《線性代數(shù)》知識(shí)點(diǎn)歸納整理

1、線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納整理誠(chéng)毅學(xué)生編01、余子式與代數(shù)余子式-2-02、主對(duì)角線-2-03、轉(zhuǎn)置行列式-2-04、行列式的性質(zhì)-3-05、計(jì)算行列式-3-06、矩陣中未寫出的元素-4-07、幾類特殊的方陣-4-08、矩陣的運(yùn)算規(guī)則-4-09、矩陣多項(xiàng)式-6-10、對(duì)稱矩陣-6-11、矩陣的分塊-6-12、矩陣的初等變換-6-13、矩陣等價(jià)-6-14、初等矩陣-7-15、行階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)形矩陣-7-16、逆矩陣-7-17、充分性與必要性的證明題-8-18、伴隨矩陣-8-19、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：-9-20、矩陣的秩：-9-21、矩陣的秩的一些定理、推論-10-22、線性方程組概念-10-23、齊次線性

2、方程組與非齊次線性方程組（不含向量）-10-24、行向量、列向量、零向量、負(fù)向量的概念-11-25、線性方程組的向量形式-12-26、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念-12-27、向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)的向量組必然線性相關(guān)-12-28、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系及其例題-12-29、線性表示與線性組合的概念-12-30、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系其例題-12-31、線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）與線性表示的3個(gè)定理-12-32、最大線性無(wú)關(guān)組與向量組的秩-12-33、線性方程組解的結(jié)構(gòu)-13-01、余子式與代數(shù)余子式a”ai2ai3設(shè)三階行列式D=a2ia2

3、2a23,則a3ia32a33尤素aii,ai2,ai3的余子式分別為：Mii=a22a23,Mi2=a2ia?：,Mi3=a2ia22a32a33a3ia3：a3ia32a22a23對(duì)Mii的解釋：戈冊(cè)第1行、第1列，剩下的就是一個(gè)二階行列式,這個(gè)a32a33行列式即元素an的余子式Mii。其他元素的余子式以此類推。元素aii,ai2,ai3的代數(shù)余子式分別為:Aii=(-1)1+1Mii,Ai2=(-1)12Mi2,Ai3=(1)1+3M13.對(duì)Aij的解釋(i表示第i行，j表示第j歹0):Aij=(1)1+JMij.(N階行列式以此類推)(1) 填空題求余子式和代數(shù)余子式時(shí)，最好寫原式。

4、比如說(shuō)，作業(yè)P1第1題：M31=04,A31=(-1)3+1040303例題：課本P8、課本P21-27、作業(yè)P1第1題、作業(yè)P1第3題02、主對(duì)角線一個(gè)n階方陣的主對(duì)角線，是所有第k行第k列元素的全體，k=1,2,3n,即從左上到右下的一條斜線。與之相對(duì)應(yīng)的稱為副對(duì)角線或次對(duì)角線，即從右上到左下的一條斜線。03、轉(zhuǎn)置行列式ai2«llaulD=«2IailJ1-w=1%s*-fl%行列式小稱為行列式n的轉(zhuǎn)置行列式.即元素&與元素&的位置對(duì)調(diào)(i表示第i行，j表示第j列)，比如說(shuō)，ai2與a21的位置對(duì)調(diào)、a35與a53的位置對(duì)調(diào)。04、行列式的性質(zhì)詳見(jiàn)課本

5、P5-8(性質(zhì)1.1.11.10其中，性質(zhì)1.1.7可以歸納為這個(gè):ai1Ak1+a2Ak2+anA（i表小第i行，k表小第k歹0）熟練掌握行列式的性質(zhì)，可以迅速的簡(jiǎn)化行列式，方便計(jì)算。例題：作業(yè)P1第2題05、計(jì)算行列式（1）計(jì)算二階行列式a11a12:a21a22 方法（首選）：a11a12=a”a22araA（即，左上角X右下角一右上角X左下角）a22方法:ana12anAn+a12A12=a”a22一a12a21a21a22例題：課本P14（2）計(jì)算三階行列式a21a22a23a31a32a33ana12a13a21a22a23=a”A”+aA12+aA=a11(1)M11+a12(1

