實驗數(shù)據(jù)誤差分析與數(shù)據(jù)處理

1、第一章 實驗數(shù)據(jù)誤差分析與數(shù)據(jù)處理第一節(jié) 實驗數(shù)據(jù)誤差分析一、概述由于實驗方法和實驗設(shè)備的不完善，周圍環(huán)境的影響，以及人的觀察力，測量程序等限制，實 驗測量值和真值之間，總是存在一定的差異，在數(shù)值上即表現(xiàn)為誤差。為了提高實驗的精度， 縮小實驗觀測值和真值之間的差值，需要對實驗數(shù)據(jù)誤差進行分析和討論。實驗數(shù)據(jù)誤差分析并不是即成事實的消極措施， 而是給研究人員提供參與科學(xué)實驗的積極武器， 通過誤差分析，可以認清誤差的來源及影響，使我們有可能預(yù)先確定導(dǎo)致實驗總誤差的最大組 成因素，并設(shè)法排除數(shù)據(jù)中所包含的無效成分，進一步改進實驗方案。實驗誤差分析也提醒我 們注意主要誤差來源，精心操作，使研究的準確度

2、得以提高。二、實驗誤差的來源 實驗誤差從總體上講有實驗裝置（包括標準器具、儀器儀表等） 、實驗方法、實驗環(huán)境、實驗人 員和被測量五個來源。1. 實驗 裝置誤差 測量裝置是標準器具、儀器儀表和輔助設(shè)備的總體。實驗裝置誤差是指由測量裝置產(chǎn)生的測量 誤差。它來源于：（1）標準器具誤差標準器具是指用以復(fù)現(xiàn)量值的計量器具。 由于加工的限制， 標準器復(fù)現(xiàn)的量值單位是有誤差的。 例如，標準刻線米尺的 0 刻線和 1 000 mm 刻線之間的實際長度與 1 000 mm 單位是有差異的。 又如，標稱值為 1kg 的砝碼的實際質(zhì)量（真值）并不等于 1kg 等等。（2）儀器儀表誤差 凡是用于被測量和復(fù)現(xiàn)計量單位的

3、標準量進行比較的設(shè)備，稱為儀器或儀表它們將被測量轉(zhuǎn) 換成可直接觀察的指示值。例如，溫度計、電流表、壓力表、干涉儀、天平，等等。由于儀器儀表在加工、裝配和調(diào)試中，不可避免地存在誤差，以致儀器儀表的指示值不等于被 測量的真值，造成測量誤差。例如，天平的兩臂不可能加工、調(diào)整到絕對相等，稱量時，按天 平工作原理，天平平衡被認為兩邊的質(zhì)量相等。但是，由于天平的不等臂，雖然天平達到平衡， 但兩邊的質(zhì)量并不等，即造成測量誤差。（3）附件誤差 為測量創(chuàng)造必要條件或使測量方便地進行而采用的各種輔助設(shè)備或附件，均屬測量附件。如電 測量中的轉(zhuǎn)換開關(guān)及移動測點、電源、熱源和連接導(dǎo)線等均為測量附件，且均產(chǎn)生測量誤差。

4、又如，熱工計量用的水槽，作為溫度測量附件，提供測量水銀溫度計所需要的溫場，由于水槽 內(nèi)各處溫度的不均勻，便引起測量誤差，等等。按裝置誤差具體形成原因， 可分為結(jié)構(gòu)性的裝置誤差、 調(diào)整性的裝置誤差和變化性的裝置誤差。 結(jié)構(gòu)性的裝置誤差如：天平的不等臂，線紋尺刻線不均勻，量塊工作面的不平行性，光學(xué)零件 的光學(xué)性能缺陷，等等。這些誤差大部分是由于制造工藝不完善和長期使用磨損引起的。調(diào)整 性的裝置誤差如投影儀物鏡放大倍數(shù)調(diào)整不準確，水平儀的零位調(diào)整不準確，千分尺的零位調(diào) 整不準確，等等。這些誤差是由于儀器儀表在使用時，未調(diào)整到理想狀態(tài)引起的。變化性的裝 置誤差如：激光波長的長期不穩(wěn)定性，電阻等元器件的

