加強(qiáng)教師引導(dǎo)提高學(xué)生解題能力

1、加強(qiáng)教師引導(dǎo)提高學(xué)生解題能力王圣光李萍（江蘇省丹陽市第五中學(xué)212300 ）摘要本文主要從三個(gè)不同的角度探討了教師應(yīng)如何引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)解題. 教師通過從不同角度的引導(dǎo)，可以提高學(xué)生在學(xué)習(xí)中的參與程度, 讓學(xué)生在探究問題、解決問題的過程中感受數(shù)學(xué)，對培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力有著重要作用.關(guān)鍵詞：引導(dǎo)解題能力高中數(shù)學(xué)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）（以下簡稱標(biāo)準(zhǔn) ）指出：“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性， 向?qū)W生提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)， 幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者，引導(dǎo)者，”標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生的解題能力的要求不斷加強(qiáng)，而提高學(xué)生解題能力離不開教師的

2、正確引導(dǎo).1. 通過所學(xué)知識(shí)引導(dǎo)每一道題目都有它考查的知識(shí)點(diǎn)，如果弄清楚了題目所考查的知識(shí)點(diǎn)，我們就可以將思維集中到該知識(shí)點(diǎn)上，以更有效地尋求解題的突破口.1.1 原題呈現(xiàn)例 1 設(shè) f ( x)4 x，則 f ( 1 )f ( 2 )f ( 3 )f (10 )4 x211111111解析 由f ( x)f (1x)1，得1102f (956f ( )f ()1, f ( )1, , f ( )f ( ) 1111111111111所以f ( 1 ) f ( 2 )f ( 3 )f (10 ) 5.111111111.2 考題分析本題主要考查函數(shù)圖象的對稱性，同時(shí)考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力. 本

3、題難度屬于中檔題，難點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)“f ( x)f (1x) 1 ”這一結(jié)論 .筆者在一次聽課中發(fā)現(xiàn)授課教師是這樣來分析問題的：從問題中我們不難發(fā)現(xiàn)有“ 1101, 291, ,561 ”這一規(guī)律，所以我們可以先來探究111111111111f ( x)f (1x) 是否為常數(shù)通過教師的講解學(xué)生都會(huì)感覺聽懂了，當(dāng)然也可以做出正確的答案， 學(xué)生真的聽懂了嗎？筆者猜測學(xué)生是能夠按照老師所講的方法將題目做出來，換另一道同類型的題目學(xué)生會(huì)做嗎？因?yàn)橹v解本例題的關(guān)鍵是通過教師的引導(dǎo)，使學(xué)生能夠主動(dòng)發(fā)現(xiàn)“1101,291, ,561 ”111111111111這一規(guī)律，而不是由教師的一句“不難發(fā)現(xiàn)”而帶過 .如

4、何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“1101, 291, 561 ”這一規(guī)律呢？教111111111111師可以通過讓學(xué)生依次思考下列幾個(gè)問題來引導(dǎo)：（1）本題是否可將 f ( 1 ), f ( 2 ), f ( 3 ), f (10) 分別求值，然后再相加求解11111111呢？ ( 不是，因?yàn)榉謩e代入求值太繁，學(xué)生通常不會(huì)選擇這條途徑.)（2）既然不能分別代入求值，我們還可以用什么方法求解呢？我們在函數(shù)部分學(xué)過哪些知識(shí)？（3）本題和函數(shù)的哪些性質(zhì)關(guān)聯(lián)最大？你認(rèn)為本題是考查函數(shù)的哪些性質(zhì)呢？通過對以上問題的思考， 學(xué)生經(jīng)過排除能聯(lián)想到用函數(shù)圖象的對稱性來解題 . （本題顯然不是利用函數(shù)的單調(diào)性和周期性， 函數(shù)的

5、奇偶性描述的是在定義域內(nèi)f ( x) 與 f ( x) 的關(guān)系，而在本題中函數(shù)自變量的取值均為正實(shí)數(shù)，故可排除之 . ）所以，我們就應(yīng)該將思維集中到函數(shù)圖象的對稱性這一性質(zhì)上， 然后觀察函數(shù)的自變量之間是否有某種關(guān)系 . 經(jīng)過以上一系列的思考，學(xué)生自然而然地能夠發(fā)現(xiàn)“ 1101, 291, ,561 ”這一規(guī)律，進(jìn)而能夠得出正確的答案 .1111111111111.3 教學(xué)啟示波利亞曾說過“不要立即吐露你的全部秘密， 讓學(xué)生在你說出來之前先動(dòng)腦去想，去猜，不要強(qiáng)迫別人去接受（給學(xué)生充分鍛煉的機(jī)會(huì)，因?yàn)榻虒W(xué)最終目的是培養(yǎng)學(xué)生，而不是老師才能的炫耀） . ”文 2 也指出：“為了培養(yǎng)一個(gè)成功的問題

