高中數(shù)學(xué)必修2《立體幾何初步》教材解讀之一

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何初步教材解讀之一永安一中吳強(qiáng)一義務(wù)教育階段（7-9年級(jí)）已經(jīng)學(xué)習(xí)過的與立體幾何有關(guān)的內(nèi)容在“空間與圖形”部分要求：（1）要求會(huì)畫幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖），會(huì)判斷簡單物體的三視圖，能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌汀＃?）了解直棱柱、圓錐的側(cè)面展開圖，能根據(jù)展開圖判斷和制作立體圖形。（3）了解基本幾何體與其三視圖、展開圖（球除外）之間的關(guān)系；通過典型實(shí)例，知道這種關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用（如物體的包裝）。（4）觀察與現(xiàn)實(shí)生活中的有關(guān)圖片（如照片、簡單的模型圖、平面圖、地圖等），了解并欣賞一些有趣的圖形（如雪

2、花曲線、莫比烏斯帶）。（5）通過背景豐富的實(shí)例，知道物體的陰影是怎么形成的，并能根據(jù)光線的方向辨認(rèn)實(shí)物的陰影（如在陽光下，觀察手的陰影或人的身影）。（6）了解視點(diǎn)、視角及盲區(qū)的涵義，并能在簡單的平面圖和立體圖中表示。因?yàn)?，有許多高中教師并不擔(dān)任初中數(shù)學(xué)的教學(xué)任務(wù)，了解初中階段學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)對于組織高中數(shù)學(xué)教學(xué)是十分重要和必要的。二認(rèn)真研讀課標(biāo)，站在一個(gè)整體、全局的高度把握好教學(xué)的深淺度從整套教材來看，幾何教學(xué)、學(xué)習(xí)的要求不是一步到位，而是分階段，分層次，多角度的一共分為三個(gè)階段：第一階段   必修課程: 數(shù)學(xué)2：立體幾何初步、解析幾何初步第二階段 選修系列1：圓錐曲線與

3、方程系列2 ：空間向量與立體幾何第三階段 選修系列3：球面上的幾何、對稱與群、歐拉公式與封閉曲線、三等分角與數(shù)域擴(kuò)充選修系列4：幾何證明選講、矩陣與變換、坐標(biāo)系與參數(shù)方程。三高中數(shù)學(xué)2新課程中“立體幾何”部分的教學(xué)內(nèi)容結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)習(xí)和教科書的編寫，概括一下，高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分的教學(xué)內(nèi)容：“空間幾何體”教科書內(nèi)容及課時(shí)分配11 空間幾何體的結(jié)構(gòu) 約2課時(shí)12 空間幾何體的三視圖和直觀圖 約2課時(shí)13 空間幾何體的表面積與體積 約2課時(shí)實(shí)習(xí)作業(yè) 約1課時(shí)小 結(jié) 約1課時(shí)2點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系知識(shí)結(jié)構(gòu)2教科書內(nèi)容及課時(shí)分配21 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 約3課時(shí)22 直

4、線、平面平行的判定及其性質(zhì) 約3課時(shí)23 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 約3課時(shí)小 結(jié) 約1課時(shí)四知識(shí)編排方面與傳統(tǒng)的對比全日制教材人教A數(shù)學(xué)21、點(diǎn)、線、面、體的編排體系，即從局部到整體、從抽象到具體的思路，與人的認(rèn)識(shí)規(guī)律不一致；是學(xué)術(shù)形態(tài)；2、不談三視圖、平行投影與中心投影問題，與初中新教材銜接不緊；3、空間向量及其運(yùn)算、直線與平面所成的角、二面角、距離、棱柱和棱錐、球等知識(shí)占據(jù)主要內(nèi)容；4、將空間坐標(biāo)系作為立幾內(nèi)容，與向量運(yùn)算結(jié)合在一起；5、不談表面積，很少談體積，重點(diǎn)在幾何體中線線、線面、面面關(guān)系及度量；6、把公理化作為編寫的基本出發(fā)點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)論證推理、計(jì)算判定；7、把多數(shù)判定定理、性質(zhì)

