第十六章振動(dòng)理論基礎(chǔ)

1、12 振動(dòng)是日常生活和工程實(shí)際中常見(jiàn)的現(xiàn)象。 例如：鐘擺的往復(fù)擺動(dòng),汽車(chē)行駛時(shí)的顛簸，電動(dòng)機(jī)、機(jī)床等工作時(shí)的振動(dòng)，以及地震時(shí)引起的建筑物的振動(dòng)等。 利利：振動(dòng)給料機(jī) 弊弊：磨損，減少壽命，影響強(qiáng)度 振動(dòng)篩 引起噪聲，影響勞動(dòng)條件 振動(dòng)沉拔樁機(jī)等 消耗能量，降低精度等。3. 研究振動(dòng)的目的研究振動(dòng)的目的：消除或減小有害的振動(dòng)，充分利用振動(dòng) 為人類(lèi)服務(wù)。 2. 振動(dòng)的利弊振動(dòng)的利弊：1. 所謂振動(dòng)就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。所謂振動(dòng)就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)3 4. 振動(dòng)的分類(lèi)振動(dòng)的分類(lèi)： 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 按振動(dòng)系統(tǒng)的自由度分

2、類(lèi)按振動(dòng)系統(tǒng)的自由度分類(lèi) 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈性體的振動(dòng) 按振動(dòng)產(chǎn)生的原因分類(lèi)按振動(dòng)產(chǎn)生的原因分類(lèi)： 自由振動(dòng)： 無(wú)阻尼的自由振動(dòng) 有阻尼的自由振動(dòng)，衰減振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)： 無(wú)阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng) 有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng) 自激振動(dòng)本章重點(diǎn)討論單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)。動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)4 161 單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng) 162 求系統(tǒng)固有頻率的方法求系統(tǒng)固有頻率的方法 163 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng) 164 單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) 165 單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振

3、動(dòng)單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) 166 臨界轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速 減振與隔振的概念減振與隔振的概念第十六章第十六章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十六章第十六章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)5 19-1單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng) 一、自由振動(dòng)的概念一、自由振動(dòng)的概念：動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)6 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)7 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總指向物體平衡位置的力稱(chēng)為恢復(fù)力恢復(fù)力。 物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復(fù)力作用下在其平衡位置附近的振動(dòng)稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)。 )/( 0 , )/( 0 , )/( 0

4、 , 2222222JmgamgaJlgmglmlmkxxkxxmnnnnnn 質(zhì)量質(zhì)量彈簧系統(tǒng)：彈簧系統(tǒng)： 單擺：?jiǎn)螖[： 復(fù)擺：復(fù)擺：動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)8二、單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解二、單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解 對(duì)于任何一個(gè)單自由度系統(tǒng)，以q 為廣義坐標(biāo)（從平衡位置開(kāi)始量取 ），則自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程必將是：0eeqkqm ke, me是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。令ee2n/mk則自由振動(dòng)的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：則自由振動(dòng)的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：02nqq 解解為：)sin(ntAq動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)

5、機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)9 00n2n2020arctg , qqqqA設(shè) t = 0 時(shí)， 則可求得：00 , qqqq 或：tCtCqn2n1sincosC1，C2由初始條件決定為n02 01/ ,q CqCtqtqqnn0n0sincos 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)10 三、自由振動(dòng)的特點(diǎn)三、自由振動(dòng)的特點(diǎn)： A物塊離開(kāi)平衡位置的最大位移，稱(chēng)為振幅。 n t + 相位，決定振體在某瞬時(shí) t 的位置 初相位，決定振體運(yùn)動(dòng)的起始位置。 T 周期，每振動(dòng)一次所經(jīng)歷的時(shí)間。 f 頻率，每秒鐘振動(dòng)的次數(shù)， f = 1 / T 。 固有頻率，振體在2秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。 反映振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)

6、力學(xué)特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。 n2Tn動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)11 無(wú)阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)是無(wú)阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)是： (2) 振幅A和初相位 取決于運(yùn)動(dòng)的初始條件(初位移和初速度)；(1) 振動(dòng)規(guī)律為簡(jiǎn)諧振動(dòng)；四、其它四、其它 1. 如果系統(tǒng)在振動(dòng)方向上受到某個(gè)常力的作用，該常力只影響靜平衡點(diǎn)O的位置，而不影響系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律，如振動(dòng)頻率、振幅和相位等。 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)12 2. 彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度21eq21stst21212211st , )( , kkkkkmgkkmgFFmgkFkF并聯(lián)212