6、)M12+a13(1)M13a31a32a33N階行列式的計(jì)算以此類推。通常先利用行列式的性質(zhì)對(duì)行列式講行轉(zhuǎn)化.0亓素較多時(shí)方便計(jì)算.（r是row、即行。c是column、即歹U）例題：課本P5、課本P9、課本P14、作業(yè)P1第4題、作業(yè)P2第3小題（3）n階上三角行列式（0元素全在左下角）與n階下三角行列式（0元素全在右上角）：D=ana22ann（主對(duì)角線上元素的乘積）例題：課本P10、作業(yè)P3第4小題有的題可以通過(guò)“從第二行起，將各行的元素對(duì)應(yīng)加到第一行”轉(zhuǎn)化成上三角行歹U式例題：課本P11(2) 范德蒙行列式：詳見(jiàn)課本P12-13有的題可以通過(guò)“從第二行起，將各行的元素對(duì)應(yīng)加到第一行”

7、提取出“公因式”，得到元素全為1的一行，方便化簡(jiǎn)行列式。例題：作業(yè)P2第1小題、作業(yè)P2第2小題06、矩陣中未寫出的元素課本P48下面有注明、矩陣中未寫出的元素都為007、幾類特殊的方陣詳見(jiàn)課本P30-32(1) 上(下)三角矩陣：類似上(下)三角行列式(2) 對(duì)角矩陣：除了主對(duì)角線上的元素外，其他元素都為0(3) 數(shù)量矩陣：主對(duì)角線上的元素都相同(4) 零矩陣：所有元素都為0,記作O單位矩陣：主對(duì)角線上的元素都為1,其他元素全為0,記作E或En(其行列式的值為1)08、矩陣的運(yùn)算規(guī)則矩陣的加法(同型的矩陣才能相加減.同型,即矩陣A的行數(shù)與矩陣B的行數(shù)相同；矩陣A的列數(shù)與矩陣B的列數(shù)也相同)：

8、 課本P32"A+B”、“AB”加法交換律：A+B=B+A加法結(jié)合律：A+(B+C)=(A+B)+C(1) 知陣的乘法(基本規(guī)則詳見(jiàn)課本P34陰影): 數(shù)與矩陣的乘法： 課本P33“kA”kA=knA(因?yàn)閗A只等丁用數(shù)k乘以矩陣A的一行或一列后得到的矩陣的行列式)同階矩陣相乘(高中理科數(shù)學(xué)選修矩陣基礎(chǔ))：a、a2bnb12anbna2b2a1b2a2b22x=a21a22b21b22a2b1a22b21a2b2a22b22描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計(jì)算得到的矩陣為i列的每個(gè)元素2列的每個(gè)元素i列的每個(gè)元素2列的每個(gè)元素并將它們相加并將它們相加并將它們相加并將它們相加A

9、的值為：中第1行的每個(gè)元素分別乘以中第即A=aiixbii+ai2xb2iB的值為：中第i行的每個(gè)元素分別乘以中第即B=aiixbi2+ai2xb22C的值為：中第2行的每個(gè)元素分別乘以中第即C=a2ixbii+a22xb2iD的值為：中第2行的每個(gè)元素分別乘以中第即D=a2ixbi2+322xb22.aiia)2%bnbi2b<3aiibnai2b2ianb3iaiibi2ai2b22ai3b32aiibi3ai2b23ai3b33第第323xb2ib22b23=a2ibiia22b2ia23b3ia2ibi2a22b22a*2a2ibi3a22b23a23b3333i332333頃b

10、32b33a3ibiia32b2ia33b3ia3ibi2a32b22a33b32a3ibi3a32b23a33b33描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計(jì)算得到的矩陣為A的值為：中第i行的每個(gè)元素分別乘以中第i列的每個(gè)元素，并將它們相加。即A=aiixbii+ai2xb2i+ai3xb3iB、C、E、F、GKI的值的求法與A類似。 數(shù)乘結(jié)合律：k(lA)=(kl)A,(kA)B=A(kB)=k(AB)數(shù)乘分配律：(k+l)A=kA+lA,k(A+B)=kA+kB乘法結(jié)合律：(AB)C=A(BC)乘法分配律：A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC需注意的：課本P34例題兩個(gè)不等

