2013年中考數學解題方法與提分突破訓練_構造法專題

1、解題方法及提分突破訓練：構造法專題在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它 可以是一個圖形、一個方程（組）、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條 件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造 法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利于問題的解決。一真題1.（ 2012 ）若 m,n 為實數，且|2m n 1. m 2n 80,則（m n）2012的值為2（2012）|如果卑項式產導與溝/是同類臥 那么雖_ 3.（2012?如果Jx 1 y 20,那么 xy=_4.（ 2012?）如圖，已知

2、AB=DC，DB=AC（1 ）求證：/ ABD= / DCA 注：證明過程要求給出每一步結論成立的依據.（2 ）在（1）的證明過程中，需要作輔助線，它的意圖是什么？5.（2012?國務院總理溫家寶 2011 年 11 月 16 日主持召開國務院常務會議，會議決定建立三江源國家生態(tài)保護綜合實驗區(qū).現要把 228 噸物資從某地運往甲、乙兩地，用大、 小兩種 貨車共 18輛，恰好能一次性運完這批物資已知這兩種貨車的載重量分別為16 噸/輛和 10噸/輛，運往甲、乙兩地的運費如表：運往地運往地 車型車型甲地（元甲地（元/ /輛輛乙地（乙地（犬貨車犬貨車720SOO小貨車小貨車500650（1）求這兩種

3、貨車各用多少輛？（2） 如果安排 9 輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設前往甲地的大貨車為a 輛，前往甲、乙兩地的總運費為 w 元，求出 w 與 a 的函數關系式（寫出自變量的取值圍）；（3） 在（2）的條件下，若運往甲地的物資不少于120 噸，請你設計出使總運費最少的貨車 調配方案，并求出最少總運費.所謂構造法就是根據題設條件或結論所具有的特征和性質，構造滿足條件或結論的數學對象，并借助該對象來解決數學問題的思想方法。構造法是一種富有創(chuàng)造性的數學思想方法。運用構造法解決問題，關鍵在于構造什么和怎么構造。充分地挖掘題設與結論的在聯系，把問題與某個熟知的概念、公式、定理、圖形聯系起來，進行構造

4、，往往能促使問題轉化，使 問題中原來蘊涵不清的關系和性質清晰地展現出來，從而恰當地構造數學模型，進而謀求解決題目的途徑。下面介紹幾種數學中的構造法：一某些題目根據條件、仔細觀察其特點，構造一個“方程”求解，從而獲得問題解決。例 1：如果關于 x 的方程 ax+b=2（ 2x+7）+1 有無數多個解，那么a、b 的值分別是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-bT此方程有無數多解，a-4=0 且 15-b=0分別解得 a=4, b=15二.構建幾何圖形對于條件和結論之間聯系較隱蔽問題，要善于發(fā)掘題設條件中的幾何意義，可以通過構造適當的圖形把其兩者聯系起來，從而構造出幾何圖形，把代數問題轉化為

5、幾何問題來解決增強問題的直觀性，使問題的解答事半功倍。例 2：已知，貝 U x 的取值圍是（）A 1ww5 B5分析：根據絕對值的幾何意義可知：表示數軸上到1 與 5 的距離之和等于 4 的所有點所表示的數。如圖 3,只要表示數的點落在 1 和 5 之間（包括 1 和 5）,那么它到 1 與 5 的距 離之和都等于 4，所以 1WW5,故選 A.三、構造函數模型，解數學實際問題在解答數學實際問題時，引進數學符號，根據已知和未知之間的關系，將文字語言轉化為數學符號語言，建立適當的函數關系式（考慮自變量的取值圍）。再利用有關數學知識，解決函數問題。這樣既可深入函數容的學習，也有利于增強學生的思維能

6、力和解題實踐能 力。例 3:（八年下課本習題變式）某工廠現有甲種原料360 千克，乙種原料 290 千克，計劃利用這兩種原料生產 A、B 兩種產品，共 50 件。已知生產一件 A 種產品，需用甲種原料 9 千克、乙種原料 3 千克，可獲利潤 700 元；生產一件 B 種產品，需用甲種原料 4 千克、乙種 原料 10 千克，可獲利潤 1200 元。（1）按要求安排 A、B 兩種產品的生產件數，有哪幾種方案？請你設計出來；（2） 設生產 A、B 兩種產品獲總利潤為y（元），生產 A 種產品X件，試寫出y與X之 間的函數關系式，并利用函數的性質說明（1）中哪種生產方案獲總利潤最大？最大利潤是 多少？

