【精品資料】江西臨川一中高考數(shù)學(xué)新題型選編(共66題)

1、【精品資料】臨川一中咼考數(shù)學(xué)新題型選編共 66題1、將側(cè)棱相互垂直的三棱錐稱為"直角三棱錐，三棱錐的側(cè)面和底面分別叫為直角三棱錐的“直角面和斜面；過(guò)三棱錐頂點(diǎn)及斜面任兩邊中點(diǎn)的截面均稱為斜面的“中面請(qǐng)仿照直角三角形以下性質(zhì)：1斜邊的中線長(zhǎng)等于斜邊邊長(zhǎng)的一半；2兩條直角邊邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊邊長(zhǎng)的平方；3 斜邊與兩條直角邊所成角的余弦平方和等于1.寫出直角三棱錐相應(yīng)性質(zhì)至少一條：.答案：1斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一；2三個(gè)直角面面積的平方和等于斜面面積的平方；答案：b ?b2?b3?b4?b5 b33 斜面與三個(gè)直角面所成二面角的余弦平方和等于1.等差數(shù)列an中等比數(shù)列bn中

2、a3= a2db3 b2 ?qa3 a4 a2a5b3 ?b4b2 ? b5a1 a2 a3 a4 a5 5a32、用類比推理的方法填表53、 10.定義一種運(yùn)算“ * ：對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：(i) 1*1=1 ,( ii)(n+1) *1= n*1+1，貝U n*1 等于2A. nB. n+1C. n-1D. n 答案：D4、 假設(shè)f(n)為n2 1(nN*)的各位數(shù)字之和，如：142 1 197 , 1 9 7 17，那么f(14)17;記 fdn)f(n),f2(n) ff n), ,fk1(n)f(fk(n),k N*,那么f2°°8(8) 答案：55、下

3、面的一組圖形為某一四棱錐S-ABCD的側(cè)面與底面。aaa2a1請(qǐng)畫出四棱錐 S-ABCD的示意圖，是否存在一條側(cè)棱垂直于底面？如果存在，請(qǐng)給出證明；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;(2 )假設(shè)SA 面ABCD，E為AB中點(diǎn)，求二面角 E-SC-D的大小;(3)求點(diǎn)D到面SEC的距離。(1) 存在一條側(cè)棱垂直于底面(如圖)證明： SA AB,SA AD,且 AB、AD 是面ABCD 5分(2) 分別取SC、SD的中點(diǎn)G、F,連GE、GF、FA ,那么 GF/EA,GF=EA, 而由SA 面ABCD 又AD CD, CD 又SA=AD,F是中點(diǎn)，AFAF/EG得 SA CD，面 SAD， CD AFAF

4、SD面 SCD,EG 面 SCD, 面 SEC 面 SCD所以二面角E-SC-D的大小為9010分3分ABCD內(nèi)的交線SA 底面作DH SC于H ,面 SEC 面 SCD, DH 面 SEC, DH之長(zhǎng)即為點(diǎn) D到面SEC的距離，在 Rt SCD 中，DH SD DCSC12分.2a a、3af答：點(diǎn)D到面SEC的距離為a314分6、一個(gè)計(jì)算裝置有一個(gè)入口A和一輸出運(yùn)算結(jié)果的出口B，將自然數(shù)列 n (n 1)中的各數(shù)依次輸入A 口，從B 口得到輸出的數(shù)列an ，結(jié)果說(shuō)明：從 A 口輸入n 1時(shí)，從B1口得a1；當(dāng)n 2時(shí)，從A 口輸入n，從B 口得到的結(jié)果an是將前一結(jié)果an 1先乘3以自然數(shù)

5、列n中的第n 1個(gè)奇數(shù)，再除以自然數(shù)列耳 中的第n 1個(gè)奇數(shù)。試問(wèn):(1)(2)口輸入口輸入解( 1) a2a12和3時(shí)，從100 時(shí)，115a3B 口分別得到什么數(shù)？ 口得到什么數(shù)？并說(shuō)明理由。丄35a2 3 7(2)先用累乖法得an(2n1)(2n得400(2 100 1)(2 100 1)1399997、在厶ABC中，B( 2, 0), C(2, 0), A(x, y)，給出 ABC滿足的條件，就能得到動(dòng)點(diǎn) A的軌跡方程，下表給出了一些條件及方程：條件方程厶ABC周長(zhǎng)為10C1:2 y25厶ABC面積為10C2 :2 x2 y4(y0)22厶ABC中，/A=90 °C3 :xy

6、1(y0)95那么滿足條件、的軌跡方程分別為 (用代號(hào)C1、C2、C3填入)答案：C3C1C28、兩個(gè)函數(shù)f (x)和g (x)的定義域和值域都是集合1,2,3,其定義如下表x123f ( x)231x123g (x)132填寫以下gf(x)的表格，其三個(gè)數(shù)依次為x123g (f (x)A. 3,1,2B . 2,1,3C.1,2,3D. 3,2,1答案：D9、在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法那么中，我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“如下：當(dāng)a b時(shí)，a b a ；當(dāng)a b時(shí)，2abb。那么函數(shù)f (x)(1 x x (2 x) x2,2的最大值等于(C )(“ 和“-仍為通常的乘法和減法)A.1B. 1C.6D. 12

