由兩道高考解幾題引出的反思

1、由兩道高考解幾題引出的反思 廣東省順德一中 李 堂 以下兩道高考解析幾何題給人的感覺(jué)平易近人，樸實(shí)無(wú)華，卻又峰回路轉(zhuǎn)，透出新課標(biāo)的理念：知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、態(tài)度情感價(jià)值觀。本文試圖通過(guò)對(duì)其解題過(guò)程的分析，反思我們的教學(xué)。1、試題分析1.1案例呈現(xiàn) 案例1.設(shè)雙曲線C：-y2 =1（a>0）與直線L：X+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B（1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍，（2）設(shè)直線 L與y軸的交點(diǎn)為P，且=，求a的值。 解：（1）由C與L相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，可知方程組 -y2 =1（1）X+y=1 （2） 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，將（2）代入（1）得 （1-a2）x2+2a2x-2a2=

2、0 （3） 從而方程（3）有兩個(gè)不同的解，所以 1-a2 0且=4a4+8a2(1-a2 )>0 得 0<a<且a1而離心率e=由0<a<且a1得>且1從而e>且e 即e,)(,+)（2）設(shè)A(x1,y1) B(x2,y2),易知 P(0,1)= (x1,y1-1)=(x2,y2-1)得x1=x2 （4） 又x1，x2是方程（3）的根X1+X2=- (5) X1X2= (6)將(4)代入(5)(6)式得到X2= ，2消去2得a2 a>0, a案例2.設(shè)直線L與橢圓+=1相交于A,B兩點(diǎn)，L又與雙曲線x2-y2=1相交于C,D兩點(diǎn)，C,D三等分線段

3、AB，求直線L的方程解：C.D三等分線段，即=,=設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4)=(x3x1，y31)=（x4x3，y4y3）2x3=x1+x4 （1）=（x4x3y4y3）（x2x4，y2y4） 2x4=x2+x3 （2）（1）+（2）得x3+x4=x1+x2 設(shè)L：y=kx+m由 +=1y = kx + m消去y整理得：（16+25k2）x2+50mkx+25m2400=0 （3）A，B是L與橢圓的交點(diǎn)，x1，x2是方程（3）的解x1+x2= (4)由 x2y2=1 y=kx+m消去y整理得（1k2）x22mkxm21=0 （5）同理 得x3

4、+x4= (6)x1+x2=x3+x4 得0 或k=0（1）若k=0則方程（3）化為16x2+25m2400=0得X1= X2=方程（5）化為：x2m21=0 得x3=，x4= 2x3=x1+x4 -2=-+得m=（2）m=0時(shí)方程(3)化為(16+25k2)x2=400得x1= x2=方程（5）化為（1-k2）x2=1得x3= x4=2x3=x1+x4 -得k=L垂直于X軸時(shí)，設(shè)L：x=b代入橢圓方程得y1，2=代入雙曲線方程得y3.4=由2y3=y1+y4 得 b=綜上所述直線L的方程為 y= 或y= 或x=1.2 案例分析現(xiàn)在來(lái)回顧一下兩個(gè)案例的思路探索過(guò)程。對(duì)案例1來(lái)說(shuō)：條件為雙曲線與

5、直線有兩個(gè)交點(diǎn)，求離心率e的范圍?？床怀鰲l件與結(jié)論有何聯(lián)系。這時(shí)，這樣想：要求e的范圍（倒推分析），e應(yīng)該是變量，似乎應(yīng)得到e關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)（函數(shù)思想在作引導(dǎo)）,而e=（倒推不下去了，然而倒推分析的思維方法告訴我們，此時(shí)再看條件，與條件聯(lián)系起來(lái)，由條件順推），a為雙曲線方程中的系數(shù),至于c，根據(jù)雙曲線的關(guān)系式c2-a2=b2可得c=（用雙曲線方程的系數(shù)表達(dá)離心率應(yīng)是一個(gè)基本的，自動(dòng)化的過(guò)程即基本技能。自然，若關(guān)系式c2-a2=b2記成a2-c2=b2，解題過(guò)程將破壞殆盡），于是e=（達(dá)到獲得函數(shù)的目標(biāo)）。這時(shí)要得到e的范圍，需要得到a的范圍（求函數(shù)值域的知識(shí)），a的范圍是什么？看條件，雙曲

