華東師大版九年級(jí)下冊(cè)：二次函數(shù)的應(yīng)用題

1、二次函數(shù)的應(yīng)用題教學(xué)目標(biāo)一、掌握利用待定系數(shù)法求解應(yīng)用題二、掌握分析數(shù)量關(guān)系型的應(yīng)用題三、掌握建模型的應(yīng)用題四、掌握利潤(rùn)最大小值的問題中知識(shí)梳理一、利用待定系數(shù)法對(duì)于題目明確給出兩個(gè)變量間是二次函數(shù)關(guān)系,并且給出幾對(duì)變量值,要求求出函數(shù)關(guān)系式,并進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.解答的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用待定系數(shù)法,準(zhǔn)確求出函數(shù)關(guān)系式.二、分析數(shù)量關(guān)系型題設(shè)結(jié)合實(shí)際情景給出了一定數(shù)與量的關(guān)系,要求在分析的根底上直接寫出函數(shù)關(guān)系式,并進(jìn)行應(yīng)用.解答的關(guān)鍵是認(rèn)真分析題意,正確寫出數(shù)量關(guān)系式.三、建模型即要求自主構(gòu)造二次函數(shù),利用二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)等解決實(shí)際問題.這類問題建模要求高,有一定難度.四、利潤(rùn)最大小值問題知識(shí)要

2、點(diǎn)：.412二次函數(shù)的一般式y(tǒng)+X+Ca工0化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax+32+二一,如果自變量的2a4a取值范圍是全體實(shí)數(shù),那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值或最小值.即當(dāng).0時(shí),函數(shù)有最小值,并且當(dāng)x=-一,小俏=二；2a''4.h當(dāng)avO時(shí),函數(shù)有最大值,并且當(dāng)x=,大=2a,如7,4a4ac-b24.如果自變量的取值范圍是為如果頂點(diǎn)在自變量的取值范圍MKxKX內(nèi),那么當(dāng)x=2,2a,如果頂點(diǎn)不在此范圍內(nèi),那么需考慮函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)的增減性；如果在此范圍內(nèi)y隨戈的增大而增大,那么當(dāng)x=£時(shí),1&人=cixi+bx?+c»當(dāng)x=芯時(shí),1y最小=ax+&qu

3、ot;X+c'如果在此范圍內(nèi)y隨x的增大而減小,那么當(dāng)工=天時(shí),y最大=5：+/ZX+c,當(dāng)工=不時(shí),3'最小=axi+bxi+c-商品定價(jià)一類利潤(rùn)計(jì)算公式；經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)據(jù)：商品進(jìn)價(jià)：商品售價(jià)1；商品銷售量；商品售價(jià)2：商品定價(jià)：商品調(diào)價(jià)；商品銷售量1：銷售量變化率;其他本錢. 單價(jià)商品利潤(rùn)=商品定價(jià)一商品售價(jià)1 C價(jià)格變動(dòng)量=商品定價(jià)一商品售價(jià)2或者直接等于商品調(diào)價(jià)： 銷售量變化率=銷售變化量+引起銷售量變化的單位價(jià)格： 商品總銷售量=商品銷售量1±二x銷售量變化率： 總利潤(rùn)W=單價(jià)商品利潤(rùn)x總銷售量一其他本錢總利潤(rùn)W=商品定價(jià)-商品售價(jià)1x商品銷售量1±

4、AX-.產(chǎn)化.|一其他本錢單位價(jià)格變動(dòng),嚎例題講解一、利用待定系數(shù)法例L某公司生產(chǎn)的A種產(chǎn)品,它的本錢是2元,售價(jià)是3元,年銷售量為100萬件,為了獲得更好的效益,公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),每年投入的廣告費(fèi)是x十萬元時(shí),產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的3,倍,且y是x的二次函數(shù),它們的關(guān)系如下表：X十萬元01-y11.51.8-1求y與戈的函數(shù)關(guān)系式：2如果把利潤(rùn)看作是銷售總額減去本錢費(fèi)和廣告費(fèi),試寫出年利潤(rùn)S十萬元與廣告費(fèi)x十萬元的函數(shù)關(guān)系式:3如果投入的年廣告費(fèi)為1030萬元,問廣告費(fèi)在什么范圍內(nèi),公司獲得的年利潤(rùn)隨廣告費(fèi)的增大而增大？析解：1由于題中給出了y是x的二次函數(shù)關(guān)系,