5、定理作為證明內(nèi)容，突出形式化；8、輕視三種語言的轉(zhuǎn)換，無典型幾何體作為基本模型；9、例題與習(xí)題均包含大量的證明及計(jì)算，通過邏輯推理與度量計(jì)算來確定位置關(guān)系；1、從整體至局部、從具體到抽象，突出直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證、度量計(jì)算，呈現(xiàn)的是人對幾何的認(rèn)識(shí)過程；是教育形態(tài)。2、通過鞏固三視圖知識(shí)，幫助學(xué)生運(yùn)用平行投影與中心投影；3、將其置于選修系列2中，體現(xiàn)螺旋上升； 4、將空間坐標(biāo)系置于解幾內(nèi)容，體現(xiàn)測量性，而且當(dāng)作了解內(nèi)容；5、用一節(jié)內(nèi)容來談表面積與體積，而且把祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積作為探究與發(fā)現(xiàn)內(nèi)容介紹；6、強(qiáng)調(diào)幾何直觀，注重合情推理，適當(dāng)滲透公理化思想；7、僅證明性質(zhì)定理，且是

6、在操作確認(rèn)、猜想論證后才作為定理；8、重視三種語言的轉(zhuǎn)換，將長方體作為基本模型；9、例題與習(xí)題題型多變，包含大量的選擇與填空，通過合情推理來弄清位置關(guān)系；在內(nèi)容安排上，通過研讀課標(biāo)和作新舊教材的如上對比，我們發(fā)現(xiàn)新課程數(shù)學(xué)2中立體幾何初步的內(nèi)容體現(xiàn)了從整體到局部，從具體到抽象的原則而舊教材這部分的內(nèi)容遵循的是從局部到整體的原則同時(shí)在內(nèi)容的難度要求上,數(shù)學(xué)2與舊教材比較，難度進(jìn)行了降低，并且引入了合情推理 立體幾何削弱的內(nèi)容：邏輯推理能力的要求（如判定定理的證明）；三垂線定理與逆定理及其應(yīng)用；簡單幾何體的面積與體積公式的推導(dǎo)等.立體幾何增加的內(nèi)容：三視圖；簡單幾何體的面積和體積（球除外）及其應(yīng)用

7、.立體幾何刪除的內(nèi)容：多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn).五與大綱的比較，有哪些變化（1）安排體系發(fā)生變化，更符合人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律傳統(tǒng)的教材是先學(xué)習(xí)空間點(diǎn)、線、面，再研究由它們組成的幾何體，而課程標(biāo)準(zhǔn)是先展示大量的幾何體的結(jié)構(gòu)，再剖析組成幾何體的點(diǎn)、線、面。這種安排的特點(diǎn)是由整體到部分，由具體到抽象，更加符合人們的認(rèn)知規(guī)律。我們生活在三維世界中，對于一個(gè)物體，首先感受的是它的輪廓，之后才會(huì)對它的側(cè)面、邊角感興趣。（2）重視聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用傳統(tǒng)的立體幾何強(qiáng)調(diào)綜合方法，強(qiáng)調(diào)邏輯推理，這種單一的處理方法使學(xué)生孤立地學(xué)習(xí)立體幾何，從而學(xué)習(xí)難度較大，許多中學(xué)生懼怕立體幾何，解答立體幾何問題總是不理想（立體幾何一直是高考中

8、的難點(diǎn)，位于承上啟下的位置），在課程標(biāo)準(zhǔn)中，比較初步的，不是太難的用綜合方法處理，以培養(yǎng)空間想象能力和邏輯推理能力，而較難處理的問題則采用代數(shù)的方法。從而有利于改變學(xué)生對立體幾何的態(tài)度，建立起學(xué)生學(xué)好立體幾何的信心。更重要的是加強(qiáng)了幾何與代數(shù)的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想，完善數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。加強(qiáng)立體幾何與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用是立體幾何課程改革的又一特色。立體幾何課程從空間幾何體開始，利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量的空間圖形，使學(xué)生歸納出“柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)”。這也就是從生活中來，到生活中去，善于從生活中獲取知識(shí)，也善于將學(xué)到

9、的知識(shí)應(yīng)用于生活，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)視角觀察世界和用數(shù)學(xué)思維思考世界的習(xí)慣。（3）加強(qiáng)直觀，側(cè)重空間想象能力的培養(yǎng)高中立體幾何歷來以培養(yǎng)邏輯思維能力為主要目標(biāo)。而新課程更加強(qiáng)調(diào)空間想象能力的培養(yǎng)，空間觀念的建立，邏輯思維能力的培養(yǎng)退至次要地位。立體幾何的基礎(chǔ)是平面幾何全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）將合情推理引入課程，強(qiáng)調(diào)幾何直觀，在給出大量的平面圖形的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納、概括出若干定理，整個(gè)教學(xué)過程只要求證明8個(gè)定理，目的是讓學(xué)生感受公理化思想和了解證明的含義。立體幾何課程改革同樣引入大量的實(shí)物模型，計(jì)算機(jī)模擬與演示，加強(qiáng)學(xué)生的直觀感受。在數(shù)學(xué)2的立體幾何初步中只給出4個(gè)公理、9個(gè)定理，其

