三角函數(shù)、不等式、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題型一函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題函數(shù)f(x)=22ax a +1(x R).其中a R.(1) 當(dāng)a= 1時(shí)，求曲線y= f(x)在點(diǎn)(2, f(2)處的切線方程; 當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.2x4解 當(dāng) a= 1 時(shí),f(x)=帀,f(2) = 5,(x) = 222 2x625.所以，曲線y= f (x)在點(diǎn)(2, f(2)處的切線方程為46(x 2),即 6x + 25y 32= 0.252 22a x + 1 2x 2 ax a +1 (x)=2 x a ax+ 1 = 2 2 .x + 1由于0,以下分兩種情況討論當(dāng) a> 0,令 f'(x)

2、 = 0,得到 x=,X2 = a.a當(dāng)x變化時(shí),f'( x), f (x)的變化情況如下表:X1(m, )1 a1(- a，a)a(a, +3f'(X)一0+0一f(x)極小值/極大值所以f(x)在區(qū)間 一3 1 ,( a, +8)內(nèi)為減函數(shù)a1在區(qū)間一-，a內(nèi)為增函數(shù).a11函數(shù)f (x)在X1=-處取得極小值f ,aa1 2且 f _ = a.a函數(shù)f(x)在X2= a處取得極大值f(a),且f(a) = 1.1當(dāng) av 0 時(shí)，令 f '(x) = 0,得到 X1= a,X2= -，a當(dāng)X變化時(shí),f'( x), f (x)的變化情況如下表:111X(3,

3、 a)a(a，-aa(-7, +3)f'(X)十0一0十f(X)/極大值極小值/11所以f(x)在區(qū)間(g, a), , +m 內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間a,：內(nèi)為減函數(shù).aa函數(shù)f (x)在xi= a處取得極大值f (a),且f (a) = 1.1 1 函數(shù)f (x)在X2= -21 2且 f - = a2.a答題過程：第一步：確定函數(shù)的定義域 如此題函數(shù)的定義域?yàn)?R.第二步：求f (x)的導(dǎo)數(shù)f'(x).第三步：求方程f '(x) = 0的根.第四步：利用f '(X)= 0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的 x的值從小到大順次將定義域分成假設(shè)干個(gè)小開 區(qū)間，并列出表格.第五步：由f

4、'(x)在小開區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f(x)在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.第六步：明確標(biāo)準(zhǔn)地表述結(jié)論一 1 第七步：反思回憶.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯點(diǎn)及解題標(biāo)準(zhǔn).如此題中f '(x) = 0的根為X1= , X2 a=a.要確定X1,X2的大小，就必須對a的正、負(fù)進(jìn)行分類討論.這就是此題的關(guān)鍵點(diǎn)和易錯點(diǎn) .xe訓(xùn)練1設(shè)f (x) =2,其中a為正實(shí)數(shù).I十a(chǎn)x4(1)當(dāng)a=3時(shí)，求f (x)的極值點(diǎn)；假設(shè)f (x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.題型二導(dǎo)數(shù)與不等式問題1例 2 設(shè)函數(shù) f (x)定義在(0,十)上,f (1) = 0,導(dǎo)函數(shù) f'(x) =-,g(x) = f(x)十

5、 f'(x).X(1) 求g( x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；1(2) 討論g(x)與g -的大小關(guān)系；X1(3) 是否存在xo>O,使得| g(x) g(xo)|< -對任意x>0成立？假設(shè)存在，求出xo的取值范X圍；假設(shè)不存在，請說明理由.解(1)由題設(shè)易知f (x) = In x,1g(x) = In x+ -,z.x一 1二 g'(x)=,令 g'(x)= 0,得 x= 1,x當(dāng) x(0 ,1)時(shí)，g'(x)<o,故(0,1)是g( x)的單調(diào)減區(qū)間，當(dāng) x (1, +s)時(shí),g'(x)>o.故(1, +s)是g(x)的單

