第四章 根軌跡分析法

1、3.5某控制系統(tǒng)的方塊圖如圖某控制系統(tǒng)的方塊圖如圖3-34。3、求解在這個(gè)、求解在這個(gè)Kc（Kc1.43）下，系統(tǒng)過渡過程的峰值）下，系統(tǒng)過渡過程的峰值時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差。時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差。1、當(dāng)調(diào)節(jié)器增益、當(dāng)調(diào)節(jié)器增益Kc=1, 且系統(tǒng)的且系統(tǒng)的輸入為單位階躍干擾輸入為單位階躍干擾，試求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。試求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。 7 . 0)(lim)(86. 222)()()()()()()(02 ssEesssFsEsYsFsYsRsEs第四章第四章 根軌跡分析法根軌跡分析法 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根的位置根的位置決定閉環(huán)系統(tǒng)決定閉環(huán)系統(tǒng)的的穩(wěn)定性穩(wěn)定性和和動(dòng)態(tài)特性。動(dòng)態(tài)特性。 l l

2、 研究研究調(diào)節(jié)器參數(shù)調(diào)節(jié)器參數(shù)與與閉環(huán)特征根閉環(huán)特征根的變化關(guān)系，的變化關(guān)系，設(shè)計(jì)設(shè)計(jì) 調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)器（設(shè)計(jì)問題）。（設(shè)計(jì)問題）。l l 研究閉環(huán)特征研究閉環(huán)特征根的分布與根的分布與閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性動(dòng)態(tài)特性 之間的定性、定量關(guān)系（分析問題）；之間的定性、定量關(guān)系（分析問題）；l l 根據(jù)控制系統(tǒng)根據(jù)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性要求動(dòng)態(tài)特性要求決定閉環(huán)極點(diǎn)決定閉環(huán)極點(diǎn)在根平在根平 面的位置面的位置（設(shè)計(jì)問題）（設(shè)計(jì)問題） ；伊凡思伊凡思(W.R. Evans)創(chuàng)立根軌跡法（創(chuàng)立根軌跡法（1948）幾何圖解求解特征根幾何圖解求解特征根l l 系統(tǒng)中某一參數(shù)在全部范圍內(nèi)（系統(tǒng)中某一參數(shù)在全部范圍內(nèi)（0

3、）變化時(shí)，）變化時(shí)， 系統(tǒng)閉環(huán)特征根隨之變化的軌跡。系統(tǒng)閉環(huán)特征根隨之變化的軌跡。l l 可以推廣到其它參數(shù)的變化可以推廣到其它參數(shù)的變化廣義根軌跡廣義根軌跡。l l 可用于單變量系統(tǒng)和多變量系統(tǒng)?？捎糜趩巫兞肯到y(tǒng)和多變量系統(tǒng)。l l 常規(guī)根軌跡常規(guī)根軌跡法以開環(huán)增益法以開環(huán)增益K做為參數(shù)畫出根軌跡的。做為參數(shù)畫出根軌跡的。l l 利用這些在利用這些在s平面上形成的軌跡分析和設(shè)計(jì)閉環(huán)控平面上形成的軌跡分析和設(shè)計(jì)閉環(huán)控 制系統(tǒng)。制系統(tǒng)。本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容q 以以K為變量的為變量的常規(guī)根軌跡常規(guī)根軌跡的繪制方法的繪制方法q 以其它參數(shù)為變量的以其它參數(shù)為變量的廣義根軌跡廣義根軌跡的繪制方法的

4、繪制方法q 根軌跡分析方法的根軌跡分析方法的應(yīng)用應(yīng)用 利用根軌跡分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)利用根軌跡分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)4.1 根軌跡的概念根軌跡的概念定義：定義：根軌跡根軌跡 系統(tǒng)中某一參數(shù)在全部范圍內(nèi)變化時(shí)，系統(tǒng)中某一參數(shù)在全部范圍內(nèi)變化時(shí)， 系統(tǒng)閉環(huán)特征根隨之變化的軌跡。系統(tǒng)閉環(huán)特征根隨之變化的軌跡。1 根軌跡舉例根軌跡舉例例例4-1 二階系統(tǒng)的方塊圖如下，繪制它的根軌跡。二階系統(tǒng)的方塊圖如下，繪制它的根軌跡。)1s ( s1 K開環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)： )1()()( ssKsHsG分析：分析： 有有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)個(gè)開環(huán)極點(diǎn),1p, 0p21 沒有開環(huán)零點(diǎn)。沒有開環(huán)零點(diǎn)。閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方

5、程0, 0)()(12 KsssHsG求出求出2個(gè)閉環(huán)特征根：個(gè)閉環(huán)特征根：K415 . 05 . 0s2 , 1 （4-1-1） 閉環(huán)特征根是閉環(huán)特征根是K的函數(shù)。當(dāng)?shù)暮瘮?shù)。當(dāng)K從從0變化，變化， 閉環(huán)特征根在根平面上形成根軌跡。閉環(huán)特征根在根平面上形成根軌跡。閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)： KssKsHsGsG 2)()(1)(K取不同值：取不同值： （等于兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)）（等于兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)） , 0 KImRe0 (兩根重合于兩根重合于0.5處處) ,41 K（即（即0K1/4，兩根為實(shí)根）兩根為實(shí)根） ,25. 00: K1 0.5 (兩根為共軛復(fù)數(shù)根，其實(shí)部為兩根為共軛復(fù)數(shù)根，其實(shí)部為0

6、.5),41 KK415 . 05 . 0s2 , 1 )1()()( ssKsHsG, 1, 021 ss, 5 . 0, 5 . 021 ss145 . 05 . 02, 1 Kjs )Im(, 5 . 0)Re(,2, 12, 1ssK5 . 01:, 5 . 00:21 ss總結(jié)：總結(jié)：q 有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，有有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，有2條根軌跡。條根軌跡。q 根軌跡是從根軌跡是從開環(huán)極點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)出發(fā)點(diǎn)。出發(fā)點(diǎn)。q 通過選擇增益通過選擇增益K，可使閉環(huán)極點(diǎn)落可使閉環(huán)極點(diǎn)落 在根軌跡的任何位置上。在根軌跡的任何位置上。q 如果根軌跡上某一點(diǎn)滿足動(dòng)態(tài)特如果根軌跡上某一點(diǎn)滿足動(dòng)態(tài)特性要求，可以計(jì)算該點(diǎn)

7、的性要求，可以計(jì)算該點(diǎn)的K值實(shí)現(xiàn)值實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)要求。設(shè)計(jì)要求。ImRe010.5)1()()( ssKsHsG這是個(gè)？階系統(tǒng)，這是個(gè)？階系統(tǒng)，2q 根軌跡上的點(diǎn)與根軌跡上的點(diǎn)與K值一一對(duì)應(yīng)。根軌跡是連續(xù)的。值一一對(duì)應(yīng)。根軌跡是連續(xù)的。)1s ( s1 K例例4-22323 5.0 對(duì)上述單位反饋的二階系統(tǒng)，希望閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)上述單位反饋的二階系統(tǒng)，希望閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)的阻尼系數(shù)=0.5，確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根。確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根。根據(jù)以前課程，根據(jù)阻尼系數(shù)求出阻尼角。根據(jù)以前課程，根據(jù)阻尼系數(shù)求出阻尼角。解：解：阻尼角阻尼角計(jì)算如下：計(jì)算如下：,312 tg60 js2, 121 nn235 . 0j