7、1eq21eqst21212stst1st )11()11( kkkkkkkmgkmgkkmgkmgkmg串聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)131. 由系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式由系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2. 靜變形法：靜變形法：3. 能量法能量法： 19-2 求系統(tǒng)固有頻率的方法求系統(tǒng)固有頻率的方法02nqq stngst：集中質(zhì)量在全部重力 作用下的靜變形n由Tmax=Vmax , 求出動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)14 如圖表示一簡(jiǎn)支梁和懸臂梁各有一集中載荷，重量為F，位置如圖所示。已知梁的跨度為l，材料的彈性模量為E，截面慣

8、性矩為J，不計(jì)梁的質(zhì)量，求梁的固有頻率。動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)例例115簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)和懸臂梁端點(diǎn)的靜撓度分別為和相當(dāng)?shù)膹椈上禂?shù)分別為和則固有頻率分別為和解：解：動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)16 無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。 當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到距靜平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，速度為零，即系統(tǒng)動(dòng)能等于零，勢(shì)能達(dá)到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)）。 當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大值。mgAAkV)(212st2stmax2maxst21 kAVmgk222max2121nmAxmT如：動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械

9、振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)17 mkkAmAVTn22n2maxmax 2121 由 能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對(duì)于計(jì)算較復(fù)雜的振能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對(duì)于計(jì)算較復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率來(lái)得更為簡(jiǎn)便的一種方法。動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率來(lái)得更為簡(jiǎn)便的一種方法。 例例2 圖示系統(tǒng)。設(shè)輪子無(wú)側(cè)向擺動(dòng)，且輪子與繩子間無(wú)滑動(dòng)，不計(jì)繩子和彈簧的質(zhì)量，輪子是均質(zhì)的，半徑為R，質(zhì)量為m1，重物質(zhì)量 m2 ，試列出系統(tǒng)微幅振動(dòng)微分方程，求出其固有頻率。動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)18解解1：以 x 為廣義坐標(biāo)（靜平衡位置為 坐標(biāo)原點(diǎn)）RkgRmm2)(st21gkmm221st則任意位置

10、x 時(shí)：kxgmmxkFst22)2(21靜平衡時(shí)：動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)19 應(yīng)用動(dòng)量矩定理：kxRRFgRmmMxRmmRxRmRxmRxmLAA42)()()23( 2121212112F由 ， 有)(ddFAAMtLkxRxRmm4)23(21 振動(dòng)微分方程：固有頻率：21212380238mmkxmmkxn 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)A20 解解2 ： 用機(jī)械能守恒定律 以x為廣義坐標(biāo)（取靜平衡位置為原點(diǎn)）2212222121)23(21 21)(22121xmmxmRxRmxmT 以平衡位置為計(jì)算勢(shì)能的零位置，并注意輪心位

11、移x時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)2xgxmmxkkxgxmmxkV)(22 )()2(221st2212st2st因平衡時(shí)gxmmxkt)(221s22kxV 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)21 由 T+V= 有：constconst2)23(212221kxxmm04)23(21kxxmm 21n212380238mmkxmmkx 對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)，再消去公因子 ，得x 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)22 如圖所示兩個(gè)相同的塔輪，相嚙合的齒輪半徑皆為R，半徑為r的鼓輪上繞有細(xì)繩，輪連一鉛直彈簧，輪掛一重物。塔輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆為J，彈簧剛度為k。重物質(zhì)量為m，

12、求此系統(tǒng)的固有頻率。動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)例例3 xRxxr23動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)24解：解： 系統(tǒng)平衡處彈簧雖有拉長(zhǎng)，但如前所述，從平衡位置起計(jì)算彈性變形，可以不再計(jì)入重力。由幾何關(guān)系，當(dāng)重物位于x處，彈簧由平衡位置計(jì)算的變形量也是x，則系統(tǒng)的勢(shì)能為以系統(tǒng)平衡時(shí)重物的位置為原點(diǎn)，取x軸如圖。重物于任意坐標(biāo)x處，速度為x的導(dǎo)數(shù)，兩塔輪的角速度皆為 。系統(tǒng)動(dòng)能為動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)xRxxr25不計(jì)摩擦，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有兩端對(duì)時(shí)間取一階導(dǎo)數(shù)，得上式為自由振動(dòng)微分方程，系統(tǒng)固有頻率為xRxxr

