經(jīng)濟數(shù)學(xué)-多元函數(shù)微分學(xué)習(xí)題課

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容典型例題典型例題第八章第八章 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用及其應(yīng)用習(xí)習(xí) 題題 課課平面點集平面點集和區(qū)域和區(qū)域多元函數(shù)多元函數(shù)的極限的極限多元函數(shù)多元函數(shù)連續(xù)的概念連續(xù)的概念極極 限限 運運 算算多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容全微分全微分的應(yīng)用的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則全微分形式全微分形式的不變性的不變性偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟上的應(yīng)用經(jīng)濟上的應(yīng)用多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值全微分全微分概念概念偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念概念1.1.區(qū)域區(qū)域 設(shè)設(shè)),(000yxP是是x

2、oy平面上的一個點，平面上的一個點， 是某是某一正數(shù)，與點一正數(shù)，與點),(000yxP距離小于距離小于 的點的點),(yxP的全體，稱為點的全體，稱為點0P的的 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU，（1）鄰域）鄰域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P （3）n維空間維空間（2）區(qū)域）區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域2.2.多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念 。上上）的的圖圖形形（或或圖圖像像）（在在為為函函數(shù)數(shù)中中的的子子集集的的值值域域，并并且且稱稱稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域，稱稱為為函函數(shù)數(shù)稱稱為為因因變變量量，稱稱為為自自變變

3、量量，其其中中或或值值）函函數(shù)數(shù)，記記作作元元（實實上上的的一一個個稱稱為為定定義義在在的的任任一一映映射射到到實實數(shù)數(shù)集集的的一一個個非非空空子子集集，從從是是設(shè)設(shè)DxfyDxxfyyxxxRfDxxfDffDyxxxDxxxxfxfyRRDfnDfRDRDnnnnnn ,:2112121定義3.3.多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限定 義定 義 設(shè) 函 數(shù)設(shè) 函 數(shù)),(yxfz 的 定 義 域 為的 定 義 域 為),(,000yxPD是其內(nèi)點或邊界點， 如果對于任意是其內(nèi)點或邊界點， 如果對于任意給定的正數(shù)給定的正數(shù) ，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) ，使得對于適合不，使得對于適合不等式等式 202

4、00)()(|0yyxxPP的一的一切點，都有切點，都有 |),(|Ayxf成立，則稱成立，則稱 A A 為函為函數(shù)數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)0 xx ，0yy 時的極限，時的極限， 記為記為 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf這里這里|0PP ）. 說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似4.4.極限的運算極限的運算).0()()()3(;)()()2(;)()

5、()1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP則則時，時，設(shè)設(shè)5.5.多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性定 義定 義 設(shè) 函 數(shù)設(shè) 函 數(shù)),(yxf的 定 義 域 為 點 集的 定 義 域 為 點 集)(,0,00yxPD是是D的內(nèi)點或邊界點且的內(nèi)點或邊界點且DP 0，如果如果)()(lim00PfPfPP 則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxf在點在點0P處連續(xù)處連續(xù). . 如果如果),(yxf在點在點),(000yxP處不連續(xù)， 則稱處不連續(xù)， 則稱0P是函數(shù)是函數(shù)),(yxf的間斷點的間斷點. . 6.6.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在

6、有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值（2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（1）有界性定理）有界性定理 有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)是上的多元連續(xù)函數(shù)是D D上的上的有界函數(shù)有界函數(shù) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在在D D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D D上取上取得介于這兩值之間的任何值至少一次得介于這兩值之間的任何值至少一次（3）介值定理）介值定理定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某一鄰的某一鄰域內(nèi)

7、有定義，當(dāng)域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在固定在0y而而x在在0 x處有增量處有增量x 時，相應(yīng)地函數(shù)有增量時，相應(yīng)地函數(shù)有增量 ),(),(0000yxfyxxf ， 如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，則稱存在，則稱此極限為函數(shù)此極限為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對 x的的偏導(dǎo)數(shù)，記為偏導(dǎo)數(shù)，記為 7.7.偏導(dǎo)數(shù)概念偏導(dǎo)數(shù)概念同理可定義函數(shù)同理可定義函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對y的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00

8、yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)任一點內(nèi)任一點),(yx處對處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)的函數(shù)，它就稱為函數(shù)),(yxfz 對對自變量自變量x的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 記作記作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定義函數(shù)同理可以定義函數(shù)),(yxfz 對自變量對自變量y的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)，記作數(shù)，記作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.8. 8. 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)),(22yxfxzxzxxx ),(22