7、10、x R ,:x表示不大于x的最大整數(shù)，如13 ,-11 , 0,那么22v3 ；使x 13成立的x的取值范圍是 答案：211、為研究“原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)是否在直線 分三步進(jìn)行研究：y x上這個(gè)課題，我們可以(I)首先選取如下函數(shù)：C 2x.7y 2x 1， y，y x 1x 1求出以上函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo):2x 1與其反函數(shù)yF與其反函數(shù)yx 1一的交點(diǎn)坐標(biāo)為(一1, - 1)2x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 0),( 1, 1)2 x.x 1與其反函數(shù)y2x 1, (x 0)的交點(diǎn)坐標(biāo)為一 1, 0, 0，一 1(II) 觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論；(III) 對(duì)得到的

8、結(jié)論進(jìn)行證明?，F(xiàn)在，請(qǐng)你完成(II )和(III )。解：(II)原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)不一定在直線y = x上 2分(III)證明：設(shè)點(diǎn)(a, b)是f (x)的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點(diǎn)，由于原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線 y= x對(duì)稱，那么點(diǎn)(b, a)也是f (x)的圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)，且有bfa ( ), af (b)假設(shè)a= b時(shí)，交點(diǎn)顯然在直線 y x上假設(shè)a<b且f (x)是增函數(shù)時(shí)，有 f (b f(ja，從而有b<a,矛盾；假設(shè)b<a且f(x)是增函數(shù)時(shí)，有f ()a f (b，從而有a<b，矛盾假設(shè)a<b且f (x)是減函數(shù)，有f

9、 (b f ()a，從而a<b成立，此時(shí)交點(diǎn)不在直線 y= x 上；同理，b<a且f(x)是減函數(shù)時(shí)，交點(diǎn)也不在直線y= x上。綜上所述，如果函數(shù) f (x)是增函數(shù)，并且f (x)的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，那么 交點(diǎn)一定在直線 y x 上;如果函數(shù)f (x)是減函數(shù)，并且 f (x)的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，那么交點(diǎn)不一定 在直線y = x上。14分12、設(shè)M是由滿足以下條件的函數(shù)f(X)構(gòu)成的集合：“方程f(X) X 0有實(shí)數(shù)根；函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x)滿足0 f (x)1.x sin x(I) 判斷函數(shù)f(X)是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由；24(II) 集合M

10、中的元素f (x)具有下面的性質(zhì)：假設(shè)f(x)的定義域?yàn)镈，那么對(duì)于任意m, n D，都存在 xo m，n，使得等式 f( n) f (m) (n m) f (xo)成立，試用這一性質(zhì)證明：方程 f (x) x 0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；(III )設(shè)Xi是方程f (x) x 0的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于f(x)定義域中任意的X2,X3，當(dāng) |X2 Xi | 1,且 | X3 Xi | 1 時(shí),1 f(X3) f(X2)| 2.1 1解：(1)因?yàn)?f (X)cosx , 2分241 3 所以f(X)，一滿足條件0 f (x)1, 3分4 4又因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí)，f(0) 0,所以方程f(x) x 0有實(shí)數(shù)根0

11、.x sin x所以函數(shù)f(x) 2 廠是集合M中的元素4分(2)假設(shè)方程f(X)X 0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ，()，那么f( )0, f( )0 , 5分 不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)C (,),使得等式f( ) f( ) f( )f (c)成立，7分因?yàn)閒 (), f(),且，所以f (C)1 ,與0 f (x) 1矛盾，所以方程f(x) x 0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根； 9分(3)不妨設(shè)X2 X3，因?yàn)閒 (x) 0,所以f(x)為增函數(shù)，所以f(X2)f (X3),又因?yàn)閒(x) 1 0,所以函數(shù)f(x) x為減函數(shù)， 10分所以 f (X2) X2f (X3) X3 , 11分所以 0f(X3) f (X

12、2) X3 X2，即 | f(X3) f(X2)| IX3 X2 |, 12 分所以 | f(X3)f (X2) |X3X2IIX3X1(X2X1)|X3X1 | X2X1|2.13分13、在算式“ 2+1=30的兩個(gè)口中，分別填入兩個(gè)自然數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最小，那么這兩個(gè)數(shù)應(yīng)分別為和答案:9，12.14、如圖為一幾何體的的展開(kāi)圖，其中ABCD是邊長(zhǎng)為 6 的正方形，SD=PD = 6, CR=SC , AQ=AP，點(diǎn) S,D,A,Q及P,D,C,R共線，沿圖中虛線將它們折疊起來(lái)，使P, Q, R, S四點(diǎn)重合，那么需要 個(gè)這樣的y幾何體，可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為 6的正方體。答案：315、用水清

13、洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥的效果假定如下：用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與這次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為 f(X)(I)試解釋f (0)的實(shí)際意義;(H)現(xiàn)有a (a > 0)單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥比擬少？請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：解：(I) f (0) =1 表示沒(méi)有用水清洗時(shí)，蔬菜上的農(nóng)藥量沒(méi)有變化. 2/(H)設(shè)清洗前蔬菜上的農(nóng)藥量為1,那么用a單位量的水清洗1次后.殘留的農(nóng)藥量1為 W1=1 x f (a) =2 ； 4/1 a21Xf()=2 1又如果用a單位量的水清洗1次，殘留的農(nóng)藥量為2此后再用-單位量的水