13、動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)26 如圖所示表示以質(zhì)量為m，半徑是r的圓柱體，在一半徑是R的圓弧槽上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。求圓柱體在平衡位置附近做微小振動(dòng)的固有頻率。動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)例例4 27解：解：用能量法求解這個(gè)問(wèn)題。 設(shè)在振動(dòng)過(guò)程中，圓柱體中心與圓槽中心的連線OO1與鉛直線OA的夾角為。圓柱體中心O1的線速度為由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，當(dāng)圓柱體做純滾動(dòng)時(shí)，其角速度為因此系統(tǒng)的動(dòng)能為動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)28整理后得 系統(tǒng)的勢(shì)能即重力勢(shì)能，圓柱在最低處平衡，取該處圓心位置C為零勢(shì)能點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為當(dāng)圓柱體作微振動(dòng)

14、時(shí)，可認(rèn)為動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)因此勢(shì)能可改寫(xiě)成29設(shè)系統(tǒng)做自由振動(dòng)時(shí)的變化規(guī)律為則系統(tǒng)的最大動(dòng)能由機(jī)械能守恒定律，有Tmax=Vmax，解得系統(tǒng)的固有頻率為系統(tǒng)的最大勢(shì)能動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)30 例例5 鼓輪：質(zhì)量m1，對(duì)輪心回轉(zhuǎn)半徑，在水平面上只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑 r ，彈簧剛度 ，重物質(zhì)量為m2, 不計(jì)輪D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長(zhǎng)。求系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率。21 , kk 解解：取靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取C偏離平衡位置x為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的最大動(dòng)能為：動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)31 )

15、 )()( ( )(21 )(21212st2max21max22st2stmax21maxRkkrRgmxkkxRrRgmxkkV2max2222122max22max212max1max 21 )(21 )(21)(21xr)(Rm)R(mRxRrRmRxmxmT系統(tǒng)的最大勢(shì)能為：動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)系統(tǒng)的最大動(dòng)能為：32 設(shè) 則有)sin(n Axnmaxmax , AxAx )(21 2)()(221max22n222221maxAkkVARrRmRmT根據(jù)Tmax=Vmax , 解得22221221n)()()(rRmRmRkk動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第

16、十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)33 19-3 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)所受的阻力。 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時(shí)，由于介質(zhì)粘性引起的阻尼認(rèn)為阻力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱(chēng)為粘性阻尼。vFc投影式：xcFc c 粘性阻尼系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)阻尼系數(shù)。動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)34 二、有阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解二、有阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解： 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：xckxxm 02 2 , 2n2nxxnx mcnmk 則令有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形

17、式。動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)35 其通解分三種情況討論： 1、小阻尼情形、小阻尼情形mkcn2 )(n)sin(dtAexnt22ndn有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率則時(shí)設(shè) , , , 0 00 xxxxt0022n0122n20020tan ; )(nxxnxnnxxxA動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)36 衰減振動(dòng)的特點(diǎn)：(1) 振動(dòng)周期變大，振動(dòng)周期變大， 頻率減小頻率減小。mkcnnT212 22n2n22ndd阻尼比有阻尼自由振動(dòng)：當(dāng) 時(shí)，可以認(rèn)為nn1TT dnd 2nd2d2d111ffTT動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械

18、振動(dòng)基礎(chǔ)37 (2) 振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減 對(duì)數(shù)減縮率212lnln2d1dnTeAAnTii2、臨界阻尼情形、臨界阻尼情形 臨界阻尼系數(shù)) 1 , (nnmkc2c)(000tnxxxexnt) , , 0(00 xxxxt 時(shí)dd)(1nTTtnntiieAeeAAAii相鄰兩次振幅之比動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)38 可見(jiàn)，物體的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而無(wú)限地趨向平衡位置，不再具備振動(dòng)的特性。 )(2n22n221 tn tnnteCeCex代入初始條件) , , 0(00 xxxxt 時(shí)2n2002n222n202n2012)( ; 2)(nxxnn

