曾瑾言第四版課后習(xí)題第5章-1

1、第五章：對(duì)稱性及守恒定律P248設(shè)粒子的哈密頓量為V(r)。(2)證明1 rpl證明dt口證明：對(duì)于定態(tài)P Xpx ?yp2/2T r Vzpz，運(yùn)用力學(xué)量平均值導(dǎo)數(shù)公式，以及對(duì)易算符的公配律:?H? xpxy?y1 2?z,PV(x, y,z)XPx昭,*(Px2 ?y2?z2) V(x, y,z)X?XypyZ?z, Px22 2 1PyPz xPx yPy ZPz,V(x, y,z)(2)分動(dòng)量算符僅與一個(gè)座標(biāo)有關(guān)，例如P，而不同座標(biāo)的算符相對(duì)易，因此2式可簡(jiǎn)化成:i x? ?用丹縱點(diǎn)+ 郵y點(diǎn)£卷？；x?x y?y zPz，V(x, y, z)111(3)2_?px>

2、f?2廠爾點(diǎn)郎z, 0；x?x,V90y,Vz0z,V前式是輪換對(duì)稱式，其中對(duì)易算符可展開如下：xPx, 02 003?2x?xx?30xx?20x>?x 02x?xx, 0xl0x 0x【x, 0x0x2 2 2i0xi0x 2 i0xx0x,V磁 V?0x x0xV? xV?x x 0x,V將(4)(5)代入(3)，得:? ?, H? (?2 ?y ?Z) x y z x y z泄r V代入(1),證得題給公式:d(2)在定態(tài)之下求不顯含時(shí)間t的力學(xué)量?的平均值，按前述習(xí)題2的結(jié)論，其結(jié)果是零，令R ? p*(? ?) d(7)那么一 r p dt但動(dòng)能平均值由前式P249設(shè)粒子的勢(shì)

3、場(chǎng) V(x, y,z)是x, y, z的n次齊次式證明維里定理(v irial theorem )nV 2T式中v是勢(shì)能，T是動(dòng)能，并應(yīng)用于特例：(1) 諧振子V T(2) 庫(kù)侖場(chǎng)V 2T(3) V Crn, nV 2T(解)先證明維里定理：假設(shè)粒子所在的勢(shì)場(chǎng)是直角坐標(biāo)(x, y,z)的n次齊次式，那么不管n是正、負(fù)數(shù)，勢(shì)場(chǎng)用直角坐標(biāo)表示的函數(shù)，可以表示為以下形式，式中v假定是有理函數(shù)(假設(shè)是無理式，也可展開成級(jí)數(shù))：V(x, y,z)Cjkxiyjzk(1)ijk此處的i,j,k暫設(shè)是正或負(fù)的整數(shù)，它們滿足:i j k n (定數(shù))Cjk是展開式系數(shù)，該求和式可設(shè)為有限項(xiàng)，即多項(xiàng)式。根據(jù)前一

4、題的結(jié)論:2T? V(2)現(xiàn)在試行計(jì)算此題條件下 rV的式子及其定態(tài)下平均值。VVVx y zxyz(x-y-z )CiJk x y jk zxy zxiCjkxii 1 j ky z yjCjkxiJ 1 ki J ky z z kCjk x y z(i j k)CijkXlyJzkijknV x, y,z這個(gè)關(guān)系在數(shù)學(xué)分析中稱Euler的齊次式定理。再利用2即得:2T nV3本證明的條件只要r V不顯含時(shí)間見前題證明故是一個(gè)普遍的證明。現(xiàn)將其直接用于幾種特例，并 另用2式加以驗(yàn)證。1諧振子：V - ix22y23Z2直接看出n 2，根據(jù)3式知道2T 2V，即 T V也可以根據(jù)前一題的結(jié)論，

5、即2式直接來驗(yàn)證前一結(jié)論VVyzyzx iX y 2y z 3Z(1X22屮3Z2) 2Vr V 2V，由3式可知T V2庫(kù)侖場(chǎng)直接看出v是x,y,z的n 1次齊次式，按3式有:2T但這個(gè)結(jié)論也能用3式驗(yàn)證,為此也利用前一題結(jié)論2有:Vzzx2廠(x y2、3/ 2z )(x2、3/ 2z )(x22、3/2z )代入2式，亦得到2T VCrn C(x23場(chǎng) Vx, y, z直接看出v是x,y,z的n次齊次式，故由2y(3)nz22式得：2TnV仍根據(jù)2式來驗(yàn)證:V r V x xV y-nx (x2z2)2 1 (2x) yn 22(xz2)12(2y)n 22(xz2)A (2z)n(x2

