排列組合例題與解

1、! _世界上有兩種人，一種人，虛度年華；另一種人，過(guò)著有意義的生活。在第一種人的眼里，生活就是一場(chǎng)睡眠，如果在他看來(lái)，是睡在既溫暖又柔和的床鋪上，那他便 十分心滿意足了；在第二種人眼里，可以說(shuō)，生活就是建立功績(jī)?nèi)司驮谕瓿蛇@個(gè)功績(jī)中享到自己的幸福。 別林斯基排列組合例題與解析【公式】 r n! P n= (n-r)! r r n! P n n-rC n= r!(n-r)! = r! =C n例題分析：1首先明確任務(wù)的意義例1. 從1、2、3、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有_個(gè)。 分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列組合問題。 設(shè)a,b

2、,c成等差， 2b=a+c, 可知b由a,c決定， 又 2b是偶數(shù)， a,c同奇或同偶，即：分別從1，3，5，19或2，4，6，8，20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列，C（2,10）*2*P（2,2）=90*2*2，因而本題為360。 例2. 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M到N有多少種不同的走法? 分析：對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入 （一）從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。 （二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。 （三）事實(shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。

3、從而，任務(wù)可敘述為：從八個(gè)步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)， 本題答案為：=56。 2分析是分類還是分步，是排列還是組合注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合 例3在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有_種。 分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。 第一類：A在第一壟，B有3種選擇； 第二類：A在第二壟，B有2種選擇； 第三類：A在第三壟，B有一種選擇， 同理A、B位置互換 ，

4、共12種。 例4從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有_。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析：顯然本題應(yīng)分步解決。 （一）從6雙中選出一雙同色的手套，有6種方法； （二）從剩下的十只手套中任選一只，有10種方法。 （三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8種方法； （四）由于選取與順序無(wú)關(guān)，因（二）（三）中的選法重復(fù)一次，因而共240種。 或分步 （1）從6雙中選出一雙同色的手套，有C(1,6)=6種方法； （2）從剩下的5雙手套中任選兩雙，有C(2,5)=10種方法； （3）從兩雙中手套中分別拿兩只手套，有C（1,2）*C（1,2

5、）=4種方法； 同樣得出共（1）*（2）*（3）=240種。 例5身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個(gè)人都比他同列的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為_。 分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有=90種。 例6在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工?，F(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法? 分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。 以兩個(gè)全能的工人為分類的對(duì)象，考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分

6、類標(biāo)準(zhǔn)。 第一類：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工，有10種； 第二類：這兩人有一個(gè)去當(dāng)鉗工，有100種； 第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工，有75種。 因而共有185種。 例7現(xiàn)有印著0，l，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)? 分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把0，l，3，5，7，9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實(shí)際上抽出的三個(gè)數(shù)中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。 抽出的三數(shù)含0，含9，有32種方法； 抽出的三數(shù)含0不含9，有24種方法； 抽出的三數(shù)含9不含0，有72種方法； 抽出的三數(shù)不含9也不含0，有24種方法。 因此共有32+24+72+24=152種方

7、法。 例8停車場(chǎng)劃一排12個(gè)停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法是_種。 分析：把空車位看成一個(gè)元素，和8輛車共九個(gè)元素排列，因而共有362880種停車方法。 3特殊優(yōu)先特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮 例9六人站成一排，求 (1)甲、乙即不再排頭也不在排尾數(shù) (2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù) 分析：（1）按照先排出首位和末尾在排中間四位分步計(jì)數(shù) 第一類：排出首尾和末尾、因?yàn)榧滓也辉偈孜埠湍┪病⒛敲词孜埠湍┪矊?shí)在其它四位數(shù)選出兩位進(jìn)行排列、一共有p(4,2)=12種、 第二類：由于六個(gè)元素中已經(jīng)有兩位排在首尾和末尾、因此中間四位是吧剩下的四位

8、元素進(jìn)行排列， 共p(4,4）=24種 根據(jù)乘法原理得即不再排頭也不在排尾數(shù)共12*24=288種 （2）第一類：甲在排尾，乙在排頭，有P(4,4)種方法。 第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有3XP(4,4)種方法。 第三類：乙在排頭，甲不在排尾，有3XP(4,4)種方法。 第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有P(4,2)XP(4,4)種方法。 共P(4,4)+3XP(4,4)+3XP(4,4)+P(4,2)XP(4,4)=456種。 例10對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能? 分析：本題意

9、指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個(gè)次品，因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。 第一步：第五次測(cè)試的有C(4.1)種可能； 第二步：前四次有一件正品有C(6.1)中可能。 第三步：前四次有P(4.4)種可能。 共有576種可能。 4捆綁與插空例11. 8人排成一隊(duì) (1)甲乙必須相鄰 (2)甲乙不相鄰 (3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 (4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰 (5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰 分析：（1）甲乙必須相鄰，就是把甲乙 捆綁(甲乙可交換) 和7人排列 P(7.7)*2 （2）甲乙不相鄰，P(8.8)-P(7.7)*2。 （3）甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，先求甲乙必須相

