2017年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷含答案解析

1、2017年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一.填空題(本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)1 .已知集合 A=2, - 1 , B= -1, 2, 3,貝AAB=.2 .已知復(fù)數(shù)z滿足z? (1-i) =2,其中i為虛數(shù)單位，則z=.3 .方程 lg (x3) +lgx=1 的解 x=.4 .已知 f (x) =logax (a>0, aw 1),且 f 1 ( - 1) =2,貝U 11 (x) =.5 .若對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,不等式x201+a恒成立，則實(shí)數(shù)x的最小值為 .6 .若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則p=.7 .中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等

2、差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為8 .如圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形, 如果直角三角形的直角邊成為1,那么這個(gè)幾何體的表面積是 9 .已知互異復(fù)數(shù) mnw0,集合m, n=m； n2,則m+n=.10 .已知等比數(shù)列an的公比q,前n項(xiàng)的和Sn,對(duì)任意的nC N , Sn>0包成 立，則公比q的取值范圍是.11.參數(shù)方程，,核0, 2施表示的曲線的普通方程是.e 9 x- | sin-H-cos-產(chǎn) 1+sinB12 .已知函數(shù)f (x) =sin+cosx(>0), x R,若函數(shù)f (x)在區(qū)間(-巴 )內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)y=f (

3、x)的圖象關(guān)于直線x=co對(duì)稱，則的值為.二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13 . “mn0”是方程“m2+ny2=1表示雙曲線”的（）A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件14.若方程f （x） -2=0在（-00, 0）內(nèi)有解，則y=f （x）的圖象是（Y _-Fs inxx j：0口;（正0, 2楊）是奇函數(shù)，貝U aW -x2+cos（x+GL）0 L，A. 0 B. - C. D.號(hào)16 .若正方體 AiA2A3A4-B1B2B3B4 的棱長(zhǎng)為 1,則集合x x= %B ?RjB, i 1, 2, 3, 4, jC 1, 2, 3

4、, 4中元素的個(gè)數(shù)為（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4三.解答題（本大題共 5題，共14+14+14+16+18=76分）17 .已知圓錐母線長(zhǎng)為5,底面圓半徑長(zhǎng)為4,點(diǎn)M是母線PA的中點(diǎn)，AB是 底面圓的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)；（1）求三棱錐P - ACO的體積；（2）求異面直線MC與PO所成的角.18 .已知函數(shù) f(x)口口益(/+j-2) (a>0),且 f (1) =2;(1)求a和f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) f (x+1) - f (x) >2.19 . 一艘輪船在江中向正東方向航行，在點(diǎn) P觀測(cè)到燈塔A、B在一直線上，并 與航線成角a (0<a<

5、; 90 ),輪船沿航線前進(jìn)b米到達(dá)C處，此時(shí)觀測(cè)到燈塔A 在北偏西45方向，燈塔B在北偏東B(0 <織90)方向，0 V附織90 ,求CB；(結(jié)果用% B, b表示)220 .過(guò)雙曲線丁二的右支上的一點(diǎn)P作一直線l與兩漸近線交于A、B兩點(diǎn)，其中P是AB的中點(diǎn)；(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)當(dāng)P坐標(biāo)為(X0, 2)時(shí)，求直線l的方程；(3)求證：|OA| ?| OB|是一個(gè)定值.21 .設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若作上<2 (nC N ),則稱an是 緊密數(shù) 2 an歹'；一 一3 一一 一一一(1)右a1二1,時(shí)在，a3=x, 34=4,求x的取值氾圍； 乙I(2)

6、若an為等差數(shù)列，首項(xiàng)a1,公差d,且0<dwa1,判斷、是否為緊密 數(shù)列”；(3)設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，若數(shù)列時(shí)與Sn都是 緊密數(shù)列”，求 q的取值范圍.2017年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一.填空題(本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)1 .已知集合 A=2, 1, B= -1, 2, 3, WJ A A B= -1.【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.【分析】利用交集的定義求解.【解答】解：二.集合 A= - 2, -1, B=-1, 2, 3,.AnB= -1.故答案為：-1.2 .已知復(fù)數(shù)z滿足z? (1-i) =2,其中i為虛數(shù)單位，則