11、丁零的矩陣的乘積可以是零矩陣課本P34例題數(shù)乘的消去律、交換律不成立一般來(lái)講，(AB)kAkBk,因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律課本P40習(xí)題第2題：(A+B)2不一定等丁A2+2AB+B2,(A+B)2不一定等丁A2+2AB+B2,(A+B)(AB)不一定等丁A2-B2.當(dāng)AB=BA時(shí)，以上三個(gè)等式均成立(2) 矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)律： (At)t=A(A土B)t=at±bt(kA)T=kAT（AB）t=btat（ABC）t=ctbtat（ABCD）t=dtctbtat（4）同階方陣相乘所得的方陣的行列式等丁兩個(gè)方陣的行列式的乘積：（詳見(jiàn)課本P46）AB=AB（5）例題：課本P35、課本P3

12、6-37、課本P40第4大題、課本P40第5大題、課本P51第1大題、課本P51第4大題、課本P60第4大題、作業(yè)P5全部、作業(yè)P5第3大題、作業(yè)P5第4大題09、矩陣多項(xiàng)式詳見(jiàn)課本P3610、對(duì)稱矩陣（1）對(duì)稱矩陣、實(shí)對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣的概念（詳見(jiàn)課本P37）（2）同階對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣的和、差仍是對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣數(shù)與對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣的乘積仍是對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣的乘積不一定是對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣11、矩陣的分塊代代老師說(shuō)這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見(jiàn)課本P38-4012、矩陣的初等變換三種行變換與三種列變換：詳見(jiàn)課本P42例題：作業(yè)P6全部13、矩陣等價(jià)若矩陣A經(jīng)過(guò)若干次

13、初等變換后變成矩陣B,則稱矩陣A與矩陣B等價(jià)，記為AB14、初等矩陣(1) 是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的矩陣。詳見(jiàn)課本P48-49設(shè)A為mxn矩陣，則對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)丁在A的左邊乘上一個(gè)相應(yīng)的m階初等矩陣;A施行一次初等列變換相當(dāng)丁在A的右邊乘上一個(gè)相應(yīng)的n階初等矩陣.詳見(jiàn)課本P50-51課本P51第3大題15、行階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)形矩陣(1) 對(duì)任意一個(gè)非零矩陣，都可以通過(guò)若干次初等行變換(或?qū)Q列)化為行階梯型矩陣(2) 行階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)形矩陣：(1) 若在矩陣中可畫出一條階梯線，線的下方全為0,每個(gè)臺(tái)階只有一行(臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)),階梯線的豎線(每段豎線的長(zhǎng)度

14、為一行)后面的第一個(gè)元素為非零元素，也就是非零行的第一個(gè)非零元素，則稱該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎(chǔ)上，若非零行是第一個(gè)非零元素為都為1.且這些非零元素所在的列的其他元素都為0,則稱該矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣。例題：課本P45、作業(yè)P6全部、課本P51第2大題16、逆矩陣設(shè)A為n階方陣，如果存在n階方陣B,使得AB=BA=E,則稱方陣A是可逆的,并稱B為A的逆矩陣.(由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣)如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的,并將A的逆矩陣記作A1,AAJEAJ笆n階方陣A可逆的充要條件為|A豐0,并且，當(dāng)A可逆時(shí)，四(證明詳見(jiàn)課本P54)例題：課本P59第1大題(2) 可逆矩

15、陣也稱為非奇異方陣(否則稱為奇異方陣)性質(zhì)：設(shè)A.B都是n階的可逆方陣.常數(shù)k冬0,那么(A1)t=AAT也可逆，并且(At)-1=(A-1)t(kA)-1=-A-1kA也可逆，并且kAB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1A+B不一定可逆，而且即使A+B可逆，一股(A+B)-1丈A-1+B-1|A-1|=-1AA-1=E=|AA-1=E=1=|AA-1=1=>IA例題：課本P58例2.3.7、作業(yè)P7第1題(3) 分塊對(duì)角矩陣的可逆性：課本P57(4) 由方陣等式求逆矩陣：課本P58例2.3.6單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的(初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的，即初等矩陣

16、可以通過(guò)初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=1冬0可逆，所以初等矩陣可逆)(5) 初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣(6) 任一可逆方陣都可以通過(guò)若十次初等行變換化成單位矩陣(7) 方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積(證明：課本P67)(8) 利用初等行變換求逆矩陣：A|E初等行變換E|A-1(例題：課本P68、課本P71)(9) 形如AX=B的矩陣方程，當(dāng)方陣A可逆時(shí)，有A-1AX=A-1B.即X=A-1B.此時(shí)有：A|B初等行變換E|X矩陣方程的例題：課本P35、課本P69、課本P41第6大題、課本P56、課本P58、課本P59第3大題、課本P60第5大題、課本P6