19、CnxnnxC) 1 , (nn)(ccc 3、過(guò)阻尼（大阻尼）情形、過(guò)阻尼（大阻尼）情形 所示規(guī)律已不是周期性的了，隨時(shí)間的增長(zhǎng)，x 0，不具備振動(dòng)特性。動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)39 例例6 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，P=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系數(shù)c 。2021203221211)(dnTeAAAAAAAA解：解：20)(16. 08 . 0dnTe2nndn1220205lnT由于 很小，405ln)s/cmN(122. 0 98011502405ln2405ln22stPgPmkc動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械

20、振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)40 如圖所示為一彈性桿支持的圓盤(pán)，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度為kt ，圓盤(pán)對(duì)桿軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。如圓盤(pán)外緣受到與轉(zhuǎn)動(dòng)速度成正比的切向阻力，而圓盤(pán)衰減扭振的周期為T(mén)d 。求圓盤(pán)所受阻力偶矩系數(shù)。kt動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)例例7 41動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)42解： 盤(pán)外緣切向阻力與轉(zhuǎn)動(dòng)速度成正比，則此阻力偶矩M與角速度成正比，且方向相反。設(shè)M=， 為阻力偶系數(shù)，圓盤(pán)繞桿軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為或由上式解出阻力偶系數(shù)可得衰減振動(dòng)周期動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)43 19-4 單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)單自由

21、度系統(tǒng)的無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)一、強(qiáng)迫振動(dòng)的概念一、強(qiáng)迫振動(dòng)的概念 強(qiáng)迫振動(dòng)：在外加激振力作用下的振動(dòng)。 簡(jiǎn)諧激振力： 激振力的初相位 H力幅； 激振力的圓頻率 。)sin(tHF)sin(tHkxxm 則令 , 2mHhmkn)sin(2thxxn 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二、無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解二、無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)44 21xxx)sin()sin(2n1tbxtAx為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為特解)sin( , 22n222nthxhb)sin()sin(22nnthtAx全解為：穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫

22、振動(dòng) 3、強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅大小與運(yùn)動(dòng)初始條件無(wú)關(guān)，而與振動(dòng)系統(tǒng) 的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關(guān)。三、穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的主要特性三、穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的主要特性：1、在簡(jiǎn)諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)亦為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2、強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率等于簡(jiǎn)諧激振力的頻率，與振動(dòng)系統(tǒng)的 質(zhì)量及剛度系數(shù)無(wú)關(guān)。動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)45(1) =0時(shí)kHhb2n0 (2) 時(shí)，振幅 b隨 增大而增大；當(dāng) 時(shí)，n bn(3) 時(shí)，振動(dòng)相位與激振力相位反相，相差 。rad n22nhb b 隨 增大而減?。?0 ; , 20nbbb時(shí)時(shí) 振幅比或稱(chēng)動(dòng)力系數(shù) 頻率比 曲線 幅頻響應(yīng)曲線 （幅

23、頻特性曲線）1動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)46 4、共振現(xiàn)象 , n時(shí)b，這種現(xiàn)象稱(chēng)為共振。此時(shí)，)cos(n2tBtx)cos(2 2 , 2 nn2nnttbxthbhB動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)47 如圖表示帶有偏心塊的電動(dòng)機(jī)，固定在一根彈性梁上。設(shè)電機(jī)的質(zhì)量為 m1，偏心塊的質(zhì)量為m2，偏心距為e，彈性梁的剛度系數(shù)為k，求當(dāng)電機(jī)以角速度勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)系統(tǒng)的受迫振動(dòng)規(guī)律。t動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)例例8 48t解：解： 將電機(jī)與偏心塊看成一質(zhì)點(diǎn)系。設(shè)電機(jī)軸心在瞬時(shí)t 相對(duì)其平衡位置O的坐標(biāo)為x，則偏心塊的x坐

24、標(biāo)應(yīng)為x+esint。此時(shí)作用在系統(tǒng)上的恢復(fù)力為-kx。列出質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式得動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)49t整理后得微分方程則受迫振動(dòng)振幅動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)50 如圖所示為一無(wú)重剛桿AO，桿長(zhǎng)為l，其一端O鉸支，另一端A水平懸掛在剛度為k的彈簧上，桿的中點(diǎn)裝有一質(zhì)量m為的小球。若在點(diǎn)A加一激振力F=F0sin t，其中激振力的頻率= 0/2， 0為系統(tǒng)的固有頻率。忽略阻尼，求系統(tǒng)的受迫振動(dòng)規(guī)律。mAO2l2lk動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)例例9 51動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械