6、z2)2 nV由2得 2TnV，結(jié)果相同。本小題對(duì)于n為正、負(fù)都相適，但對(duì)庫(kù)侖場(chǎng)的奇點(diǎn)0除外。P260求海森伯表象中自由粒子的座標(biāo)的算符。A?(t)應(yīng)解根據(jù)海森伯表象繪景的定義可導(dǎo)得海森伯運(yùn)動(dòng)方程式，即對(duì)于任何用海氏表象的力學(xué)算符滿足：dA 1 r ? 1?1A, H?idt i又對(duì)于自由粒子，有 H? ?不隨時(shí)間t變化2令A(yù)(t) :?(t)為海氏表象座標(biāo)算符；代入(i)d?(t)dtd?(t)dt但班t), p2 x?2?亠2(t), ?22 iI?2 5?pX? p5?(2)?,p? ?,?2 i?dX(t)1 i?代入(2)，得:2 i?dt2 i積分得X(t) ? C(3)將初始條件

7、t 0時(shí)，:?(t)5(0)代入得Cx(0)，因而得到一維座標(biāo)的海氏表象是:X(t) tX0)P260求海森伯表象中中諧振子的坐標(biāo)與動(dòng)量算符。 解：用薛氏表象時(shí)，一維諧振子的哈氏算符是：(1)解法同于前題，有關(guān)坐標(biāo)5?(t)的運(yùn)動(dòng)方程式是:型丄X(t)dt i22將等式右方化簡(jiǎn)，用前一題的化簡(jiǎn)方法:2 2X1 2X, ?2i2盯X,?2?(t)d?(t)1丄?(t)但這個(gè)結(jié)果卻不能直接積分(與前題不同,dp(t)dt?與t有關(guān))，為此需另行建立動(dòng)量算符的運(yùn)動(dòng)方程式:2 2X (t)2化簡(jiǎn)右方1評(píng),2 2X (t).22前係2沏xxp2需曲？刃0,刃2?2(t)d?(t) dt將對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)

8、，并與式結(jié)合，得算符x(t)的微分方程式：2X(t) 0dt2這就是熟知的諧振動(dòng)方程式，振動(dòng)角頻率3,它的解是:?(t) A cos tBsin t A?, B待定算符，將它求導(dǎo)，并利用:卩(t)(Rcos tAsint)將t=0代入x(0)=AP (0)= B,最后；得解-X(t):?(0) cost丄?(0)s int-P(t)p(0)costx(0) sint)在初時(shí)刻t=0，海森伯表象的算符與薛定諤表象中的算符的形式是相同的，因?yàn)榍笆街?X(0)?訊0)i xc.f.P.Roman.AdvaneedQuantum Theory: § 1.1.p.47-48 Addison-W

9、esley 5.1設(shè)力學(xué)量 A不顯含t , H為本體系的Hamilton量，證明d2代H ,HdA 1證.假設(shè)力學(xué)量A不顯含t，那么有-廠A,H,令A(yù),Hd2A"dt1 dCi dtdt2A, H ,H4adt25.1證明力學(xué)量 A 不顯含t的平均值對(duì)時(shí)間的二次微商為:H?是哈密頓量解根據(jù)力學(xué)量平均值的時(shí)間導(dǎo)數(shù)公式，假設(shè)力學(xué)量A不顯含t,有(1)將前式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，將等號(hào)右方看成為另一力學(xué)量丄A,H?的平均值，那么有:id2Adt2丄丄険同,點(diǎn)i i2此式遍乘 即得待證式。t的導(dǎo)數(shù)的平均值等于零。A在態(tài)中的平均值，有:5.2證明，在不連續(xù)譜的能量本征態(tài)束縛定態(tài)下，不顯含t的物理量對(duì)時(shí)間

10、證明設(shè)A?是個(gè)不含t的物理量，是能量H?的公立的本征態(tài)之一，求A *A d將此平均值求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，可得以下式推導(dǎo)見課本§5.1(1)普 丄尺H? -*AH? H?Addt ii今代表FP的本征態(tài)，故滿足本征方程式H? E E為本征值又因?yàn)镕P是厄密算符，按定義有下式需要是束縛態(tài)，這樣下述積分存在題中說力學(xué)量導(dǎo)數(shù)的平均值，與平均值的導(dǎo)數(shù)指同一量2 3代入1得：獸丄 *AH?d 丄H?*Ad dt ii* /? dE*A diidA因 e E*，而 dA 0dtdA52設(shè)力學(xué)量A不顯含t，證明束縛定態(tài)，不0證：束縛定態(tài)為n r,tiEn r e 1nto在束縛定態(tài)nr,t，有Hn r,ti

