,總收益將變動(dòng)多少?上升還是下降?若P=6時(shí),將如何變化.（5）P為多少時(shí),總收益最大？解：（1）, , （2）, .（3）由彈性的經(jīng)濟(jì)意義及（2）的結(jié)果可知：若價(jià)格上漲1%,總需求將下降0.54%； 由邊際的經(jīng)濟(jì)意義及（1）的結(jié)果可知：若價(jià)格增加一個(gè)單位,總需求將下降8個(gè)單位.由（3）可以看出

29、,彈性是一個(gè)相對(duì)量的比較,價(jià)格變動(dòng)1%,相應(yīng)的需求量將變動(dòng)；而邊際則是一個(gè)絕對(duì)量,價(jià)格增加一個(gè)單位,需求量將增加或減少多少個(gè)絕對(duì)量.邊際與彈性,一個(gè)從絕對(duì)量變化的角度,一個(gè)從相對(duì)量變化的角度.但有一點(diǎn)它們是相同的,就是它們都是考慮在某一點(diǎn)時(shí)的瞬間變化情況,均是局部性的概念,而不是對(duì)整個(gè)變化過(guò)程做研究.下面看第（4）問(wèn),總收益應(yīng)為需求量與價(jià)格的乘積,即：,邊際收益:,收益彈性:,.表示p=4時(shí),價(jià)格上升1%,總收益增加0.46%；價(jià)格增加一個(gè)單位,總收益增加27個(gè)單位.邊際收益,收益彈性： .表示P=6時(shí),價(jià)格上升1%,總收益將減少0.85%；價(jià)格增加一個(gè)單位,總收益減少33個(gè)單位.由上可見,邊

30、際與彈性隨著P點(diǎn)的不同而不同,是一個(gè)局部性的概念,掌握“邊際” 與“彈性”的概念,注意它們的區(qū)別與聯(lián)系,在市場(chǎng)管理和制定商品價(jià)格,確定生產(chǎn)量等方面都具有重要的經(jīng)濟(jì)意義.那么,總收益有時(shí)升,有時(shí)降,何時(shí)才能使總收益最大呢？這是一個(gè)整體性問(wèn)題, 若用邊際或彈性來(lái)解決則顯得有些羅嗦,在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中,一般可用最大（?。┲祦?lái)解決：, (舍去),.所以P=5時(shí)總收益最大.53 收入彈性分析及應(yīng)用收入彈性包括需求收入彈性和供給收入彈性.需求收入彈性是指價(jià)格一定下需求量變化比例與收入的變化比例之比,是用來(lái)分析消費(fèi)者收入變化與商品需求量變化的數(shù)量關(guān)系及其規(guī)律性的.用公式表示:11.一般地,商品價(jià)格不變條件下,消費(fèi)

31、者收入的變化與需求量的變化是同向的,故彈性值為正.但有些情況下,消費(fèi)者收入水平提高后,對(duì)某些商品需求量反而下降,此時(shí)的彈性值為負(fù).例如,當(dāng)消費(fèi)者收入水平提高后,食物結(jié)構(gòu)中粗糧和蔬菜的比重會(huì)有所下降.供給收入彈性是指供給量對(duì)銷售者收入變化的反映程度,其值為供給量變化率除以收入變化率所得之商.對(duì)一般的商品生產(chǎn)者、即銷售者來(lái)說(shuō),其收入的增加表明利潤(rùn)的增多,因而供給量也隨之增大.但對(duì)一些自給程度高(商品率低)的商品生產(chǎn)者來(lái)說(shuō),他們的收入增加后,供給量反而有減少的現(xiàn)象.比如農(nóng)民家庭收入提高后,農(nóng)副產(chǎn)品如禽蛋等供給就會(huì)減少.在經(jīng)濟(jì)計(jì)劃中,如果要從最終產(chǎn)品出發(fā)進(jìn)行綜合平衡,就需要確定各部門的最終產(chǎn)品,然后通