6、調(diào)增區(qū)間，因此，-=1是g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為g(1) = 1.11x x+ x，(2) g x =- In x + x,1設(shè) h( x) = g(x) g - = 2ln x那么 h'(x)=x 11當(dāng) x= 1 時(shí)，h(1) = 0,即 g(x) = g 一 ,x當(dāng) x (0,1) U (1, W)時(shí)，h'(x)<0, h' (1) = 0, 因此,h(x)在(0, +s)內(nèi)單調(diào)遞減，1 當(dāng) x>1 時(shí),h(x)<h(1) = 0,即 g(x)<g 一 .x1 當(dāng) 0<x<1 時(shí)，h(x)

7、> h(1) = 0,即 g(x)>g -,x(3)滿足條件的Xo不存在.證明如下：1假設(shè)存在x°>0,使| g(x) g(x°)|< -對任意x>0成立,即對任意x>0, x有 In x<g(x°)<ln x+ -,(*)x但對上述X0,取X1= e時(shí),有In X1 = g(X0),這與(*)左邊不等式矛盾1因此,不存在X0>0,使| g(x) g( x°)|< -對任意x>0成立.X答題過程：1第一步：構(gòu)造函數(shù) h(x) = g(x) g -;z.第二步：根據(jù)求單調(diào)性、極值的步驟探求函

8、數(shù)h(x)的單調(diào)性；第三步：根據(jù)h(x)的單調(diào)性比擬h(x)和0的大??； 第四步：下結(jié)論，反思回憶.訓(xùn)練 2 函數(shù) f(x) = (x2 3x + 3)eX,x 2, t ( t > 2).(1)當(dāng)t <1時(shí)，求函數(shù)y= f (x)的單調(diào)區(qū)間；設(shè) f ( 2) = m f (t) = n,求證：nrn.題型三導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用f (x)=2x ax2+ 2(x R)在區(qū)間1,1上是增函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)a的值所組成的集合A；1m使得不 設(shè)關(guān)于x的方程f (x)= -的兩個(gè)非零實(shí)根為 X1、X2,試冋：是否存在實(shí)數(shù)x,求出m的取值等式m+ tm+1 >| X1 X2|對任意a A及t

9、1,1 恒成立？假設(shè)存在范圍；假設(shè)不存在，請說明理由2 2,4 + 2ax 2x 2 x ax 2x2 + 22(1)f '(X)=x2+2 - f (x)在1,1上是增函數(shù)， f '(x)?0對x 1,1恒成立, 即 x ax2<0 對 x 1,1恒成立.設(shè) 0 (x) = x2 ax 2,1<a< 1.01= 1 a 2W00 1= 1 + a 2W0對x 1,1, f (X)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a= 1時(shí), f' ( 1) = 0 以及當(dāng) a= 1 時(shí),f' (1) = 0,A= a| 1w aw 1.丄 2x a 122 由=-,得 x

10、2 ax 2 = 0. A = a2 + 8>0,x + 2 x X1, X2是方程x2 ax 2 = 0的兩個(gè)非零實(shí)根，X1 + X2= a, X1X2= 2, 從而 |X1 X2| =-; X1 + X2 2 4x1X2 = a2 + 8. t 1 w a w 1, .| X1 X21 =" J a + 8w 3.要使不等式 m+ tm+1>| X1 X2|對任意a A及t 1,1恒成立， 當(dāng)且僅當(dāng) m+ tm+1>3對任意t 1,1恒成立.即m + tm 2>0,對任意t 1,1恒成立.2 2設(shè) g(t) = m+tm 2= mt+ (m 2),2g 1

11、= m m- 2>0那么2? m>2 或 nw 2.g 1= m+ m- 2>0綜上知：存在實(shí)數(shù) m使得不等式 m+ tm+1>| X1 X2|對任意a A及t 1,1恒成立，其 取值范圍是 m m>2或mW 2.答題過程： 第一步：將問題轉(zhuǎn)化為形如不等式f(x) >a(或f(x) w a)恒成立的問題.第二步：求函數(shù)f(X)的最小值f ( X) min或f(X)的最大值f(X)ma 第二步：解不等式 f(x)min?a(或f ( x) maxw a).第四步：明確標(biāo)準(zhǔn)地表述結(jié)論.第五步：反思回憶.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯點(diǎn)及標(biāo)準(zhǔn)解答.如此題重點(diǎn)反思每一步轉(zhuǎn)化的目標(biāo)

