全稱量詞與存在量詞

1、1.3全稱量詞與存在量詞1.3.1量 詞1.3.2含有一個(gè)量詞的命題的否定學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解全稱量詞與存在量詞的意義，能準(zhǔn)確地利用全稱量詞和存在量詞敘述簡單的數(shù)學(xué)內(nèi)容(重點(diǎn))2.能判定全稱命題和存在性命題的真假(難點(diǎn))3.了解對(duì)含有一個(gè)量詞的命題的否定的意義，能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定(易錯(cuò)點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知教材整理1全稱量詞和全稱命題閱讀教材P14內(nèi)容，完成下列問題全稱量詞“所有”、“任意”、“每一個(gè)”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞符號(hào)表示全稱命題含有全稱量詞的命題稱為全稱命題符號(hào)表示xM，p(x)把下列命題中是全稱命題的序號(hào)填寫在橫線上_指數(shù)函數(shù)都是單

2、調(diào)函數(shù)；xR，log2x>0；負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；平行四邊形的對(duì)邊互相平行解析中含有“都”；中含有“”；中省略了全稱量詞“都”，所以都是全稱命題答案教材整理2存在量詞和存在性命題閱讀教材P14內(nèi)容，完成下列問題存在量詞“有一個(gè)”、“有些”、“存在一個(gè)”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞符號(hào)表示存在性命題含有存在量詞的命題稱為存在性命題符號(hào)表示xM，p(x)判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”()(2)全稱命題一定含有全稱量詞，存在性命題一定含有存在量詞()(3)命題“正方形的四條邊相等”中沒有全稱量詞，因此不是全稱命題

3、()(4)“至少有一個(gè)偶數(shù)是質(zhì)數(shù)”是存在性命題()解析根據(jù)定義可知(1)是正確的，(2)是錯(cuò)誤的，(3)中省略全稱量詞“所有的”，所以是全稱命題，(4)是正確的答案(1)(2)×(3)×(4)教材整理3全稱命題和存在性命題的否定閱讀教材P16例1以上部分，完成下列問題圖1­3­1把下列命題進(jìn)行否定，并寫在橫線上(1)p：有些三角形是直角三角形 _(2)q：所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù) _(3)r：所有的人都睡覺 _(4)s：有些實(shí)數(shù)的相反數(shù)比本身大 _解析全稱命題的否定是存在性命題，存在性命題的否定是全稱命題答案(1)所有的三角形都不是直角三角形(2)有些質(zhì)數(shù)不是

4、奇數(shù)(3)有的人不睡覺(4)所有實(shí)數(shù)的相反數(shù)都不比本身大合 作 探 究·攻 重 難全稱命題和存在性命題的辨析判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得tan 無意義；(2)每個(gè)二次函數(shù)的圖象都與x軸相交；(3)直線ykxb(k0，k，b是常數(shù))在y軸上有截距；(4)棱錐的底面多邊形中有正多邊形；(5)直線x2的斜率不存在. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392028】精彩點(diǎn)撥利用全稱命題和存在性命題的定義進(jìn)行判斷自主解答(1)命題中含有存在量詞“有一個(gè)”，因此是存在性命題(2)命題中含有全稱量詞“每個(gè)”，因此是全稱命題(3)由于直線ykxb(k0，k，b是常數(shù))表示的是一系列直線，因

5、此該命題是全稱命題(4)命題用量詞表示為：存在一些棱錐，它們的底面多邊形是正多邊形，因此是存在性命題(5)“直線x2的斜率不存在”表明存在一直線x2斜率不存在，因此是存在性命題名師指津1判定命題是全稱命題還是存在性命題，主要方法是看命題中含有全稱量詞還是存在量詞，如本例(1)和(2)2有些全稱命題中并不含有全稱量詞，存在性命題中并不存在存在量詞，這時(shí)我們要根據(jù)命題涉及的定義去判斷再練一題1判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題(1)若a>0且a1，則對(duì)任意x，ax>0；(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，若x1<x2，則tan x1<tan x2；(3)存在實(shí)數(shù)T，使得|sin