7、z= 1+i .【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【分析】復(fù)數(shù)方程兩邊同乘1-i的共腕復(fù)數(shù)，然后化簡(jiǎn)即可.【解答】解：由 z? (1-i) =2,可得 z? (1-i) (1+i) =2 (1+i),所以 2z=2 (1+i),z=1+i.故答案為：1+i.3 .方程 1g (x3) +lgx=1 的自星 x= 5【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).【分析】在保證對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0的前提下由對(duì)數(shù)的和等于乘積的對(duì)數(shù)去掉對(duì) 數(shù)符號(hào)，求解一元二次方程得答案.【解答】解：由1g (x-3) +1gx=1 ,得:k-30即卜&-3)=10x=5.* x>0 lgK(x-3)=l故答案為：5.4 .已知

8、f (x) =logax (a>0, awl),且 f 1 ( 1) =2,貝U f 1 (x) = g) 【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用.【分析】由題意可得f (2) =loga2=- 1；從而得到a=1;再寫反函數(shù)即可.【解答】解：由題意，: f 1 (- 1) =2,f (2) =loga2= 1；故a=> £故 f-1 (x) =故答案為：(/)1t.5 .若對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,不等式x201+a恒成立，則實(shí)數(shù)x的最小值為 -1 .【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).【分析】由恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題，由此得到二次函數(shù)不等式，結(jié)合圖象得到 x 的取值范圍.【解答】解：:對(duì)任意正

9、實(shí)數(shù)a,不等式x201+a恒成立，等價(jià)于 al> x2 - 1 ,- a ( x 1 ) max0(x - 1 ) max- 1<x<1- .實(shí)數(shù)x的最小值為-1 .6.若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓+/=1的右焦點(diǎn)重合，則p= 4 .【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】求出橢圓的右焦點(diǎn)，得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解p即可.【解答】解：橢圓 號(hào)+/=1的右焦點(diǎn)(2, 0),拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓2年-+y 2=的右焦點(diǎn)重合，5可得:解得p=4.故答案為：4.7.中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為 2015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為5 .【考點(diǎn)】等

10、差數(shù)列.【分析】由題意可得首項(xiàng)的方程，解方程可得.【解答】解：設(shè)該等差數(shù)列的首項(xiàng)為a,由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得 2015+a=1010x 2解得a=5故答案為：58 .如圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊成為1,那么這個(gè)幾何體的表面積是.z主視圖 左視圖【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.【分析】由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是三棱錐， 正方體的一個(gè)角，根據(jù)三視 圖的數(shù)據(jù)，求出三棱錐的表面積即可.【解答】解：由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是三棱錐，正方體的一個(gè)角，所以幾何體的表面積為：3個(gè)等腰直角三角形與一個(gè)等邊三角形的面積

11、的和，即：3乂/h1><1+亨><尸3產(chǎn).故答案為：耳39 .已知互異復(fù)數(shù) mnw0,集合m, n=m2, n2,則 m+n= - 1.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)相等的充要條件.【分析】 互異復(fù)數(shù) mnw0, 集合m, n =m2, n2, 可得： m=m2, n=n2； n=m2, m=n2, mnw0, mwn.解出即可得出.【解答】解：互異復(fù)數(shù)mnw0,集合m, n =m2, n2, m=m2, n=n2, 或 n=m2, m=n2, mnw0, mwn.由 m=m2, n=n2, mnw0, mwn,無(wú)解.由 n=m2, m=n2, mnw0, mwn. 可得 n - m=m