10、鄰且與丙相鄰 P(6.6)*2*2 甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 P(7.7)*2-P(6.6)*2*2 （4）甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰 P(6.6)*2*2 （5）甲乙不相鄰，丙丁不相鄰，P(8.8)-P(7.7)*2*2+P(6.6)*2*2 例12. 某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況? 分析： 連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個(gè)插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個(gè)空中選出2個(gè)的排列，即P(5.2)。 例13. 馬路上有編號(hào)為l，2，3，10 十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同

11、時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種? 分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個(gè)空中選出3個(gè)空放置熄滅的燈。 共C(6.3)=20種方法。 5間接計(jì)數(shù)法.(1)排除法 例14. 三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形? 分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。 所求問題的方法數(shù)=任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù)， 共76種。 例15正方體8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，可組成多少個(gè)四面體? 分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)， 共C(8

12、.4)-12=70-12=58個(gè)。 例16. l，2，3，9中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個(gè)不同數(shù)值的對(duì)數(shù)? 分析：由于底數(shù)不能為1。 （1）當(dāng)1選上時(shí)，1必為真數(shù)， 有一種情況。 （2）當(dāng)不選1時(shí)，從2-9中任取兩個(gè)分別作為底數(shù)，真數(shù)，共，其中l(wèi)og2為底4=log3為底9，log4為底2=log9為底3, log2為底3=log4為底9, log3為底2=log9為底4. 因而一共有53個(gè)。 (3)補(bǔ)上一個(gè)階段，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題 例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相鄰)，共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢? 分析：（一）實(shí)際上，甲在乙

13、的前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱，具有相同的排法數(shù)。因而有=360種。 （二）先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復(fù)了種， 共=120種。 例185男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法? 分析：首先不考慮男生的站位要求，共P(9.9)種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了次。因而有=9876=3024種。 若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法， 同理也有3024種，綜上，有6048種。 例19. 三個(gè)相同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法? 分析：先認(rèn)為三個(gè)紅球互不相同

14、，共種方法。而由于三個(gè)紅球所占位置相同的情況下，共有變化，因而共=20種。 6擋板的使用例2010個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問有多少種不同的分配方法? 分析：把10個(gè)名額看成十個(gè)元素，在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中，選出七個(gè)位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共36種。 7注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一個(gè)階段(排序)可轉(zhuǎn)化為排列問題。 例21. 從0，l，2，9中取出2個(gè)偶數(shù)數(shù)字，3個(gè)奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)? 分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。 （一）兩個(gè)選出的偶數(shù)含0，則有

15、種。 （二）兩個(gè)選出的偶數(shù)字不含0，則有種。 例22. 電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法? 分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種。 （二）選擇10層中的四層下樓有種。 共有種。 例23. 用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)， (1)可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)? (2)可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)? (3)可組成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)? (4)將(1)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第85項(xiàng)是什么? 分析：（1）有個(gè)。 （2）分為兩類：0在末

16、位，則有種：0不在末位，則有種。 共+種。 （3）先把四個(gè)相加能被3整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來(lái)，即先選 0，1，2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，3，4，5 1，2，4，5 它們排列出來(lái)的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：4()+=96種。 （4）首位為1的有=60個(gè)。 前兩位為20的有=12個(gè)。 前兩位為21的有=12個(gè)。 因而第85項(xiàng)是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301。 8分組問題例24. 6本不同的書 (1) 分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法? (2) 分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？ (3) 分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？

17、(4) 甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法? (5) 分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法? 分析：（1）有中。 （2）即在（1）的基礎(chǔ)上除去順序，有種。 （3）有種。由于這是不平均分組，因而不包含順序。 （4）有種。同（3），原因是甲，乙，丙持有量確定。 （5）有種。 例25. 6人分乘兩輛不同的車，每車最多乘4人，則不同的乘車方法為_。 分析：（一）考慮先把6人分成2人和4人，3人和3人各兩組。 第一類：平均分成3人一組，有種方法。 第二類：分成2人，4人各一組，有種方法。 （二）再考慮分別上兩輛不同的車。 綜合（一）（二），有種。 例26. 5名

18、學(xué)生分配到4個(gè)不同的科技小組參加活動(dòng)，每個(gè)科技小組至少有一名學(xué)生參加，則分配方法共有_種. 分析：（一）先把5個(gè)學(xué)生分成二人，一人，一人，一人各一組。 其中涉及到平均分成四組，有C（4，3）=4種分組方法。 可以看成4個(gè)板三個(gè)板不空的隔板法 （二）再考慮分配到四個(gè)不同的科技小組，有A(4,4)=24種， 由（一）（二）可知，共=96種?！揪毩?xí)】：例1書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語(yǔ)文書，6本不同的英語(yǔ)書。 （1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？ （2）若從這些書中取數(shù)學(xué)書、語(yǔ)文書、英語(yǔ)書各一本，有多少種不同的取法？ （3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法。