6、解決者，你們說什么最重要呢？如果你們問我，我覺得是做決定的能力， 要允許學(xué)生自己做決定 . ”以上通過兩種教學(xué)方法講解了例 1，這兩種教學(xué)方法的主要區(qū)別是“ 1101, 291, 561”這一規(guī)律的發(fā)現(xiàn)方法不同，111111111111一種是教師直接告知這一規(guī)律的存在，另一種是通過教師和學(xué)生一起對所學(xué)知識(shí)的分析，由學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)了“1101, 291, ,561”這一規(guī)律 .111111111111通過以上的思考學(xué)生不僅進(jìn)一步的鞏固了和函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的知識(shí)，而且更重要的是學(xué)生學(xué)會(huì)了分析問題，提高了分析問題、解決問題的能力.2. 通過降低題目的難度引導(dǎo) 2.1 原題呈現(xiàn)例2在平面直角 坐 標(biāo) 系 x

7、Oy 中 ， 已 知 點(diǎn)P(3,0) 在 圓C : x 2y 22mx4 ym2280 內(nèi)，動(dòng)直線 AB 過點(diǎn) P 且交圓 C 于 A, B 兩點(diǎn)，若 ABC 面積的最大值為 16，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為.解析 設(shè)圓心 C 到動(dòng)直線 AB 的距離為 d ，則 d0,3m 24 ， ABC的面積為 S( d )d32d 2 , d0,3 m 24當(dāng)且僅當(dāng) d4時(shí)， S(d ) 取得最大值 16 ，所以有 32416 ，解得，m3 23 或 m323 ，又由點(diǎn) P(3,0)m在圓 C : x 2y22mx4ym228 0內(nèi)，可得 3 2 7m32 7 由可得， 327m323 或 32 3m32

8、 7.2.2 考題分析本題是蘇、錫、常、鎮(zhèn)、連云港、徐州六市2014 屆高三教學(xué)情況調(diào)研（一）第 14 題，主要考查直線與圓、三角形面積公式、函數(shù)的值域及解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力和運(yùn)算求解能力 . 本題在難度上屬于難題，學(xué)生的解題障礙是不知從哪個(gè)條件作為切入點(diǎn)解題 . 教師如果能夠先將題目難度降低，先讓學(xué)生理解這一類題目的解題思想、方法，再由學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)本題的函數(shù)模型進(jìn)行解題，效果更好，如：變題（ 1） 若動(dòng)直線 AB : mx y 2 m 0( m R) 與圓 O : x 2y 216相交于 A, B 兩點(diǎn)，求 AOB 面積的最大值 .變題（ 1）將例 2 中的動(dòng)圓改為

9、了定圓，從難度上看，變題（1）比例 2 要簡單很多，學(xué)生能夠建立AOB 面積的函數(shù)關(guān)系式： S d 16d 2， d0,5 ，其中 d 為圓心 O 到動(dòng)直線 AB 的距離 . 通過教師對變題（ 1）的講解，學(xué)生對這一類問題有了一定程度的理解，此時(shí)再來講解例 2，筆者相信學(xué)生可以主動(dòng)建構(gòu)出ABC 的面積函數(shù)關(guān)系式 .2.3 拓展提高變題 （ 2 ）：(2014常州 期末 )在 平面直角 坐標(biāo) 系 xOy 中，已 知圓O : x 2y 216 ，點(diǎn) P(1,2) ， M , N 為圓 O 上不同的兩點(diǎn)，且滿足 PM PN0 若PQPMPN ，則 | PQ |的最小值為.問題解析解析 如圖所示，過

10、O 分別作直線 AM , NC 的垂線，yNQM設(shè) 長度 分 別 為 d1, d2 ， 不 妨 設(shè) AMl 1 , NC l 2 ，|PQ|22222PMPN 2PM PN PMPN， 又POxACPMl1d 2 , PNl 2d1 ,OP 2d12d 225,22l12l 22l 12l 22|PQ|2d2d1d12d 22l1d2l 2 d1 , 又由垂徑定22222d116,2d 216，所以|2321 ,理 知 ：l12l 22PQ1d2l2而22ldl1d 2l 2 d1l1 2l2 2d12d2 22 3 35,所以|PQ|232233525, 故 | PQ |的最小值為 3 35

11、.3 35 ，即有|PQ| 3 3拓展意圖本題考查直線與圓的綜合運(yùn)用，考查了運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決綜合問題的能力 . 本題屬于難題 . 變題（ 1）和例 2 表面上是求三角形面積的最值問題， 其實(shí)本質(zhì)是在探求圓的弦心距及弦長的關(guān)系 . 變題（2）的求解思路是去除向量這一知識(shí)的包裝，將問題轉(zhuǎn)化為圓的弦心距及弦長的關(guān)系，即將問題化歸為變題（ 1）和例 2 這類問題，進(jìn)而得解 . 通過對變題（ 2）的研究學(xué)生可以進(jìn)一步加深對圓的弦心距與弦長的關(guān)系這一問題的理解，可以提高學(xué)生對問題的遷移能力.2.4 教學(xué)啟示在本例中，我們發(fā)現(xiàn)例 2 的難度較大，直接講解學(xué)生比較難以接受，理解程度不深，通過先講解變題（ 1）