5、老化，晶體振蕩器頻率的長期漂移，等 等。這些誤差是由于儀器儀表隨時間的不穩(wěn)定性和隨空間位置變化的不均勻性造成的。2. 環(huán)境誤差環(huán)境誤差系指測量中由于各種環(huán)境因素造成的測量誤差。 被測量在不同的環(huán)境中測量，其結(jié)果是不同的。這一客觀事實說明，環(huán)境對測量是有影響的， 是測量的誤差來源之一。環(huán)境造成測量誤差的主要原因是測量裝置包括標準器具、儀器儀表、 測量附件同被測對象隨著環(huán)境的變化而變化著。測量環(huán)境除了偏離標準環(huán)境產(chǎn)生測量誤差以外，從而引起測量環(huán)境微觀變化的測量誤差。3. 方法誤差方法誤差系指由于測量方法（包括計算過程）不完善而引起的誤差。 事實上，不存在不產(chǎn)生測量誤差的盡善盡美的測量方法。由測量方

6、法引起的測量誤差主要有下 列兩種情況：第一種情況：由于測量人員的知識不足或研究不充分以致操作不合理，或?qū)y量方法、測量程 序進行錯誤的簡化等引起的方法誤差。第二種情況：分析處理數(shù)據(jù)時引起的方法誤差。例如，軸的周長可以通過測量軸的直徑d,然后由公式：L = nd計算得到。但是，在計算中只能取其近似值，因此，計算所得的L也只能是近似值,從而引起周長 L 的誤差。4. 人員誤差人員誤差系指測量人員由于生理機能的限制, 固有習(xí)慣性偏差以及疏忽等原因造成的測量誤差。 由于測量人員在長時間的測量中,因疲勞或疏忽大意發(fā)生看錯、讀錯、聽錯、記錯等錯誤造成 測量誤差,這類誤差往往相當大是測量所不容許的。為此,要

7、求測量人員養(yǎng)成嚴格而謹慎的習(xí) 慣,在測量中認真操作并集中精力,從制度上規(guī)定,對某些準確性較高而又重要的測量,由另 一名測量人員進行復(fù)核測量。5. 測量對象變化誤差 被測對象在整個測量過程中處在不斷地變化中。由于測量對象自身的變化而引起的測量誤差稱 為測量對象變化誤差。例如,被測溫度計的溫度,被測線紋尺的長度,被測量塊的尺寸等,在測量過程中均處于不停 地變化中,由于它們的變化,使測量不準而帶來誤差。三、誤差的分類 誤差是實驗測量值（包括間接測量值）與真值（客觀存在的準確值）之差別,誤差可以分為下 面三類：1. 系統(tǒng)誤差由某些固定不變的因素引起的。 在相同條件下進行多次測量, 其誤差的數(shù)值大小正負

8、保持恒定, 或誤差隨條件按一定規(guī)律變化。單純增加實驗次數(shù)是無法減少系統(tǒng)誤差的影響,因為它在反復(fù) 測定的情況下常保持同一數(shù)值與同一符號,故也稱為常差。系統(tǒng)誤差有固定的偏向和確定的規(guī) 律,可按原因采取相應(yīng)的措施給予校正或用公式消除。2. 隨機誤差（偶然誤差）由一些不易控制的因素引起, 如測量值的波動,肉眼觀察誤差等等。 隨機誤差與系統(tǒng)誤差不同, 其誤差的數(shù)值和符號不確定,它不能從實驗中消除,但它服從統(tǒng)計規(guī)律,其誤差與測量次數(shù)有 關(guān)。隨著測量次數(shù)的增加,出現(xiàn)的正負誤差可以相互抵消,故多次測量的算術(shù)平均值接近于真值。3. 過失誤差 由實驗人員粗心大意,如讀數(shù)錯誤,記錄錯誤或操作失誤引起。這類誤差與正常

