高二二項(xiàng)式定理(理科)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上年 級(jí)高二學(xué)科數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)題二項(xiàng)式定理（理科）編稿老師胡居化一、教學(xué)目標(biāo)1. 理解二項(xiàng)式定理的內(nèi)容及其通項(xiàng)公式的概念，掌握二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.2. 理解二項(xiàng)式系數(shù)與展開式中某項(xiàng)系數(shù)的區(qū)別，掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用.3. 理解方程的數(shù)學(xué)思想、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及賦值法等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.二、知識(shí)要點(diǎn)分析1. 二項(xiàng)式定理：這個(gè)公式表示的規(guī)律叫二項(xiàng)式定理.（1）二項(xiàng)式的展開式的特點(diǎn)：（i）展開式共有n+1項(xiàng)；（ii）各項(xiàng)的次數(shù)之和等于n；（iii）a的次數(shù)由n降到0，b的次數(shù)由0升到n.（2）二項(xiàng)展開式的系數(shù)：）（3）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：，r=0，1，2，表示二項(xiàng)展開

2、式的第（r+1）項(xiàng).注：（i）二項(xiàng)式的展開式的第（r+1）項(xiàng)與二項(xiàng)展開式（b+a）n的第（r+1）項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用時(shí)a，b不能隨便交換.（ii）二項(xiàng)展開式的系數(shù)與展開式中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，二項(xiàng)式系數(shù)恒為正.而某項(xiàng)的系數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù).（iii）二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式是，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，各項(xiàng)的系數(shù)是2. 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：（1）進(jìn)行近似計(jì)算；（2）證明整除或求余數(shù)問題；（3）證明有關(guān)的不等式.3. 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：（1）（組合性質(zhì)（2）的體現(xiàn)）.（2）（與首末兩端等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等），即對(duì)稱性.（3）增減性：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸減小的

3、.（4）最大二項(xiàng)式系數(shù)：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，n+1是奇數(shù)，展開式共有（n+1）項(xiàng)，故展開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第（項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.最大的二項(xiàng)式系數(shù)是；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，（n+1）是偶數(shù)，共有（n+1）項(xiàng)，故中間有兩項(xiàng)，即第的二項(xiàng)式系數(shù)最大，這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式的系數(shù)相等且最大，為.（5）二項(xiàng)式的系數(shù)和是，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即.二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和：一般的，設(shè)f（x）=的各項(xiàng)的系數(shù)和是f（1），其中x的奇次項(xiàng)系數(shù)和等于；x的偶次項(xiàng)系數(shù)和等于.【典型例題】知識(shí)點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.例1. 展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（ ）A. 1320 B. 1320 C. 220 D.

4、220【題意分析】本題是利用二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)展開式中的某項(xiàng)問題，即通項(xiàng)公式的應(yīng)用.【思路分析】可設(shè)第（r+1）項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式及x的次數(shù)是零確定r的值，即可確定常數(shù)項(xiàng).【解題步驟】設(shè)第（r+1）項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則，故第10項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng).，選C【解題后的思考】關(guān)于利用二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)展開式中的某項(xiàng)或某項(xiàng)的系數(shù)問題，是二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，一般設(shè)第（r+1）項(xiàng)是要求的項(xiàng).根據(jù)要求確定r的值，即可確定要求的項(xiàng).易錯(cuò)點(diǎn)：把通項(xiàng)公式中的第（r+1）項(xiàng)誤認(rèn)為是第r項(xiàng).例2. 利用二項(xiàng)式定理解決下列問題求：（1）（x3）5的展開式中x5的系數(shù)；（2）在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù).【題意分析】

5、這兩道試題都是二項(xiàng)展開式中的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.【思路分析】（1）假設(shè)第（r+1）項(xiàng)是展開式中含的項(xiàng)，根據(jù)x的次數(shù)是5確定r的值.（2）假設(shè)第（r+1）項(xiàng)是有理項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)公式中的各個(gè)因數(shù)的次數(shù)都是整數(shù)確定r的取值個(gè)數(shù)，從而確定有理項(xiàng)的個(gè)數(shù).【解題步驟】（1）假設(shè)第（r+1）項(xiàng)是展開式中含的項(xiàng)，則Tr1，依題意155r5，解得r2，故（2）240為所求x5的系數(shù).（2）假設(shè)第（r+1）項(xiàng)是展開式中的有理項(xiàng)，則Tr1，要使x的系數(shù)為有理數(shù)，指數(shù)50與都必須是整數(shù)，因此r應(yīng)是6的倍數(shù)，即r6k（kZ），又06k100，解得0k16（kZ），x的系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有17項(xiàng).【解題后的思考】求二項(xiàng)展開式中

6、具有某特定性質(zhì)的項(xiàng)，關(guān)鍵是確定r的值或取值范圍.應(yīng)當(dāng)注意的是二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)不是同一概念，要加以區(qū)分.易錯(cuò)點(diǎn)是：在通項(xiàng)公式中漏掉.例3. （1）求證：能被64整除（2）求證：【題意分析】本題是應(yīng)用二項(xiàng)式定理證明整除問題和證明不等式問題.【思路分析】（1）將已知含有n的式子中的進(jìn)行變形，即，然后用二項(xiàng)式定理展開.（2），把用二項(xiàng)式定理展開.【解題步驟】證明：（1）333故原式可被64整除.（2）故原不等式成立.【解題后的思考】利用二項(xiàng)式定理證明整除問題時(shí)關(guān)鍵是找除數(shù)或其倍數(shù)的因式，要對(duì)已知的式子變形（如）利用二項(xiàng)式定理展開含有除數(shù)或除數(shù)的倍數(shù)的式子或數(shù).證明不等式問題也同樣要對(duì)