6、線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。直線與雙曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，是通過(guò)這個(gè)過(guò)程表達(dá)：方程組一元二次方程判別式，交點(diǎn)數(shù)目即方程的解的個(gè)數(shù)，可用判別式確定。（這一過(guò)程程序固定，在解析幾何中常用，應(yīng)作基本技能）從而可得a的范圍。 第（2）問(wèn)增加向量相等條件，求a。這樣想：求未知數(shù)a應(yīng)得到關(guān)于a的方程（方程思想），而相等條件即等量關(guān)系，可用來(lái)獲得方程（方程的知識(shí)）。相等條件可具體表達(dá)為A，B的坐標(biāo)關(guān)系（向量坐標(biāo)運(yùn)算的知識(shí)），而A，B的坐標(biāo)又可通過(guò)韋達(dá)定理與雙曲線方程中的a聯(lián)系（由直線與曲線相交的方程組表達(dá)模式可知）。于是，關(guān)于a的方程可以形成，a可求。 在實(shí)現(xiàn)上述思路過(guò)程中會(huì)遇到障礙。其一、忘記方程（3）中的1a2

7、0（一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)非零規(guī)定在變系數(shù)問(wèn)題中應(yīng)反復(fù)訓(xùn)練以形成模式，作為基本技能）。其二是在得出關(guān)系式（4）（5）（6）后做不下去，不知如何求a。這時(shí)，如果具備方程思想和目標(biāo)意識(shí)，視（4）（5）（6）為三元方程組，在解方程組的基本思想消元思想引導(dǎo)下，想到消去不需要的X1、X2，又用消元的基本方法代入消元法，逐步減少元的個(gè)數(shù)，從而可求得a 。 對(duì)案例2來(lái)說(shuō)，求直線的方程即求直線方程的系數(shù)（倒推分析），從而需要建立關(guān)于系數(shù)的方程（方程的思想），這個(gè)想法指引著去尋找等量關(guān)系，這就注意三等分線段的條件，三等分線段如何表達(dá)？用向量關(guān)系，定比分點(diǎn)公式，還是線段長(zhǎng)度關(guān)系表達(dá)？（這是個(gè)基本技能問(wèn)題，也是個(gè)

8、思維塊問(wèn)題，若此基本技能熟練的話，就會(huì)作出用向量表達(dá)的選擇）。如何具體表達(dá)呢？有如上面解答中表成=且=，也可表成=且=3或其它，但若僅表成=3就有問(wèn)題了（等價(jià)思想告訴我們此式與“三等分線段”不等價(jià)），得到坐標(biāo)關(guān)系式（1）（2）后，再用解決直線與曲線交點(diǎn)問(wèn)題的方程組模式得出根與系數(shù)的關(guān)系（4）（6）式，在方程的思想引導(dǎo)下，消去x1、x2、x3、x4得到關(guān)于m、k的方程，這就需要將（1）（2）與（4）（6）式中的x1+x2與x3+x4形式比較，對(duì)（1）（2）式用“湊”的思想，結(jié)合成（4）（6）的形式。此題的解答過(guò)程有四處難關(guān)，其一是三等分線段表達(dá)的選擇，其二是（1）（2）（4）（6）式的結(jié)合，其三

9、是得出m=0或k=0后，不知所措。此時(shí)，若具有等價(jià)思想從而對(duì)推出m=0或k=0的過(guò)程作等價(jià)性分析：m=0或k=0僅是三等分線段的必要條件。因此需要代入方程求解再檢驗(yàn)。其四，解題過(guò)程“長(zhǎng)”,運(yùn)算量大，需要良好的運(yùn)算能力及熟練的基本技能。還有一點(diǎn)是易遺漏所求直線垂直于x軸的考慮，對(duì)直線方程四種形式的表達(dá)范圍，學(xué)生都會(huì)清楚，但使用起來(lái)，往往疏忽，這就應(yīng)將此作為基本技能，使其應(yīng)用時(shí)程序化。2、對(duì)教學(xué)的反思通過(guò)如上解讀，我們可以領(lǐng)會(huì)到以能力立意，既考查知識(shí)，又注重能力考查的高考試題的具體內(nèi)涵。 知識(shí)、能力 、創(chuàng)新意識(shí)是我們教學(xué)的目標(biāo)。章建躍先生說(shuō)過(guò)：“在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中體現(xiàn)出來(lái)的能力，其實(shí)質(zhì)是能根據(jù)問(wèn)題情