8、ImRe01 0.5 jKjs 145 . 05 . 02 , 1q 阻尼系數(shù)為阻尼系數(shù)為0.5時(shí)的射線與根軌跡交點(diǎn)處的時(shí)的射線與根軌跡交點(diǎn)處的K值可值可以計(jì)算出來。以計(jì)算出來。 q 與（與（4-1-1）式比較得：）式比較得：,314 K即即K=1。 145 . 05 . 02 , 1 Kjs（4-1-1） 獲得系統(tǒng)的根軌跡有兩個(gè)方法：獲得系統(tǒng)的根軌跡有兩個(gè)方法：q 圖解法：利用圖解法：利用Evans總結(jié)的總結(jié)的 規(guī)律畫出根軌跡。規(guī)律畫出根軌跡。 近似、簡(jiǎn)單，尤其適合高階系統(tǒng)近似、簡(jiǎn)單，尤其適合高階系統(tǒng)q 解析法：對(duì)閉環(huán)特征方程解解析法：對(duì)閉環(huán)特征方程解 析求解，逐點(diǎn)描繪。析求解，逐點(diǎn)描繪。

9、精確，工作量大精確，工作量大2323 5.0 ImRe01 0.5232, 15 . 0js 4.2 根軌跡繪制的基本規(guī)則根軌跡繪制的基本規(guī)則1、根軌跡的基本關(guān)系式、根軌跡的基本關(guān)系式典型的反饋控制系統(tǒng)如圖典型的反饋控制系統(tǒng)如圖: G(s)H(s)其其開環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)：（4-2-1）)()(sbsaK )()()()(2121nmpspspszszszsK niimiipszsK11)()()()(sHsG其中：其中：K:開環(huán)增益開環(huán)增益 mizi, 2 , 1, 開環(huán)零點(diǎn)開環(huán)零點(diǎn) 開環(huán)極點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)mnnipi , 2 , 1,閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：)()(1)(sHsGsG

10、閉環(huán)特征方程為：閉環(huán)特征方程為：1)()(, 0)()(1 sHsGsHsG即即 jsHsGjMeesHsGsHsG )()()()()()(1)()( sHsG它們滿足：它們滿足：1)()( sHsG, 2, 1, 0 k, 1 0180)12( kG(s)H(s)G(s)H(s)是復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)一個(gè)矢量：是復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)一個(gè)矢量：)()(11 niimiipszsK niimiipszsK11)()(K1 miiniizspsK11)()(1 -1 niimiipszsKsHsG11)()()()(繪制根軌跡必須滿足的基本條件：繪制根軌跡必須滿足的基本條件： （相角公式：積的相

11、角等于相角的和，（相角公式：積的相角等于相角的和， 商的相角等于相角的差）商的相角等于相角的差） )()()()()()(2121nmpspspszszszs 幅值條件幅值條件mnzszszspspspsK 2121相角條件相角條件（積的模等于模的積，商的模等于模的商）（積的模等于模的積，商的模等于模的商）011180)12()()( kpszsKniimii miiniizspsK11)()(, 2, 1, 0 k0180)12( k注意：注意：1. 這兩個(gè)條件是從系統(tǒng)閉環(huán)特征方程中導(dǎo)出的，這兩個(gè)條件是從系統(tǒng)閉環(huán)特征方程中導(dǎo)出的，所有滿足以上兩式的所有滿足以上兩式的s 值值都是系統(tǒng)的都是系統(tǒng)

12、的特征根特征根，把它們，把它們?cè)谠趕平面上畫出，就構(gòu)成了平面上畫出，就構(gòu)成了根軌跡根軌跡。 2. 觀察兩式，均與開環(huán)零極點(diǎn)有關(guān)，也就是說，觀察兩式，均與開環(huán)零極點(diǎn)有關(guān)，也就是說，根根軌跡是利用開環(huán)零極點(diǎn)求出閉環(huán)極點(diǎn)。軌跡是利用開環(huán)零極點(diǎn)求出閉環(huán)極點(diǎn)。畫法：畫法：1. 利用相角條件，找出所有滿足相角條件的利用相角條件，找出所有滿足相角條件的s值，連值，連成根軌跡。成根軌跡。2. 確定某一特征根后，利用幅值條件，求出對(duì)應(yīng)的確定某一特征根后，利用幅值條件，求出對(duì)應(yīng)的K值。值。相角條件相角條件)()()()()()(2121nmpspspszszszs 幅值條件幅值條件mnzszszspspspsK

13、2121, 2, 1, 0 k0180)12( k例例4-3 某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) )()()()(211pspszsKsHsG 分析：分析：在在s平面上，表示平面上，表示開環(huán)開環(huán)零點(diǎn)，表示零點(diǎn)，表示開環(huán)開環(huán)極點(diǎn)。極點(diǎn)。2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1和和p2。設(shè)設(shè)s是系統(tǒng)的一個(gè)閉環(huán)特征根，是系統(tǒng)的一個(gè)閉環(huán)特征根，相角條件：相角條件：, 2, 1, 0180)12(0211 kkppz 可以通過幅值條件，求出此可以通過幅值條件，求出此s值下的值下的K值值:121zspspsk 1z 1p 2p s則它必須滿足：則它必須滿足：一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)z1，2、繪制根軌跡的基本規(guī)則、繪制

14、根軌跡的基本規(guī)則例例4-4)2)(1()5()()( ssssKsHsG要求畫出根軌跡。要求畫出根軌跡。 某單位反饋系統(tǒng)某單位反饋系統(tǒng)分析：分析：1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，, 51 z0-5-2-10, 01 p, 12 p23 p規(guī)則一、規(guī)則一、根軌跡的分支數(shù)：根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)根軌跡的分支數(shù)：根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n。)()(1sHsG 閉閉環(huán)環(huán)特特征征方方程程0)2)(1()5(1 ssssK0)5()2)(1( sKsss閉環(huán)系統(tǒng)的階次為閉環(huán)系統(tǒng)的階次為3 ，有，有3條根軌跡條根軌跡 。 閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)數(shù) = 閉環(huán)特征方程的階次閉環(huán)特征方程

15、的階次 = 開環(huán)傳遞函數(shù)的階次開環(huán)傳遞函數(shù)的階次= 開環(huán)極點(diǎn)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)例中，例中，,3)2)(1()5()()(階階 ssssKsHsG規(guī)則二、規(guī)則二、 根軌跡的起止：每條根軌跡都起始于開環(huán)根軌跡的起止：每條根軌跡都起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。 根軌跡是根軌跡是K從從0時(shí)的根變化軌跡，因此必須時(shí)的根變化軌跡，因此必須 起于起于K=0處，止于處，止于K=處處。觀察幅值條件：觀察幅值條件：mnzszszspspspsK 2121nipsKi.2 , 1 , 0 必有必有如果如果n m, m條根軌跡趨向開環(huán)的條根軌跡趨向開環(huán)的m 個(gè)零點(diǎn)，而個(gè)零點(diǎn)，而另