32、過(guò)投入產(chǎn)出模型求出各部門的總支出.這時(shí)可用收入彈性進(jìn)行指標(biāo)分解,通常是先估計(jì)出下一時(shí)期的消費(fèi)總額各類產(chǎn)品的收入彈性,并把消費(fèi)總額分解為各類產(chǎn)品的最終需求.例8 某地區(qū)1995年消費(fèi)總額為180億元,某產(chǎn)品的消費(fèi)額為4億元,其收入彈性為3.1.又1996年該地區(qū)預(yù)計(jì)消費(fèi)總額為200億元,則1996年該產(chǎn)品的消費(fèi)額估計(jì)數(shù)X是多少?解:由彈性公式得: 有：X-4=3.10.1114=1.3764 故得：X=5.3764（億元）用同樣的方法可估計(jì)出其它產(chǎn)品的消費(fèi)額.恩格爾定律是需求收入彈性應(yīng)用的一個(gè)范例.其含義是:對(duì)于一個(gè)家庭來(lái)說(shuō),收入水平越低,食物支出占消費(fèi)總支出的比重就越大,反之則相反.對(duì)于一個(gè)國(guó)

33、家來(lái)說(shuō)也是這樣12.因此,如果用恩格爾系數(shù)來(lái)表示食物支出變化率與總支出變化率的比值,那么,其大小同收入水平的高低(或家庭的富裕程度)成反比.由于收入等于消費(fèi)儲(chǔ)蓄,故消費(fèi)總支出可用收入代替.因此,恩格爾系數(shù)也可表示為食物支出變化率與收入變化率之比.其實(shí)質(zhì)就是需求的收入彈性,西方統(tǒng)計(jì)學(xué)家經(jīng)常以恩格爾系數(shù)的高低作為劃分低、中、高收入國(guó)家的標(biāo)準(zhǔn).事實(shí)上,恩格爾系數(shù)不僅可以反映一個(gè)家庭(或國(guó)家)的收入水平和生活水平,而且更重要的是可反映出在商品價(jià)格變化的情況下,價(jià)格的同一變動(dòng)對(duì)不同收入水平的家庭(或國(guó)家)的影響不是同的.比如,食物價(jià)格上漲幅度大于其它消費(fèi)品價(jià)格上漲幅度時(shí),低收入家庭更加不利.目前,恩格爾

34、系數(shù)已被廣泛應(yīng)用于消費(fèi)結(jié)構(gòu)的變化分析.我國(guó)的小康標(biāo)準(zhǔn)就有恩格爾系數(shù)值的規(guī)定.6 最優(yōu)分析及案例最優(yōu)化問(wèn)題是經(jīng)濟(jì)管理活動(dòng)的核心,通常是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的平均成本最低、總收入最大、總利潤(rùn)最大等問(wèn)題.對(duì)企業(yè)經(jīng)營(yíng)者來(lái)說(shuō),對(duì)其經(jīng)濟(jì)環(huán)節(jié)進(jìn)行定量分析是非常必要的.將導(dǎo)數(shù)作為分析工具,可以給企業(yè)經(jīng)營(yíng)者提供精確的數(shù)值和新的思路和視角.經(jīng)濟(jì)學(xué)分析中的主要優(yōu)化問(wèn)題有產(chǎn)出最大化分析、收入最大化分析、利潤(rùn)最大化分析、資源合理利用的優(yōu)化分析、成本最小化分析以及最優(yōu)組合分析等,通常伴隨一些約束條件.通過(guò)優(yōu)化分析可以幫助企業(yè)管理者尋求最大化企業(yè)的收益,并盡量降低生產(chǎn)成本和管理費(fèi)用,意義非常深遠(yuǎn).設(shè)函數(shù)是可導(dǎo)的,那么