12、及合 理性,最大或最小值是否正確.訓(xùn)練3 函數(shù)f(x) = aln x + bx2圖象上點(diǎn)P(1, f(1)處的切線方程為 2x y 3= 0. (1)求函數(shù)y= f (x)的解析式；1函數(shù)g( x) = f (x) + m- ln 4,假設(shè)方程g(x) = 0在e, 2上恰有兩解，求實(shí)數(shù)m的取值范函數(shù)與導(dǎo)數(shù)練習(xí):f2x1. 假設(shè)函數(shù)y = f(x)的定義域是0,2，那么函數(shù)g(x) =“ x的定義域是( )A. 0,1B.0,1)C.0,1) U (1,4D.(0,1)2gx+ x+ 4, x<gx ,2.設(shè)函數(shù)g(x) = x 2(x R),f(x)=那么f(x)的值域是gxx, x

13、>g x ,( )9A. 40 U (1 ,+a )B.0,+a)99C. 一 4,+ a )D. 4 , 0 U (2 ,+ a)3. 假設(shè)方程xlg( x+2) = 1的實(shí)根在區(qū)間(k, k+1) ( k Z)上，貝U k等于( )A. 2B.1C. 2 或 1D.04. 函數(shù)f (x) = x3 + x,對任意的 m 2,2 , f(mx- 2) + f (x)<0恒成立，那么x的取值范圍為.5. f (x)是R上最小正周期為 2的周期函數(shù)，且當(dāng) 0W x<2時(shí)，f(x) = x3 x,那么函數(shù)y = f (x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )A.6B.7

14、C.8D.96. 函數(shù)f (x) = Iog2(x C. a<0 4 2x 3)，那么使f(x)為減函數(shù)的區(qū)間是)a的取值范圍是(A.(3,6)B.( 1,0)C.(1,2)D.( 3, 1)7. 如果函數(shù)f (x) = ax2 + 2x 3在區(qū)間(一a, 4)上是單調(diào)遞增的，那么實(shí)數(shù)1A. a> 41B.a> 41D. -< a<04, 18. 設(shè)函數(shù) f(x) = x ln x (x>0)，那么 y = f(x)()1A. 在區(qū)間-，1 , (1, e)內(nèi)均有零點(diǎn)e1B. 在區(qū)間e，1，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn)1C. 在區(qū)間-，1內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1, e)

15、內(nèi)無零點(diǎn)e1D. 在區(qū)間e，1內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1 , e)內(nèi)有零點(diǎn)9. 函數(shù) f(x)= . x cos x 在0，+a )內(nèi)()A.沒有零點(diǎn)B.有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C.有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D.有無窮多個(gè)零點(diǎn)10. 設(shè) a = log3 n b = log 3, c= log 2，貝UA. a>b>cB.a>c>bc.b>a>cD.b>c>a11. 定義 xO y= 3x- y,貝V aO (aO a)等于()A. aB.3aC.aD. 3a12/函數(shù)y= f(x)的周期為2,當(dāng)x 1,1時(shí)f(x)= x 14. 函數(shù) f(x)= - + aln x(

16、a 0, a R). 入(1)假設(shè)a= 1,求函數(shù)f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間；,那么函數(shù) y= f(x)的圖象與函數(shù) y =|lg x|的圖象的交點(diǎn)共有()A.10 個(gè)B.9 個(gè) C.8 個(gè)D.1 個(gè)213. 函數(shù) f(x)= x假設(shè)a<0且在區(qū)間(0, e上至少存在一點(diǎn)xo,使得f(xo)<O成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 + ax2 x+ c,且 a= f'3 .(1)求a的值；求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；設(shè)函數(shù)g(x) = f(x) x3 ex，假設(shè)函數(shù)g(x)在x 3, 2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) c的取值范 圍.不等式15. 函數(shù) f(x)= ax3 + bx2+ ex, 其導(dǎo)函