16、另n-m條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)處。條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)處。 對(duì)于例題，對(duì)于例題，3條根軌跡始于條根軌跡始于3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，一條止個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，一條止于開環(huán)零點(diǎn)，另兩條（于開環(huán)零點(diǎn)，另兩條（n-m=2）趨于無窮遠(yuǎn)處。趨于無窮遠(yuǎn)處。mizsKi,.2 , 1 , 必有必有)2)(1()5()()( ssssKsHsG規(guī)則三、規(guī)則三、 根軌跡的連續(xù)對(duì)稱性：根軌跡各分支是連根軌跡的連續(xù)對(duì)稱性：根軌跡各分支是連續(xù)的，且對(duì)稱于實(shí)軸。續(xù)的，且對(duì)稱于實(shí)軸。證明：（證明：（1）連續(xù)性）連續(xù)性 從代數(shù)方程的性質(zhì)可知，當(dāng)方程中的系數(shù)連續(xù)變化從代數(shù)方程的性質(zhì)可知，當(dāng)方程中的系數(shù)連續(xù)變化時(shí)，方程的根也連續(xù)，因此特征方程的根軌跡是

17、連時(shí)，方程的根也連續(xù)，因此特征方程的根軌跡是連續(xù)的。續(xù)的。證明：（證明：（2）對(duì)稱性）對(duì)稱性因?yàn)樘卣鞣匠痰母驗(yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)，所以因?yàn)樘卣鞣匠痰母驗(yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)，所以根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。Ks415 . 05 . 02, 1 例：例：*規(guī)則四、規(guī)則四、 實(shí)軸上的根軌跡：在實(shí)軸上某線段右側(cè)的實(shí)實(shí)軸上的根軌跡：在實(shí)軸上某線段右側(cè)的實(shí)數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該線段為根軌跡。數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該線段為根軌跡。例如系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖。例如系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖。 01254 5 4P5P0S要判斷要判斷 和和 之間的線段是否存之間的線段是否存

18、在根軌跡，取實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在根軌跡，取實(shí)驗(yàn)點(diǎn)3p1z,0Sq 開環(huán)共軛極點(diǎn)和零點(diǎn)提供的相角開環(huán)共軛極點(diǎn)和零點(diǎn)提供的相角相互抵消，相互抵消，G(s0)的相角由實(shí)軸上的的相角由實(shí)軸上的開環(huán)零極點(diǎn)決定。開環(huán)零極點(diǎn)決定。q 處在處在G(s0)左邊的開環(huán)零極點(diǎn)提供的角度左邊的開環(huán)零極點(diǎn)提供的角度均為零，均為零， 相角條件由其右邊的零極點(diǎn)決定。相角條件由其右邊的零極點(diǎn)決定。q 奇數(shù)個(gè)奇數(shù)個(gè)，無論如何加減組合，總能無論如何加減組合，總能使（使（2k1) (k=0, 1, 2,)成立。成立。相角條件相角條件)()()()()()(543211pspspspspszs , 2, 1, 0 k0180)12( k對(duì)于例題

19、，對(duì)于例題， 在實(shí)軸上的根軌跡：在實(shí)軸上的根軌跡：0125一條始于開環(huán)極點(diǎn)，止于開環(huán)零點(diǎn)，一條始于開環(huán)極點(diǎn)，止于開環(huán)零點(diǎn)，另兩條始于開環(huán)極點(diǎn)，止于無窮遠(yuǎn)處。另兩條始于開環(huán)極點(diǎn)，止于無窮遠(yuǎn)處。)2)(1()5()()( ssssKsHsG規(guī)則四、規(guī)則四、實(shí)軸上的根軌跡：在實(shí)軸上某線段右側(cè)的實(shí)數(shù)實(shí)軸上的根軌跡：在實(shí)軸上某線段右側(cè)的實(shí)數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該線段為根軌跡。開環(huán)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該線段為根軌跡。漸近線：根軌跡有漸近線：根軌跡有n-m條漸進(jìn)線。條漸進(jìn)線。 漸近線與實(shí)軸的夾角為：漸近線與實(shí)軸的夾角為： ,.2 , 1 , 0180)12(0 kmnk 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

20、：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為：mnzpnimjji 11l l 它們是針對(duì)它們是針對(duì)n-m條趨向無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的根軌跡而設(shè)立的條趨向無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的根軌跡而設(shè)立的l l 如果知道了漸近線，可以馬上畫出根軌跡的大致形狀如果知道了漸近線，可以馬上畫出根軌跡的大致形狀規(guī)則五、規(guī)則五、證明：證明： 見圖見圖4-5。 對(duì)于位于根軌跡上某一動(dòng)點(diǎn)對(duì)于位于根軌跡上某一動(dòng)點(diǎn)s0， 從各開環(huán)零極點(diǎn)到這一點(diǎn)的向從各開環(huán)零極點(diǎn)到這一點(diǎn)的向 量的相角隨量的相角隨s0軌跡的變化而變化，軌跡的變化而變化， 當(dāng)當(dāng)s0到達(dá)無窮遠(yuǎn)處，各相角相等，到達(dá)無窮遠(yuǎn)處，各相角相等， 令其為令其為，可寫成：可寫成： 180)12( knm 進(jìn)而求出漸近線夾角

21、：進(jìn)而求出漸近線夾角：,.2 , 1 , 0,180)12( kmnk 圖圖4501254 5 4P5P0S由對(duì)稱性知，由對(duì)稱性知， 漸近線一定交于實(shí)軸上，其交點(diǎn)實(shí)際漸近線一定交于實(shí)軸上，其交點(diǎn)實(shí)際上相當(dāng)于零極點(diǎn)的質(zhì)量重心。上相當(dāng)于零極點(diǎn)的質(zhì)量重心。按照重心的求法，可求知交點(diǎn)的坐標(biāo)按照重心的求法，可求知交點(diǎn)的坐標(biāo) mnzpnimjji 11對(duì)例對(duì)例4-4，mnk 180)12( ), 1 , 0(2180)12( kk,900 )270(9000 交點(diǎn)坐標(biāo)為：交點(diǎn)坐標(biāo)為：,12)5(21 即（即（1，j0）。）。漸近線與實(shí)軸夾角為：漸近線與實(shí)軸夾角為：)2)(1()5()()( ssssKsH

22、sG10125規(guī)則六、規(guī)則六、 當(dāng)兩條根軌跡在復(fù)平面上相遇又分開的點(diǎn)叫作分離點(diǎn)，根當(dāng)兩條根軌跡在復(fù)平面上相遇又分開的點(diǎn)叫作分離點(diǎn)，根軌跡進(jìn)入軌跡進(jìn)入(離開離開)分離點(diǎn)時(shí)其切線與實(shí)軸的夾角稱為分離角。分離點(diǎn)時(shí)其切線與實(shí)軸的夾角稱為分離角。性質(zhì)性質(zhì): (重點(diǎn)討論重點(diǎn)討論實(shí)軸實(shí)軸上的分離點(diǎn)）上的分離點(diǎn)）q 在此點(diǎn)上必出現(xiàn)在此點(diǎn)上必出現(xiàn)重根重根。 q 利用根軌跡的性質(zhì)可知，當(dāng)根軌跡出現(xiàn)在實(shí)軸利用根軌跡的性質(zhì)可知，當(dāng)根軌跡出現(xiàn)在實(shí)軸 上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)間時(shí)，必有一上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)間時(shí)，必有一分離點(diǎn)分離點(diǎn)。 q 若當(dāng)根軌跡出現(xiàn)在實(shí)軸兩相鄰開環(huán)零點(diǎn)間（包括若當(dāng)根軌跡出現(xiàn)在實(shí)軸兩相鄰開環(huán)零點(diǎn)間（包括無窮遠(yuǎn)處）時(shí)