35、導(dǎo)函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中叫做邊際函數(shù).西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)它的解釋是：當(dāng)時(shí),若x再增加一個(gè)單位的量,y將增加多少,它反映的是經(jīng)濟(jì)量的變化率；若是邊際成本,則反映生產(chǎn)量處于某一水平時(shí),總成本的變化率等等.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有邊際需求,邊際成本,邊際收入,邊際利潤(rùn)等.6.1用邊際函數(shù)求最低成本（1）總成本、平均成本和邊際成本企業(yè)的生產(chǎn)成本通常被看成是企業(yè)對(duì)所購(gòu)買的生產(chǎn)要素的貨幣支出,它可以表示成產(chǎn)品的函數(shù),設(shè)為C(q),平均成本是總成本中每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品的所消耗的成本,邊際成本.（2）總成本,平均成本和邊際成本曲線由平均成本和邊際成本定義可知,任何產(chǎn)量水平上的平均成本值都可用連接原點(diǎn)到總成本曲線上相應(yīng)點(diǎn)的線段的斜率給出

36、.任何產(chǎn)量水平的邊際成本,可用總成本曲線相應(yīng)點(diǎn)曲線的切線的斜率給出.由于隨著產(chǎn)量的增加,企業(yè)投入的成本必定增加,所以總成本曲線是一條向右上方傾斜的曲線.由西方經(jīng)濟(jì)學(xué)研究知,在達(dá)到一定的產(chǎn)量水平之前,總成本的增量是遞減的;在達(dá)到這個(gè)水平之后,總成本的增量是遞增的,所以總成本曲線存在拐點(diǎn),所以平均成本曲線和邊際成本曲線都呈U型13.（3）邊際成本對(duì)企業(yè)生產(chǎn)的指導(dǎo)作用任何有理性的企業(yè)主總是想擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模和追求利潤(rùn)的最大化,那么擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模有無(wú)限制條件?利潤(rùn)最大化的前提條件是什么呢?設(shè)某企業(yè)的銷售函數(shù)為R (x),利潤(rùn)函數(shù)為P(x),則P(x)=R(x)-C(x),由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)知,利潤(rùn)P(x)的最大值

37、一般位于 = 0處,此時(shí),=,即邊際收益等于邊際成本時(shí)企業(yè)利潤(rùn)最大(薩繆爾森原則).例914 生產(chǎn)某種產(chǎn)品q臺(tái),總成本C（單位：千元）的函數(shù)為：.求：當(dāng)產(chǎn)量為90臺(tái)時(shí)的總成本； 當(dāng)產(chǎn)量為90臺(tái)時(shí)的平均成本； 當(dāng)產(chǎn)量由90臺(tái)增加到100臺(tái)時(shí)總成本的平均變化率； 當(dāng)產(chǎn)量為90臺(tái)時(shí)的邊際成本.解：總成本函數(shù).當(dāng)產(chǎn)量為90臺(tái)時(shí),總成本為（千元）. 當(dāng)產(chǎn)量為90臺(tái)時(shí),平均成本為(千元). 當(dāng)產(chǎn)量由90臺(tái)增加到100臺(tái)時(shí)總成本平均變化率為(千元/臺(tái)). 當(dāng)產(chǎn)量為90臺(tái)時(shí),邊際成本為,所以（千元/臺(tái)）.上式中,表示當(dāng)產(chǎn)量為90臺(tái)時(shí),再多生產(chǎn)1臺(tái)總成本將增加9千元.6.2利用邊際函數(shù)求最大利潤(rùn)利潤(rùn)最大化是企業(yè)

38、決策考慮的根本目標(biāo).由微積分基本原理知道:利潤(rùn)最大化的點(diǎn)在邊際利潤(rùn)等于零的點(diǎn)獲得15.在經(jīng)濟(jì)研究中,生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本C(x)、總收入R(x)、與總利潤(rùn)都是產(chǎn)量x的函數(shù),因而有=R(x)-C(x),即總利潤(rùn)是總收入中除去總成本的那一部分價(jià)值.從數(shù)學(xué)的角度上來(lái)講,利潤(rùn)就是x的函數(shù),從而將研究經(jīng)濟(jì)中的最大化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問(wèn)題.由于發(fā)生最大值的點(diǎn)往往是函數(shù)的駐點(diǎn)(即:導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)).由此我們來(lái)分析上面的問(wèn)題：在= R (x ) - C ( x )兩邊關(guān)于產(chǎn)量 x求導(dǎo)得 ,即：.記作,其中MR(x)與MC(x)分別表示總收入與總成本對(duì)產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù),在經(jīng)濟(jì)學(xué)中分別稱為邊際收入與邊際成本.令,得