10、景重組已有數(shù)學(xué)知識(shí)，能正確、迅速地檢索、選擇和提取相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)并及時(shí)轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)牟僮鞒绦?，從而使?wèn)題從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槟繕?biāo)狀態(tài)，”由此可見，解題能力表現(xiàn)為“重組已有數(shù)學(xué)知識(shí)”，就是說(shuō)既要具備知識(shí)基礎(chǔ)又會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行“重組”。如何重組？這就需要思維方法、思維習(xí)慣和思想方法。而要“正確、迅速”似乎應(yīng)有熟練的基本技能和良好的思維習(xí)慣，“選擇、提取、轉(zhuǎn)化”應(yīng)是運(yùn)用思想方法和思維方法的表現(xiàn)。從以上解題順利完成所需要的要素分析來(lái)看，也證實(shí)了上述看法。因此，在我們的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)從知識(shí)、基本技能、思想方法上著力。 2.1 應(yīng)構(gòu)建有機(jī)的知識(shí)結(jié)構(gòu) 知識(shí)是能力的基礎(chǔ)。知識(shí)是發(fā)展能力的基礎(chǔ)，也是能力表達(dá)的基礎(chǔ)。在上述案例

11、1中，若忘記a、b、c的關(guān)系，很難設(shè)想能求出e的范圍。有媒體稱某大數(shù)學(xué)家解不出中學(xué)生請(qǐng)教的奧數(shù)題，實(shí)不為奇。 而要能正確、迅速地檢索、選擇和提取相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，其前提是具備良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。因此，對(duì)概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識(shí)要準(zhǔn)確理解，既要理解概念、定理、公式本身又要理解與其它知識(shí)的聯(lián)系。教師要充分認(rèn)識(shí)到學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解過(guò)程是以自己的經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)新知識(shí)的過(guò)程。教學(xué)中，對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)要以學(xué)生的認(rèn)知水平為基礎(chǔ)，以適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)形式，幫助學(xué)生同化、順應(yīng)新知，以形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。這種適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)形式，可以是以舊引新，按照數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的自身擴(kuò)張?zhí)攸c(diǎn)，在舊知基礎(chǔ)上，設(shè)置問(wèn)題，引出新知從而顯示知識(shí)間的聯(lián)系、傳承和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，易

12、于知識(shí)的系統(tǒng)化理解。也可以是以生活實(shí)踐例子創(chuàng)設(shè)情境，給學(xué)生以豐富生動(dòng)的形象感知，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)興趣和生活經(jīng)驗(yàn)，為知識(shí)建構(gòu)鋪路，又感受數(shù)學(xué)知識(shí)的具體、生動(dòng)、親和性，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象過(guò)程。還可以是以學(xué)習(xí)中解決問(wèn)題時(shí)遇到的矛盾為源泉，設(shè)置矛盾沖突，引起懸念，從而在解決矛盾過(guò)程中產(chǎn)生新知。 要認(rèn)識(shí)到知識(shí)理解的階段性。如一元二次方程的韋達(dá)定理，初學(xué)時(shí)直接應(yīng)用沒(méi)什么問(wèn)題，但在處理雙曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，會(huì)出現(xiàn)用韋達(dá)定理可求出弦所在直線的斜率，但實(shí)際滿足條件的直線不存在這樣的情況，這就需要在此時(shí)讓學(xué)生明白其中的道理。 要認(rèn)識(shí)到知識(shí)理解的層次性。對(duì)知識(shí)的理解有感性層面的，有孤立層面的，有系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)層面的。對(duì)一些重要

13、的核心基本知識(shí)要注意縱橫聯(lián)系，結(jié)成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成有機(jī)的知識(shí)結(jié)構(gòu) 。 教學(xué)中，對(duì)概念、定理等知識(shí)說(shuō)文解字式的解讀教學(xué)方法難以使學(xué)生對(duì)知識(shí)獲得有效的理解。2.2應(yīng)形成熟練的基本技能 “技能的熟練使知識(shí)的運(yùn)用不再是孤立的，而是成塊的，可以使思維清晰、準(zhǔn)確、快捷、高效，特別是基本技能的熟練達(dá)到自動(dòng)化階段，即技巧性技能階段時(shí)，就可以把時(shí)間和注意力更集中于思考問(wèn)題的本質(zhì)”（2），由此可見熟練的技能對(duì)解題的影響。那么，什么是技能呢？張孝達(dá)先生指出：“數(shù)學(xué)技能是可以按照一定步驟來(lái)進(jìn)行的簡(jiǎn)單運(yùn)算，基本作圖和畫圖，簡(jiǎn)單推理，以及用數(shù)學(xué)符號(hào)、語(yǔ)言來(lái)表達(dá)的簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)事實(shí)”。潘菽主編的教育心理學(xué)稱“技能是順利完成某種任