23、，必有一無窮遠(yuǎn)處）時(shí)，必有一分離點(diǎn)分離點(diǎn)。 q 根軌跡在該點(diǎn)上對(duì)應(yīng)的根軌跡在該點(diǎn)上對(duì)應(yīng)的K是這段實(shí)軸區(qū)域的極值。是這段實(shí)軸區(qū)域的極值。 第一分離點(diǎn)：最大值，第二分離點(diǎn)：最小值。第一分離點(diǎn)：最大值，第二分離點(diǎn)：最小值。 K=0K=0K=K=分離點(diǎn)分離點(diǎn)分離點(diǎn)分離點(diǎn) 根軌跡的分離點(diǎn)：分離點(diǎn)坐標(biāo)是方程式根軌跡的分離點(diǎn)：分離點(diǎn)坐標(biāo)是方程式 的解。分離角的解。分離角 l是重根數(shù)是重根數(shù)。 0 dsdk2 , 1 , 0/ klk 由求極值的公式求出：由求極值的公式求出： 它們可以利用它們可以利用代數(shù)重根法代數(shù)重根法或或極值法極值法求出。求出。(介紹后者介紹后者)0)()(1)()(1 sasbKsGsH

24、在實(shí)軸根軌跡上，求使在實(shí)軸根軌跡上，求使K達(dá)到最大（最小）值的達(dá)到最大（最?。┲档膕 值值: 0)()( )()()( 2 sbsbsasbsadsdK0)( )()()( sbsasbsa注意：注意：求出結(jié)果，需經(jīng)判斷，保留合理解。求出結(jié)果，需經(jīng)判斷，保留合理解。如果根在實(shí)軸根軌跡上，保留，否則，舍去。如果根在實(shí)軸根軌跡上，保留，否則，舍去。)()(sbsaK 在例題在例題4-4中，中， )2)(1()5()()( ssssKsHsG)5()2)(1( ssssK52323 ssssdsdK0103018223 sss02232)5()23()5)(263( sssssss223)5(103

25、0182 ssss解出：解出：94. 6,61. 1,447. 0321 sss對(duì)上圖的觀察，后兩個(gè)根不在根軌跡上，因此交點(diǎn)坐對(duì)上圖的觀察，后兩個(gè)根不在根軌跡上，因此交點(diǎn)坐標(biāo)為（標(biāo)為（-0.447,j0）處。處。 012510.44700902180 求出分離角為求出分離角為:1 規(guī)則七、規(guī)則七、 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)虛根。出現(xiàn)虛根。 在例在例4-4中，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式為：中，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式為： , 0)2)(1()5(1 ssssK0)5()2)(1( sKsss即：即：

26、0)5(2323 sKsssKsKsKsKs5032653210123 勞斯行列式勞斯行列式q當(dāng)當(dāng)6-2K=0時(shí)，特征方程出現(xiàn)時(shí)，特征方程出現(xiàn)共軛虛根，求出共軛虛根，求出K3。 q虛根可利用虛根可利用s2行的輔助方程求出：行的輔助方程求出： 01535322 sKs5js 與虛軸的交點(diǎn)與虛軸的交點(diǎn)交點(diǎn)和相應(yīng)的交點(diǎn)和相應(yīng)的K值利用勞斯判據(jù)求出。值利用勞斯判據(jù)求出。 與虛軸的交點(diǎn)為與虛軸的交點(diǎn)為。5j 例例4-4的根軌跡如圖。的根軌跡如圖。01251K=.084.447)2)(1()5()()( ssssKsHsG1、畫出開環(huán)零極點(diǎn)、畫出開環(huán)零極點(diǎn)2、確定根軌跡根數(shù)、確定根軌跡根數(shù)3、確定起止點(diǎn)，

27、畫出實(shí)軸上的根軌跡、確定起止點(diǎn)，畫出實(shí)軸上的根軌跡4、求漸進(jìn)線（、求漸進(jìn)線（nm）5、求分離點(diǎn)、求分離點(diǎn)6、求與虛軸交點(diǎn)、求與虛軸交點(diǎn)3,5 Kj3,5 Kj7、畫出根軌跡、畫出根軌跡 8、求出特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的、求出特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的K值值K值由根軌跡幅值條件求出：值由根軌跡幅值條件求出：如分離點(diǎn)（如分離點(diǎn)（-0.447,j0）處的處的K值：值： 5447. 02447. 01447. 00447. 0 K084. 0 miiniizspsK11規(guī)則八、規(guī)則八、根軌跡的起始角：根軌跡的起始角：在開環(huán)復(fù)數(shù)在開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)極點(diǎn)px處，根軌跡的處，根軌跡的起始角起始角為：為： nxiiixmjjxxppzp11

28、)()(180起起 在開環(huán)復(fù)數(shù)在開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)零點(diǎn)zy處，根軌跡的處，根軌跡的終止角終止角為：為： myjjjyniiyyzzpz11)()(180終終 若系統(tǒng)存在復(fù)數(shù)開環(huán)零極點(diǎn)，需要知道根軌跡從此若系統(tǒng)存在復(fù)數(shù)開環(huán)零極點(diǎn)，需要知道根軌跡從此點(diǎn)出發(fā)（進(jìn)入）的方向角度?？筛鶕?jù)相角條件求出。點(diǎn)出發(fā)（進(jìn)入）的方向角度。可根據(jù)相角條件求出。證明：證明： 設(shè)一系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示，設(shè)一系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示， 1P2P3P4P1Z1P 3P 2P 4P Z , 1, 0,180)12()(04321 kkppppz 0s3p 點(diǎn)為從點(diǎn)為從 出發(fā)的根軌跡上一點(diǎn)。出發(fā)的根軌跡上一點(diǎn)。該點(diǎn)到所

29、有零極點(diǎn)的角度應(yīng)符合相角條件：該點(diǎn)到所有零極點(diǎn)的角度應(yīng)符合相角條件：)(18042103pppzp 當(dāng)當(dāng)s0一點(diǎn)點(diǎn)趨近一點(diǎn)點(diǎn)趨近p3時(shí)，可認(rèn)為時(shí)，可認(rèn)為3p 3p。起起 為為 處的起始角處的起始角l l 而而p1、p2、p4、z都分別趨近于各都分別趨近于各開環(huán)零極點(diǎn)相對(duì)于開環(huán)零極點(diǎn)相對(duì)于P3點(diǎn)的矢量的相角。點(diǎn)的矢量的相角。起起 此時(shí)，起始角此時(shí)，起始角 可以計(jì)算：可以計(jì)算：)()()()pppppzp 起起 nxiiixmjjxppzp11)()(180同理可證明終止角。同理可證明終止角。1P2P3P4P1Z1P 3P 2P 4P Z )(18042103pppzp

30、例例4-5 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)圖如圖。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)圖如圖。其中其中1P2P3P4P1Z1P 3P 2P 4P Z 圖圖4-7,85)(013 zp,135)(013 pp,45)(023 pp,90)(043 pp確定根軌跡離開共軛復(fù)數(shù)根的起始角。確定根軌跡離開共軛復(fù)數(shù)根的起始角。根據(jù)公式：根據(jù)公式： 590451358518000000 起起 考慮到根軌跡的對(duì)稱性，考慮到根軌跡的對(duì)稱性，起始角起始角p3= -5，p4= 5 nxiiixmjjxxppzp11)()(180起起 例例4-6 作作 的根軌跡。的根軌跡。16)4()()(2 ssKsHsG開環(huán)極點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)3個(gè)：個(gè)：44, 03,