10、中只有4個(gè)定理需要證明，其余4個(gè)判定定理在選修2-1中用向量方法給出證明（比如三垂線定理也用向量方法證明），而選修課程并不是要求所有學(xué)生都掌握的。由此可見，立體幾何的教學(xué)目的由重點(diǎn)培養(yǎng)邏輯思維能力轉(zhuǎn)向培養(yǎng)幾何直觀能力和空間想象能力。然而大量削減邏輯證明會(huì)不會(huì)影響學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，尤其是思維能力和推理能力的提高，有待于實(shí)踐的檢驗(yàn)和進(jìn)一步研究。（4）加強(qiáng)動(dòng)手操作方面的要求2002年數(shù)學(xué)教學(xué)大綱要求學(xué)生能夠“用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖；能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系”，“會(huì)畫直棱柱的直觀圖?！?，“會(huì)畫正棱錐的直觀圖”。課程標(biāo)準(zhǔn)要求“

11、能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)使用材料（如紙板）制作模型，會(huì)用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖”，“用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖”，“畫出某些建筑的視圖與直觀圖”。同學(xué)們在動(dòng)手實(shí)踐的過程中體會(huì)、感受、經(jīng)歷，從而增加對幾何體的認(rèn)識(shí)和對客觀世界的認(rèn)識(shí)，學(xué)生動(dòng)手還體現(xiàn)在讓學(xué)生參與知識(shí)形成過程。以往的大綱只給出終極目標(biāo)，到達(dá)目標(biāo)的途徑?jīng)]有做明確的要求，而課程標(biāo)準(zhǔn)不但明確知識(shí)的終極目標(biāo)，而且明確了到達(dá)終極目標(biāo)的途徑。如“通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理”，“通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理”

12、，“通過對圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)和說理，使學(xué)生進(jìn)一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法”，等等。綜合以上，可見課程標(biāo)準(zhǔn)立體幾何部分從內(nèi)容到要求，從形式到結(jié)構(gòu)都較以往的大綱有較大的改動(dòng)。六、必修二教學(xué)說明與建議（一）棱柱、棱錐、棱臺(tái)這些空間幾何體要求到什么程度？按照標(biāo)準(zhǔn)的要求，教材首先通過實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征。結(jié)構(gòu)特征是這些空間幾何體的本質(zhì)特征，我們需要抽象概括出這些空間幾何體的概念。以棱柱為例，抽象出它的本質(zhì)特征后，要不要講斜棱柱、直棱柱、正棱柱以及棱柱的一些性質(zhì)？由于標(biāo)準(zhǔn)在選修2-1“空間向量與立體幾何”中有“參考案例”例1，例1中

13、明確提出“直三棱柱”，所以必須講。棱錐也有類似的問題，正棱錐怎么講？在何處講？（二）關(guān)于三視圖與幾何直觀能力、空間想象能力視圖和投影是全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）新增的內(nèi)容，作為與初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的銜接，“空間幾何體”包括視圖和投影的內(nèi)容。要求到什么程度？ 1三視圖是不是要求到“長對正、高平齊、寬相等”？與初中階段的相關(guān)內(nèi)容如何銜接？2對于平行投影和中心投影下的視圖與直觀圖，如果只是“通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖和直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式?！?，是不是要求太低了？3如果不明確給出直棱柱、正棱柱、斜棱柱等的概念，棱柱的三視圖能否講清楚？因?yàn)槔庵娜?/p>

14、視圖涉及棱柱的高等概念。增加三視圖的有關(guān)內(nèi)容，對于進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力具有重要的促進(jìn)作用。過去的“立體幾何”內(nèi)容相對來說，這方面比較薄弱。三視圖的有關(guān)內(nèi)容在一定程度上改善了這種狀況。對圖形既需要直觀地感覺，也需要思辨地論證。我們要求學(xué)生能夠畫出空間幾何體的三視圖和直觀圖，能夠從空間幾何體的直觀圖畫出它的三視圖，從三視圖畫出它的直觀圖等等。使得學(xué)生能通過“實(shí)物模型三視圖直觀圖” 這樣一個(gè)相互轉(zhuǎn)化的過程認(rèn)識(shí)空間幾何體。這些數(shù)學(xué)活動(dòng)是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的有效途徑。只有這樣，立體幾何的教學(xué)目標(biāo)才更加全面?；谝陨显?，我們認(rèn)為，教師和學(xué)生應(yīng)該知道正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的“擺放”