12、2 - n2, 解得 m+n= - 1.故答案為：-1.10 .已知等比數(shù)列an的公比q,前n項(xiàng)的和Sn,對(duì)任意的nC N , Sn>0包成立，則公比q的取值范圍是 (T , 0) U (0, +8).【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.【分析】qw1時(shí)，由Sn>0,知ai>0,從而上工>0包成立，由此利用分類討論思想能求出公比q的取值范圍.【解答】解：qw1時(shí)，有Sn=*lQ)1-q. Sn>0, .,.a1>0,則上Q.>0包成立，l-q當(dāng)q>1時(shí)，1-qn<0恒成立，即qn>1包成立，由q>1,知qn>1成立;當(dāng)q=1時(shí)，只

13、要a1>0, Sn>0就一定成立；當(dāng)q<1時(shí)，需1 - qn>0恒成立，當(dāng)0Vq<1時(shí)，1-qn>0恒成立，當(dāng)-1<q<0時(shí)，1-qn>0也包成立，當(dāng)q<-1時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，1-qn>0不成立，當(dāng)q=-1時(shí)，1-qn>0也不可能何成立，所以q的取值范圍為(-1, 0) U (0, +oo).故答案為：(-1, 0) U (0, +8).11.參數(shù)方程£f . eeK二 |sin-7-+cos_z-WUi尸 l+sin,股0, 2位表示的曲線的普通方程是x2=y(0&x&W, 00y02)【考點(diǎn)】

14、參數(shù)方程化成普通方程.x2=y,【分析】把上面一個(gè)式子平方，得到x2=1+sin夕代入第二個(gè)參數(shù)方程得到 根據(jù)所給的角的范圍，寫出兩個(gè)變量的取值范圍，得到普通方程.【解答】解：y=|sin-cos-|尸 l + sinv 9 0, 2同,Icos-+sin|=|Vsin (+) | C0,求1+sin 0 彳 cos1-+sin-1-) 2 0, 2故答案為：x2=y (0&x0加，0<y<2) 12.已知函數(shù)f (x) =sin+cosx(>0), x R,若函數(shù)f (x)在區(qū)間(-, )內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=co對(duì)稱，則的值為 立 .【考

15、點(diǎn)】由丫二人$訪(x+小)的部分圖象確定其解析式.7T【分析】由兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)解析式可得f (x) =&sin (肝彳)，由2kL 3&嚀&2k什等，kCZ可解得函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合已37Tn知可得：- 心 4,十4,kCZ,從而解得 k=0,又由 (1)W奸t=k滸2，可解得函數(shù)f (x)的對(duì)稱軸為：x=5'k , kCZ,結(jié)合已知 232可得：二百，從而可求的值._冗【解答】 解：' f (x) =sin co+coscoxMsin (肝二)，:函數(shù)f (x)在區(qū)間(-叫)內(nèi)單調(diào)遞增，3> 02ky&T&

16、2kWkCZ可解得函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為:3兀五產(chǎn)冗丁,絲N, kCZ,3337r?？傻茫?加兀飛一,0 2k. + /,kez, 33. 解得：0<等-2k兀且0< Jw2ku嚀，kCZ,解得：-1<k<4, kCZ, o o可解得：k=0, 又:由+=k兀+?,可解得函數(shù)f (x)的對(duì)稱軸為：x=k7T+ 4 , kCZ, 由函數(shù)y=f (x)的圖象關(guān)于直線x=CD對(duì)稱，可得：必2=。，可解得：? 故答案為：耳 二.選擇題(本大題共4題，每題5分，共20分)13. “mn0”是方程“m2+ny2=1表示雙曲線”的()A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件

17、C.充要條件D.既不充分又不必要條件【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；充要條件.22y1 1【分析】先證明充分性，把方程化為 丁+丁=1,由“mn0”，可得!、工異號(hào)，m n由 n可得方程表示雙曲線，由此可得 “mn0”是方程“mx+ny2=1表示雙曲線”的充分22條件；再證必要性，先把方程化為1 +1 =1,由雙曲線方程的形式可得-> 上異 一m nm n號(hào)，進(jìn)而可得mn<0,由此可得“mn0”是方程“m2+ny2=1表示雙曲線”的必要條件；綜合可得答案.22k y【解答】解：若“mn0”，則m、n均不為0,方程mx2+ny2=1,可化為1 +1=1,若“mn0”，工、工異號(hào)，方程丁+丁