7、解；（1 ）設需生產 A 種產品X件，那么需生產 B 種產品（50X）件，由題意得：9x 4（50 x） 3603x 10（50 x）290解得:30X 32/X是正整數 X = 30 或 31 或 32有三種生產方案： 生產 A 種產品 30 件，生產 B 種產品 20 件；生產 A 種產品 31 件，生產 B 種產品 19 件；生產 A 種產品 32 件，生產 B 種產品 18 件。（2）由題意得；y 700X 1200（50X）= =500X60000/y隨x的增大而減小當X= 30 時，y有最大值，最大值為：500 30 60000= 45000 （元）答：y與x之間的函數關系式為：y

8、=500 x 60000,（ 1）中方案獲利最大， 最大利潤為45000 元。三.典題示例一.構造方程解題例 1 若代數式 m2+ 3 與 4m + 1 互為相反數，則 m-2等于（）1A. 4B. - 4C.D.-4解 由相反數的性質（互為相反數的兩個數或兩個式子之和為零），得 m2+ 3 + 4m + 1 = 0,1即 m2+ 4m + 4 = 0, （m + 2）2= 0,解之得：m = - 2,所以 m-2= （-2）-2=，故本題應選 C。4解 要使此分式無意義，只需 x2- 7x -8 = 0,解之得 xi= 8, X2= -1，即當 x = 8 或 x = -1 時， 該分式無意

9、義。要使該分式的值為零，只須分子x2-1 = 0 且分母 x2-7 x -8 工 0;由 x2-1 = 0,得 x =1但當 x = -1 時，分母 x2-7x - 8 = 0,分式無意義。故當 x = 1 時，此分式的值為零。例 3 已知 x、y 是正整數，并且 xy + x + y = 23，x2y + xy2= 120，求 x2+ y2的值。解 因、可化為 xy + (x + y) = 23, xy(x + y) = 120,則由一元二次方程根與系數的關系知：xy、x + y 是方程 t2- 23t + 120 = 0 的兩個實數根， 解之得 xy = 8, x + y = 15 或 x

10、y = 15, x+y = & 又x、y 是正整數，所以只能是 xy = 15, x + y = &所以 x2+ y2= (x + y)2- 2xy = 64 -30 = 34。.構造幾何圖形解題 例 4.如圖 1,過正方形 ABCD 的頂點 C 作任意一條直線與 AB、AD 的延長線分別交于點 E、F。求證：AE AF 4AB。圖】分析：注意到要證明的不等式的形式，可聯想到一元二次方程的判別式。 證明：設正方形的邊長為 a,連 AC。因為SAEFSACFSACE，所以有1111AE AFAF CDAE BCa(AE AF)。2222即AE AFa(AEAF)。從而 AE、AF

11、 可視為關于 x 的一元二次方程x2(AE AF)x a(AE AF) 0的兩個實數根。 所以該方程的判別式(AE AF)24a(AE AF) 0得AE AF 4a，即AE AF 4AB。注：應用構造一元二次方程的方法解決一些幾何中的不等式問題, 新的感覺，有益于訓練大家思維的發(fā)散性、創(chuàng)新性。三.構建函數解決問題 例 5 (2012 年，省市)(10 分)某市政府大力扶持大學生創(chuàng)業(yè)明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件 20 元的護眼臺燈.銷售過程中發(fā)現，每月銷售量y(件)與銷售單價x(元).時， 分式X2x27x 8無意義；當時，此分式的值為零。的確讓我們有耳目一之間的關系可近似的看作一次函

12、數：y 10 x 500 .(1) 設明每月獲得利潤為w(元)，當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？(2) 如果明想要每月獲得 2000 元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？(3)根據物價部門規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32 元，如果明想要每月獲 得的利潤不低于 2000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本=進價X銷售量)答案：解：(1)由題意，得：w= (x 20) y=(x 20) ( 10 x 500)210 x700 x 10000b小x35 2a答：當銷售單價定為 35 元時，每月可獲得最大利潤.(2)由題意，得：10 x 700 x 10000 2000 解

13、這個方程得：xi= 30 ,X2= 40 .答：明想要每月獲得 2000 元的利潤，銷售單價應定為30 元或 40 元.(3)Ta10，二拋物線開口向下當 30Wx 2000./xw32,.當 30 x-1 B.-1wx2 C.x2 D. -1vxv24. 若最簡二次根式5a 3與a23是同類二次根式，則a 的值為()A. 2 或 3B. -2 或 3C. 3D. 25.已知實數 x、y 滿足 9/ + 12x + 4+y 2=0，求代數式 2xy的值。6. 若(m 2)xm 23x= 5 - m 是關于 x 的一元二次方程，則 m =_。12廠b c7. 已知一(b - c)2= (a -