9、值相差較大, 應(yīng)在整理數(shù)據(jù)時加以剔除。四、實驗數(shù)據(jù)的真值與平均值1. 真值 真值是指某物理量客觀存在的確定值,它通常是未知的。雖然真值是一個理想的概念,但對某 一物理量經(jīng)過無限多次的測量,出現(xiàn)的誤差有正、有負,而正負誤差出現(xiàn)的概率是相同的。因 此,若不存在系統(tǒng)誤差,它們的平均值相當接近于這一物理量的真值。故真值等于測量次數(shù)無 限多時得到的算術(shù)平均值。由于實驗工作中觀測的次數(shù)是有限的,由此得出的平均值只能近似 于真值,故稱這個平均值為最佳值。2. 平均值 油氣儲運實驗中常用的平均值有：（1）算術(shù)平均值設(shè)xi,X2,. , xn為各次測量值，n為測量次數(shù)，則算術(shù)平均值為：一 Ai +x2 +3 +

10、 A + 兀 7-A 二=算術(shù)平均值是最常用的一種平均值，因為測定值的誤差分布一般服從正態(tài)分布，可以證明算術(shù) 平均值即為一組等精度測量的最佳值或最可信賴值。（2）均方根平均值（3）幾何平均值五、誤差的表示方法1. 絕對誤差測量值與真值之差的絕對值稱為測量值的誤差，即絕對誤差。在實際工作中常以最佳值代替真 值，測量值與最佳值之差稱為殘余誤差，習(xí)慣上也稱為絕對誤差。設(shè)測量值用x表示，真值用X表示，則絕對誤差 D為D=|X-x|如在實驗中對物理量的測量只進行了一次，可根據(jù)測量儀器出廠鑒定書注明的誤差，或取測量儀器最小刻度值的一半作為單次測量的誤差。如某壓力表精（確）度為1.5級，即表明該儀表最大誤差

11、為相當檔次最大量程的1.5%，若最大量程為0.4MPa，該壓力表的最大誤差為：0.4 X 1.5%=0.006MPa如實驗中最常用的U形管壓差計、轉(zhuǎn)子流量計、秒表、量筒等儀表原則上均取其最小刻度值為最大誤差，而取其最小刻度值的一半作為絕對誤差計算值。2. 相對誤差絕對誤差D與真值的絕對值之比，稱為相對誤差：e%=D/|X|式中真值X 一般為未知，用平均值代替。3. 算術(shù)平均誤差算術(shù)平均誤差的定義為：xi測量值，i=1,2,3, . , n ;di測量值與算術(shù)平均值（x ）之差的絕對值，di= x Xi .4. 標準誤差（均方誤差）對有限測量次數(shù)，標準誤差表示為：標準誤差是目前最常用的一種表示精

12、確度的方法，它不但與一系列測量值中的每個數(shù)據(jù)有關(guān)，而且對其中較大的誤差或較小的誤差敏感性很強，能較好地反映實驗數(shù)據(jù)的精確度，實驗愈精確，其標準誤差愈小。六、精密度、正確度和準確度1、精密度精密度是指對同一被測量作多次重復(fù)測量時，各次測量值之間彼此接近或分散的程度。它是對隨機誤差的描述，它反映隨機誤差對測量的影響程度。隨機誤差小，測量的精密度 就高。如果實驗的相對誤差為 0.01%且誤差由隨機誤差引起，則可以認為精密度為10-4。2、正確度正確度是指被測量的總體平均值與其真值接近或偏離的程度。它是對系統(tǒng)誤差的描述，它反映系統(tǒng)誤差對測量的影響程度。系統(tǒng)誤差小，測量的正確度就高。如果實驗的相對誤差為

13、0.01%且誤差由系統(tǒng)誤差引起，則可以認為正確度為 10-4。3、準確度準確度是指各測量值之間的接近程度和其總體平均值對真值的接近程度。它包括了精 密度和正確度兩方面的含義。它反映隨機誤差和系統(tǒng)誤差對測量的綜合影響程度。只有隨 機誤差和系統(tǒng)誤差都非常小，才能說測量的準確度高。若實驗的相對誤差為 0.01%且誤差由系統(tǒng)誤差和隨機誤差共同引起，則可以認為精確度為10-4。七、實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)與記數(shù)法任何測量結(jié)果或計算的量，總是表現(xiàn)為數(shù)字，而這些數(shù)字就代表了欲測量的近似值。究竟對這 些近似值應(yīng)該取多少位數(shù)合適呢？應(yīng)根據(jù)測量儀表的精度來確定，一般應(yīng)記錄到儀表最小刻度 的十分之一位。例如：某液面計標尺的