18、=1中，兩個(gè)分母異號(hào)，則其表示雙曲線, m nm n故“mn0”是方程“mX+ny2=1表示雙曲線”的充分條件；2 V2反之,若mx2+ny2=1表示雙曲線，則其方程可化為 丁+丁=1,m n此時(shí)有工、工異號(hào)，則必有mn<0,m n故“mn0”是方程“mX+ny2=1表示雙曲線”的必要條件；綜合可得：“mn0”是方程“mX+ny2=1表示雙曲線”的充要條件；故選C.14.若方程f (x) -2=0在( 8, 0)內(nèi)有解，則y=f (x)的圖象是(【分析】根據(jù)方程f (x) -2=0在0)內(nèi)有解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f (x)的圖 象和直線y=2在(-00, 0)上有交點(diǎn).【解答】解：A:與直線y=

19、2的交點(diǎn)是(0, 2),不符合題意，故不正確；B：與直線y=2的無(wú)交點(diǎn)，不符合題意，故不正確；C：與直線y=2的在區(qū)間(0, +oo)上有交點(diǎn)，不符合題意，故不正確；D：與直線y=2在(-8, 0)上有交點(diǎn)，故正確.故選D.y1 in ¥15.已知函數(shù)fQ)盧；L門（底0, 2冗）是奇函數(shù)，貝u a<l-x2+cos（x+a）°A.0 B.卷CD.節(jié)【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì).【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)系式求解.【解答】解：由題意可知，函數(shù)f (x)是奇函數(shù)，即f (-x) +f (x) =0, 不妨設(shè)x<0,則-x>0.有：f (x) =-x2+cos

20、 (x+4,f ( - x) =x2- sinx那么：-x2+cos (x+® +x2-sinx=0解得：n二2k冗(kCZ).長(zhǎng)0, 2Qa 三 故選：D.16.若正方體AiA2A3A4-B1B2B3B4的棱長(zhǎng)為1,則集合x|x=&B?LB，iC1, 2, 3, 4, jC 1, 2, 3, 4中元素的個(gè)數(shù)為（）A. 1B. 2 C. 3 D. 4【考點(diǎn)】子集與真子集.【分析】 可百，辱;飛，啊，i, jC1, 2, 3, 4,由此能求出集合x|x二N西況瓦，iC1, 2, 3, 4, jC1, 2, 3, 4中元素的個(gè)數(shù).【解答】解：:正方體A1A2A3A4-B1B2B3

21、B4的棱長(zhǎng)為1,而，近,用Q市，i, jC1, 2, 3, 4,%B,?AjBj= A B,1? （ AiA.|+ABj+BB j） ,*2 * = RB?AjA+AiB +1B,BBj=1.集合x|x= 話?可耳，iC1, 2, 3, 4, jC1, 2, 3, 4中元素的個(gè)數(shù)為1.三.解答題(本大題共 5題，共14+14+14+16+18=76分)17.已知圓錐母線長(zhǎng)為5,底面圓半徑長(zhǎng)為4,點(diǎn)M是母線PA的中點(diǎn)，AB是 底面圓的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)；(1)求三棱錐P-ACO的體積；(2)求異面直線MC與PO所成的角.【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；異面直線及其所成的角.【分析】(1)由

22、已知得AB=8, OC=4, OCXAB, PO=3,由此能出三棱錐 P- ACO的體積.(2)以。為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 利用向量法能求出異面直線 MC與PO所成的角.【解答】解：(1)二.圓錐母線長(zhǎng)為5,底面圓半徑長(zhǎng)為4,點(diǎn)M是母線PA的中 點(diǎn)，AB是底面圓的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，.AB=8, OC=4, OC±AB , . PO=- = 一 ,=3,三棱錐 P-ACO 的體積 Vp aco=XSAA0CX0F J=4-. - - < - - -=8. 也(2)以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