14、清洗1次后，殘留的農(nóng)藥量為2W2=-12=-112=16 = 2 2'(旦)2(4 a )2由于 W1 W2=-116=a2(a2 8)2 = 22/2 ,(4 a )(1 a )(4 a )故當(dāng)a>2、.2時(shí)，Wi>W2,此時(shí)，把a(bǔ)單位量的水平均分成 2份后，清洗兩次，殘留的當(dāng)a=2血時(shí)，W；=W2,此時(shí)，兩種清洗方式效果相同;5一殘留的農(nóng)藥量較少.5/ I農(nóng)藥量較少；此時(shí),-扌把:a單位量的水清洗一次216、角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、*)個(gè)格點(diǎn)，那么稱間數(shù) f(x)=sinx ; f(x)=(N其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的有艮均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，k階格點(diǎn)函數(shù)時(shí)以下函數(shù)：一 1 xn

15、(x 1)2+3; f (x)();3.答案：縱坐標(biāo) f(x)為)當(dāng)a<2 、2 時(shí)，Wl<W2,12/ I ; i果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過(guò)k(k3 46時(shí)間f(x) logo.6 x ,17、一水池有2個(gè)進(jìn)水口 ,1個(gè)出水口，一個(gè)口進(jìn)出水速度如圖甲、乙所示.某天0點(diǎn)到6點(diǎn),該水池的蓄水量如圖丙所示(至少翻開(kāi)一個(gè)水口 ),給出以下3個(gè)論斷：進(jìn)水量出水量蓄水量甲乙丙(1) 0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；(2) 3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；(3) 4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不 出水。那么一定不確定的論斷是(把你認(rèn)為是符合題意的論斷序號(hào)都填上)。答案：(2)( 3) 18、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.

16、(I )假設(shè)Sm, Sm+2, Sm + 1成等差數(shù)列，證明 am, am+ 2, am+ 1成等差數(shù)列;(n)寫出(I)的逆命題，判斷它的真?zhèn)?，并給出證明證 (I )- Sm+ 1 = Sm + am + 1 , Sm+ 2= Sm + am + 1 + am+ 2.由 2Sm+ 2= Sm + Sm+ 1,2(Sm + am+ 1 + am+2)= Sm+ (Sm + am+ 1),1 1-am+ 2= am +1,即數(shù)列an的公比 q= 2am+ 1 =12 am,am+ 2 =4am,2am + 2= am+ am+1 ,am,am + 2, am + 1成等差數(shù)列(n ) ( 1 )

17、的逆命題是：假設(shè)am, am+ 2, am + 1成等差數(shù)列，那么 Sm , Sm+2, Sm+ 1成等差數(shù)列. 設(shè)數(shù)列 an的公比為 q,T am+1= amq, am+ 2= amq2.、1由題設(shè)，2am + 2= am+ am+1,即 2amq2= am+ amq，即 2q2 q 1 = 0,. q= 1 或 q= .當(dāng)q = 1時(shí)，A豐0,. Sm , Sm + 2, Sm + 1不成等差數(shù)列逆命題為假.19、2005年底，某地區(qū)經(jīng)濟(jì)調(diào)查隊(duì)對(duì)本地區(qū)居民收入情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取1000戶，按本地區(qū)確定的標(biāo)準(zhǔn)，情況如右表：高收入中等收入低收入頁(yè)2共戶51頁(yè)400戶475戶本地區(qū)在“一五規(guī)

18、劃中明確提出要縮小貧富差距，到 2022年要實(shí)現(xiàn)一個(gè)美好的愿景，由右邊圓圖顯示，那么中等收入家庭的數(shù)量在原有的根底要增加的百分比和低收入家庭的數(shù)量在原有的基礎(chǔ)要降低 的百分比分別為(B )A . 25% , 27.5%B. 62.5% , 57.9%C. 25% , 57.9% D. 62.5%,42.1%20、一個(gè)三位數(shù)abc稱為“凹數(shù)，如果該三位數(shù)同時(shí)滿足a > b且b v c,那么所有不同的三位“凹數(shù)的個(gè)數(shù)是 .答案：三位“凹數(shù)可分兩類：一類是 aba,共有C2o = 45,另一類是abc, a c,共有32CW = 240，故共有 45+240= 285 個(gè)a b21、定義運(yùn)算c

19、 d ad bc,假設(shè)復(fù)數(shù)x4i13 xi，那么y。答案：-422、從裝有n 1個(gè)球(其中n個(gè)白球，1個(gè)黑球)的口袋中取出 m個(gè)球0 m n,m, n N 共有C1種取法。在這C&種取法中，可以分成兩類：一類是取出的m個(gè)球全部為白球，共有C； CrTg1cnm1C10Cnm1,即有等式：cmcm1cn成立。試根據(jù)上述思想化簡(jiǎn)以下式子：cm c1 c；1 Ck2 c；2 l Ck Cmk 。(1 k m n,k,m, n N)。x(x23、定義運(yùn)算乂y=y(x答案：C；k根據(jù)題中的信息，可以把左邊的式子歸納為從 n k個(gè)球(n個(gè)白球，k個(gè)黑 球)中取出m個(gè)球，可分為：沒(méi)有黑球，一個(gè)黑球，