5、所以用待定系數(shù)法即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系2由題意得S=10y32-x=f-2+5x+o3III2S=/+5入+10=-“一32+藝及：次函數(shù)性質(zhì)知,與142.5,即廣告費(fèi)在：102524萬元之間時(shí),S隨廣告費(fèi)的增大而增大.二、分析數(shù)量關(guān)系型例2.某化工材料經(jīng)銷公司購進(jìn)了一種化工原料共7000千克,購進(jìn)價(jià)格為每千克30元.物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不得高于每千克70元,也不得低于30元.市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)蝺r(jià)定為70元時(shí),日均銷售60千克；單價(jià)每降低1元,日均多售出2千克.在銷售過程中,每天還要支出其它費(fèi)用500元天數(shù)缺乏一天時(shí),按整天計(jì)算.設(shè)銷售單價(jià)為x元,日均獲利為y元.1求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式

6、,并注明x的取值范圍；2將1中所求出的二次函數(shù)配方成y=ax+22+±±i的形式,寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)：在2a4a圖2所示的坐標(biāo)系中畫出草圖：觀察圖象,指出單價(jià)定為多少元時(shí)日均獲得最多,是多少？3假設(shè)將這種化工原料全部售出,比擬日均獲利最多和銷售單價(jià)最高妝兩種銷售方式.哪一種獲總利較多,多多少？r2QBOKKW析解：1假設(shè)銷售單價(jià)為X元,那么每千克降低70-X元,日均多.加銷售量為60+270-x千克,每千克獲利為x-30元.根據(jù)題意得y=x-3060+270-x-5OO=-2x2+260x-6500>0<x<70:2y=-2xT30x-6500=-2篁-65廠+

7、1950.頂點(diǎn)坐標(biāo)為65,1950,草圖略,當(dāng)單價(jià)定為65元時(shí),日均獲利最多,是1950元.3列式計(jì)算得,當(dāng)日均獲利最多時(shí),可獲總利195000元：當(dāng)銷售單價(jià)最高時(shí),可獲總利221500元.故當(dāng)銷售單價(jià)最高時(shí)獲總利較多,且多獲利221500-195000=26500元.三、建模型例3.如圖4,有一塊鐵皮,拱形邊緣呈拋物線狀,MN=4dm,拋物線頂點(diǎn)處到邊MN的距離是4dm,要在鐵皮上截下一矩形ABCD,使矩形頂點(diǎn)B、C落在邊MN上,A、D落在拋物線上,問這樣截下去的矩形鐵皮的周長(zhǎng)能否等于8dm?析解：由“拋物線''聯(lián)想到二次函數(shù).如圖4,以MN所在的宜線為x軸,點(diǎn)M為原點(diǎn)建立直

8、角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P,那么M(0.0),N(4,0),P(2,4).用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式為y=-x?+4x.設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),那么AD=BC=2x4AB=CD=y.于是1=2人8+2人口=2丫+2(2乂-4)=2(-x2+4x)+2(2x-4)=-2x2+12x-8o且x的取值范圍是0<x<4(x#2)0假設(shè)1=8,貝廠2x,+12x-8=8,即x?-6x+8=O.解得X=2,、2=4.而0vx<4(x壬2).故1的值不可能取8,即截下的矩形周長(zhǎng)不可能等于8dme例4.某環(huán)保器材公司銷售一種巾場(chǎng)需求較大的新型產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為40元,經(jīng)銷過程中測(cè)出

9、銷售量N萬件)與銷售單價(jià)式元)存在如下圖的一次函數(shù)關(guān)系,每年銷售該種產(chǎn)品的總開支z(萬元)(不含進(jìn)價(jià))與年銷量y(萬件)存在函數(shù)關(guān)系z(mì)=lQ什425(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)度寫出該公司銷售該種產(chǎn)品年獲利M萬元)關(guān)于銷售單價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式;(年獲利=年銷售總金額-年銷售產(chǎn)品的總進(jìn)價(jià)-年總開支金額)當(dāng)銷售單價(jià)x為何值時(shí),年獲利最大?最大值是多少？(3)假設(shè)公司希望該產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于57.5萬元,請(qǐng)你利用(2)小題中的函數(shù)圖象幫助該公司確定這種產(chǎn)品的銷售單價(jià)的范圍5r1萬件)在此條件下要使產(chǎn)品的銷售量最大,你認(rèn)為銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？4.解:由題恿設(shè))=匕地圖象過點(diǎn)(70,

10、5).(90,3).A二戶=7(認(rèn)+,解得二尸.1030507090刈元)3=90k+b.'一歷,一而(2)由題意,得心.-40)-日.-40)(10什42.5)=(_,.葉12).-10)-10(_!_.-12)-42.51010=.0,1x2+17a-.642.5=_L(x-85)2+80.10當(dāng)85元時(shí),年獲利的最大值為80萬元3令w=57.5,得-0.1r+17x-642.5=572整理,得xM70x+7000=0.解得xi=70kz=100.由圖象可知,要使年獲利不低于57.5萬元制售單價(jià)應(yīng)在70元到100元之間一又由于銷售單價(jià)越低,銷售量越大,所以要使銷售量最大,又使年獲利