14、最小分度為1mm，則讀數(shù)可以到0.1mm。如在測定時液位高在刻度524mm 與525mm 的中間，則應(yīng)記液面高為 524.5mm，其中前三位是直接讀出的， 是準確的，最后一位是估計的，是欠準的，該數(shù)據(jù)為4位有效數(shù)。如液位恰在 524mm刻度上，該數(shù)據(jù)應(yīng)記為524.0mm，若記為524mm，則失去一位（末位）欠準數(shù)字?？傊?，有效數(shù)中應(yīng)有而且只能有一位（末位）欠準數(shù)字。由上可見，當液位高度為 524.5mm 時，最大誤差為土 0.5mm，也就是說誤差為末位的一半。在科學(xué)與工程中，為了清楚地表達有效數(shù)或數(shù)據(jù)的精度，通常將有效數(shù)寫出并在第一位數(shù)后加 小數(shù)點，而數(shù)值的數(shù)量級由10的整數(shù)幕來確定，這種以1

15、0的整數(shù)幕來記數(shù)的方法稱科學(xué)記數(shù) 法。例如：0.0088應(yīng)記為8.8 X 10-3, 88000 （有效數(shù)3位）記為8.80 X 104。應(yīng)注意科學(xué)記數(shù) 法中，在10的整數(shù)幕之前的數(shù)字應(yīng)全部為有效數(shù)。有效數(shù)字進行運算時，運算結(jié)果仍為有效數(shù)字?？偟囊?guī)則是：可靠數(shù)字與可靠數(shù)字運算后仍為可靠數(shù)字，可疑數(shù)字與可疑數(shù)字運算后仍為可疑數(shù)字，可靠數(shù)字與可疑數(shù)字運算 后為可疑數(shù)字，進位數(shù)可視為可靠數(shù)字。對于已經(jīng)給出了不確定度的有效數(shù)字，在運算時應(yīng)先計算出運算結(jié)果的不確定度，然后根據(jù)它決定結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)。加減運算規(guī)則：A. 如果已知參與加減運算的各有效數(shù)字的不確定度，貝y先算出計算結(jié)果的不確定度，并保 留1

16、-2位，然后確定計算結(jié)果的有效位數(shù)。B. 如果沒給出參與加減運算的各有效數(shù)字的不確定度，則先找出可疑位最高的那個有效數(shù) 字，計算結(jié)果的可疑位應(yīng)與該有效數(shù)字的可疑位對齊。乘除運算規(guī)則若干個有效數(shù)字相乘除時，計算結(jié)果（積或商）的有效數(shù)字位數(shù)在大多數(shù)情況下與參與運算的有效數(shù)字位數(shù)最少的那個分量的有效位數(shù)相同。 乘方、開方運算規(guī)則有效數(shù)字在乘方或開方時，若乘方或開方的次數(shù)不太高，其結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與原 底數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。對數(shù)運算規(guī)則有效數(shù)字在取對數(shù)時，其有效數(shù)字的位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同或多取1位。第二節(jié)實驗數(shù)據(jù)處理基本方法數(shù)據(jù)處理是指從獲得數(shù)據(jù)開始到得出最后結(jié)論的整個加工過程，包括數(shù)據(jù)記

17、錄、整理、計 算、分析和繪制圖表等。數(shù)據(jù)處理是實驗工作的重要內(nèi)容，涉及的內(nèi)容很多，這里僅介紹一些 基本的數(shù)據(jù)處理方法。一、列表法對一個物理量進行多次測量或研究幾個量之間的關(guān)系時，往往借助于列表法把實驗數(shù)據(jù)列 成表格。其優(yōu)點是，使大量數(shù)據(jù)表達清晰醒目，條理化，易于檢查數(shù)據(jù)和發(fā)現(xiàn)問題，避免差錯， 同時有助于反映出物理量之間的對應(yīng)關(guān)系。所以，設(shè)計一個簡明醒目、合理美觀的數(shù)據(jù)表格， 是每一個同學(xué)都要掌握的基本技能。列表沒有統(tǒng)一的格式，但所設(shè)計的表格要能充分反映上述優(yōu)點，應(yīng)注意以下幾點：1 各欄目均應(yīng)注明所記錄的物理量的名稱（符號）和單位；2欄目的順序應(yīng)充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計算順序，力求簡明、齊全、有