19、 解：（1）由于從書架上任取一本書，就可以完成這件事，故應(yīng)分類，由于有3種書，則分為3類然后依據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是：3+5+6=14種。 （2）由于從書架上任取數(shù)學(xué)書、語(yǔ)文書、英語(yǔ)書各1本，需要分成3個(gè)步驟完成，據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是：356=90（種）。 （3）由于從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類情況（數(shù)語(yǔ)各1本，數(shù)英各1本，語(yǔ)英各1本）而在每一類情況中又需分2個(gè)步驟才能完成。故應(yīng)依據(jù)加法與乘法兩個(gè)原理計(jì)算出共得到的不同的取法種數(shù)是：35+36+56=63（種）。 例2已知兩個(gè)集合A=1，2，3，B=a,b,c,d，e，從A到B建立映射，問可建立多少個(gè)不同的映射？

20、分析：首先應(yīng)明確本題中的“這件事是指映射，何謂映射？即對(duì)A中的每一個(gè)元素，在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)?！?因A中有3個(gè)元素，則必須將這3個(gè)元素都在B中找到家，這件事才完成。因此，應(yīng)分3個(gè)步驟，當(dāng)這三個(gè)步驟全進(jìn)行完，一個(gè)映射就被建立了，據(jù)乘法原理，共可建立不同的映射數(shù)目為：555=53（種）。 2排列數(shù)與組合數(shù)的兩個(gè)公式 排列數(shù)與組合數(shù)公式各有兩種形式，一是連乘積的形式，這種形式主要用于計(jì)算；二是階乘的形式，這種形式主要用于化簡(jiǎn)與證明。 連乘積的形式 階乘形式 等式成立。 評(píng)述：這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)：n!(n+1)=(n+1)!可使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化

21、。 例4解方程 解：原方程可化為： 解得x=3。 評(píng)述：解由排列數(shù)與組合數(shù)形式給出的方程時(shí)，在脫掉排列數(shù)與組合數(shù)的符號(hào)時(shí)，要注意把排列數(shù)與組合數(shù)定義中的取出元素與被取元素之間的關(guān)系以及它們都屬自然數(shù)的這重要限定寫在脫掉符號(hào)之前。 3排列與組合的應(yīng)用題 歷屆高考數(shù)學(xué)試題中，排列與組合部分的試題主要是應(yīng)用問題。一般都附有某些限制條件；或是限定元素的選擇，或是限定元素的位置，這些應(yīng)用問題的內(nèi)容和情景是多種多樣的，而解決它們的方法還是有規(guī)律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法兩種。 一般方法有：直接法和間接法。 （1）在直接法中又分為兩類，若問題可分為互斥各類，據(jù)加法原理，可用分類法；若問題考慮先

22、后次序，據(jù)乘法原理，可用占位法。 （2）間接法一般用于當(dāng)問題的反面簡(jiǎn)單明了，據(jù)的原理，采用排除的方法來(lái)獲得問題的解決。 特殊方法： （1）特元特位：優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或位置后，再去考慮其它元素或位置。 （2）捆綁法：某些元素必須在一起的排列，用“捆綁法”，緊密結(jié)合粘成小組，組內(nèi)外分別排列。 （3）插空法：某些元素必須不在一起的分離排列用“插空法”，不需分離的站好實(shí)位，在空位上進(jìn)行排列。 （4）其它方法。 例57人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)。 （1）甲排中間； （2）甲不排兩端；（3）甲，乙相鄰； （4）甲在乙的左邊（不要求相鄰）； （5）甲，乙，丙連排； （6）甲，乙

23、，丙兩兩不相鄰。 解：（1）甲排中間屬“特元特位”，優(yōu)先安置，只有一種站法，其余6人任意排列，故共有：1=720種不同排法。 （2）甲不排兩端，亦屬于“特元特位”問題，優(yōu)先安置甲在中間五個(gè)位置上任何一個(gè)位置則有種，其余6人可任意排列有種，故共有=3600種不同排法。 （3）甲、乙相鄰，屬于“捆綁法”，將甲、乙合為一個(gè)“元素”，連同其余5人共6個(gè)元素任意排列，再由甲、乙組內(nèi)排列，故共有=1400種不同的排法。 （4）甲在乙的左邊?？紤]在7人排成一行形成的所有排列中：“甲在乙左邊”與“甲在乙右邊”的排法是一一對(duì)應(yīng)的，在不要求相鄰時(shí)，各占所有排列的一半，故甲在乙的左邊的不同排法共有=2520種。 （5）甲、乙、丙連排，亦屬于某些元素必須在一起的排列，利用“捆綁法”，先將甲、乙、丙合為一個(gè)“元素”，連同其余4人共5個(gè)“元素”任意排列，現(xiàn)由甲、乙、丙交換位置，故共有=720種不同排法。 （6）甲、乙、丙兩兩不相鄰，屬于某些元素必須不在一起的分離排列，用“插空法”，先將甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每?jī)扇酥g的五個(gè)“空”。再將甲、乙、丙插入其中的三個(gè)“空”，故共有=1440種不同的排法。 例6用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無(wú)