6、(xT)|sin x|；(4)存在實(shí)數(shù)x，使得x21<0.解(1)(2)含有全稱量詞“任意”，是全稱命題(3)(4)含有存在量詞“存在”，是存在性命題全稱命題和存在性命題真假的判斷判斷下列命題的真假(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使x2x030；(2)存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線；(3)對(duì)任意mZ且m為偶數(shù)，則2m為偶數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392029】精彩點(diǎn)撥先判斷出是全稱命題還是存在性命題，再利用邏輯分析或舉例子作出真假判斷自主解答(1)由于xR，x22x3(x1)222，因此使x22x30的實(shí)數(shù)x不存在，所以存在性命題“有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使x2x030”是假命題(2)由于垂直于同一條直線的兩

7、個(gè)平面是互相平行的，因此不存在兩個(gè)相交的平面垂直于同一條直線，所以存在性命題“存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線”是假命題(3)是真命題因?yàn)閙Z且m為偶數(shù)，所以(1)m1，所以2m2m，為偶數(shù)名師指津全稱命題、存在性命題真假性的判斷方法(1)要判定一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x，使得p(x)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個(gè)反例”).(2)要判定一個(gè)存在性命題是真命題，只要在限定的集合M中，能找到一個(gè)x，使p(x)成立即可；否則，這個(gè)存在性命題就是假命題.再練一題2判斷以下命題是不是全稱命題或存在性命

8、題，并判斷真假(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)，使sin2cos21；(2)任何一條直線都存在斜率；(3)對(duì)所有的實(shí)數(shù)a，b，方程axb0恰有一解；(4)存在實(shí)數(shù)x，使2.解(1)存在性命題，因?yàn)閟in2cos21，所以是假命題；(2)全稱命題，因?yàn)榇怪庇趚軸的直線沒有斜率，所以是假命題；(3)全稱命題，因?yàn)楫?dāng)ab0時(shí)有無窮解，當(dāng)a0且b0時(shí)無解，故為假命題；(4)存在性命題，2無解，故為假命題含有一個(gè)量詞的命題的否定(1)判斷下列命題的真假，并寫出它們的否定對(duì)任意xR，x3x210；所有能被5整除的整數(shù)都是奇數(shù)；對(duì)任意xQ，x2x1是有理數(shù)(2)寫出下列存在性命題的否定，并判斷其否定的真假有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是

9、正數(shù)；某些平行四邊形是菱形；x0，y0Z，使得x0y03. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392030】精彩點(diǎn)撥根據(jù)(1)(2)題目要求，順序不同(1)(2)自主解答(1)當(dāng)x2時(shí)，232215>0，故是假命題命題的否定：存在xR，x3x21>0.10能被5整除，10是偶數(shù)，故是假命題命題的否定：存在一個(gè)能被5整除的整數(shù)不是奇數(shù)有理數(shù)經(jīng)過加、減、乘法運(yùn)算后仍是有理數(shù)，故是真命題命題的否定：存在xQ，x2x1不是有理數(shù)(2)命題的否定是：“所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)”由于|2|2，因此命題的否定為假命題命題的否定是：“每一個(gè)平行四邊形都不是菱形”由于菱形是平行四邊形，因此命題的否定是假命題命題的否定

10、是：“x，yZ，xy3”因?yàn)楫?dāng)x0，y3時(shí)，xy3，因此命題的否定是假命題名師指津1對(duì)全稱命題否定的步驟第一步改變量詞：把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~；第二步否定性質(zhì)：原命題中的“p(x)成立”改為“非p(x)成立”2對(duì)存在性命題否定的步驟第一步改變量詞：把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞；第二步否定性質(zhì)：原命題中的“p(x)成立”改為“非p(x)成立”3常見詞語的否定再練一題3寫出下列命題的否定，并判斷其真假(1)p：所有的方程都有實(shí)數(shù)解；(2)q：xR,4x24x10；(3)r：x0R，x2x020；(4)s：某些平行四邊形是菱形解(1)非p：存在一個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)解，真命題比如方程x210就沒有實(shí)

