學習部資源第1章習題

1、高等數(shù)學練習冊 A班級姓名學號 第一章習題三函數(shù)的連續(xù)性一. 選擇題1設函數(shù) f (x) 在點 x0 處右連續(xù)且 f (x0 ) > 0 ，則下列結論不正確的是（ C）（A）在某個x0 , b) 上有 f (x) > 0 ；（C）在某個U (x0 ) 上有 f (x) > 0 ；2下列結論正確的是（ B）（B）在某個x0 , b) 上 f (x) 有界；（D）在某個x0 , b 上 f (x) 有界（A） 若 f (x) 在點 x0 處有定義且極限存在，則 f (x) 在 x0 處必連續(xù)；（B） 若 f (x) 在點 x0 處連續(xù)， g(x) 在點 x0 處不連續(xù)，則 f (

2、x) + g(x) 在點 x0 處必不連續(xù)；（C） 若 f (x) 與 g(x) 點 x0 處都不連續(xù)，則 f (x) + g(x) 在點 x0 處必不連續(xù)；（D） 若 f (x) 在點 x0 處連續(xù)， g(x) 在點 x0 處不連續(xù)，則 f (x) × g(x) 在點 x0 處必不連續(xù)ì -1x-1 ,3函數(shù) f (x) = ïex ¹ 1x = 1在 x = 1處（C）íïî0,（A）連續(xù)； （B）左連續(xù)；（C）右連續(xù)；（D）左右都不連續(xù)4 x = 0 是函數(shù)2 的（B）（A）連續(xù)點； （B）可去間斷點；（C）無窮間斷點

3、；（D）振蕩間斷點x - x3sin p x5函數(shù) f (x) =（A）1的可去間斷點的個數(shù)為（ C）（B）2（C）3（D）426函數(shù) f (的無窮間斷點的個數(shù)為（ B）2（A）0（B）11（C）2（D）3(e + e) tan xx在 -p,p 上的第一類間斷點是（ A ）7函數(shù) f (x) =1x(ex - e)p（D） x = p2（A） x = 0（B） x = 1（C） x =- 2x - 2)8函數(shù) f（A） (-1, 0)在下列哪個區(qū)間有界：（ A ）- 2)2（B） (0,1)（C） (1, 2)（D） (2, 3)二填空題1高等數(shù)學練習冊 A班級姓名學號 ) ，要使 f (x

4、) 在 x = 0 處連續(xù)，則需補充定義 f (0) =-11設 f (ì 1- etan xx , x > 0ï2設函數(shù) f (x) = íarcsin在 x = 0 處連續(xù)，則 a =-22ïïîae2x , x £ 03 limcos(sin p x + 2ln(1+x2 )+ x -1) =-1xx®01+ x2sin x-1) =4 limln( 0+x®0f (x) - 2 = 1，則5若 f (x) 在 x = 1處連續(xù)，且limf (1) =2x -1x®11- cosxf

5、 (x)2(ex -1) f (x)= 1，則 f (0) =6已知函數(shù) f (x) 連續(xù)，且lim2x®07函數(shù) f (x) =- 6,0,1的全部間斷點共有 3個，它們是x 2 + 5x - 6sin p x8函數(shù) f (x) = lim2.的間斷點的個數(shù)為n®¥ 1+ (2x)2n9設 f (x) = lim (n -1)x ，則 f (x) 的間斷點為 x =0。nx2 +1n®¥三計算題æö1ç 2 +exsin x ÷+1求lim4x®0ç÷è 1+ e

6、xø11解： lim sin x = 1, lim sin x = -1而 lim 2 + e = 0, lim 2 + e = 2xx。所以41+ ex41+ exx®0+x®0-x®0+x®0-æöæö11+ + sin x ÷ = lim ç 2 + ex + sin x ÷ = 1lim ç 2ex4ex4x®0+ çx®0- ç÷÷è 1+è 1+ exøø

7、2已知：ìï(113B, x = 0f (x) = ï問 A, B 取何值時， f (x) 在 x = 0 連續(xù)。íï，sï0î2xxxxxlnx高等數(shù)學練習冊 A班級姓名學號 1Asin 3x解：因為 lim f (x) = lim (1+ 3x) x = e3, lim f (x) = lim= 3A ，所以 f (x) 在 x = 0 連續(xù)等價x0+x®0+x®0-x®0+于e3 = 3A = B ，即 A = 1 e3, B = e3 。31 x 3指出 f (x) =的間斷點的類型。1

8、- ex-1解：使 f (x) 無定義的點為： x = 0, x = 1。又因為111=¥ ，= ，所以 x = 0 是無窮型間斷點， x = 1 是可去型間斷l(xiāng)imx1- ex-1x®01- ex-11- ex-1點。1+ x4討論函數(shù) f (x) = lim的連續(xù)性，指出其連續(xù)區(qū)間、間斷點及其類型n®¥ 1+ x2nx £ -1- 1 < x < 1x = 1x > 1ìì1 + x,| x |< 10,ï1 + x,1 + xï1 + xï解： f (x) = li