15、位置，以及“長對正、高平齊、寬相等”的要求，但尺寸、線條、具體怎么畫不作嚴(yán)格要求。這部分內(nèi)容是初中“投影與視圖”的基礎(chǔ)上的發(fā)展。一個(gè)現(xiàn)實(shí)情況是，“空間幾何體”8個(gè)課時(shí)的容量，留給“空間幾何體的三視圖和直觀圖”僅有2個(gè)課時(shí)的時(shí)間，很多內(nèi)容無法展開。要想說的很清楚，勢必沖破2個(gè)課時(shí)的限制，這顯然違背標(biāo)準(zhǔn)的要求。因此，很多內(nèi)容“點(diǎn)到為止”，要求不高，像上面提到點(diǎn)在平面的射影、空間幾何體的高，平行投影和中心投影下的視圖和直觀圖等幾個(gè)問題，必須明確提到，但要求較低。（三）高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分的教學(xué)內(nèi)容是不是過去“直線、平面、簡單幾何體”內(nèi)容的真子集？單從課時(shí)上看，容易產(chǎn)生這種印象：高中數(shù)學(xué)新

16、課程中“立體幾何”部分的教學(xué)內(nèi)容是過去“直線、平面、簡單幾何體”內(nèi)容的真子集。實(shí)際是這種情況嗎？答案是否定的。從標(biāo)準(zhǔn)和普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2A版（以下簡稱數(shù)學(xué)2）看，高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分新增加了一些內(nèi)容：平行投影、中心投影，三視圖。這些內(nèi)容與義務(wù)教育階段“空間與圖形”中的“視圖與投影”緊密銜接，而“直線、平面、簡單幾何體”沒有這部分內(nèi)容。增加這部分內(nèi)容的主要目的是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)空間圖形，通過三視圖以及空間幾何體與其三視圖的互相轉(zhuǎn)化，對空間圖形有比較完整的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、幾何直觀能力，更全面地把握空間幾何體。投影是視圖的基礎(chǔ)，投影分為平行投影和中

17、心投影。立體幾何中研究的圖形都是平行投影下的圖形。中心投影在日常生活中非常普遍，但不是高中“立體幾何”研究的主要內(nèi)容。有了投影，才有視圖。除了“平行投影、中心投影，三視圖”的內(nèi)容外，其他內(nèi)容是“直線、平面、簡單幾何體”的真子集。（四）教學(xué)過程注意事項(xiàng)備每堂課前要在通讀教材內(nèi)容基礎(chǔ)上，做完課后練習(xí)，以便更好地把握重、難點(diǎn)，例題的選擇、課堂練習(xí)的安排；教學(xué)時(shí)必須留足時(shí)間讓學(xué)生操作確認(rèn)，并用自然語言表述出來；時(shí)時(shí)注意以長方體中的點(diǎn)、線、面為載體，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號(hào)語言； 始終把握數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)：問題中心、設(shè)計(jì)自然（即數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的原過程），引導(dǎo)學(xué)生自己概括出數(shù)學(xué)本質(zhì)，保持高

18、水平的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)；注重?cái)?shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含其中的道理，課堂必須經(jīng)常留時(shí)間總結(jié)好數(shù)學(xué)思想，體會(huì)數(shù)學(xué)思維規(guī)律；嚴(yán)格按照模塊本身內(nèi)容要求教學(xué)，不得隨意補(bǔ)充知識(shí)，理解好螺旋上升設(shè)計(jì)；教材中有大量的旁白，有的是畫龍點(diǎn)睛，有的是一般性概括，也有的是方法指要，教學(xué)時(shí)不可忽視這部分內(nèi)容的點(diǎn)撥。由于沒有點(diǎn)、直線與平面的有關(guān)知識(shí)，本章的學(xué)習(xí)不能建立在嚴(yán)格的邏輯推理的基礎(chǔ)上，這與以往教科書有相當(dāng)大的區(qū)別，教師在實(shí)際教學(xué)中要充分注意到這一點(diǎn)。（五）具體的一些建議（1）球的體積和表面積，根據(jù)課標(biāo)要求只需了解公式即可。為此，在教這一節(jié)時(shí)，我們只要求學(xué)生初步了解公式導(dǎo)出過程中所隱含的數(shù)學(xué)思想方法，并不要求理解其證明過程。（2）在“第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”教學(xué)中，注意利用學(xué)生身邊的實(shí)物模型進(jìn)行教學(xué)，遵循由直觀到抽象，由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)，強(qiáng)調(diào)平