17、0第7大題、課本P71第3大題矩陣方程計(jì)算中易犯的錯(cuò)誤：課本P56“注意不能寫成”17、充分性與必要性的證明題(1) 必要性：由結(jié)論推出條件(2) 充分性：由條件推出結(jié)論例題：課本P41第8大題、作業(yè)P5第5大題18、伴隨矩陣(1) 定義：課本P52定義2.3.2(2) 設(shè)A為n階方陣(nA2),則AA*=A*A=AEn(證明詳見(jiàn)課本P53-54) 性質(zhì)：(注意伴隨矩陣是方陣)A*=|AA1(kA)*=|kA(kA)-1=knA-：A-1=kn1-|AA-1=kn-1A*g0)|A*|=|AA1|=An|A1|=|An1(因?yàn)榇嬖贏1,所以A豐0)=|An-11111IA1111(A*)*=(

18、AA1)*=|AA1|.(AA1)T=|An|A1|-1(A1)1A=An-!-A=An-2A(因?yàn)锳A1=E,所以A1的逆矩陣是A,即(A1")|A|A|(AB)*=B*A*(A*)-1=(A-1)*=£r例題：課本P53、課本P55、課本P58、課本P60第6大題、作業(yè)P7第2題、作業(yè)P8全部19、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：(1) 定義：課本P61-62任何一個(gè)非零矩陣都可以通過(guò)若干次初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形20、矩陣的秩：(1) 定義：課本P63 性質(zhì)：設(shè)A是mxn的矩陣，B是pxq的矩陣，貝U若k是非零數(shù)，則R(kA)=R(A)R(A)=R(AT)等價(jià)矩陣有相同的秩，即若AB,則R(

19、A)=R(B)0VR(Amxn)<minm,nR(AB)<minR(A),R(B)設(shè)AB者K是mXn矩陣：貝HR(A+B)VR(A)+R(B)(2) n階方陣A可逆的充要條件是：A的秩等于其階數(shù),即R(A)=n(3) 方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積。(證明：P67)(4) 設(shè)A是mxn矩陣，P、Q分別Pm階與n階可逆方陣，則R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)例題：課本P64、課本P66、課本P71、作業(yè)P7第3題、作業(yè)P9全部21、矩陣的秩的一些定理、推論線代老師說(shuō)這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見(jiàn)課本P7022、線性方程組概念線性方程組是各個(gè)方程關(guān)

20、丁未知量均為一次的方程組。線性方程組經(jīng)過(guò)初等變換后不改變方程組的解。23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組(不含向量)(1) 定義：課本P81(2) 方程組的解集、方程組的通解、同解方程組：課本P81(3) 系數(shù)矩陣A、增廣矩陣A、矩陣式方程：課本P82(4) 矛盾方程組(方程組無(wú)解)：課本P85例題(5) 增廣矩陣的最簡(jiǎn)階梯形：課本P87(6) 系數(shù)矩陣的最簡(jiǎn)階梯形：課本P87課本P87下面有注明：交換列只是交換兩個(gè)未知量的位置，不改變方程組的解。為了方便敘述，在解方程組時(shí)不用交換列。(7) 克萊姆法則： 初步認(rèn)知：a11x1+312x2+313x3=b1311312313已知三元線性方程組

21、321X1+322X2+a23X3=b2，其系數(shù)行列式D=32132232：.331x1+a32x2+333x3=b3331332333當(dāng)D豐0時(shí)，其解為：xD11-,D2x2,D3x3.DDDb1312313311b1313311312b1(其中D1=b2322323,D2=321b2323,D3=321322b)(Dn以此類推)b3332333331b3333331332b3 定義：課本P15使用的兩個(gè)前提條件：課本P18例題：課本P3、課本P16-17、課本P18、作業(yè)P3第7題(8) 解非齊次線性方程組(方程組施行初等變換實(shí)際上就是對(duì)增廣矩陣施行初等行變換)例題:課本P26、課本P42