31、21jpp 分析：分析：n=3，m=0, 沒有開環(huán)零點(diǎn)沒有開環(huán)零點(diǎn)。(在在s平面上的極點(diǎn)處標(biāo)以平面上的極點(diǎn)處標(biāo)以“”，)根據(jù)根據(jù)規(guī)則一、二規(guī)則一、二 、三、三 ：根據(jù)根據(jù)規(guī)則四規(guī)則四，實(shí)軸上，實(shí)軸上0-為根軌跡。為根軌跡。 分別起始于分別起始于3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，均終止于無窮遠(yuǎn)處。均終止于無窮遠(yuǎn)處。根軌跡有三個(gè)分支：根軌跡有三個(gè)分支：根據(jù)根據(jù)規(guī)則五規(guī)則五，求漸近線，求漸近線:n-m=3條條例例4-6 mnk )12(180 漸近線與實(shí)軸夾角：漸近線與實(shí)軸夾角： 601漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)： mnzpnimjji 11 1802)300(60003 , 2 , 1 , 0

32、,03)12(180 kk03080 767. 2 -2.76744, 03,21jpp 60沒有分離點(diǎn)。沒有分離點(diǎn)。例例4-6 根據(jù)根據(jù)規(guī)則七規(guī)則七：求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。：求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征方程： 032823 Ksss0323256810123KKKSSSS K=256，必對(duì)應(yīng)于一對(duì)純虛根，必對(duì)應(yīng)于一對(duì)純虛根，2s以以 的系數(shù)構(gòu)成輔助方程的系數(shù)構(gòu)成輔助方程:02568822 sKs322 s66. 532jjs 16)4()()(2 ssKsHsG-j5.66j5.66例例4-6 根據(jù)根據(jù)規(guī)則八規(guī)則八求起始角：求起始角： 對(duì)對(duì)P2，根軌跡的起始角為：根軌跡的

33、起始角為： 1359001802由對(duì)稱性知：由對(duì)稱性知：-4-j4處的起始角為處的起始角為45)1(1 tg135 11 tg 44 45 2 3 44, 03,21jpp j5.66-j5.66根軌跡完成。根軌跡完成。 nxiiixmjjxxppzp11)()(180起起 16)4()()(2 ssKsHsG0390 例例4-7 作作 的根軌跡。的根軌跡。)12()1()()(2 sssKsHsG該系統(tǒng)該系統(tǒng) n=3 ，m=1。根據(jù)根據(jù)規(guī)則一、二、三規(guī)則一、二、三：,12, 032, 1 pp1z一個(gè)零點(diǎn)：一個(gè)零點(diǎn)：有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：-2-4-6-12該根軌跡有三個(gè)分支該根軌跡

34、有三個(gè)分支,分別起始于分別起始于p = 0(兩條兩條)和和p = -12處，處，有一個(gè)分支終止于有一個(gè)分支終止于z = -1,另兩個(gè)分支趨于無窮遠(yuǎn)。另兩個(gè)分支趨于無窮遠(yuǎn)。根據(jù)根據(jù)規(guī)則四規(guī)則四： 實(shí)軸上存在根軌跡是從實(shí)軸上存在根軌跡是從-12到到-1之間。之間。例例4-7根據(jù)根據(jù)規(guī)則五規(guī)則五：漸近線有：漸近線有2條，條，n-m2。-5.5漸近線夾角：漸近線夾角： mnk )12(180 2 , 1 , 0 k 901)270(9002 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)： mnzpnimjji 112)1(12 211 5 . 5 -2-4-6-12)12()1()()(2 sssKsHsG

35、例例4-7根據(jù)根據(jù)規(guī)則七規(guī)則七、求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。 閉環(huán)特征方程是：閉環(huán)特征方程是：01223 KKsss0012121210123KsKKsKsKs K0時(shí)，第一列元素都為時(shí)，第一列元素都為正值，根軌跡與虛軸交點(diǎn)正值，根軌跡與虛軸交點(diǎn)于于K=0處。處。 -2-4-6-12)12()1()()(2 sssKsHsG例例4-7根據(jù)根據(jù)規(guī)則六規(guī)則六、求分離點(diǎn)、求分離點(diǎn) 11223 sssK0 dsdk0)1(24152223 ssssdsdk則：則： 02415223 sss s1 =-5.18, s2= -2.31，s30。可知一部分根軌跡為圓?？芍徊糠指壽E為圓。據(jù)

36、此，可畫出根軌跡。據(jù)此，可畫出根軌跡。均在根軌跡上。均在根軌跡上。大大Ks1小小Ks2 -2-4-6-1200902180 求出分離角為求出分離角為:)12()1()()(2 sssKsHsG-5.5例例4-7利用幅值條件，可求出分離點(diǎn)的利用幅值條件，可求出分離點(diǎn)的K值。值。 ,78.43)1()12(001111 ssssK代代入入幅幅值值條條件件：把把處處在在18.5s,11 s47.3911223 sssKs2是第一分離點(diǎn)，是第一分離點(diǎn)，s1是第二是第二分離點(diǎn)。分離點(diǎn)。完整的繪出根軌跡如圖所示。完整的繪出根軌跡如圖所示。-2-4-6-12 miiniizspsK11表表達(dá)達(dá)式式：代代入入

37、把把處處在在K31.2s,22 s作業(yè)：作業(yè)：4-7， 4-5 (2)(4) s1 =-5.18, s2= -2.31，s30。)12()1()()(2 sssKsHsG4.3 廣義根軌跡廣義根軌跡常規(guī)根軌跡以開環(huán)增益常規(guī)根軌跡以開環(huán)增益K為可變參量為可變參量這些參數(shù)必須以這些參數(shù)必須以線性形式線性形式出現(xiàn)在特征方程中。出現(xiàn)在特征方程中。（如某些開環(huán)零極點(diǎn)、調(diào)節(jié)器（如某些開環(huán)零極點(diǎn)、調(diào)節(jié)器PID參數(shù)參數(shù) 或者系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)等）或者系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)等）廣義根軌跡其它參數(shù)為變量廣義根軌跡其它參數(shù)為變量常用的研究方法常用的研究方法把廣義根軌跡轉(zhuǎn)換成常規(guī)根把廣義根軌跡轉(zhuǎn)換成常規(guī)根軌跡軌跡，使用常規(guī)根軌跡

38、的方法繪制廣義根軌跡。，使用常規(guī)根軌跡的方法繪制廣義根軌跡。1、單參數(shù)根軌跡單參數(shù)根軌跡繪制廣義根軌跡的步驟如下：繪制廣義根軌跡的步驟如下：(2) 列寫以新的變量表示的列寫以新的變量表示的等效等效系統(tǒng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)(GH )e(1) 寫出原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式；寫出原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式；l l 概念概念：指具有相同的閉環(huán)特征方程：指具有相同的閉環(huán)特征方程：eGHGH)(11 l l 做法做法：從原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程出發(fā)，把與新變：從原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程出發(fā)，把與新變 量有關(guān)的項(xiàng)寫到分子上，其余部分寫在分母上。量有關(guān)的項(xiàng)寫到分子上，其余部分寫在分母上。 這樣，參變量移到這樣，參變