39、 MR(x)=MC(x).這就是使得利潤(rùn)最大的 x所滿足的條件 (在實(shí)際問(wèn)題中最值總是存在, 而且唯一 ),也就是說(shuō)能夠使邊際收入等于邊際成本的產(chǎn)量值就是利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量值 (記作),這也是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要定理.此外,要保證利潤(rùn)是極大值,利潤(rùn)對(duì)產(chǎn)量的二階導(dǎo)數(shù)必須小于零,即: ,也就有<.其中,是邊際收益的變動(dòng)率,即邊際收益曲線的斜率,是邊際成本的變動(dòng)率,即邊際成本曲線的斜率.所以,利潤(rùn)最大化的必要條件是邊際收益等于邊際成本,充分條件是邊際收益曲線的斜率小于邊際成本曲線的斜率.這一法則適用于所有的廠商,不管是競(jìng)爭(zhēng)性的還是非競(jìng)爭(zhēng)性的.值得注意的是,許多人認(rèn)為產(chǎn)量越高所得利潤(rùn)就越大,因而他們

40、就極力使自己的產(chǎn)量增加,當(dāng)然他們所獲得的總收入也在增多,但其所得利潤(rùn)不一定增多.通過(guò)上面的分析,我們可以看出來(lái),在達(dá)到某一點(diǎn)之前,企業(yè)增加產(chǎn)量導(dǎo)致利潤(rùn)增加；過(guò)了這一點(diǎn),利潤(rùn)會(huì)減少.以上只是關(guān)于導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化問(wèn)題方面中應(yīng)用的一小部分,類似最優(yōu)化的問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見,例如稅收的最大化問(wèn)題、最佳存款利息、最佳批數(shù)和批量等等,而此類問(wèn)題在引入導(dǎo)數(shù)的概念以后更加容易解決.例10某企業(yè)6月份最多生產(chǎn)機(jī)床100臺(tái),銷售x臺(tái)的銷售額函數(shù),其成本函數(shù)為C（x)=500x+400(元),求該企業(yè)生產(chǎn)多少臺(tái)時(shí)獲得的利潤(rùn)最大？解：,.令 ,即3000-40x=500.解得x=62(臺(tái)),即該企業(yè)生產(chǎn)62臺(tái)機(jī)床

41、時(shí)利潤(rùn)最大.例11 某種產(chǎn)品的總成本C(單位:萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(單位:萬(wàn)件)的函數(shù),求當(dāng)生產(chǎn)水平為x=10萬(wàn)件時(shí),從降低單位成本的角度看,繼續(xù)提高產(chǎn)量是否得當(dāng)？解：當(dāng)生產(chǎn)水平x=10萬(wàn)件時(shí),總成本為（萬(wàn)元）.這時(shí)單位產(chǎn)品的平均成本為 (元/件),邊際成本為(元/件).此時(shí)再加一件成本僅需4元,低于總平均成本(),加進(jìn)這件產(chǎn)品時(shí),平均成本得到下降,所以該企業(yè)還可繼續(xù)提高產(chǎn)量.6.3資源合理利用的優(yōu)化分析通過(guò)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù).把實(shí)際問(wèn)題翻譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,找出問(wèn)題的關(guān)鍵,根據(jù)題中所給條件把主要關(guān)系近似化,形式化,拋開實(shí)際意義,抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)模型,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)

42、加以解決.具體方法是: (1)用求導(dǎo)法則求出函數(shù)導(dǎo)數(shù).(2)令導(dǎo)數(shù)等于0,得出駐點(diǎn)及其不可導(dǎo)點(diǎn).(3)用這些點(diǎn)把區(qū)間分成幾個(gè)部分,然后討論函數(shù)的單調(diào)性.(4)求出極值點(diǎn)及其極值.(5)求出區(qū)間端點(diǎn)值與極值進(jìn)行比較,得到最值.也可以通過(guò)討論目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷最值.例12 16某大樓有50間辦公室供出租,若定價(jià)每間每月租金為120元,則將全部租出.租出的辦公室每月需由房主負(fù)擔(dān)維修費(fèi)10元,若月租每提高一個(gè)5元,將空出一間辦公室,試分析每月租定為多少時(shí),比較合理?解:設(shè)每間月租提高x個(gè)5元租金收入為R(x)=(50-x)(120+5x), =-5+130x+6000.維修費(fèi)為10(50-