9、m= í,| x |= 1 = ín®¥ 1 + x2n21,0,ïïîï0,| x |> 1ïî可能的間斷點有 x = -1和 x = 1顯然， f (x) 在點 x = -1左連續(xù)Q f (-1 + 0) =(1 + x) = 0 = f (0) ，limx®-1+0 f (x) 在點 x = -1右連續(xù)； f (x) 在點 x = -1連續(xù)Q f (1 - 0) = lim (1 + x) = 2 ¹ f (1) ， f (x) 在點 x = 1不左連續(xù)；x

10、74;1-0同理， f (x) 在點 x = 1不右連續(xù) f (x) 的連續(xù)區(qū)間為(-¥,1) 、(1,+¥) ，間斷點為 x = 1，是跳躍間斷點 x)sin t -sin x ，求sin t5設函數(shù) f (x) = lim(f (x) 的間斷點，并指出其類型。sin xt ®xsin t -sin xsin xxx sin t×解 ： f (x) = lim(= l+)sin t -sin x sin x = esin x)sin t -sin xsin x。的 零 點 ：sin xsin xt ®xt ®xxxlimx = 0,

11、 x = kp , k Îx= ex®0 sin x= e， 而f (x)lim esin x即 為的間 斷 點。 又 因 為x®0xlim esin x (k = ±1, ±2,)均 不 存 在 ， 所 以 x = 0 是 第 一 類 中 的 可 去 間 斷 點 ，limesin x ,x®kp +x®kp -3高等數(shù)學練習冊 A班級姓名學號 x = kp (k = ±1, ±2,四證明題1證明方程 x - a sin x = b 至少存在根x Î (0, a + b，其中常數(shù) a, b 滿足

12、0 < a < 1,b > 0 證：令函數(shù) f (x) = x - a sin x - b ，則 f (x) 在閉區(qū)間0, a + b 上連續(xù)，且) 是第二類間斷點。f (0) = -b < 0 , f (a + b) = a1- sin(a + b) ³ 0當 f (a + b) = 0 時，則x = a + b 是 f (x) 在(0, a + b 上的一個零點，從而原方程在(0, a + b 上有根；當 f (a + b) > 0 時，則由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理知， f (x) 在(0, a + b) 內(nèi)有零點，從而原方程在開區(qū)間(0, a +

13、 b) 內(nèi)有根. 證畢.2求證：方程 x3 - 9x -1 = 0 恰有三個實根。證明： 令 f= x3 - 9x -1 。因為 f (-3) = -1 ， f (-2) = 9 ， f (0) = -1 ， f (4) = 27 ，所以 f (x) (-3, -2),(-2, 0),(0, 4) 各區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即方程 x3 - 9x -1 = 0 至少有三個實根。又因為三次方程最多有三個根，所以該方程根的個數(shù)恰好為 3。3 已知函數(shù) f (x) 在0,2a 上連續(xù)，且 f (0) = f (2a) ，證明：在0, a 上至少存在一點 x ，使f (x) = f (x + a) 證：

14、令 F (x) = f (x) - f (x + a) ，則 F (x) 在0, a 上連續(xù)，且F (0) = f (0) - f (a) ， F (a) = f (a) - f (2a) = f (a) - f (0) = -F (0) （1）若 F (0) =f (0) -f (0) =f (0 + a) ，命題成立；f (a) =0，則有（2）若 F (0) = f (0) - f (a) ¹ 0 ，則有 F (0) × F (a) < 0 ，由零點定理可得，$x Î (0, a) ，' F (x) = 0 ，即 f (x) = f (x +

15、a) 證畢n Îa, bf (x)在 a, b 上 連 續(xù) ， 求 證 ： 對 任 意 實 數(shù) ：4 設 函 數(shù)， 任 意 正 數(shù)l1, l2 , ln : l1 + l2 + ln = 1 ，必存在x Îa, b，使得f (x ) = l1 f (x1 ) + l2 f (x2 ) + ln f (xn ) 。證明：因為 f (x) 在a, b 上連續(xù)，所以 f (x) 在a, b 上有界，所以它一定可以取到最大值、最小值，分別記為 M , m 。易見m = l1m + l2m + lnm £ l1 f (x1 ) + l2 f (x2 ) + ln f (xn ) £ l1M + l2 M +4+ ln M = M高等數(shù)學練習冊 A班級姓名學號 根據(jù)介值定理， 既然 l1 f (x1 ) + l2 f (x2 ) + ln f (xn ) 介于 M , m 之間， 則必有 x Îa, b ，使得l1 f (x1 ) + l2 f (x2 ) + ln f (xn ) = f (x ) 。x上的連續(xù)函數(shù)，且滿足 f (x) = f ( ) ，求證： f (x) 為常值函數(shù)。25已知 f (x) 是定義在實數(shù)集f &