39、量移到K的位置。的位置。因而具有相同的閉環(huán)特征根。因而具有相同的閉環(huán)特征根。(3) 把等效系統(tǒng)的參數(shù)當(dāng)作原系統(tǒng)中的增益把等效系統(tǒng)的參數(shù)當(dāng)作原系統(tǒng)中的增益K，以常以常 規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則，繪制廣義根軌跡。規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則，繪制廣義根軌跡。繪制廣義根軌跡的關(guān)鍵是得到繪制廣義根軌跡的關(guān)鍵是得到。 （1）等效開環(huán)傳遞函數(shù)）等效開環(huán)傳遞函數(shù)以下圖所示的調(diào)節(jié)系統(tǒng)為例說明。以下圖所示的調(diào)節(jié)系統(tǒng)為例說明。 )(saKpGc(s)R(s)Y(s)()(0saKKsGpc 開環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)： eGH 0)( pcKKsa閉閉環(huán)環(huán)特特征征方方程程：pcKKK ,)(ccKsG 1、為為變變量量。以以cK

40、 0:,0:cKKpcKKK 閉環(huán)特征方程相同。閉環(huán)特征方程相同。pcKK)(sa)(saKGHe 2、)(saKpGc(s)R(s)Y(s)開環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)：閉閉環(huán)環(huán)特特征征方方程程： eGH )()()(0sasTKKKKsGdpcpc 0)( sTKKKKsadpcpc閉環(huán)特征方程相同。閉環(huán)特征方程相同。pcddpcKKKTTKKK/, )1()(sTKsGdcc 為為變變量量。以以dT,pcdpcKKsasTKK )(pcdpcKKsasTKK )()0( 0:,0:dTKpcKKsasK )()0(3、)(saKpGc(s)R(s)Y(s)11()(sTKsGicc )()

41、()(10ssasKKsGiTpc sKKssaKKGHpcTpcei )()(1,/ipcTKKK 閉閉環(huán)環(huán)特特征征方方程程：0)(1 iTpcpcKKsKKssa。有有相相同同的的閉閉環(huán)環(huán)特特征征方方程程 0:0:iTKKKKTpci 為變量。為變量。以以iT,廣義根軌跡繪制總結(jié)：廣義根軌跡繪制總結(jié)：l l 關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)要把新參數(shù)移到原要把新參數(shù)移到原K的位置上，利用常規(guī)的位置上，利用常規(guī) 根軌跡的畫法。根軌跡的畫法。 等效只等效在閉環(huán)特征方程和它的解等效只等效在閉環(huán)特征方程和它的解(閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)) 上，不等效在閉環(huán)傳遞函數(shù)上。上，不等效在閉環(huán)傳遞函數(shù)上。l l 移動(dòng)的原則移動(dòng)的原則是

42、等效系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程必須和原是等效系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程必須和原 系統(tǒng)相同。系統(tǒng)相同。必須注意：必須注意： 廣義根軌跡只用在分析閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響，廣義根軌跡只用在分析閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響， 不能用于分析整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。不能用于分析整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。 閉環(huán)零點(diǎn)往往是不相同的，而閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)往往是不相同的，而閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的 閉環(huán)過程也有影響。閉環(huán)過程也有影響。（2）廣義根軌跡的畫法）廣義根軌跡的畫法繪制當(dāng)對(duì)象的開環(huán)極點(diǎn)繪制當(dāng)對(duì)象的開環(huán)極點(diǎn)p變化時(shí)的廣義根軌跡。變化時(shí)的廣義根軌跡。 例例 4-8 開環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)： )(4)()(psssHsG 開環(huán)極點(diǎn)：開環(huán)極點(diǎn)： ppp 21

43、, 0 閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程:042 pssK=4 等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)4)(2 spsGHe)2)(2(jsjsps )(4pss R(s)Y(s)分析：分析：l l 等效系統(tǒng)有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)等效系統(tǒng)有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn) ，一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)0。2j l l 根軌跡起點(diǎn)于根軌跡起點(diǎn)于 ，終止于零和無窮遠(yuǎn)處。，終止于零和無窮遠(yuǎn)處。2j 漸近線：漸近線：0,1801/18000 aIm(s)Re(s)-2PPP=0j2-j2 求分離點(diǎn)坐標(biāo)：求分離點(diǎn)坐標(biāo)： , 0)(1 eGH,42ssp 0422 ssdsdP, 2 s在在根根軌軌跡跡上上2 s4)(2 spsGHe

44、l l 負(fù)實(shí)軸為根軌跡，有一分離點(diǎn)。負(fù)實(shí)軸為根軌跡，有一分離點(diǎn)。P=0把把s-2代入代入p的公式，求出此點(diǎn)的公式，求出此點(diǎn)p=4。研究開環(huán)極點(diǎn)對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)的影響研究開環(huán)極點(diǎn)對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)的影響分離角為分離角為90。K=4)(4pss R(s)Y(s)P=0 無阻尼；無阻尼； 0p4 過阻尼。過阻尼。還可以畫出在還可以畫出在p=0時(shí)，時(shí)，K從零到無窮大變化時(shí)的根軌跡。從零到無窮大變化時(shí)的根軌跡。 此時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：此時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 2)0()()(sKssKsHsG 0, 021 pp閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征方程： , 02 Ks,Kjs jsK0:,0:根軌跡為兩條從原點(diǎn)出發(fā)，沿

45、正負(fù)虛軸根軌跡為兩條從原點(diǎn)出發(fā)，沿正負(fù)虛軸趨向無窮遠(yuǎn)處的軌跡趨向無窮遠(yuǎn)處的軌跡 。求特殊點(diǎn)的。求特殊點(diǎn)的K值。值。0j2(K=4)-j2(K=4)p=02js 在在 處兩圖都有處兩圖都有K=4，p=0。比較比較開環(huán)極點(diǎn)：開環(huán)極點(diǎn)： Im(s)Re(s)-2PPP=0j2-j2P=0K=42、多參數(shù)根軌跡、多參數(shù)根軌跡當(dāng)系統(tǒng)中有兩個(gè)以上參數(shù)變化時(shí)的根軌跡當(dāng)系統(tǒng)中有兩個(gè)以上參數(shù)變化時(shí)的根軌跡叫作根軌跡族。叫作根軌跡族。根軌跡族的一般做法是：根軌跡族的一般做法是： l l 每次選定一個(gè)參數(shù)為常數(shù)，讓另一個(gè)參數(shù)從零變每次選定一個(gè)參數(shù)為常數(shù)，讓另一個(gè)參數(shù)從零變 化到無窮大，畫出根軌跡；化到無窮大，畫出根

46、軌跡；l l 隨后，改變第一個(gè)參數(shù)值，重復(fù)前面的過程畫出隨后，改變第一個(gè)參數(shù)值，重復(fù)前面的過程畫出 根軌跡。根軌跡。有兩種做法：有兩種做法：以上述系統(tǒng)為例，繪出當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)增益以上述系統(tǒng)為例，繪出當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)增益K和開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)p從零到無窮大變化時(shí)的根軌跡族。從零到無窮大變化時(shí)的根軌跡族。 （1）分別?。┓謩e取K為不同值，畫出參數(shù)為不同值，畫出參數(shù)p變化時(shí)的根軌跡。變化時(shí)的根軌跡。 此時(shí)，等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：此時(shí)，等效開環(huán)傳遞函數(shù)為： KspsGHe 2)(l l 對(duì)應(yīng)于任何對(duì)應(yīng)于任何K，都有都有2條根軌跡。條根軌跡。KKl l 復(fù)平面上的根軌跡是以原點(diǎn)為圓復(fù)平面上的根軌跡是以原點(diǎn)為圓 心，