20、k個(gè)黑球等 k 1類，故有Cn°k 種取法。y)，假設(shè)|m 1序m=|m- 1|,那么m的取值范圍是y)24、在公差為d(d 0)的等差數(shù)列an中，假設(shè)Sn是an的前n項(xiàng)和，那么數(shù)列S20 S10,S30S20 , S40S30也成等差數(shù)列，且公差為100d，類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公比為q(q 1)的等比數(shù)列bn中，假設(shè)Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)積，那么有=T10 T20 T30也成等比數(shù)列，且公比為q10025、考察以下一組不等式:23 5322 5 2 5224 54 23 5 2 535511225222 5222 52將上述不等式在左右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推廣，使以上的不等

21、式成為推廣不等式的特例，那么推廣的不等式為m. na bn ma b a,b 0, ab, m, n 026、對(duì)任意實(shí)數(shù)x, y，定義運(yùn)算x* y ax by cxy，其中a,b,c為常數(shù)，等號(hào)右邊的運(yùn)算是通常意義的加、乘運(yùn)算?，F(xiàn)1*24,2* 36，且有一個(gè)非零實(shí)數(shù) m，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x* m x，那么m 5。27、對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，符號(hào)x表示x的整數(shù)局部，即x是不超過(guò)x的最大整數(shù)。在實(shí)數(shù) 軸R 箭頭向右上x(chóng)是在點(diǎn)x左側(cè)的第一個(gè)整數(shù)點(diǎn)，當(dāng) x是整數(shù)時(shí)x就是x。這個(gè) 函數(shù)x叫做“取整函數(shù)，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用。那么log2 1 log 2 2 log2 3 log 2 4

22、log 21024 =820428、我國(guó)男足運(yùn)發(fā)動(dòng)轉(zhuǎn)會(huì)至海外俱樂(lè)部常會(huì)成為體育媒體關(guān)注的熱點(diǎn)新聞。05年8月，在上海申花俱樂(lè)部隊(duì)員杜威確認(rèn)轉(zhuǎn)會(huì)至蘇超凱爾特人俱樂(lè)部之前，各種媒體就兩俱樂(lè)部對(duì)于杜威的轉(zhuǎn)會(huì)費(fèi)協(xié)商過(guò)程紛紛“爆料：媒體A :,凱爾特人俱樂(lè)部出價(jià)已從80萬(wàn)英鎊提咼到了120萬(wàn)歐元。媒體B :,凱爾特人俱樂(lè)部出價(jià)從120萬(wàn)歐兀提咼到了100力美兀，冋時(shí)增加了不少附加條件。媒體C :,凱爾特人俱樂(lè)部出價(jià)從130萬(wàn)美兀提咼到了120萬(wàn)歐元。請(qǐng)根據(jù)表中提供的匯率信息由于短時(shí)間內(nèi)國(guó)際貨幣的匯率變化不大，我們假定比值為定值，我們可以發(fā)現(xiàn)只有媒體C 填入媒體的字母編號(hào)的報(bào)道真實(shí)性強(qiáng)一些。匯率歐元兌美元

23、1：L 19英鎊兌歐元1:1. 5229、二次函數(shù)x2 ax ax R同時(shí)滿足：不等式f x 0的解集有且只有一個(gè)元素；在定義域內(nèi)存在0XiX2，使得不等式f Xif x2成立。設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snf n ,(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)試構(gòu)造一個(gè)數(shù)列bn ，(寫出bn的一個(gè)通項(xiàng)公式)滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n都有abnan，且lim - 2，并說(shuō)明理由;(3)設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列n bnCn中，所有滿足Ci Cj i 0的正整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列Cn的變號(hào)數(shù)。令Cn(n為正整數(shù))，求數(shù)列Cn的變號(hào)數(shù)。an解：(1)v f x 0的解集有且只有一個(gè)元素,a2 4a 0 a 0或a 4,當(dāng)

24、a 0時(shí)，函數(shù)f xx2在0,上遞增，故不存在0XiX2，使得不等式f x-1f x2 成立。當(dāng)a4時(shí)，函數(shù)r2f XX4x4在0,2上遞減，故存在 0 X1X2，使得不等式fX1f x2成立。綜上，得a4,2f XX4x4 , Snn24n 4,1 z 2n-52a(2)要使lim n 2，可構(gòu)造數(shù)列bn n k對(duì)任意的正整數(shù)n都有bn an ,n bn當(dāng)n 2時(shí)，n k 2n 5恒成立，即n 5 k恒成立，即5 k 2 k 3,*3又 bn 0 , k N , bn n ，等等。23,n 1(3)解法一：由題設(shè)cn41 ,n 22n 5列Cn遞增,14 a40 ,由10 n5，可知a4 a