11、不低于57.5萬元,銷售單價(jià)應(yīng)定為70元四、利潤(rùn)最大小值問題1.某旅社有客房120間,每間房間的日租金為50元,每天都客滿,旅社裝修后,要提升租金.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,如果1間客房的日租金每提升5元,那么客房每天出租數(shù)會(huì)減少6間.不考慮其他因素,旅社將每間客房的日租金提升到多少元時(shí),客房日租金的總收入最高？比裝修前的日租金總收入增加多少元？解：設(shè)每間客房的日租金提升X個(gè)5元即5x元,那么每天客房出租數(shù)會(huì)減少6x間,根據(jù)題意可得y=50+5x120-6x,即y=-30x-52+6750o口當(dāng)x=5時(shí),ya次=6750.這時(shí)每間客房日租金為50+57=75元,客房日租金的總收入最高,為6750元.裝修前的

12、日租金120x50=6000元,6750-120x50=750元.故將每間客房的日租金提到75元時(shí)總收入最高,比裝修前的日租金總收入增加750元.1.在黃州服裝批發(fā)市場(chǎng),某種品牌的時(shí)裝當(dāng)季節(jié)即將來臨時(shí),價(jià)格呈上升趨勢(shì)：設(shè)這種時(shí)裝開始時(shí)定價(jià)為20元,并且每周7天漲價(jià)2元,從第6周開始保持30元的價(jià)格平穩(wěn)銷售：從第12周開始,當(dāng)季節(jié)即將過去時(shí),平均每周減價(jià)2元,直到第16周周末,該服裝不再銷售；試建立銷售價(jià),與周次x之間的關(guān)系式：假設(shè)這種時(shí)裝每件進(jìn)價(jià)Z與周次x之間的關(guān)系為Z=-025.-8412上.g16,且x為整數(shù),試問該服裝第幾周出售時(shí),每件銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：1由題意,可以建立

13、函數(shù)關(guān)系式如下：當(dāng)1夕56時(shí),y=2O+2x-l：當(dāng)沁S11時(shí),y=30；當(dāng)12*16時(shí),y=30-2x-ll2x+18(l<x<6)即y=<30(6<<11)-2+52(12<x<16)設(shè)銷售利潤(rùn)為W元,那么討=售價(jià)-進(jìn)價(jià)2K+18+1(r-8)2-12<30+1g8尸一12所以W=81>-2x+52+-(x-8)2-12(12<x<16)8+14化簡(jiǎn)得W='：-2n+26(6<x<11)o(12<x<16)l?-4x+48匚當(dāng)1WXW6時(shí),W=-x2+148由于對(duì)稱軸為直線x=0,a>0

14、所以由圖象不難得出在1*6范圍內(nèi),當(dāng)x=6時(shí),W有最大值W«a=-x62+14=18.58口當(dāng)6<x<ll時(shí),W=lx2x+268由于對(duì)稱軸為直線x=8,在6S&11范圍內(nèi),由圖象可看出在x=ll時(shí),W有最大值WttA=-xll2-2x11+26=19-88當(dāng)12衛(wèi)16時(shí),W=lx2-4x+488對(duì)稱軸為直線x=16由圖象可以看出在12夕&16范圍內(nèi),x=12時(shí),W有最大值W4大=1x124x12+48=188綜上所述,當(dāng)x=ll時(shí)銷售利潤(rùn)最大,最大值為191元.82.某網(wǎng)店以每件60元的價(jià)格購進(jìn)一批商品,假設(shè)以單價(jià)80元銷售,每月可售出300件,調(diào)查說明

15、：?jiǎn)蝺r(jià)每上漲1元,該商品每月的銷量就減少10件.1請(qǐng)寫出每月銷售該商品的利潤(rùn)y元與單價(jià)上漲x元件的函數(shù)關(guān)系式：(2)單價(jià)定為多少元時(shí),每月銷售該商品的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？解：(1)y=(80-60+x)(300-10x),=-10x2+100x4-6000；(2)y=-10x2+100x+6000,=-10(x-5)2+6250,Ua=-10<0,二當(dāng)x=5時(shí),y有最大值,其最大值為6250,即單價(jià)定為85元時(shí),每月銷售該商品的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為6250元.3、某體育用品商店購進(jìn)一批滑板,每件進(jìn)價(jià)為100元,售價(jià)為130元,每星期可賣出80件.商家決定降價(jià)促銷,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,每降