23、A (0, -4, 0), P (0, 0, 3), M (0, -2,辛,C (4, 0, 0), O (0, 0, 0),K= (4, 2,-多，正二(0, 0, -3),設(shè)異面直線MC與PO所成的角為9,9_cos 0而I =Inc I-IpoI 科3 89故異面直線MC與PO所成的角為xarccos/89 arccos8918.已知函數(shù) f (xhloga(/+&'-2) (a> 0),且 f (1) =2；(1)求a和f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) f (x+1) - f (x) >2.【考點(diǎn)】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化.注意函數(shù)的定義二2,【分析】(1)代值計(jì)算

24、并根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)問，域，(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于 x的不等式，解得即可.【解答】解：(1)函數(shù)(a>。)，且 f2. log2 (a+a 2) =2=log24,小+52>0, '2't a +a-2=4解得a=2,.f (x) =log2 (22x+2x-2),設(shè) t=22x+2x2>0,解得 x>0,f (x)的遞增區(qū)間(0, +oo)；(2) f (x+1) - f (x) >2,log2(22x+2+2x+1 -2) - log2 (22x+2x-2) >2=log24, .22x+2+2x+1 2>4 (

25、22x+2x 2),. 2x<3,二 x< log23,0<x< log23.不等式的解集為(0, <log23)19 . 一艘輪船在江中向正東方向航行，在點(diǎn) P觀測(cè)到燈塔A、B在一直線上，并 與航線成角a (0<a< 90 ),輪船沿航線前進(jìn)b米到達(dá)C處，此時(shí)觀測(cè)到燈塔A 在北偏西45°方向，燈塔B在北偏東B(0°< 90°)方向，0 V o+B<90°,求CB;(結(jié)果用& B, b表示)【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用.【分析】由題意，/ B=90° -(/位，ZXPBC中，運(yùn)用正弦定

26、理可得結(jié)論.【解答】解：由題意，/ B=90° -(肝位， PBC中，PC也由正弦定理可得CB|220 .過(guò)雙曲線 J號(hào)二的右支上的一點(diǎn)P作一直線l與兩漸近線交于A、B兩點(diǎn),其中P是AB的中點(diǎn)；(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)當(dāng)P坐標(biāo)為(x°, 2)時(shí)，求直線l的方程；(3)求證:|OA|?|OB| 是一個(gè)定。.【考點(diǎn)】直線與雙曲線的位置關(guān)系；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】(1)求出雙曲線的a, b,由雙曲線的漸近線方程為y=±-x,即可得到 a所求；(2)令y=2代入雙曲線的方程可得 P的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，設(shè) A (m, 2m), B (n, - 2n),可

27、得A, B的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，即可得到所求直線 方程；(3)設(shè)P (xo, yo), A (m, 2m), B (n, - 2n),代入雙曲線的方程，運(yùn)用中 點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得m, n,運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，即可得到定值.2【解答】解：(1)雙曲線J與二1的a=1, b=2,可得雙曲線的漸近線方程為y=±-x, a即為y= ± 2x；(2)令 y=2 可得 Xo2=1+4=2,解得X0=,(負(fù)的舍去)，設(shè) A (m, 2m), B (n, - 2n),由P為AB的中點(diǎn)，可得 m+n=2后，2m-2n=4,解得 m=M+1, n=Mi-1,即有 A (五+1, 2/2+2),可得PA的斜率為k=書常=2鼻, V2+W2則直線l的方程為y- 2=2加(x -加)，即為y=2我x -2；2(3)證明：設(shè) P (xo, yo),即有 xo2-Z2_=1, 4設(shè) A (m, 2m), B (n,