微積分下測試題三

1、1）若函數(shù)/ （x,y） = 2x2+a葉M2+2y在點（-1,1）處取得極值，則常數(shù)a= 3XX2）設(shè)/（兀）=fwvdy,則紐x）dx= Plyy ydx = A-人-。（注：此題為二次積分解:因為等6x# + 2yxV2>/2(x-y),設(shè)改變積分次序的變形題）3 ）設(shè)S是立方體05兀，y,zSI的邊界外側(cè)。則曲面積分JJAV/W/Z + y6dxdz + z 1 dxdy =3s4)已知函數(shù)y = y （x）由方程ey+6xy+x2-I = 0確定。則/ （0） = -2。5)微分方程y + 3y-4y = x2aa用待定系數(shù)法確定特解（系數(shù)不求）的形式為（ox2 +2、在橢球面

2、2x2 + 2y 2 + z2 =1上求一點，使得函數(shù)/ （兀，y, z） = x2 + z2在該點處沿方向/ =i- j的方向?qū)?shù)最大F(兀,y , z , 2) = V2 (x- y) + /I (2x2 +2y2 + z2 -1解方程組F = >/2 + 42x = 0 rVFv=-A + 42y = 0尺=2加=0 a=2x2+2/ + z2-1 = 0得解1X =1 y =- ?2z = 0所以所求方向?qū)?shù)最大值為血£y3、求曲而N + N =4上點（In2 Jn2,l）處切平面和法線方程x y解:設(shè) F （x, y , z） = ez +ez -4,則所求切平面為

3、2 (兀-In2) + 2 (y-ln2) 41 n2 (z I) = 0I r nv 1 n2 丁一1-4 In 2法線方程為設(shè) F（/） = JJJf （x2Ay2A-z2） dxdydzf 其中/ （町為連續(xù)函數(shù)。求 F（f）。=J；則:解:因為 F( r) = n A x2 + y2 + z?) dxdydz則;f (P2) Q2 血(pdp = 4 打;/ (p2) p2dp所以 F （/）= 4加 2/（/2）。5、求微分方程y -4y'+3y = 0的解，使得該解所表示的曲線在點（0,2）處與直線2兀一 2_y +4= C相切。解:解特征方程r2-4r + 3 = 0得特

4、征根q = 3，勺=1,微分方程y" -4/ + 3y = 0的通 解為y = Ce3x+ C2e y r = 3Ce3x + C2ex,有所求曲線過點（0,2） Wq+C2=2 ；又由曲線在點（0,2）處與直線 2x2y + 4 = 0 相切。#(O) = 3C; +G= I3一 （干2盲所求特解為一尹+尹d232設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)的偏導數(shù),而z = f（ex sin y）滿足方程+| = ze2xI求/ （“）。解：dz - sin yex sin ydx + ex cos ydy I&z=f (，sin y) ey sin y ,Y »*7 V *e sin

5、y je sin y +dx2 dy2f n(e x sin y)d = ze2x => f n(e x sin y) = z = f(e x sin y) => /z(w) = /(w)/"(%)=/(町可化為廠何-/3+f?)-/=。euf(u)-f何丁 + euf (W)-/(W) = 0e"/ -/( “)(=導數(shù)為零就說明存在常數(shù)c,使得/?) - /(?) = G o/ 廣(町一/=G兩邊同乘以嚴可得eufu)-e- uf(u) = C e-A-111-2u因此有存在常數(shù)C?使得eufu) + Ae=C? => f(u) = C 2e"

6、;a eu7、計算曲面積分JJ ( a + yx 2 COS /?+£ COS y)dS其中工是球體x2 + y 2 + z 2<2z與錐體z>ylx2 + y 2的公共部分。的表面cosz , cg3>,9是其外法向量的方向余弦。解：用高斯公式計算 原式=Ilf ( y2+F+2z)山/r2 疔 ycos>sin> +；cos>sin(p d(p=2/132 (cos6(P cos8(py4 cos6 727=7110T (6sin (廠)(P _3-o工H 0、證明/(兀，y):=<x在全平面可微。yx = 0=J。兀 0心吐"

7、(f 2 sin2 0 + 2qcos0) ” sin ?dp證明：當 xhO 時，fx=-7sin( AA)4- cos(xy), fy =cos(xy)連續(xù),所以兀工 0 時,xX函數(shù)/(x,y)可微(理由有連續(xù)偏導數(shù)一定可微);當兀=0時，人（0,刃=說4止如him沁也不存在，所以'''A.v->（）A rAx->（） AAxx = 0時，函數(shù)f（x 9y）不可微（理由可微一定可導）。9、計算曲線積分j（l + xe 2y）dx+（x 2e2y-l）dy，其中厶為（x-2） 2 + y 2= 4在第一象限內(nèi)l 逆吋針方向的半圓弧。解：因為此曲線枳分與路

8、徑無關(guān)，所以原式=（1 +兀）力=-12。10、求曲面八廠到平面：2兀+2沖+ 5 = 0的最短距離解：因為點（忑， , z°到平面2x+2y + z + 5 = 0的距離為卩+ 2> , o + Z ° +5Fx =4( 2x + 2y + z + 5) + 2 兀=0Fy = 4( 2x + 2y + z + 5) + 2Ay = 0 代=2( 2x + 2y + z + 5)+ ; z = 0 得<解方程組<2 2代=-+ /+-1 = 0 兄 2 .4所求最短距離為丄。3附加題：(供學習無窮級數(shù)的學生作測試)X = -11z = -lIK設(shè) F (

9、兀，y,z,兄)=(2x + 2y+ z + 5+A51）判斷級數(shù)工牛（qo,0o）的斂散性。 n= n解：因為 lim (7 + I) =lim00"并->8"TOO(1 + 7?a丿=0,所以8 Bn當0<1吋,工三7仏>0,00）收斂；心和8 /?"當0>1時，工牛（QO,0>O）發(fā)散;n= n當 0 = l,a> 1 時7 （ Q>0,0>0）收斂；H=1當 13 = .a<1 吋,V/L （a>0,0>0）發(fā)散。h=i n域）2）試將函數(shù)fAx ） = Ae-,2clt展成兀的幕級數(shù)（要求寫出該幕級數(shù)的一般項并指出收斂r解：/(A)= £edt£1：”0工上罕兀2n+l二 0 （2 +1 ）=0 ！xe(-oo , +oo)13）證明級數(shù)一 +25+ = +22 2