47、半徑是心，半徑是 的半圓，與實(shí)軸的半圓，與實(shí)軸 交點(diǎn)在交點(diǎn)在- 。見圖。見圖。Kj l l 起點(diǎn)于等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極起點(diǎn)于等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極 點(diǎn)點(diǎn) , 止于零和無窮遠(yuǎn)處。止于零和無窮遠(yuǎn)處。)()0(KjsKjssp -1-2-3P=P=0 j1(K=1)j2 (K=4)j3 (K=9)Kjpz 2, 110（2）分別?。┓謩e取p為不同值，畫出參數(shù)為不同值，畫出參數(shù)K變化時(shí)的根軌跡。變化時(shí)的根軌跡。 此時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)為：此時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)為：)()(pssKsGo q 對(duì)應(yīng)于任意對(duì)應(yīng)于任意p值都有值都有2條根軌跡；條根軌跡；q 起點(diǎn)在開環(huán)極點(diǎn)起點(diǎn)在開環(huán)極點(diǎn)0和和-p；q 實(shí)軸上根軌跡在實(shí)軸

48、上根軌跡在-p和和0之間；之間；q 分離點(diǎn)坐標(biāo)是分離點(diǎn)坐標(biāo)是-p/2，分離角為分離角為90；q 2條根軌跡經(jīng)條根軌跡經(jīng)-p/2交點(diǎn)后，分別平交點(diǎn)后，分別平行于虛軸，趨向無窮遠(yuǎn)處。行于虛軸，趨向無窮遠(yuǎn)處。0-3-2-1 P=2P=4P=0表面看來，表面看來， P=2P=4 上述兩圖不同，但仔細(xì)觀察，在兩圖中，上述兩圖不同，但仔細(xì)觀察，在兩圖中，當(dāng)當(dāng)K和和p取相同一組值時(shí)，特征根取相同一組值時(shí)，特征根s也取相同值。也取相同值。-1-2-3P=P=0j1(K=1)j2(K=4)j3(K=9)()()(pssKsHsG )()(KjsKjspsGHe 如如 K=4，p=4，s=-2，0-3-2-1 3

49、1, 2, 4jspK P=2K=4P=44.4 利用根軌跡分析控制系統(tǒng)利用根軌跡分析控制系統(tǒng)l l 主要分析和討論影響根軌跡形狀的因素主要分析和討論影響根軌跡形狀的因素l l 系統(tǒng)特征根在系統(tǒng)特征根在S平面上的位置與動(dòng)態(tài)指標(biāo)的關(guān)系平面上的位置與動(dòng)態(tài)指標(biāo)的關(guān)系l l 目的在于給出系統(tǒng)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)方向目的在于給出系統(tǒng)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)方向l l 改變或增加開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)閉環(huán)特征根以及系統(tǒng)控制改變或增加開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)閉環(huán)特征根以及系統(tǒng)控制 質(zhì)量的影響質(zhì)量的影響一、一、特征根與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)的關(guān)系特征根與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)的關(guān)系j5010-5112233見圖。見圖。它們對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)過渡曲線見圖。它們對(duì)應(yīng)的單位階躍響

50、應(yīng)過渡曲線見圖。的虛部，的虛部，1和和3有相同有相同2和和3 有相同的實(shí)部；有相同的實(shí)部；軸有相同的夾角；軸有相同的夾角；1和和2對(duì)實(shí)對(duì)實(shí)在在s左半平面有三類共軛復(fù)根，左半平面有三類共軛復(fù)根，22,11 nnjsdj y1.500.52.5t11.521123共軛復(fù)根共軛復(fù)根y1.500.52.5t11.52112y1.500.52.5t11.52113y1.500.52.5t11.52123j5010-5112233特征根與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)的關(guān)系特征根與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)的關(guān)系22,11 nnjs1、超調(diào)量、超調(diào)量和衰減比和衰減比n 超調(diào)量超調(diào)量%10021 e 衰減比衰減比 212 en dtg1它

51、們與實(shí)軸的夾角：它們與實(shí)軸的夾角：如果兩個(gè)復(fù)根同處在一條從原點(diǎn)發(fā)出的射線上時(shí)，如果兩個(gè)復(fù)根同處在一條從原點(diǎn)發(fā)出的射線上時(shí)， 211tg在在s平面上與實(shí)軸有相同夾角的直線叫平面上與實(shí)軸有相同夾角的直線叫等等線線，落在等落在等線上的特征根對(duì)應(yīng)相同的衰減比和超調(diào)量。線上的特征根對(duì)應(yīng)相同的衰減比和超調(diào)量。 越小，系統(tǒng)越振蕩，超調(diào)量越越小，系統(tǒng)越振蕩，超調(diào)量越大，衰減比越小，相對(duì)的穩(wěn)定性變差。大，衰減比越小，相對(duì)的穩(wěn)定性變差。 等等線越靠近虛軸，線越靠近虛軸，y1.500.52.5t11.5211212線線等等d dnpt 2122 它是極點(diǎn)虛部的函數(shù)。它是極點(diǎn)虛部的函數(shù)。 在在s平面上平行于實(shí)軸的直平

52、面上平行于實(shí)軸的直線叫作線叫作等頻線等頻線(等等 線線)。d 落在這條線上的極點(diǎn)具有相同落在這條線上的極點(diǎn)具有相同的虛部，它們的峰值時(shí)間相同，的虛部，它們的峰值時(shí)間相同，振蕩頻率相同。振蕩頻率相同。 2、峰值時(shí)間、峰值時(shí)間tp等頻線離實(shí)軸越遠(yuǎn)，則等頻線離實(shí)軸越遠(yuǎn)，則tp越短，越短，振蕩頻率越高，振蕩頻率越高，tp反比于虛部值。反比于虛部值。 22,11 nnjsy1.500.52.5t11.52113d j5010-5133、調(diào)節(jié)時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間ts（過渡時(shí)間）過渡時(shí)間） %)5(33 nst%)2(44 nst它是極點(diǎn)實(shí)部的函數(shù)。它是極點(diǎn)實(shí)部的函數(shù)。 在在s平面上平行于虛軸的直線叫作平面上平行

53、于虛軸的直線叫作等等線線。等等線離虛軸越遠(yuǎn)，它所線離虛軸越遠(yuǎn)，它所對(duì)應(yīng)的過渡過程時(shí)間對(duì)應(yīng)的過渡過程時(shí)間ts越越短。短。ts與實(shí)部值成反比。與實(shí)部值成反比。線線等等 落在這條線上的極點(diǎn)具有落在這條線上的極點(diǎn)具有相同相同的的實(shí)部實(shí)部，它們對(duì)應(yīng)，它們對(duì)應(yīng)相同相同的的調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間。y1.500.52.5t11.52123n d 23dnnjjs 22, 11等頻線等頻線綜上所述，綜上所述， 在五種常用的質(zhì)量指標(biāo)中，四種動(dòng)態(tài)在五種常用的質(zhì)量指標(biāo)中，四種動(dòng)態(tài)指標(biāo)可以在根平面中用三種直線表示。指標(biāo)可以在根平面中用三種直線表示。 l l 衰減比和超調(diào)量都可以用等衰減比和超調(diào)量都可以用等線代表線代表i0等等