25、50，即n 3時(shí)，有且32n 5只有1個(gè)變號(hào)數(shù)；又 G3, c25, C33，即 c1 c20, C2 C30，/此處變號(hào)數(shù)有2個(gè)。綜上得 數(shù)列Cn共有3個(gè)變號(hào)數(shù)，即變號(hào)數(shù)為3。n 3 時(shí)，cn 1 cn2n 5 2n 32n 5 2n 33,n1解法二：由題設(shè)Cn14、22n5小n 2時(shí)令2n 92n735卡79卡CnCn 100n或nn 2 或 n 4 ;2n 52n32222又C13, C25,n1時(shí)也有G C20。綜上得 數(shù)列Cn共有3個(gè)變號(hào)數(shù)，即變號(hào)數(shù)為3。30、在R上定義運(yùn)算:% y=x(1 -y)假設(shè)不等式(x-a) (x+a)<1,對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，那么1 3實(shí)數(shù)a的取

26、值范圍是(-1,-)2 22 231、x、y之間滿足y 1 b 04 b20表示的曲線經(jīng)過(guò)一點(diǎn).3,-1 ，求b的值22 2(2) 動(dòng)點(diǎn)(x,y)在曲線篤4b21 (b>0)上變化，求x2 2y的最大值;2 2(3)由Z與1b4 b2再加什么條件就可使 x、0能否確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系式 y f x y之間建立函數(shù)關(guān)系，并求出解析式。，女哺求解析式;如不能,解:(1)衛(wèi)14b22 2根據(jù)1話1 b 0得X2 412y_b2(4分)(5分)22y4b2 2b24 b y bx2y 4 1b22yb2y44當(dāng)b2b時(shí)，即b4時(shí)2 x2y2b44max當(dāng)b2b時(shí)，即0b4時(shí)2 x2y/ r丄44ma

27、x42b4,b 42 x2y maxb24,0 b44(2)不能(不唯一，也可其它答案)7 分10 分11 分12 分14 分32、用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板。隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力會(huì)越來(lái)越大，使1 *得每次釘入木板的釘子長(zhǎng)度后一次為前一次的一kN 。一個(gè)鐵釘受擊3次后全部k4進(jìn)入木板，且第一次受擊后進(jìn)入木板局部的鐵釘長(zhǎng)度是釘長(zhǎng)的-，請(qǐng)從這個(gè)實(shí)事中提煉74 A 1出一個(gè)不等式組是7 7k4447 7k 7k2ab cd ,其中 a, b,c,d P ，例33、 P x1 x 9,x N，記 f a,b,c,d如：f 1,2,3,412 3 410。設(shè)u, v, x, y P，且滿足

28、u,v,x, y39和f u, y,x,v 66，那么有序數(shù)組 u,v,x,y是 8,6,1,9u x y v 27u x y v 105u x 9, y v 3u x 7, y v 1534、(12' =9' +3')(理)設(shè)P表示幕函數(shù)yxc25c 6 z 小在0,上是增函數(shù)的c的集合;Q表示不等式x 1 x 2q 1對(duì)任意x R恒成立的c的集合。1 求P Q ； 2試寫出一個(gè)解集為 P Q的不等式。文設(shè)P表示幕函數(shù)c2 6c 8y x在0,上是增函數(shù)的c的集合；Q表示不等式x 1 x 4 c對(duì)任意xR恒成立的c的集合。1 求P Q ； 2試寫出一個(gè)解集為P Q的不

29、等式。解:理1 幕函數(shù)c25c 6在0,2上是增函數(shù)， c 5c 60，即,23,又不等式|x2c1對(duì)任意x R恒成立， 2c 11 ，即,0 1,35、 P Q2 個(gè)解集為P,0文1 幕函數(shù)y,2,3 ,(2)1,23,Q的不等式可以是xc26c 8在0,4,又不等式|x 1一個(gè)解集為理f x,34,。Q的不等式可以是1 3x ,x2xx 1 x 2 x 32上是增函數(shù)， c1厶-0。6c 80 ,對(duì)任意x R恒成立， c 3 ,2,2 ,a為正常數(shù)。1可以證明：定理“假設(shè)a、b R，那么 山 ab 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號(hào) 2推廣到三個(gè)正數(shù)時(shí)結(jié)論是正確的，試寫出推廣后的結(jié)論無(wú)需證明；2假設(shè)f

30、 x 0在0,2上恒成立，且函數(shù)f x的最大值大于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并由此猜測(cè)y f x的單調(diào)性無(wú)需證明；3對(duì)滿足2的條件的一個(gè)常數(shù) a，設(shè)x x1時(shí)，f x取得最大值。試構(gòu)造一個(gè)定義在D xx2,且x 4k 2,k N上的函數(shù)g x，使當(dāng)x 2,2時(shí)，g x f x，當(dāng)x D時(shí)，g x取得最大值的自變量的值構(gòu)成以Xi為首項(xiàng)的等差數(shù)解：1假設(shè)a、b、c小aR，那么b c3(2) f x2 1ax-32x x a1 2x22上恒成立，1 2 _ x0,2 , a22 ,即a2又22 21 2 21 2f xx ax ax22列。3 abc 當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)取等號(hào)。2 1 20在0,2上