16、價(jià)5元,每星期可多賣出20件.(1)求商家降價(jià)前每星期的銷售利潤(rùn)為多少元？(2)降價(jià)后,商家要使每星期的銷售利潤(rùn)最大,應(yīng)將售價(jià)定為多少元？最大銷售利潤(rùn)是多少？解：(1)(130-100)x80=2400(元)(2)設(shè)應(yīng)將售價(jià)定為工元,那么銷售利潤(rùn)y=(x-100)(80+x20)=-4x2+1OOO.V-60000=Y(x-125)2+2500.當(dāng)x=125時(shí),),有最大值2500.匚應(yīng)將售價(jià)定為125元,最大銷售利潤(rùn)是2500元.4、某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8臺(tái),為了配合國(guó)冢'家電下鄉(xiāng)政策的實(shí)施,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)舉措.調(diào)查說明：這種冰箱的售

17、價(jià)每降低50元,平均每天就能多售出4臺(tái).(1)假設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元,商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的利潤(rùn)是y元,請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式:(不要求寫自變量的取值范闈)(2)商場(chǎng)要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元,同時(shí)又要使百姓得到實(shí)惠,每臺(tái)冰箱應(yīng)降價(jià)多少元？(3)每臺(tái)冰箱降價(jià)多少元時(shí),商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的利潤(rùn)最高？最高利潤(rùn)是多少？解：(1)y=(2400-2000-x)|8+4x-HPy=-x2+24x+3200.2(2)由題意,得一二工2+24工+3200=4800.整理,得/一300工+20000=0.25得$=100,x2=200.要使百姓得到實(shí)惠,取_r=2OO.所以,每臺(tái)冰箱應(yīng)降價(jià)2

18、00元.224(3)對(duì)于),=一一/+24工+3200,當(dāng)工=一一7v=150時(shí),25G(2)2x-；25；),最大俏=(2400-2000150)|8+4x*卜250x20=5000.所以,每臺(tái)冰箱的售價(jià)降價(jià)150元時(shí),商場(chǎng)的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是5000元.5、張大爺要圍成一個(gè)矩形花圃.花圃的一邊利用足夠長(zhǎng)的墻另三邊用總長(zhǎng)為32米的籬笆恰好圍成.用成的花畫是如下圖的矩形ABCD.設(shè)AB邊的長(zhǎng)為x米.矩形ABCD的面積為S平方米.AD花圃1仁2分1分1分1分(1)求S與犬之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍).(2)當(dāng)工為何值時(shí),S有最大值？并求出最大值.21.解：由題意得S=AB-

19、BC=x(32-2x).S=-2x2+32xva=-2<0/S有最大值.x=-%=-不?六=82a2x(2)g_4ac-It一-32之一1oo427-128.x=8時(shí)S有最大值是1286、某商場(chǎng)試銷一種本錢為每件60元的服裝,規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于本錢單價(jià),且獲利不得高于45%,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn),銷售量y(件)與銷售單價(jià)工(元)符合一次函數(shù)),=依+/,且x=65時(shí),y=55；x=75時(shí),y=45.(1)求一次函數(shù)丁=依+.的表達(dá)式：(2)假設(shè)該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為W元,試寫出利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)定為多少元時(shí),商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是多少元？(3)假設(shè)該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不低

20、于500元,試確定銷售單價(jià)x的范圍.,一654-/7=55,解：(1)根據(jù)題意得?解得=1,=120.75攵+=45.所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-工+120.(2)W=(x-60)(x+120)=-x2+180.v-7200=-(工-90尸+900,.拋物線的開口向下,當(dāng)xv90時(shí),IV隨x的增大而增大,而60WxW87,.當(dāng)X=87時(shí),W=一(87-90)2+900=891.,當(dāng)銷售單價(jià)定為87元時(shí),商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是891元.(3)由W=500,得500=3+180.X-7200,整理得,x2-180x+7700=0,解得,2=70,x2=110.由圖象可知,要使該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)

21、不低于500元,銷售單價(jià)應(yīng)在70元到110元之間,而60Wx<87,所以,銷售單價(jià)x的范圍是70?xW87.7、某商場(chǎng)在銷售旺季臨近時(shí),某品牌的童裝銷售價(jià)格呈上升趨勢(shì),假設(shè)這種童裝開始時(shí)的售價(jià)為每件20元,并且每周7天漲價(jià)2元,從第6周開始,保持每件30元的穩(wěn)定價(jià)格銷售,直到11周結(jié)束,該童裝不再銷售.1請(qǐng)建立銷售價(jià)格y元與周次x之間的函數(shù)關(guān)系：2假設(shè)該品牌童裝于進(jìn)貨當(dāng)周售完,且這種童裝每件進(jìn)價(jià)z元與周次X之間的關(guān)系為z=-1x-82+12,81<X<11,且X為整數(shù),那么該品牌童裝在第幾周售出后,每件獲得利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn)為多少？20+2x-l=2x+18l<x<6x為整數(shù)2分解.1V=.30611“為整數(shù).4分2設(shè)利潤(rùn)為卬y-Z=20+2(x-l)+-(x-8)2-12=x2+14(1«x<6)(x為整數(shù))