43、x)元,利潤(rùn)f(x)=(50-x)(120+5x)-10(50-x)=-5+140x+5500,由實(shí)際情況定出定義域?yàn)?x50,求f(x)在1,50上的最大值.令f(x)=-10x+140=0,得x=14時(shí)f(x)=-10<0,所以x=14處取極大值.根據(jù)例1判定最值方法知,f(x)在x=14處取最大值,即當(dāng)月租為120+5×14=190(元/間)時(shí),可獲利最大,最大利潤(rùn)為f(14)=6480,此時(shí)閑房14間.而R(x)=-5x2+130x+6000,R(x)=-10x+130,令R(x)=0,得x=13,R(x)=-10<0,當(dāng)x=13時(shí),即月租定為120+5×

44、;13=185(元/間)時(shí),收入最大,利潤(rùn)為f(13)=6475.由此看出,最大收入時(shí)的利潤(rùn)與最大利潤(rùn)很接近,考慮到價(jià)格對(duì)人們心理的作用,月租定為每間185元,比較合理,此時(shí)獲利6475元,閑房13間.例13 某家銀行,準(zhǔn)備新設(shè)某種定期存款業(yè)務(wù),假設(shè)存款量與利率成正比,經(jīng)預(yù)測(cè)貸款投資的收益率為16%,那么存款利息定為多少時(shí),才能收到最大的貸款純收益?解：設(shè)存款利率為x,存款總額為M,則由題意M與x成正比,得M=kx(k是正常數(shù))若貸款總額為M,則銀行的貸款收益為：0.16M=0.16kx，而這筆貸款M要付給存戶的利息為xM=k，從而銀行的投資純收益為=貸款收益-付給存戶的利息=0.16kx-k

45、，=0.16k2kx=0，得X=0.08.又由=-2k<0和駐點(diǎn)唯一知,X=0.08是的最大值點(diǎn).故當(dāng)存款利率為8%時(shí),可創(chuàng)最高投資純收益.例14 某工廠生產(chǎn)某種商品,其年銷售量為100萬(wàn)件,分為N批生產(chǎn),每批生產(chǎn)需要增加生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)1000元,而每件商品的一年庫(kù)存費(fèi)為0.05元,如果年銷售率是均勻的,且上批售完后立即生產(chǎn)出下批(此時(shí)商品的庫(kù)存量的平均值為商品批量的一半).問(wèn)N為何值時(shí),才能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)兩項(xiàng)之和最小？解：設(shè)每年的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為C,批量為x（即x=100萬(wàn)/N）則.由得駐點(diǎn)由知駐點(diǎn)為最小值點(diǎn),因此,x=20萬(wàn)件時(shí),C最小,此時(shí).以上通過(guò)例題,利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析了最佳存貸款利息,最佳批數(shù)和批量等在現(xiàn)實(shí)生活中具有現(xiàn)實(shí)意義的問(wèn)題.此外,產(chǎn)量或需求量最大、征稅收益最大等等問(wèn)題也可通過(guò)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的最值問(wèn)題給予解決.總之,在經(jīng)濟(jì)工作的實(shí)施和研究過(guò)程中,“最少投入,最大收入”是經(jīng)濟(jì)學(xué)者研究的主要內(nèi)容.而“最少”和“最大”正是數(shù)學(xué)理論中的“最值”問(wèn)題,這就為導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用提供了一個(gè)廣闊的舞臺(tái).7 結(jié)論7.1 主要發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中有著多方面的應(yīng)用,本文通過(guò)歸納總結(jié)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的各種應(yīng)用,并對(duì)相應(yīng)的應(yīng)用給出了具體的方法與例子,對(duì)