9、yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義定義 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). 的的相相對對改改變變量量函函數(shù)數(shù)對對存存在在處處偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xyxyxfz, yxfyxfyxxfzzx, 之比之比的相對改變量的相對改變量與自變量與自變量xxx xxzzx .,兩點間的彈性兩點間的彈性到到從從對對稱為函數(shù)稱為函數(shù)xxxxyxf . . 偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟上的應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟上的應(yīng)用:交叉彈性交叉彈性即即.lim

10、0zxxzxxzzEExxxzx ,0時時當(dāng)當(dāng) xxxzzx 記作記作的彈性的彈性處對處對在在的極限稱為的極限稱為,xyxyxf,xzxEE或或 .lim0zyyzyyzzEEyyyzy 的彈性的彈性處對處對在在類似地可定義類似地可定義yyxyxf, .,表表示示需需求求對對收收入入的的彈彈性性需需求求對對價價格格的的彈彈性性表表示示則則表表示示消消費費者者收收入入表表示示價價格格表表示示需需求求量量中中如如果果特特別別地地yxyxzyxfz 10.10.全微分概念全微分概念多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)

11、函數(shù)可導(dǎo)11.11.全微分的應(yīng)用全微分的應(yīng)用d( , )( , ),xyzzfx yxfx yy .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很很小小時時當(dāng)當(dāng),yx 主要方面主要方面:近似計算與誤差估計近似計算與誤差估計.12. 12. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為ddzt 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在點點),(yx具具有有對對x和和y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在對對應(yīng)應(yīng)點點),(vu具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz 在在對對應(yīng)應(yīng)點點),(y

12、x的的兩兩個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .13. 13. 全微分形式不變性全微分形式不變性 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、0),()1( yxF隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式14. 14. 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxF在點在點,(0 xP),00zy的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且,(0 xF0),00 zy，0

13、),(000 zyxFz，則方程，則方程,(yxF0) z在點在點),(000zyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),()2( zyxF15. 15. 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，對對于于該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)異異于于),(00yx的的點點),(yx：若若滿滿足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函

14、函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有 極極 大大 值值 ； 若若 滿滿 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有極極小小值值；定義定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點在點),(00yx處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函數(shù)取得極值的條件多元函數(shù)取得極值的條

15、件 定義定義一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為多元一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為多元函數(shù)的函數(shù)的駐點駐點.極值點極值點注意注意駐點駐點定理定理 2 2（充分條件）（充分條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令A(yù)yxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點在點),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時有極值，時有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時有極大值，

16、時有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時有極小值；時有極小值；（2 2）02 BAC時沒有極值；時沒有極值；（3 3）02 BAC時可能有極值時可能有極值. .求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實數(shù)解，得駐點求出實數(shù)解，得駐點.第第二二步步 對對于于每每一一個個駐駐點點),(00yx，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值.拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法 要要找找函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可

17、可能能極極值值點點，先先構(gòu)構(gòu)造造函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 為為某某一一常常數(shù)數(shù)，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的極極值值點點的的坐坐標(biāo)標(biāo).條件極值條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值二、典型例題二、典型例題例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求極限求極限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等價于等價于則則yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 .

18、0)(lim2200 yxxxyyx故故例例2 2解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè))1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 例例3 3解解2( , , ),(, )0,sin ,d(,)0,.dyuf x y zxezyxufzx 設(shè)設(shè)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏

19、偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) ， 且且求求ddd,ddduffyfzxxyxzxdcos ,dyxx 顯顯然然d,dzx求求得得的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩兩邊邊求求對對,0),(2xzexy 123dd20,ddyyzxexx于是可得于是可得sin123d1(2cos),dxzxexx sin123d1cos(2cos).dxufffxxexxxyz 故故例例4 4解解( , ),( )( , , )0,( , )0.d,0,0,.duf x yu xg x y zh x zghuyzx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由由方方程程組組所所確確定定 且且試試求求的的函函數(shù)數(shù)都都看看成成是是以以及及將將方方程程組組的的變變元元xzyu,得得求導(dǎo)求導(dǎo)方程組各方程兩邊對方程組各方程兩邊對,xdd,(1)dddd0,(2)ddd0.(3)dxyxyzxzuyffxxyzgggxxzhhx d(3),dxzhzxh 由由得得d(2),dzxxyzyghgyxghg 代代入入得得d(1).dyxyzxxyyzfgfghufxggh 代代入入得得之間的最短距離之間的最短距離與平面與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面2222 zyxyxz例例5 5解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點上任