必修四⑧平面向量數(shù)量積

1、平面向量數(shù)量積（一）主要知識：1平面向量數(shù)量積的概念；2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：、；3向量垂直的充要條件：（二）主要方法：1注意向量夾角的概念和兩向量夾角的范圍； 2垂直的充要條件的應(yīng)用；3當(dāng)角為銳角或鈍角，求參數(shù)的范圍時注意轉(zhuǎn)化的等價性；4距離，角和垂直可以轉(zhuǎn)化到向量的數(shù)量積問題來解決 （三）平面向量的應(yīng)用一個是向量在幾何中的應(yīng)用，一個是向量在物理中應(yīng)用。（一）平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算及向量的模問題相關(guān)鏈接1、向量的數(shù)量積有兩種計算方法，一是利用公式來計算，二是利用來計算，具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用。2、利用數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問

2、題的處理方法：例已知，與的夾角為，求：（1）；（2）。思路解析：利用平面向量數(shù)量積的定義及其運(yùn)算律，可求出第（1）問；求可先求，再開方。解答：（1），=（2），（二）平面向量的垂直問題相關(guān)鏈接1、非零向量2、當(dāng)向量與是非坐標(biāo)形式時，要把、用已知的不共線的向量表示。注：把向量都用坐標(biāo)表示，并不一定都能夠簡化運(yùn)算，要因題而異。例已知向量，（1）求證：;（2）若存在不等于0的實數(shù)k和t，使?jié)M足試求此時的最小值。思路解析：（1）可通過求證明;（2）由得，即求出關(guān)于k，t的一個方程，從而求出的代數(shù)表達(dá)式，消去一個量k，得出關(guān)于t的函數(shù)，從而求出最小值。解答：（1）（2）由得：，即（三）平面向量的夾角問題

3、相關(guān)鏈接1、當(dāng)與是非坐標(biāo)形式時，求與的夾角。需求得及或得出它們的關(guān)系。2、若已知與的坐標(biāo)，則可直接利用公式.注：平面向量、的夾角例題解析例已知、都是非零向量，且+3與垂直，與垂直，求與的夾角。思路解析：把向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0聯(lián)立求與的關(guān)系應(yīng)用夾角公式求結(jié)果。解答：（四）向量的綜合應(yīng)用例1設(shè)ABC的外心為O，則圓O為ABC的外接圓，垂心為H。求證：思路解析：本題的關(guān)鍵是探求的聯(lián)系，利用向量的三角形法則可得下一步需確定的關(guān)系，由條件O為ABC的外心，可延長BO交圓于O于點(diǎn)D，連AD、DC，利用圓周角是直角的性質(zhì)可證四邊形ANCD為平行四邊形，從而問題得以解決。解答：延長BO交圓O于D點(diǎn)，連AD

4、、DC，則BD為圓O的直徑，故BCD=BAD=900。又AEBC，DCBC。各AH/DC，同理DA/CH。四邊形ANCD為平行四邊形，。又又注：利用平面向量的知識解決平面幾何問題，關(guān)鍵是充分挖掘題目中的條件，本題中O為外心，H為垂心，在本題中作用最大；另外，平面解析幾何中的一些性質(zhì)在解題中也有很大的用處。例2已知力與水平方向的夾角為30（斜向上），的大小為50N，拉著一個重80N的木塊在摩擦系數(shù)=0.02的水平平面上運(yùn)動了20m，問和摩擦力所做的功分別是多少？(g=10 N/kg).思路解析：力在位移上所做的功，是向量乘積的物理含義，要先求出力，和位移的夾角，然后應(yīng)用數(shù)量積公式求解。解答：設(shè)木塊的位移為則，在鉛垂方向上分力大小為sin30=50=25(N).=810=80(N)摩擦力的大小為，=1.120(-1)=-22(J).所做的功分別是500J、22J。注：力在力的位移上所做的功，就是力與位移所對應(yīng)兩向量的數(shù)量積。故在解決此類問題時可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算，據(jù)題意構(gòu)造平面圖形，