11、數(shù)解(2)非q：x0R，使4x4x01<0，假命題這里由于xR,4x24x1(2x1)20恒成立，是真命題，所以非q是假命題(3)非r：xR，x22x2>0，真命題(4)非s：每一個(gè)平行四邊形都不是菱形，假命題.含參數(shù)的全稱命題和存在性命題探究問題1如何理解全稱命題“對(duì)xR，ax22ax1>0”是真命題，怎樣解決？參數(shù)a有范圍嗎？提示意思是ax22ax1>0恒成立，可轉(zhuǎn)化為a>0且<0來解決即或a0，解得0a<1.故參數(shù)a的取值范圍是0,1)2有關(guān)全稱命題的問題中常出現(xiàn)恒成立字眼，怎么解決這種問題？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392031】提示在恒成立的不等式中，

12、常經(jīng)過變形分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題若f(x)>a恒成立，則只需a<f(x)min；若a>f(x)恒成立，只需a>f(x)max.有時(shí)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式在區(qū)間上恒成立時(shí)，一般用判別式及根的分布解決3存在性問題為真命題或假命題，如何處理？提示因?yàn)榇嬖谛悦}的否定是全稱命題，因此當(dāng)存在性命題為真命題時(shí)，可轉(zhuǎn)化為它的否定是假命題處理，當(dāng)存在性命題為假命題時(shí)，可轉(zhuǎn)化為它的否定為真命題處理若全稱命題“對(duì)任意x1，)，x22ax2a恒成立”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍精彩點(diǎn)撥由于此全稱命題是真命題，所以可以推出a的值，求出在x1，)時(shí)，f(x)mina，利用一元二次不等式與

13、二次函數(shù)的關(guān)系解題自主解答法一：由題意，對(duì)任意x1，)，令f(x)x22ax2a恒成立所以f(x)(xa)22a2可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x1，)，f(x)mina成立，即對(duì)任意x1，)，f(x)min由f(x)的最小值f(x)mina，知a3,1所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是3,1法二：由x22ax2a，即x22ax2a0.令f(x)x22ax2a，所以全稱命題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x1，)，f(x)0恒成立所以0，或即2a1，或3a<2.所以3a1.綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是3,1名師指津?qū)θ我鈞1，)，f(x)a，只需f(x)mina.也可等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x1，)，x22ax2a0恒成立，結(jié)合一元二次不等式

14、的解集與二次函數(shù)圖象間的關(guān)系求解.再練一題4對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式sin xcos x>m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解令ysin xcos x，xR，則ysin xcos xsin .又xR，sin xcos x>m恒成立，只要m<即可，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，)當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1命題“xR，x22x30”的否定是_解析全稱命題的否定是存在性命題，故所求命題的否定為：xR，x22x30.答案xR，x22x302設(shè)命題p：xR，x2，則非p是_命題(填“真”或“假”)解析令x2，可知x2成立，即p是真命題，所以非p是假命題答案假3命題p：xR，x22x5<0是_(填“全稱命題”或“存在性命題”)，它是_命題(填“真”或“假”)，它的否定命題非p：_，它是_命題(填“真”或“假”). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392032】解析含“”，是存在性命題，其否定為全稱命題，因?yàn)?20<0，所以x22x5>0恒成立，故為假命題，其否定為真命題答案存在性命題假xR，x22x50真4命題“x屬于正實(shí)數(shù)，2x>a成立”是真命題，則a的取值范圍是_解析xR時(shí)，2x2，a<2.答案(，2)5判斷下列命題的真假，并說明理由(1)xR，都有x2x1>；(2)，使cos()cos cos ；(3)x，yN，都有(xy)