11、ntr,tEn n r ,t °其復(fù)共軛為*H*nr,ti t*n reiEntEnn* r,t odAdAdd nA dn ,nn , An,A nn,A-dtdtdtdtdtdA11Hn , A nn,A：-Hndt iiHAdAn , HA n 丄n , AH n _A,H n, AHdtiiii1 -A, H H, A 0。idi 5.3證明，對(duì)于一維波包有：孑2 XP PX2解一維波包的態(tài)中，勢(shì)能不存在故自由波包依據(jù)力學(xué)量平均值時(shí)間導(dǎo)數(shù)公式:d x dt丄麗丄X2,孚II2入x2,?x2(2)pXx2(X?x?x ?PxX?x)(X?xX?x Xpx?X(XPxPxX ?x

12、X?x?)(?xXPx>? ?x?xXX)XX, ?x?x?Px?, Px x, ?x?xxPxx, ?x>?(3)刃,P<I(4)0,?： 2 I(x?x Pxx代入2式，得到待證的一式。5.4多粒子系假設(shè)不受外力，那么其哈密頓算符可表成:H?j22m IV/rII ,jI jrj /證明：總動(dòng)量?I為守恒。i證明：待證一試是矢量算符，可以證明其x分量的守恒關(guān)系，即為足夠按力學(xué)量守恒條件這要求:?x,R0?x,V?ix,IV(/ rirj/)I, j=I?ix,i12m I0I2Pix, V (/ ri rj /)ii,j=p1x?Ix2>1x2p1y2P1z2)12

13、mI(Pix2?iy2Piz2 )+ p1x?2xV(/A 叨)V (/ rIrj /)第一個(gè)對(duì)易式中，因?yàn)?Bix，?jl0，?ix,?j/0，?ix,P故整個(gè)?Ix,至于第二個(gè)對(duì)易式中，其相互勢(shì)能之和有以下的形式V/ri 幾/i,jV(Xi Xj, yi yj ,ZiZj )i,j1V(Xi Xj, yiyj,Zi Zj) V(Xi Xj, yi yj,ZjZj)2 i,j又式的第二對(duì)易式又能用分配律寫成許多對(duì)易式之和, 易，式又能簡(jiǎn)化成：?x,H由于不同粒子的坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符永遠(yuǎn)能夠?qū)υ龠\(yùn)用對(duì)易式?ix, V?(Xi Xj ,Yi Yj,ZiZj)j?冷心“兒乙z) V?(xjXi,

14、yj yi,Zj Zi)第四章 11題?ix,F(Xi) J F(Xi)XiV(Xi) i Xi代入上式得:?x,H?Xj, yiyj,ZiZj )?ix,2?(XjXi, yjyi,Zj乙)j 2i XiV2i xi滿足式，故式得征。5.5多粒子系如所受外力矩為0，那么總動(dòng)量L?為守恒。證明：與前題類似，對(duì)粒子系,外力產(chǎn)生外力勢(shì)能和外力矩，內(nèi)力那么產(chǎn)生內(nèi)力勢(shì)能V5rj，但因?yàn)閮?nèi)力成對(duì)產(chǎn)生，所以含內(nèi)力矩為0因此假設(shè)合外力矩為零，那么總能量中只含內(nèi)勢(shì)能:R 土?2Vrii,jrj要考察合力矩是否守恒，可以計(jì)算L?, H?的分量看其是否等于零。?x,H?(yi PiZ Zi Piy ), iH2V

15、rii,jrj122(yi PiZZi Piy)(?xPiy2 i?iZ2)(?ix2?iy2?Z2)( yi PiZZi Piy )(yi PizZi Piy V (Xi Xj, yiyj,ZiZj) V (Xi Xj, yiyj, ZiZj)( y PiX Z Piy)1 2 2 2 2 2 2(YiPizPixPixYiPiz)(YiPiz?iy?yYiPiz)( Yi PizPizPizYiPiz )i 2 i2 2 2 (Pix z Piy ZiPiy ?x )(Piy ZiPiy(Yi PixVVyi Pix) (VZi Pyi jZi Piy ?/)(pi;乙 PiyV)2izZ