54、 線線等等線線合格區(qū)合格區(qū)l l 當(dāng)系統(tǒng)主要的特征根落在這個(gè)合格區(qū)內(nèi)時(shí)，控制系當(dāng)系統(tǒng)主要的特征根落在這個(gè)合格區(qū)內(nèi)時(shí)，控制系 統(tǒng)的質(zhì)量就可達(dá)到原定的要求。統(tǒng)的質(zhì)量就可達(dá)到原定的要求。l l 它們重合的部分符合所有指標(biāo)。它們重合的部分符合所有指標(biāo)。l l 這三種直線的合格區(qū)域都可以用這三種直線的合格區(qū)域都可以用 陰影表示出來，如圖中所示。陰影表示出來，如圖中所示。l l 振蕩頻率用等頻線代表振蕩頻率用等頻線代表l l 調(diào)節(jié)時(shí)間用等調(diào)節(jié)時(shí)間用等線代表線代表l l 即增加校正裝置，改變根軌跡的形狀，從而滿即增加校正裝置，改變根軌跡的形狀，從而滿 足系統(tǒng)設(shè)計(jì)的要求。足系統(tǒng)設(shè)計(jì)的要求。l l 例如，不僅僅

55、改變調(diào)節(jié)器參數(shù)例如，不僅僅改變調(diào)節(jié)器參數(shù)Kc， 而且改變調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)，給系統(tǒng)增加而且改變調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)，給系統(tǒng)增加 開環(huán)零極點(diǎn)。開環(huán)零極點(diǎn)。l l 但是，在很多時(shí)候，只調(diào)整增益但是，在很多時(shí)候，只調(diào)整增益 不能滿足系統(tǒng)的性能。此時(shí)必須不能滿足系統(tǒng)的性能。此時(shí)必須 改造根軌跡。改造根軌跡。l l 當(dāng)根軌跡落在這個(gè)合格區(qū)內(nèi)時(shí)，通過選擇合當(dāng)根軌跡落在這個(gè)合格區(qū)內(nèi)時(shí)，通過選擇合適的參數(shù)值適的參數(shù)值K，使系統(tǒng)的質(zhì)量達(dá)到原定的要求。使系統(tǒng)的質(zhì)量達(dá)到原定的要求。i0等頻線等頻線等等線線合格區(qū)合格區(qū)二二、開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡和系統(tǒng)控制質(zhì)量的影響、開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡和系統(tǒng)控制質(zhì)量的影響例例4-8開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)

56、為：)5 . 0)(2 . 0)(1 . 0()(0 sssKsG)12)(15)(110(100 sssK)1)(1)(1(100321 sTsTsTK漸近線：漸近線：35 . 02 . 01 . 0 a180,603)12(180 k夾角夾角:與實(shí)軸交點(diǎn)：與實(shí)軸交點(diǎn)：27. 0 與虛軸交點(diǎn)與虛軸交點(diǎn): 001. 017. 08 . 023 Ksss,126. 0 K41. 0js 2151101332211 sTsTsT分離點(diǎn)：分離點(diǎn)：-0.146， dK/ds=0 例例4-8)1)(1)(1(100)(3210 sTsTsTKsG傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：漸近線：漸近線：180,60 夾角夾角

57、:與實(shí)軸交點(diǎn)：與實(shí)軸交點(diǎn)：,27. 0 a與虛軸交點(diǎn)與虛軸交點(diǎn): ,126. 0 K41. 0js 時(shí)間常數(shù)的變化相當(dāng)于時(shí)間常數(shù)的變化相當(dāng)于開環(huán)極點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)的變化。的變化。根軌跡如圖所示。根軌跡如圖所示。10.50-0.5-1-0.1-0.5-0.20如果，如果， 將將-0.2 這個(gè)開環(huán)極點(diǎn)增大到這個(gè)開環(huán)極點(diǎn)增大到 0.16，相當(dāng)于時(shí)，相當(dāng)于時(shí)間常數(shù)間常數(shù) T2 從從5 增大至增大至6.25，其根軌跡如圖所示。，其根軌跡如圖所示?？梢钥闯觯粋€(gè)開環(huán)極點(diǎn)增大可以看出，一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)增大(向向右移動(dòng)右移動(dòng))，閉環(huán)系統(tǒng)的一對(duì)主要復(fù)，閉環(huán)系統(tǒng)的一對(duì)主要復(fù)根的軌跡必然會(huì)向右移動(dòng)。根的軌跡必然會(huì)向右移動(dòng)。5

58、2 . 012 T10.50-0.5-1-0.1-0.5-0.2013. 0146. 01 . 0126. 038. 041. 025. 027. 025. 6522 分離點(diǎn)：分離點(diǎn)：與虛軸交點(diǎn)：與虛軸交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：KKjjTT過渡過程時(shí)間增加過渡過程時(shí)間增加，使系統(tǒng)穩(wěn)定的使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值下降。值下降。0.1-0.05-0.2-0.4000.05-0.10.05-0.05-0.5-1.5-100例例4-9研究系統(tǒng)中增加極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響。研究系統(tǒng)中增加極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響。（a）單極點(diǎn)系統(tǒng)單極點(diǎn)系統(tǒng) 5.0 sK（b）雙極點(diǎn)雙極點(diǎn) )2 . 0)(5 . 0( ssK

59、10.50-0.5-1-0.2-0.6-.40 （c）三極點(diǎn)三極點(diǎn) )1 . 0)(2 . 0)(5 . 0( sssKl l 增加開環(huán)極點(diǎn)增加開環(huán)極點(diǎn) （在右邊增加）（在右邊增加）相當(dāng)于增加系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，相當(dāng)于增加系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，使根軌跡向右方移動(dòng)，使根軌跡向右方移動(dòng)，降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，增加系統(tǒng)的過渡時(shí)間。降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，增加系統(tǒng)的過渡時(shí)間。l l 原點(diǎn)處增加一開環(huán)極點(diǎn)原點(diǎn)處增加一開環(huán)極點(diǎn) 相當(dāng)于在系統(tǒng)中增加積分作用，與圖（相當(dāng)于在系統(tǒng)中增加積分作用，與圖（c）類似，降類似，降低穩(wěn)定性，但可以消除余差。低穩(wěn)定性，但可以消除余差。作業(yè)：作業(yè)：4-10，4-14（a:0）, 并說明參數(shù)并說明

60、參數(shù)a的取值對(duì)系的取值對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)性能的影響。統(tǒng)階躍響應(yīng)性能的影響。q 它在小增益時(shí)是穩(wěn)定的，在大增益時(shí)是不穩(wěn)定的。它在小增益時(shí)是穩(wěn)定的，在大增益時(shí)是不穩(wěn)定的。q 增加零點(diǎn)后，系統(tǒng)對(duì)所有增益值都是穩(wěn)定的。增加零點(diǎn)后，系統(tǒng)對(duì)所有增益值都是穩(wěn)定的。q 零點(diǎn)越靠近虛軸，根軌跡向左移動(dòng)，穩(wěn)定性能越好。零點(diǎn)越靠近虛軸，根軌跡向左移動(dòng)，穩(wěn)定性能越好。q 與增加極點(diǎn)的效果相反。與增加極點(diǎn)的效果相反。Z=-0.6Z=-.3Z=-.1沒沒有零點(diǎn)有零點(diǎn)*三三、開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)控制質(zhì)量的影響、開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)控制質(zhì)量的影響要使根軌跡向右偏，增加開環(huán)極點(diǎn)，向左偏，增加開環(huán)零點(diǎn)。要使根軌跡向右偏，增加開環(huán)極點(diǎn)，向左偏，增