31、恒成立，即a x在0,22 ,322 122 12xaxax2 3222a233，即x.6a3時(shí),max2、63a92、63.643.6、. 6a2又 x0,20八6。綜上，得易知，是奇函數(shù)，.x冬時(shí)，函數(shù)有最大值，3函數(shù)有最小值。故猜測(cè):6a,2時(shí)，f x單調(diào)遞減;36 6a,一a時(shí)，3f x單調(diào)遞增。3依題意，只需構(gòu)造以4為周期的周期函數(shù)即可。如對(duì) x 4k2,4k2 ,k N , x 4k2,2g x g x 4kf x 4k ,文函數(shù) f X ax22.4即 g x a2 x 4k 1 x 4k 3,x 4k 2,4k 2 ,k N 。 22b b2x, g x . 1 x a 2 ,

32、 a,b RI當(dāng)b 0時(shí)，假設(shè)f x在2,上單調(diào)遞增，求a的取值范圍;n求滿足以下條件的所有實(shí)數(shù)對(duì)a,b:當(dāng)a是整數(shù)時(shí)，存在x0 ,使得f x0是f x的最大值，g x0是g x的最小值;川對(duì)滿足n的條件的一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)a,b ,試構(gòu)造一個(gè)定義在 D x | x 2 ,x 2k 2,k N上的函數(shù)h x，使當(dāng)x2,0時(shí)，h xf x，當(dāng) x D 時(shí)，h xI)當(dāng)b 0時(shí)，2f x ax4x假設(shè)a0, f x4x，那么f x 在 2,上單調(diào)遞減，不符題意。a0故a0,要使f x 在 2,上單調(diào)遞增，必須滿足42 a 1。2a2n) 假設(shè)a 0, fx2 42b b2x，那么f x無(wú)最大值，故a 0

33、, f x為解：得最大值的自變量的值構(gòu)成以 x0為首項(xiàng)的等差數(shù)列。二次函數(shù),要使有最大值，必須滿足42b0b2此時(shí),x。4 2b b 時(shí),有最大值。又g x取最小值時(shí)，xx0依題意，有.4 2b b24 2b b25 b 1 2 ,/ a0且 1. 5 b 1, 5 0a25 aZ，得 a 1,此時(shí)b 1滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì) a,b是 1,1,1,3。川當(dāng)實(shí)數(shù)對(duì) a,b是 1, 1 ,1,3時(shí)，f xx22x依題意，只需構(gòu)造以 2 (或2的正整數(shù)倍)為周期的周期函數(shù)即可。如對(duì)x 2k2,2k,kN,x2k2,0 ,此時(shí)，h xh x2kf x22kx 2k2 x 2k ,故 h xx 2k 22

34、x2k ,x2k2,2k ,k N。36、有窮數(shù)列an，S為其前n項(xiàng)和，定義TnSl：3魚為數(shù)列an的"凱森和，如果有99項(xiàng)的數(shù)列ai、a2、a3、ago的“凱森和為1000,那么有100項(xiàng)的數(shù)列37、1 、ai、a2、a3、a4、agg 的“凱森和 T100= 991。f(x) (x22aj(x a?)(x an)2 (6 )2 nx2(a1a2、2an)x a12 2a2an (9 )2 nx2x2 2a a 22an (11)(2)證明：構(gòu)造函數(shù)2、an) < 0,因?yàn)閷?duì)一切x R,都有f (x) >0,所以 =4厶門a2從而證得：a12 a；21ann . (14

35、)38、兩個(gè)向量a(1 log2X,log2X), b (log 2 x , t) (x0). a1, a2 R , a1a22 21，求證a1a21 龍,證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)(xaj2 (x a?)22f (x) 2x2(a1 a2 )x222a1 a2 2x2 22x a1 a2因?yàn)閷?duì)一切x R,恒有f(x)> 0，所以48(a12 a2) w 0,從而得a； a|4,門)假設(shè) a1, a2, anRa1a2an1，請(qǐng)寫出上述結(jié)論的推廣(2)參考上述解法，對(duì)你推廣的結(jié)論加以證明。("假設(shè) a1, a2, anRa1a2an1 ,解:先閱讀以下不等式的證法，再解決后面的問(wèn)題

36、:求證：a1 a2an 穆(4 )(1 )假設(shè)t=1且a b，求實(shí)數(shù)x的值；(2)對(duì)t R寫出函數(shù)f(x) a b具備的性質(zhì)解：(1)由得 log 22 x 2log 2 x 0log 2 x0或 log 2 x 24 分1解得x 1，或x6分4(2) f (x) log22 x (1 t) log 2 x8 分具備的性質(zhì):偶函數(shù)；1 t當(dāng)log 2 x 即x1 t2 2時(shí)，f (x)取得最小值(1 t)24(寫出值域?yàn)?1 t)2可);1 t2 2,0)上遞增，在1 t1 t單調(diào)性：在(0,2 丁上遞減，2 丁，)上遞增；由對(duì)稱性，在1 t(,2 N遞減14分說(shuō)明：寫出一個(gè)性質(zhì)得3分，寫出兩