18、條理；3. 表中的原始測量數(shù)據(jù)應(yīng)正確反映有效數(shù)字，數(shù)據(jù)不應(yīng)隨便涂改， 確實要修改數(shù)據(jù)時， 應(yīng)將原來數(shù)據(jù)畫條杠以備隨時查驗；4對于函數(shù)關(guān)系的數(shù)據(jù)表格，應(yīng)按自變量由小到大或由大到小的順序排列，以便于判斷和處理。二、圖解法圖線能夠直觀地表示實驗數(shù)據(jù)間的關(guān)系，找出物理規(guī)律，因此圖解法是數(shù)據(jù)處理的重要方 法之一。圖解法處理數(shù)據(jù)，首先要畫出合乎規(guī)范的圖線，其要點如下：1. 選擇圖紙 作圖紙有直角坐標紙（即毫米方格紙）、對數(shù)坐標紙和極坐標紙等，根據(jù)作圖 需要選擇。在物理實驗中比較常用的是毫米方格紙，其規(guī)格多為17 25cm。2. 曲線改直由于直線最易描繪，且直線方程的兩個參數(shù)（斜率和截距）也較易算得。所以對

19、于兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系是非線性的情形，在用圖解法時應(yīng)盡可能通過變量代換將非線性的 函數(shù)曲線轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性函數(shù)的直線。下面為幾種常用的變換方法。(1) xy1c（ c為常數(shù)）。令z，則y cz,即y與z為線性關(guān)系。x(2) x 1c.、y （ c為常數(shù)）。令z x,則y2 z，即y與z為線性關(guān)系。c(3) yax （ a和b為常數(shù)）。等式兩邊取對數(shù)得，lg y lga big x。于是，igy與igx為線性關(guān)系，b為斜率，lga為截距。(4) yae （ a和b為常數(shù)）。等式兩邊取自然對數(shù)得，in y in a bx。于是，in y與x為線性關(guān)系，b為斜率，in a為截距。3. 確定坐標比例與標度

20、合理選擇坐標比例是作圖法的關(guān)鍵所在。作圖時通常以自變量作橫坐標（x軸），因變量作縱坐標（y軸）。坐標軸確定后，用粗實線在坐標紙上描出坐標軸，并注明坐標軸所代表物理量的符號和單位。坐標比例是指坐標軸上單位長度 （通常為1 cm）所代表的物理量大小。坐標比例的選取應(yīng)注 意以下幾點：（1）原則上做到數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖上應(yīng)是可靠的，即坐標軸上的最小分度（1mm ）對應(yīng)于實驗數(shù)據(jù)的最后一位準確數(shù)字。坐標比例選得過大會損害數(shù)據(jù)的準確度。（2）坐標比例的選取應(yīng)以便于讀數(shù)為原則，常用的比例為“1 ： 1”、“1 ： 2”、“1 : 5” （包括“ 1 : 0.1 ”、“1 ： 10”），即每厘米代表“ 1、

21、2、5”倍率單位的物理量。切勿采用復(fù)雜的比例關(guān)系口 “ 1 : 3”、“1 ： 7”、“1 : 9”等。這樣不但不易繪圖，而且讀數(shù)困難。坐標比例確定后，應(yīng)對坐標軸進行標度，即在坐標軸上均勻地（一般每隔2cm ）標出所代表物理量的整齊數(shù)值，標記所用的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。標度不一定 從零開始，一般用小于實驗數(shù)據(jù)最小值的某一數(shù)作為坐標軸的起始點，用大于實驗數(shù)據(jù)最大值 的某一數(shù)作為終點，這樣圖紙可以被充分利用。4. 數(shù)據(jù)點的標出實驗數(shù)據(jù)點在圖紙上用“+”符號標出，符號的交叉點正是數(shù)據(jù)點的位置。若在同一張圖上作幾條實驗曲線，各條曲線的實驗數(shù)據(jù)點應(yīng)該用不同符號（如x、O等）標出，以