12、讓學(xué)生理解這一類問題的解題思想、方法，再來講解例 2，學(xué)生不但能夠深刻的理解例 2 的解題思想、方法，而且關(guān)鍵是能夠主動(dòng)建構(gòu)出 ABC 的面積函數(shù)關(guān)系式 . 由此看來，通過降低題目的難度引導(dǎo)學(xué)生解題是一種很有效的教學(xué)方法 .文3 認(rèn)為數(shù)學(xué)認(rèn)知理解有三個(gè)層次：操作性理解，關(guān)系性理解和遷移性理解 . 本案例對上述問題的探究很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的這三個(gè)層次.（1）在變題 (1) 中學(xué)生利用數(shù)學(xué)的基本概念、原理和方法得出AOB 面積的最大值，對知識(shí)的掌握屬于操作性理解， 即能夠運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決一些識(shí)記性與操作性步驟比較強(qiáng)的簡單的問題；（2）例 2 是在變題（ 1）的基礎(chǔ)上加以變化，將 d 的范圍

13、由一個(gè)確定的范圍變?yōu)殡S著 m 的變化而變化的范圍， 對知識(shí)的掌握屬于關(guān)系性理解， 即學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)有比較深刻的認(rèn)識(shí)，能夠把握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律；（3）變題（ 2）是去除向量這一知識(shí)的包裝，將問題轉(zhuǎn)化為探求圓的弦心距及弦長的關(guān)系問題，即將問題化歸為變題（ 1）和例 2 這類問題，進(jìn)而得解，對知識(shí)的掌握屬于遷移性理解，即學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，能夠?qū)?shù)學(xué)思想、方法以及所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)遷移到別的情景，能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題.3. 通過題目中所求的問題引導(dǎo)波利亞在怎樣解題一書中論述怎樣解題時(shí)開列的“清單”為：“未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條

14、件是否充分？”波利亞還指出：如果你不能解決所提問題，首先嘗試去解決某個(gè)與此相關(guān)的問題，嘗試去引入某種能作為中間過渡踏腳石的更簡單的練習(xí).根據(jù)波利亞在怎樣解題一書中論述怎樣解題時(shí)所開列的“清單”，我們在分析例 2 時(shí)還可以通過以下幾個(gè)“踏腳石”引導(dǎo)學(xué)生：（1）未知是什么？（求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 . ）（2）已知是什么？（實(shí)數(shù) m 的取值范圍受到兩個(gè)條件的限制： 點(diǎn) P(3,0)在圓C:x2y224y m228 0內(nèi) ABC 面積的最大值為 16. ）mx（3）你能否解決問題的一部分？（由條件點(diǎn) P(3,0) 在圓C : x 2y 22mx4 ym2280 內(nèi)易得到 3 2 7 m 3 2 7.

15、 ）（4）你是否利用了所有的條件？“ABC 面積的最大值為16”這一條件如何利用？（此時(shí)就將問題轉(zhuǎn)化成了“如何表示ABC 的面積” . ）（ 5）ABC 面積隨著哪個(gè)量的變化而變化？它們之間有著怎樣的函數(shù)關(guān)系式？（ ABC 的面積為S(d )2, d 0, 3 m24，d 32 d其中 d 為圓心 C 到動(dòng)直線 AB 的距離 . 建立了函數(shù)關(guān)系式后我們就將問題轉(zhuǎn)化為了求函數(shù)最值問題 . ）（ 6）如何求函數(shù) S(d ) d32d 2 , d0,32的最大值？當(dāng) d 取m4何值時(shí)函數(shù) S(d ) d 32 d 2 ,d0,3m 24取得最大值16？（當(dāng)且僅當(dāng)d 4 時(shí)， S(d) 取得最大值 1

16、6. ）（7）當(dāng)且僅當(dāng) d4 時(shí)，S( d) 取得最大值 16 ，意味著什么？（當(dāng)且僅當(dāng) d4時(shí)， S(d ) 取得最大值 16 ，意味著 40,3m 24 ，所以有 3m 2416 ，解得， m32 3 或 m32 3 . ）通過以上幾個(gè)“踏腳石”我們成功的將題目中的問題 “求實(shí)數(shù) m 的取值范圍”一步步地轉(zhuǎn)化到我們熟悉的 “求函數(shù) S(d ) d 32 d 2 , d0, 3 m 24 的最大值問題”，使得問題迎刃而解 .蘇格拉底說“教育不是灌輸，而是點(diǎn)燃火焰. ”標(biāo)準(zhǔn)提出“人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)等思維過程 . ”在數(shù)學(xué)解題時(shí)，經(jīng)過教師的引導(dǎo)、啟發(fā)，學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、分析問題能力和解決問題能力.參考文獻(xiàn)：1 中華人民共和國教育部 . 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)） M . 北京：人民教育出版社 ,2003.2 黃興豐，金英子 . 新加坡數(shù)學(xué)教學(xué) 50 年 J . 數(shù)學(xué)通報(bào)