37、個(gè)性質(zhì)得 5分，寫出三個(gè)性質(zhì)得 6分，包括寫出函數(shù)的 零點(diǎn)(x 1 , x 2 (1 ° )等皆可。寫出函數(shù)的定義域不得分，寫錯(cuò)扣1分39、對(duì)于集合N=1,2, 3,n及其它的每一個(gè)非空子集，定義一個(gè)“交替和如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大數(shù)開(kāi)始交替地減、加后繼的數(shù)。例如集合1,2, 4, 6,9的交替和是9 £+ 4 - + 1 = 6,集合5的交替和為5。當(dāng)集合N中的n=2時(shí)，集合N=1,2 的所有非空子集為1 , 2 , 1, 2，那么它的“交替和的總和S>=1+2+(2 -)=4，請(qǐng)你嘗試對(duì)n=3、n=4的情況，計(jì)算它的“交替和的總和&、

38、S4,并根據(jù)其結(jié)果猜測(cè)集合N=1,2, 3,n的每一個(gè)非空子集的“交替和的總和Sn=n .2n-(不必給出證明)40、假設(shè)AB是過(guò)二次曲線中心的任一條弦,M是二次曲線上異于 A、B的任一點(diǎn)，且AM BM均與坐標(biāo)軸不平行，那么對(duì)于橢圓2 y b21 有 K amK BMb2。類似地，對(duì)于雙曲線b21 有 Kam Kbm =41、 f x lg x(1) g(x)f (x2 6x 4) f (x),求 g(x)的最小值(2) P、Q關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，假設(shè)點(diǎn)P在曲線C上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是函數(shù)f X lgx 的圖象，求曲線C的軌跡方程。(3) 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，從特殊到一般，從具體到抽象是常見(jiàn)的一種

39、思維形式。如從f xlgx可抽象出 仁為X2) f(xj f(X2)的性質(zhì)，試分別寫出一個(gè)具體的函數(shù)，抽象出以下相應(yīng)的性質(zhì)由 h(x) 可抽象出 h(x1 x2) h(x1) h(x2)由(x) 可抽象出 X x2)(x1)(x2) g(x) igT ig(x 4 6) 13'等號(hào)當(dāng)x=2時(shí)成立， g(X)min 1 4'(2)設(shè) P(x,y)那么 Q(2-x,4-y) 5'由 4 y=lg(2 x)可得：y=4 lg(2 x)8' h(x)=y=2 x 等軀)=y=lgx 等 _11'42、函數(shù)f(t)at2 bt(t R, a 0)的最大值為正實(shí)數(shù)，

40、集合4ax aA x|-x(1 )求 A 和 B ;(2)定義A與B的差集：A B 設(shè)a , b , x均為整數(shù)，且x0，集合Bx|x2b2。A 且 x B。的概率，寫出a與b的二組值，使x|xA。P(E)為x取自A B的概率，P(F)為x取自A B21-,P(F) -o33P(E)(3)假設(shè)函數(shù)f (t)中，a，b是(2)中a較大的一組，試寫出f (t)在區(qū)間n彳,n上的最大值函數(shù)g(n)的表達(dá)式。答案：(大值專1)V f(t)A x | a(2)要使 P( E) 中有1個(gè)元素。那么a Aa中有7,b(3)由(2)g(n)at2 ibt 右(tR)，配方得 f (t) a(t諾)2詁，由a

41、0得最3分x 0 , B x | b x b o 6 分I , P(F) 3?？梢允笰中有3個(gè)元素，A B中有2個(gè)元素，A B4, b 2。6 個(gè)元素，A B中有 4 個(gè)元素， A B中有 239分個(gè)元素。那么12分知 f(t)4n2、2n丄丄 n16 8.2 14n 116,n4t2.2t1r16,n1 216 (t n ，n)_2813分18分43、在數(shù)學(xué)拓展課上，老師規(guī)定了一種運(yùn)算:a*b= a,ab, ab ,例如：1*2=1 , 3*2=2，那么函數(shù)bf (x) sinx cosx 的值域?yàn)?, ¥。44、點(diǎn)列 Bi(1,y 1)、E2(2,y 2)、Bn(n,y n) (

42、n N)順次為一次函數(shù)y 4x召圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)列 A(xi,O)、Ae(x 2,0)、A(Xn,O)(n N)順次為x軸正半軸上的點(diǎn)，其中xi=a (0 v av 1),對(duì)于任意n N,點(diǎn)An、Bn、An+1構(gòu)成以B n為頂點(diǎn)的等腰三角形。求yn的通項(xiàng)公式，且證明y n是等差數(shù)列；試判斷Xn+2-Xn是否為同一常數(shù)(不必證明)，并求出數(shù)列Xn的通項(xiàng)公式；在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？假設(shè)有，求出此時(shí) a值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：(1)1 1 1 . y n 習(xí)門 12 (n N),y n+1-y n="4 ,二y n為等差數(shù)列(4 )(2) xn+1-