22、、課本P82、課本P84、課本P85、課本P86第1大題、課本P88、課本P91、作業(yè)P10第1題解齊次線性方程組例題：課本P17、課本P18、課本P85、課本P86、課本P90、課本P91、作業(yè)P1第5題、作業(yè)P10第2題n元非齊次線性方程組AX=b的解的情況：(R(A)不可能R(A)R(A)<R(A)<=>無(wú)解<<n=>有無(wú)窮多個(gè)解lR(A)=R(A)<=>有解<ni=>有唯一解特別地，當(dāng)A是.A豐0<=>有唯一解n階方陣時(shí)，可R(A)<R(A)<=>無(wú)解由行列式來(lái)判斷IR(A)=R(A)有解，當(dāng)A=

23、0牛=>有無(wú)窮多個(gè)解例題：課本P86第2大題、課本P88、課本P92、作業(yè)P11第三題n元齊次線性方程組AX=O的解的情況：(只有零解和非零解兩種情況，有唯一解的充要條件是只有零解、有無(wú)窮多個(gè)解的充要條件是有非零解)Jr(A)=n只有零解(有唯一解，為0)r(A)<n<=>有非零解(有無(wú)窮多個(gè)解)特別地，當(dāng)A是n階方陣A豐0<=>只有零解(有唯一解，為0)時(shí)，可由行列式來(lái)判斷a=0=>有非零解(有無(wú)窮多個(gè)解)例題：課本P24、課本P90-91、作業(yè)P11全部24、行向量、列向量、零向量、負(fù)向量的概念詳見(jiàn)課本P92-93將列向量組的分量排成矩陣計(jì)算時(shí)、計(jì)

24、算過(guò)程中只做行變換、不做列變換。初等行變換與初等行列變換的使用情況：矩陣、線性方程組、向量涉及行變換：列變換只在矩陣中用。(行列式的性質(zhì)包括行與列的變換)手寫零向量時(shí)不必加箭頭25、線性方程組的向量形式詳見(jiàn)課本P9326、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念詳見(jiàn)課本P93-94例題：課本P101第6大題、作業(yè)P14第五大題27、向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)的向量組必然線性相關(guān)代代老師課上提到的結(jié)論。28、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系及其例題詳見(jiàn)課本P94定理3.3.1、定理3.3.2例題：課本P94-95例3.3.2、課本P101第3大題、課22本P101第5大題、作業(yè)P12第3小

25、題、作業(yè)P12第二大題、作業(yè)P13第三大題、作業(yè)P13第四大題29、線性表示與線性組合的概念詳見(jiàn)課本P9530、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系其例題詳見(jiàn)課本P95-96定理3.3.3例題：課本P95-96例3.3.431、線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）與線性表示的3個(gè)定理詳見(jiàn)課本P96定理3.3.4、課本P97定理3.3.5、課本P98定理3.3.632、最大線性無(wú)關(guān)組與向量組的秩詳見(jiàn)課本P98-100定義3.3.5、定義3.3.6、定3.3.7單位列向量，即“只有一個(gè)元素為1,且其余元素都為0”的一列向量（求最大線性無(wú)關(guān)組用）例題：課本P100例3.3.5、課本P101第4大題、作業(yè)

26、P14第六大題33、線性方程組解的結(jié)構(gòu)看此內(nèi)容之前，最好先復(fù)習(xí)下“n元非齊次線性方程組AX=b的解的情況”與“n元齊次線性方程組AX=O的解的情況”。 （1）n元齊次線性方程組AX=。解的結(jié)構(gòu)定理3.4.1:詳見(jiàn)課本P101-102定義3.4.1（并理解“基礎(chǔ)解系、通解、結(jié)構(gòu)式通解、向量式通解”）：詳見(jiàn)課本P102定理3.4.2:詳見(jiàn)課本P102解題步驟（“注”為補(bǔ)充說(shuō)明）（以課本P104例3.4.1為例）：1027401131(I)A=0000000000注：往“行最簡(jiǎn)形矩陣”方向轉(zhuǎn)化（因?yàn)樵诮夥匠探M時(shí)不用列變換，所以一般沒(méi)法真正轉(zhuǎn)化成行最簡(jiǎn)形矩陣，所以說(shuō)“往方向轉(zhuǎn)化”）。X1=2x37x44x5(II)得到同解方程組oX2=X33X4X5X12X37X44X5=0注：由仁c得到同解方程組X2X33X4X50274131（III）.此方程組的一組解向里為：1=1,2=0,3=0010001注：在卓稿紙上寫成以下形式.其中未寫出的系數(shù)有的是1有的是0,-一看便知X1=2X37X44X5X2=X33X4X5X3=X3X