7、已知的不等式進(jìn)行等價(jià)變形，目的是為使用二項(xiàng)式定理創(chuàng)造條件，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.【小結(jié)】本題組主要是二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用及利用二項(xiàng)式定理證明整除問題或證明不等式.在通項(xiàng)公式的應(yīng)用過程中，注意它是第（r+1）項(xiàng)而不是第r項(xiàng).在證明整除或不等式問題時(shí)要對(duì)含有n的式子變形為利用二項(xiàng)式定理提供條件.知識(shí)點(diǎn)二：求特定項(xiàng)的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.例1. （2x5y）20展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是（ ）A. B. C. D. 【題意分析】本題是利用賦值法求二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和的問題.【思路分析】假設(shè)各項(xiàng)的系數(shù)是，在中取x=y=1代入可求.【解題步驟】假設(shè)各項(xiàng)的系數(shù)是，令x=y=1得

8、：，選B【解題后的思考】在求二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和問題常采用賦值法，要體會(huì)這種數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用.易錯(cuò)點(diǎn)是：混淆各項(xiàng)系數(shù)與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)，誤選答案C例2. 已知（中第6項(xiàng)的系數(shù)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).【題意分析】本題首先確定n，要根據(jù)n的值確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，要注意二項(xiàng)式系數(shù)與某項(xiàng)系數(shù)的區(qū)別.【思路分析】由已知確定n的值，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的增減性可確定第幾項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.對(duì)于系數(shù)最大的項(xiàng)的確定可以假設(shè)第（r+1）項(xiàng)的系數(shù)最大是T0，第r項(xiàng)的系數(shù)是T1，第（r+2）項(xiàng)的系數(shù)是T2，則，由此確定r的值.【解題過程】，故二項(xiàng)展開式（中共有9項(xiàng)，中間一項(xiàng)第5項(xiàng)

9、的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以所求的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是，假設(shè)第（r+1）項(xiàng)的系數(shù)最大是T0，第r項(xiàng)的系數(shù)是T1，第（r+2）項(xiàng)的系數(shù)是T2，由（1）得：，同理由（2）得：，故，即系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)、第7項(xiàng)，【解題后的思考】對(duì)于求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的問題可根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解，對(duì)求系數(shù)最大項(xiàng)的問題通過建立不等式求解，本題的易錯(cuò)點(diǎn)是：混淆二項(xiàng)式系數(shù)與某項(xiàng)系數(shù)的概念.例3. 設(shè)，求下列各式的值.（1）（2）（3）【題意分析】本題為采用賦值法求值的問題，根據(jù)所求的系數(shù)和賦予x不同的值.【思路分析】對(duì)于（1）設(shè)，則，對(duì)于（2）用平方差公式分解得：f（1）f（1）.（3）對(duì)于等價(jià)于的各項(xiàng)系數(shù)之和.【解題步驟

10、】（1）設(shè)，則（2） （3）令x1得： 【解題后的思考】像這類求二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和的問題，或求奇次項(xiàng)系數(shù)和、偶次項(xiàng)系數(shù)和的問題常采用賦值法解決，要根據(jù)不同的系數(shù)之和賦予不同的值.【小結(jié)】本組三個(gè)例題是關(guān)于二項(xiàng)展開式的系數(shù)的問題，對(duì)于二項(xiàng)式的系數(shù)問題要利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解決，對(duì)于求某些特定的項(xiàng)的系數(shù)或系數(shù)和問題要采用賦值法和方程、不等式的數(shù)學(xué)思想方法解決.容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是：把二項(xiàng)式系數(shù)與某項(xiàng)的系數(shù)混淆.【本講涉及的數(shù)學(xué)思想和方法】本講主要講述二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.在解決問題的過程中體現(xiàn)了方程的數(shù)學(xué)思想、不等式的數(shù)學(xué)思想、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘，

11、滿分60分）一、選擇題（共3小題，每題5分，計(jì)15分）1. A. B. C. D. 2. 若nA. 一定是奇數(shù)B. 一定是偶數(shù)C. 與n的奇偶性相反D. 與n有相同的奇偶性3. 在二項(xiàng)式的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（ ）A. 10 B. 10 C. 5 D. 5二、填空題（共3題，每題5分，計(jì)15分）4. 設(shè)5. 已知，則b=6. 若的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和是32，則n=三、計(jì)算題（30分，每題10分）7. 已知（2x）8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于1120，求x的值.8. 求：（1）（x2）10（x21）的展開式中x10的系數(shù)；（2）（x1）（x1）2（x1）3（x1）4（x1）5的展開

12、式中x2的系數(shù).9. 求：（1）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）若（2x）4a0a1xa2x2a3x3a4x4，求（a0a2a4）2（a1a3）2的值.【試題答案】一、選擇題1. B 解析：原式 2. A 解析：特值法：取n=1時(shí)，此時(shí)b=1，是奇數(shù)取n=2時(shí)，此時(shí)b=3，為奇數(shù)3. B 解析：設(shè)第（r+1）項(xiàng)是含的項(xiàng)，則，令103r4知：r=2，故含項(xiàng)的系數(shù)是二、填空題4. 解析：5. 40，解析：據(jù)題意知：b是展開式中含項(xiàng)的系數(shù)，r=2又 故.6. 5， 解析：.三、計(jì)算題7. 解：依題意T51120，整理得x4（1lgx）1，兩邊取對(duì)數(shù)，得lg2xlgx0，解得lgx0或lgx1，x1或x，故所求x的值是：x1或x.8. 解：（1） （x2）10x1020x9180x8 （x2）10（x21）的展開式中x10的系數(shù)是1180179（2） （x