22、示區(qū)別。5. 曲線的描繪由實驗數(shù)據(jù)點描繪出平滑的實驗曲線，連線要用透明直尺或三角板、曲線板等擬合。根據(jù)隨機誤差理論，實驗數(shù)據(jù)應(yīng)均勻分布在曲線兩側(cè)，與曲線的距離盡可能小。個 別偏離曲線較遠的點，應(yīng)檢查標點是否錯誤，若無誤表明該點可能是錯誤數(shù)據(jù)，在連線時不予 考慮。對于儀器儀表的校準曲線和定標曲線，連接時應(yīng)將相鄰的兩點連成直線，整個曲線呈折 線形狀。6. 注解與說明在圖紙上要寫明圖線的名稱、坐標比例及必要的說明（主要指實驗條件），并在恰當?shù)胤阶⒚髯髡咝彰?、日期等?. 直線圖解法求待定常數(shù)直線圖解法首先是求出斜率和截距，進而得出完整的線性方程。其步驟如下：（1）選點。在直線上緊靠實驗數(shù)據(jù)兩個端點內(nèi)

23、側(cè)取兩點A（X1,%）、B（X2,y2）,并用不同于實驗數(shù)據(jù)的符號標明，在符號旁邊注明其坐標值（注意有效數(shù)字）。若選取的兩點距離較近，計算斜率時會減少有效數(shù)字的位數(shù)。這兩點既不能在實驗數(shù)據(jù)范圍以外取點，因為它已無實驗根 據(jù)，也不能直接使用原始測量數(shù)據(jù)點計算斜率。（2）求斜率。設(shè)直線方程為ya bx，則斜率為(1-5-1)(1-5-2)b yX2人（3）求截距。截距的計算公式為a y1 bX1三、逐差法當兩個變量之間存在線性關(guān)系，且自變量為等差級數(shù)變化的情況下，用逐差法處理數(shù)據(jù)， 既能充分利用實驗數(shù)據(jù)，又具有減小誤差的效果。具體做法是將測量得到的偶數(shù)組數(shù)據(jù)分成前 后兩組，將對應(yīng)項分別相減，然后再

24、求平均值。例如，在彈性限度內(nèi)，彈簧的伸長量 X與所受的載荷（拉力）F滿足線性關(guān)系F kx實驗時等差地改變載荷，測得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：砝碼質(zhì)量/Kg1.0002.0003.0004.0005.0006.0007.0008.000彈簧伸長位置/cmX1X2X3X4X5X6X7Xs若不加思考進行逐項相減，很自然會采用下列公式計算Xi)(X3X2)(X8 X7 )(X8Xi)結(jié)果發(fā)現(xiàn)除Xi和X8外，其它中間測量值都未用上，它與一次增加7個砝碼的單次測量等價。若用多項間隔逐差，即將上述數(shù)據(jù)分成前后兩組，前一組 然后對應(yīng)項相減求平均，即1X（X5 Xi） （X6 X2）4 4（Xi，X2，X3，X4），

25、后一組（X5,X6,X7,X8），(X7 X3) (X8 X4)這樣全部測量數(shù)據(jù)都用上，保持了多次測量的優(yōu)點，減少了隨機誤差，計算結(jié)果比前面的要準確些。逐差法計算簡便，特別是在檢查具有線性關(guān)系的數(shù)據(jù)時，可隨時“逐差驗證”，及時發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律或錯誤數(shù)據(jù)。四、最小二乘法由一組實驗數(shù)據(jù)擬合出一條最佳直線，常用的方法是最小二乘法。設(shè)物理量y和X之間的滿足線性關(guān)系，則函數(shù)形式為y a bX最小二乘法就是要用實驗數(shù)據(jù)來確定方程中的待定常數(shù)a和b，即直線的斜率和截距。|yyi -我們討論最簡單的情況，即每個測量'圖i-5-2 y的測量偏差值都是等精度的，且假定 X和y值中只有 y有明顯的測量隨機誤差。如果 X和y均 有誤差，只要把誤差相對較小的變量作為a和b要滿足什么要求呢？顯然， 比較合理的a和X即可。由實驗測量得到一組數(shù)據(jù)為 （Xj,yi