43、xn=2 為常數(shù)(6 ) x1 ,x 3,x 5,x 2n-1 及 x2,x4,x6，,，x2n 都是公差為 2 的等差數(shù) 列，-X2n-1 =x1+2(n-1)=2n-2+a , X2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a,.xn= n a 1,，當(dāng)n為奇數(shù)(10)n- a,當(dāng)n為偶數(shù)(3) 要使 AnBnAn+1 為直角三形，那么|AnAn+1|=2 yBn =2(善 12)Xn+1-Xn=2(號(hào)12)當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， Xn+1=n+1-a , Xn=n+a-1, Xn+1-x n=2(1-a).2(1-a)=2( J 12)a=特 4 (n 為奇數(shù)，Ov av 1) (*)

44、2 1取n=1,得a= 3，取n=3,得a=g，假設(shè)n?5，那么(*)無(wú)解；(14 )當(dāng)偶數(shù)時(shí)， Xn+1= n+a, xn= n-a , Xn+1-x n=2a. 2a=2(專 吉)a=41 (n 為偶數(shù)，Ov a v 1) (*)，取 n=2，得 a=£ ,假設(shè)n > 4，那么(* )無(wú)解.217綜上可知，存在直角三形，此時(shí)a的值為3、6、12 . (18 )45、證明：當(dāng)a> 1時(shí)，不等式a-3 a-2成立。aa要使上述不等式a3 A a2 -成立，能否將條件“ a> 1適當(dāng)放寬？假設(shè)能，請(qǐng)放 aa寬條件并簡(jiǎn)述理由；假設(shè)不能，也請(qǐng)說(shuō)明理由。請(qǐng)你根據(jù)、的證明，試

45、寫出一個(gè)類似的更為一般的結(jié)論，且給予證明。解：( 1)證:a 古-a?-古右(a - 1)(a 5 - 1), . a> 1 , *(a - 1)(a 5 - 1) >0,原不等式成立(6 )(2) a-1與a5-1同號(hào)對(duì)任何a> 0且a 1恒成立，上述不等式的條件可放寬為 a > 0 且 a 1 (9 )(3)根據(jù)(1) (2)的證明，可推知：假設(shè)a> 0且a1,m> n>0,那么有am -L an 4(12) aa證：左式-右式= am-an 加舟 an(am-n-1)-a；(am-n-1) ,amn-1)(amn -1)(14 )假設(shè)a>

46、1，那么由 m> n>0 am-n>0,a m+n>0 不等式成立；假設(shè) 0v a v 1,那么由 m> n > 0 0v am-nv 1,0 v am+n v 1 不等式成立.(16 )46、為了保證信息平安傳輸，有一種稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如以下圖：明文加密密鑰密碼-密文 發(fā)送 -密文 解密密鑰密碼-明文，現(xiàn)在加密密鑰為y=log a(x+2)，如下所示：明文“ 6通過(guò)加密后得到密文“ 3， 再發(fā)送，接受方通過(guò)解密密鑰解密得明文“6，問(wèn)“接受方接到密文4 “，那么解密后得到明文為上。47、 規(guī)定 a b= . ab a b, a, b R

47、，假設(shè)k=3，那么函數(shù) f(x)=k x 的值域?yàn)?(1,+) 48、同學(xué)們都知道，在一次考試后，如果按順序去掉一些高分，那么班級(jí)的平均分將降低；反之，如果按順序去掉一些低分，那么班級(jí)的平均分將提高這兩個(gè)事實(shí)可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述為：假設(shè)有限數(shù)列 aa2, , an 滿足aj a?a*，那么丄上 亞乂上 豈(1 mmnam 1am 2ana1a2ann mn (結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示)n)和(1 m n)49、數(shù)列aa2,a30，其中aa?,印°是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；a10, a11, a20是公差為d的等差數(shù)列；a20, a21, a30是公差為d2的等差數(shù)列(d 0 )(1 )

48、假設(shè) a2040，求 d ；(2) 試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式，并求a30的取值范圍；(3) 續(xù)寫數(shù)列，使得 a30,a31, ,a40是公差為d3的等差數(shù)列，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無(wú)窮數(shù)列提出同(2)類似的問(wèn)題(2)應(yīng)當(dāng)作為特例)，并進(jìn)行研究，你 能得到什么樣的結(jié)論？解(1) a1010. a2010 10d40, d 3. 4 分(2) a30 a2010d2101 d d2 (d 0),8分a3010,0) (0,)時(shí)，a307.5,12分(3)所給數(shù)列可推廣為無(wú)窮數(shù)列an ,其中ai,a2, 禺。是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)n 1時(shí)，數(shù)列a10n,a10n 1,a10(n 1)是公差為dn的等差數(shù)列14分研究的問(wèn)題可以是：試寫出a10(n 1)關(guān)于d的關(guān)系式，并求a10(n 1)的取值范圍.16分研究的結(jié)論可以是：由 a40 a3010d3101 d d2 d3依次類推可得a10(n 1) 101 d1dn1dn101 d ,d 1,10( n1),d 1.18分當(dāng)d 0時(shí)，a10(n 1)的取值范圍為(10,)等.50、定義一種運(yùn)算“ *，對(duì)于n N，滿足以下運(yùn)算性質(zhì)： 2* 2 1 :(2n 2)*2 (2n * 2) 3。那么 2004* 2 的數(shù)值為30045