小學時期的數(shù)學故事∶幾何原本與分數(shù)四則運算

1、小學時期的數(shù)學故事：幾何原本與分數(shù)四則運算（08數(shù)教（2）班34號張露）在人教版五年級的課程中，我們將會學到一些簡單的幾何學、分數(shù)的意義和性質及其加減、簡易方程、多邊形的面積等等。下面將介紹該課程中部分知識的有關歷史。幾何原本課程的第三單元是講對長方體和正方體的認識及計算它們的表面積。這是有關幾何學的范疇。幾何學是數(shù)學學科的一個重要分支，它主要研究空間圖形的有關問題。古希臘數(shù)學家歐幾里得的著作幾何原本在數(shù)學發(fā)展史上有著深遠的影響。該書從17世紀初開始傳入我國。歐幾里得著有幾何原本（以下簡稱原本）一書，該書共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用幾何方法講述比例和算術理論以外，其他各卷都是論述幾

2、何問題的。這部書成為傳播幾何知識的教科書達2000年之久，現(xiàn)代初等幾何學（即平面幾何和立體幾何）的內容基本全包括在此書內。中國最早的譯本是明代萬歷年間（1607）由大學士徐光啟與意大利天主教傳教士利瑪竇合譯的幾何原本前6卷。原本之所以具有價值，不僅因為歐幾里得非常詳盡地搜集了當時所知道的一切幾何資料，而更重要的是把那些分散的知識用邏輯推理的方法編排成一個有系統(tǒng)的演繹的幾何學體系。他是歷史上第一個創(chuàng)造了一個比較完整的數(shù)學理論的人。歐幾里得的幾何原本共有23個定義，5條公設，5條公理，他力圖把幾何學建立在這些原始的定義、公理和公設的基礎上，然后以這些顯然的假設為依據(jù)推證出體系里的一切定理。由于歐幾

3、里得所處的時代是人類文明的初期，受時代的局限，原本的邏輯系統(tǒng)不可能完美無缺，在許多地方出現(xiàn)了漏洞。例如：常常使用未經(jīng)定義過的概念來解釋一個新的概念；用了既不是公理，又不是公設，也沒有證明過的結論作為論證命題的依據(jù)；等等。正因為如此，在原本問世后2000年中，一方面原本作為用邏輯來敘述科學的典范，對數(shù)學其他分支甚至整個科學發(fā)展起著深遠的影響；另一方面，對于原本在邏輯上的欠缺進行修改、補充和研究工作從未停止過，對于原本中的定義、公理、公設的研究成了歷代數(shù)學家的重要課題。尤其對于原本中的第五公設，許多數(shù)學家對它產(chǎn)生了懷疑，最終導致非歐幾何的創(chuàng)建（見非歐幾里得幾何學）。分數(shù)的四則運算課程的第四、五單元

4、主要是了解分數(shù)的意義和性質及其加減法。在我國古代，九章算術對分數(shù)四則運算法則就有著詳細論述。九章算術中的分數(shù)知識(包括約分、通分和加減乘除法則)已是當時世界上最系統(tǒng)、最完備的分數(shù)理論。在方田章中已有明確的分數(shù)運算法則，其它各章還有很多分數(shù)應用題。 1.分數(shù)加減法分數(shù)加法稱為合分；分數(shù)減法稱為減分。其法則為：以分數(shù)分子、分母交叉相乘，乘積相加減后的結果作為"實"，以分母相乘作為"法"，"實如法而一"，用今天的符號表示就是。如方田章第8題。這里用到了通分，但沒有用到最小公分母，而是相加減后再約分，顯得比較繁瑣。少廣章則進了一步，其程序可以

5、求出較小的公倍數(shù)，有的甚至就是最小公倍數(shù)。2.分數(shù)乘除法分數(shù)乘法稱為乘分，其法則是：以分母的乘積為分母，以分子的乘積為分子，同今天方法一樣。分數(shù)除法稱為經(jīng)分，其法則是把實和法通分，然后讓分子相除；后來劉徽又補充了一個更為簡便的法則：將法的分母、分子顛倒，與實相乘；這就是今天小學數(shù)學教材中的顛倒相乘。3.分數(shù)約分法則先進行觀察，若分子、分母都是偶數(shù)，則先除以2，否則將分子、分母"以少減多，更相減損"，最后得到"等數(shù)"，此為原分子、分母的最大公約數(shù)。用等數(shù)約之，即把數(shù)化簡了。這種求等數(shù)的方法與歐幾里得求最大公約數(shù)的方法是一致的，現(xiàn)代算術教科書中的輾轉相除法即

6、由此而來。應該指出，古人的計算方式是籌算而不是上述的現(xiàn)代筆算，例如，方田章第6問約簡，先用籌算求得"等數(shù)"7，以7除分子、分母，得最簡分數(shù)。以上是世界上最早的分數(shù)運算法則。大約15世紀歐洲才通行分數(shù)算法，印度到七世紀才有與中國相同的分數(shù)四則運算法則。了解我國古代的分數(shù)理論及其成就，教師可以從中吸取營養(yǎng)，來豐富自己的教學是很有益的，特別是分數(shù)乘法和除法法則的理由對今天小學教學仍有重要的指導意義。歷史上的分數(shù)概念及其運算的產(chǎn)生都先于小數(shù)，中外一理。而在教學順序上則小數(shù)先于分數(shù)，這是由于小數(shù)運算接近整數(shù)，較分數(shù)方便。安排教學程序則以可接受性優(yōu)先，教師應心中有數(shù)。三角形的面積計算三

7、角形面積計算："圭田術曰，半廣以乘正從"。三角形的田，古稱"圭田"，"正從"是指垂直于底的那個高，所以三角形的面積等于底乘高的一半。梯形面積的計算：梯形的田稱"箕田"，同樣給出其面積等于上、下底相加與高相乘的一半。九章算術及其劉注中關于三角形、梯形面積公式借助于傳統(tǒng)的出入相補原理作出的。所謂出入相補，劉徽稱之為以盈補虛，按現(xiàn)代的說法，即：一個平面圖形移動前后，面積不變；一個平面圖形割成若干塊，各塊面積之和等于原圖形面積(立體也同樣)。三角形和梯形面積的公式都可根據(jù)長方形面積公式，利用出入相補原理而得到如： 三角形面積=1/2×底×高 梯形面積=1/2×(上底+下底)