17、數(shù)y = f' (x)的圖象經(jīng)過 點(diǎn)(1,0) , (2,0)，如以下圖，那么以下說法中不正確的選項(xiàng)是_(填序號) 當(dāng)x= 3時(shí)函數(shù)取得極小值；2 f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)； 當(dāng)x= 2時(shí)函數(shù)取得極小值； 當(dāng)x= 1時(shí)函數(shù)取得極大值.(1) 恒成立問題假設(shè)不等式f(x)>A在區(qū)間假設(shè)不等式f(x)<B在區(qū)間(2) 能成立問題假設(shè)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù) 假設(shè)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)不等式的恒成立，能成立，恰成立等問題D上恒成立，那么等價(jià)于在區(qū)間 D上f(X)min>A； D上恒成立，那么等價(jià)于在區(qū)間 D上f(X)max<B.x使不等式f(X)>A成立，那么等價(jià)于在區(qū)間 D

18、上f(X)max>A； x使不等式f(X)<B成立，那么等價(jià)于在區(qū)間 D上f(x)min<B.恰成立問題假設(shè)不等式f(x)>A在區(qū)間D上恰成立，那么等價(jià)于不等式 f(x)>A的解集為D ； 假設(shè)不等式f(x)<B在區(qū)間D上恰成立，那么等價(jià)于不等式 f(x)<B的解集為D.x-yw 10,1.設(shè)變量x, y 滿足 Ow x+ y< 20,那么2x+ 3y的最大值為0< yw 15,()A.20B.35C.45D.552.設(shè) a>0,b>0.假設(shè).3是3a與3b的等比中項(xiàng)，那么1 1-+-的最小值為a b()A.8B.4C.1D.；

19、13假設(shè)函數(shù)f(x) = x+(x>2)在x= a處取最小值，那么 a等于()x 2A.1 + 2B.1 + 3C.3D.4x+ 2y- 5W 0,4.設(shè)變量X,y滿足約束條件x y 2w 0,那么目標(biāo)函數(shù)z= 2x+ 3y+ 1的最大值為x> 0,()A.11B.10C.95.函數(shù) f(x) |2x 1 |2x3| .(I)求不等式f (x) W6的解集;(n)假設(shè)關(guān)于x的不等式f(x)>a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.6.函數(shù)f (x)|2x a a .(I )假設(shè)不等式f(x) 6的解集為(n )在 (I )的條件下，假設(shè)存在實(shí)數(shù)x 2 x 3，求實(shí)數(shù)a的值；n使f(n)

20、 m f ( n)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.1+ . 2cos 2x-n三角函數(shù)1.函數(shù)f(x)=nsin x+ 2(1)求f(x)的定義域；3假設(shè)角a在第一象限，且COS a= 5,求f( a).n|、2. 一2<x<0,sin x+ cos x= 5,求 cos x sin x 的值.n13. 函數(shù) f(x) = cos2 x+ 12 ,g(x) = 1 + sin 2x.(1) 設(shè)x=xo是函數(shù)y= f(x)的圖象的一條對稱軸，求g(xo)的值;(2) 求函數(shù)h(x)= f(x) + g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.n4. 函數(shù) f(x) = 2sin x(sin x+ cos x),x 0, 2，求函數(shù) f(x)的最大值. 在銳角 ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c,且3(tan A tan B)= 1 + tan A tan B,又向量 m= (sin A,cos A), n = (cos B,sin B),求|3m 2n|的取值范圍.5. 在 ABC 中，角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,且 2asin A= (2b c)sin B+ (2c b)sin C.(1) 求角A的大??；(2) 假設(shè)sin B+ sin C = .3,試判斷 ABC的形狀.6. 在 ABC 中，角 A、B、C