14、務(wù)的一種活動(dòng)方式或心智活動(dòng)方式，它是通過(guò)練習(xí)獲得的”。曹才翰先生在他的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論中舉例說(shuō)“學(xué)生懂得換元法，是知識(shí)，學(xué)生掌握換元法的步驟和過(guò)程（從活動(dòng)的性質(zhì)和特點(diǎn)來(lái)分析的）是技能；但是判斷什么時(shí)候使用換元法，在元不明顯時(shí)怎樣構(gòu)造元，則是能力了”。作為基本技能，還應(yīng)具有另一特征，即在解題活動(dòng)的一定范圍內(nèi)，使用的頻率較高。 據(jù)此，分析上面的解題過(guò)程可知：直線與二次曲線的交點(diǎn)數(shù)目用方程的解的數(shù)目繼而用一元方程的解的數(shù)目及判別式判斷，這一過(guò)程程序清晰，確定，而且在圓錐曲線問(wèn)題中大量應(yīng)用，應(yīng)是基本技能。一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)的“非零”規(guī)定，經(jīng)常在相關(guān)問(wèn)題中應(yīng)用而且常常被學(xué)生忽視也應(yīng)作為基本技能。明

15、白熟練的基本技能對(duì)解題活動(dòng)的影響的意義并不困難，困難而且重要的是如何確定教學(xué)中的基本技能?；炯寄懿幌蟾拍?、定理、公式等知識(shí)那樣明顯，需要教師按照教學(xué)大綱的要求，在大量解題活動(dòng)中通過(guò)細(xì)心的分析、概括后領(lǐng)會(huì)而得出。因此，教師的一項(xiàng)重要工作是確定各教學(xué)單元的基本技能。另一個(gè)重要問(wèn)題就是如何讓學(xué)生獲得熟練的基本技能。由心理學(xué)的“技能”概念可知，技能 是通過(guò)練習(xí)獲得的，這就指明了技能獲得的途徑。然而，大量而盲目的練習(xí)是不可取的，它可能會(huì)扼殺學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造力。技能的訓(xùn)練貴在一個(gè)“效率”，訓(xùn)練 的次數(shù)、訓(xùn)練的過(guò)程都需要考慮。筆者以為變式訓(xùn)練是一種有效的方法。2.3應(yīng)領(lǐng)會(huì)基本的思想方法 數(shù)學(xué)思想方法是

16、數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括。數(shù)學(xué)思想方法有三個(gè)層面：一個(gè)層面是帶普遍意義的思想觀點(diǎn)。如數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想、坐標(biāo)法的思想、根限思想、公理化思想等，它對(duì)問(wèn)題的解決有導(dǎo)向和護(hù)航作用。第二個(gè)層面是一般的思維方法和一般解題的思維方法。一般思維方法如分析、綜合、歸納、演繹、類比、聯(lián)想、猜想、推廣、限定等，它形成人的良好的理性思維習(xí)慣，優(yōu)化思考問(wèn)題的思維方式。一般策略性解題思維方法如模式識(shí)別、映射化歸、差異分析、分合并用、進(jìn)退互化、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合，以美啟真、倒推分析 等，能提高解題思路的探尋水平。 第三個(gè)層面是具體解題方法。它可分為如換元法、待定系數(shù)法、割補(bǔ)法、反證法之類的解題的基本方法與解決某類具體問(wèn)題的方法如二次式問(wèn)題的配方法，找二面角的平面角的定義法、三垂線定理法。 具體的解題方法的運(yùn)用“看得見，模得著”，學(xué)生易于即時(shí)接受。 三個(gè)層面的思想方法的抽象性由高到低，適應(yīng)面由寬到窄，可接受性由難到易。第一、二個(gè)層面的思想方法的領(lǐng)會(huì)具有長(zhǎng)期性。而能力要求高的問(wèn)題的解決順利成功與否與第一、二個(gè)層面的思想方法的領(lǐng)會(huì)與自覺(jué)運(yùn)用水平直接相關(guān)。從前述的案例分析中可以看到，如果缺乏一般思想方法和思維方法，解題思路的切入點(diǎn)、整體走向、過(guò)程中的“關(guān)卡”突破將無(wú)法獲得。 因此，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)乃至自覺(jué)運(yùn)用基本的思想方