16、iPiyz piy pi/)piz , piy 0、 2 2 2 因?yàn)閜ix , Piy piz, piz piz , pix因而可以化簡(jiǎn):?x,H?十0 yi,?iy2?iz 0 02?iz，zi PiyPiz,yV zy, pyj用對(duì)易關(guān)系:?x,H?jcyiy122 iPiy Piz2 iPiz Piy2 izf最后一式第一求和式用了2yi，Piy 2 ipy 等第二求和式用了:px,f(X)廠最后的結(jié)果可用勢(shì)能梯度內(nèi)力表示，因內(nèi)力合矩為零，故有?x,H?- rii i,j一rii i,jfi 0同理可證Ly,聞?因此L是個(gè)守恒量。5.6證明：對(duì)經(jīng)典力學(xué)體系，假設(shè)A，B為守恒量，那么A，

17、B即泊松括號(hào)也為守恒量，但不一定是新的守恒量，對(duì)于量子體系假設(shè) A， B是守恒量，那么A, B也是守恒量，但不一定是新的守恒量。證明先證第一總分，設(shè) qi為廣義坐標(biāo)，pi為廣義動(dòng)量，A qi , pi和B qi , pi 是任意力學(xué)量，i=1,2,3,£為坐標(biāo)或動(dòng)量編號(hào),s 自由度，那么經(jīng)典 Poisson 括號(hào)是：前半題證明 c.f.Goldstein : Clessical MechanlcsA,BA Bi qi PiPiqi在經(jīng)典力學(xué)中，力學(xué)量A隨時(shí)間守恒的條件是或?qū)懽?dAAA Pi0dtqi t Pi t將哈密頓正那么方程式組:dqiHdPiHdtPidtqidAAA HA

18、HA r、小代入前一式得HA A, H0dttiqi PiPiqit因此，假設(shè)力學(xué)量A , B不顯示含時(shí)間t,那么這兩涵數(shù)隨時(shí)間守恒的條件是：A,H0B,H0假定以上兩條件都適合，我們來考察A，B是否也是守恒的？為此只需要考察下式能否成立： A,H, H 0為了考察前一式，可令:I A, B,HB,A,H將此式用泊松括號(hào)的定義展開得:爲(wèi)HA Hqi PiPiqiH的一階導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，化簡(jiǎn)形式如下:仔細(xì)地展開前一式的各項(xiàng)，將發(fā)現(xiàn)全部有關(guān)H的二階導(dǎo)數(shù)都抵消，只留下HhI F(A,B) G(A,B) iPiqi式中F，G都含A和B的導(dǎo)數(shù)，為了確定這兩個(gè)待定系數(shù)， 可令H等于特殊函數(shù)pi這不失普遍性，F(xiàn)與

19、H無關(guān)， 代入式后有I A,B, PiB,A,PiA B,A,Bqqi qi前式中B, Pi的值可在中，作替代 A >B，B > Pi得到，A, Pi求法類似。再在式中，令H= pi，得:I=F A，B 因而得:F(A,B) A,B qi同理令H=qj得：G(代B)A, BPi將所得的F和G代入，并將這結(jié)果再和等同起來，得到:A，B，H B，A，HHhA,BB A,B, Hi qiPi Piqi這個(gè)式子說明：如果(2) , (3)滿足，(4)式就成立即A,B守恒。在量子力學(xué)體系情形，A, B守恒的條件是A, 0B, H? 0再考察 I A e?H? AB? BAHAgH? BA,H

20、?將此式加減ABH? e?H?A后得到：A,肉旳 A氏H? A,RB BtrfA H?,BA假設(shè)A，e?是守恒量，前一式等號(hào)右方庫(kù)H? 0，氏H? 0，左方>A,e?H? 0所以A,B也是守恒量，所以量子體系的情形也有類似的結(jié)論。在量子體系情形，假設(shè)A, E?是守恒量，那么A,B?, H?有共同本征態(tài)，在此態(tài)中測(cè)得/?, B的值為確定值A(chǔ)o和Bo (初始時(shí)刻的值)，A,B的值為0。5.7 3.2，3.35.8 Dx a exp ae)piaPx 表示沿x方向平移距離a算符.證明以下形式波函數(shù)(Bloch波函數(shù))xikxx e k x , k x ak x是Dx a的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為ikae證：Dx a xik x ae k xe ika eikx k xika證畢5.8證明周期場(chǎng)中的 Bloch波函數(shù)(§ 3.4)(x) eikx k(x)， k(x a) k(x)(x)是這種態(tài)，那么是Dx(a)的本征函數(shù)，相應(yīng)的本征值是eika。(證明) Dx(a)是位移算符，它的