14、b)(c - a)且 a 工 0,貝 U- =_。4a8. (2012?某校為開展好大課間活動，欲購買單價為 20 元的排球和單價為 80 元的籃球共 100個.(1 )設購買排球數為 x (個)，購買兩種球的總費用為y (元)，請你寫出 y 與 x 的函數關系式(不要求寫出自變量的取值圍)；(2)如果購買兩種球的總費用不超過6620 元，并且籃球數不少于排球數的3 倍，那么有哪幾種購買方案？（3 ）從節(jié)約開支的角度來看，你認為采用哪種方案更合算？9. （2012?如圖，點 A、B C、D 分別是 O O 上四點，/ ABD=20, BD 是直徑，則/ ACB=7010. 如圖 2,已知四邊形

15、 ABCD 的對角線 AC BD 相交于點 O,若SAOB4,SCOD9。求證:S四邊形ABCD25五參考答案真題答案：1.2.3解：根據題意得，x+仁 0, y-2=0,解得 x=-1, y=2,所以，xy= （-1）x 2=-2.故答案為：-2.4.證明：（1）連接 AD ,在厶 BAD 和厶 CDA 中AB=CDDB=ACAD=ADBADCDA （ SSS ）/ ABD= / DCA （全等三角形對應角相等）（2）作輔助線的意圖是構造全等的三角形即兩個三角形的公共邊.5解：（1）解法一、設大貨車用 x 輛，小貨車用 y 輛，根據題意得l x+y=1816x+10y=228（ 2 分）解得

16、 x=8 y=10答：大貨車用 8 輛，小貨車用 10 輛.（1 分）解法二、設大貨車用 x 輛，則小貨車用（18-x）輛，根據題意得16x+10 （18-x） =228（ 2 分）解得 x=8 18-x=18-8=10 （輛）答：大貨車用 8 輛，小貨車用 10 輛；（1 分）3（2）w=720a+800 （8-a） +500 （9-a） +65010- （9-a） （ 2 分）=70a+11550, w=70a+11550 （0 a 120,解得 a 5,（ 1 分）又 0 a 120,解得 a 5,（ 1 分）又 0waw8,- 5waw8 且為整數，（1 分）/w=70a+11550,

17、k=700, w 隨 a 的增大而增大，當 a=5 時，w 最小，最小值為 W=70X5+11550=11900 （元）（ 1 分）答：使總運費最少的調配方案是：5 輛大貨車、4 輛小貨車前往甲地；3 輛大貨車、6 輛小貨車前往乙地.最少運費為11900 元.（1 分）鞏固強化的答案:1.2.3.解：根據題意，得x+1 01 2-x 0,解得，-1wxw2;故選B.4解 由同類二次根式的定義可知：5a -3 = a2+ 3，解之得 a1= 2, a2= 3。但當 a = 3 時，已知為.12，它不是最簡二次根式，所以a 只能取 2,故本題應選 D。5.因 9X2+ 12x + 4 = (3x+

18、2)2丸，. y2$0,且(3x + 2)2+ ,y 2= 0,則由非負數的性質(幾- 2個非負數之和為零，則每個非負數為零）得（3x + 2f = 0 且.y 2= 0,解之得 x = , y = 2。故所求代數式 2xy的值：2X(-)2=8。396. 根據一元二次方程的定義，得m2-2 = 2，解之得 m = 。但當 m = 2 時，此方程二次項系數為零，不是一元二次方程，故m = -2。7. 由已知得：(b - c)2- 4(a - b)( c- a) = 0。b c當 a -b = 0 時，貝 U b -c = 0, a = b = c,所以 =2；a當 a -b 工 0 時，由(b - c)2- 4(a - b)( c - a) = 0 可知關于 x 的方程(a - b)x2+ (b - c) + (c - a)=c a0 有兩個相等的實數根。又(a -b) + (b - c) + (c -a) = 0,則 xi= X2= 1, xix2= 1,所以1,a b即 L_E = 2。ab c綜上所述，知= 2。a8解：(1)設購買排球 x 個，購買籃球和排球的總費用y 元，y=20 x+80 (100-x) =8000-60 x;(2)設購