25、振動(dòng)基礎(chǔ)52mAO2l2lk解：解： 設(shè)任一瞬時(shí)杠桿的擺角為 ，根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程可以建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，為令則上述微分方程可以整理為動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)53mAO2l2lk上述方程的特解，即受迫振動(dòng)為將 =0/2 代入上式，可解得動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)54 19-5 單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)一、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解一、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解tHFxcFkxFksin , , ctHxckxxmsin 將上式兩端除以m ，并令mHhmcnmk ; 2 ; 2nthxxnxnsi

26、n22 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次微分方程。21xxx動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)55 x1是齊次方程的通解)02(2nxxnx 小阻尼：)sin(22n1tAexnt（A、 積分常數(shù)，取決于初始條件）x2 是特解：)sin(2tbx代入標(biāo)準(zhǔn)形式方程并整理22n22222n2tan4)(nnhb 強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅 強(qiáng)迫振動(dòng)相位滯后激振力相位角振動(dòng)微分方程的全解為)sin()sin(22ntbtAexnt 衰減振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)56 振動(dòng)開(kāi)始時(shí)，二者同時(shí)存在的過(guò)程瞬態(tài)過(guò)程。僅剩下強(qiáng)迫振動(dòng)部分的過(guò)程穩(wěn)

27、態(tài)過(guò)程。需著重討論部分。 n0n ; , nbb令 頻率比 振幅比 阻尼比因此：2222212 tan; 4)1 (1二、阻尼對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響二、阻尼對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響1、振動(dòng)規(guī)律 簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2、頻率： 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率，等于激振力的頻率。3、振幅)sin(2tbx動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)57 (1) , 1 , )( 1n時(shí)可不計(jì)阻尼。 , 0bb(2) , 0 , )( 1n時(shí)阻尼也可忽略。時(shí)時(shí)0.70 , )( 1n(3) 阻尼對(duì)振幅影響顯著。一定時(shí)，阻尼增大，振幅顯著下降。2n22n212 , 0dd nb得由共振頻率此時(shí)：20max22nmax12 2

28、bbnnhb或動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)58 2 , , 10maxnbb 時(shí)當(dāng)4、相位差有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)相位總比激振力滯后一相位角， 稱(chēng)為相位差。212tan(1) 總在0至 區(qū)間內(nèi)變化。(2) 相頻曲線（ - 曲線）是一條單調(diào)上升的曲線。 隨 增 大而增大。(3) 共振時(shí) =1， ，曲線上升最快，阻尼值不同的曲線， 均交于這一點(diǎn)。(4) 1時(shí)， 隨 增大而增大。當(dāng) 1時(shí) ，反相。2動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)59 例例10 已知P=3500N，k=20000N/m , H=100N, f=2.5Hz , c=1600Ns/m , 求b,

29、,強(qiáng)迫振動(dòng)方程。解解：rad/s 58.1035008 . 92000022eqnPkgmkm 105 . 220000210023eq0kHkHb動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) ; 212. 058.1024. 2rad/s 24. 28 . 9/3500216002nnmcn60 mm 84. 15 . 2736. 0736. 0485. 1212. 04)485. 11 (14)1 (102222222bb)847. 05sin(84. 1847. 0522. 0)1/(2tan22tx動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)485. 158.105

30、 . 222 ; 212. 058.1024. 2rad/s 24. 28 . 9/3500216002nnnfnmcn61 如圖所示為一無(wú)重剛桿。其一端鉸支，距鉸支端l處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，距2l處有一阻尼器，其阻尼系數(shù)為c，距3l處有一剛度為k的彈簧，并作用一簡(jiǎn)諧振力F=F0sin t。剛桿在水平位置平衡，試列出系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率0，以及當(dāng)激振力頻率 等于0 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的振幅。mlllkc動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)例例11 62解解: 設(shè)剛桿在振動(dòng)時(shí)的擺角為 ，由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程可建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為整理后得令 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)mlllkc630 即系統(tǒng)的固有頻率，當(dāng) =0 時(shí)，其擺角 的振幅為 此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的振幅 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動(dòng)