等差數(shù)列與其前n項和知識點總結(jié)經(jīng)典高考題解析

1、等差數(shù)列及其前n項和【考綱說明】1、理解等差數(shù)列的概念，學習等差數(shù)列的基本性質(zhì).2、探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3、體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.4、本部分在高考中占5-10分左右.【趣味鏈接】高斯7歲那年，父親送他進了耶卡捷林寧國民小學，讀書不久，高斯在數(shù)學上就顯露出了常人難以比較的天賦，最能證明這一點的是高斯十歲那年，教師彪特耐爾布置了一道很繁雜的計算題，要求學生把1到 100的所有整數(shù)加起來，教師剛敘述完題目，高斯即刻把寫著答案的小石板交了上去。彪特耐爾起初并不在意這一舉動，心想這個小家伙又在搗亂，但當他發(fā)現(xiàn)全班唯一正確的答案屬于高斯時，才大吃一驚。而更使人吃驚的是高斯的

2、算法，他發(fā)現(xiàn)：第一個數(shù)加最后一個數(shù)是101，第二個數(shù)加倒數(shù)第二個數(shù)的和也是101，共有50對這樣的數(shù)，用101乘以50得到5050。這種算法是教師未曾教過的計算等級數(shù)的方法，高斯的才華使彪特耐爾十分激動，下課后特地向校長匯報，并聲稱自己已經(jīng)沒有什么可教高斯的了。【知識梳理】一、等差數(shù)列的相關(guān)概念1、等差數(shù)列的概念如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差通常用字母d表示。2、等差中項 如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項即：或推廣：3、等差數(shù)列通項公式 若等差數(shù)列的首項是，公差是，則 推廣：，從而。4、等差數(shù)列的前項和公式

3、 等差數(shù)列的前項和的公式：；5、等差數(shù)列的通項公式與前n項的和的關(guān)系( 數(shù)列的前n項的和為).二、等差數(shù)列的性質(zhì) 1、等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 當公差時， (1)等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù),斜率為； (2)前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0。 2、等差數(shù)列的增減性 若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列， 若公差，則為常數(shù)列。3、通項的關(guān)系 當時,則有， 特別地，當時，則有.注： 4、常見的等差數(shù)列 （1）若、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列。 （2）若是等差數(shù)列，則，也成等差數(shù)列。 （3）數(shù)列為等差數(shù)列,每隔項取出一項仍為等差數(shù)列。 5、前n項和的性質(zhì) 設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，為公差，是奇

4、數(shù)項的和，是偶數(shù)項項的和，是前項的和.當項數(shù)為偶數(shù)時，則當項數(shù)為奇數(shù)時，則（其中是項數(shù)為的等差數(shù)列的中間項）6、求的最值（或求中正負分界項）（1）因等差數(shù)列前項是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性.（2）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的最大值是所有非負項之和 即當，由可得達到最大值時的值.“首負”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和. 即當，由可得達到最小值時的值.三、等差數(shù)列的判定與證明1、等差數(shù)列的判定方法：（1）定義法：若或(常數(shù))是等差數(shù)列；（2）等差中項：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）；（4）數(shù)列是等差數(shù)列,（其中、是常

5、數(shù)）.2、等差數(shù)列的證明方法：定義法：若或(常數(shù))是等差數(shù)列【經(jīng)典例題】【例1】（2006全國）設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若a1+a2+a315，a1a2a380，則a11+a12+a13等于（ ）A.120 B.105 C.90 D.75【解析】B【例2】(2008重慶)已知an為等差數(shù)列，a2+a8=12,則a5等于（ ） A.4 B.5 C.6D.7【解析】C【例3】（2006全國）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）A B C D【解析】D【例4】（2012四川）設(shè)函數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，則（ ） A.0 B.7 C.14 D.21【解析】D【例5】（2009湖南）設(shè)是等差

6、數(shù)列的前n項和，已知，則等于( ) A13 B35 C49 D 63 【解析】C【例6】（2009全國理） 設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若,則= .【解析】24【例7】（2009遼寧理）等差數(shù)列的前項和為，且則 .【解析】【例8】（2011福建）已知等差數(shù)列an中，a1=1，a3=-3. （I）求數(shù)列an的通項公式； （II）若數(shù)列an的前k項和Sk=-35，求k的值.【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則an=a1+（n-1）d由a1=1，a3=-3，可得1+2d=-3，解得d=-2，從而，an=1+（n-1）×（-2）=3-2n；（II）由（I）可知an=3-2n，所以Sn=n1+

7、(32n)2=2n-n2，進而由Sk=-35，可得2k-k2=-35，即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5，又kN+，故k=7為所求【例9】（2010山東）已知等差數(shù)列滿足：，的前項和為. （）求及； （）令（），求數(shù)列的前項和為.【解析】（），（）【例10】（2010浙江）設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)an的前n項和Sn，滿足S2S6150.（）若S5S.求Sn及a1;（）求d的取值范圍.【解析】因為SS+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以d28.故d的取值范圍為d

8、-2 或d2.【課堂練習】1、（2011江西卷）設(shè)為等差數(shù)列，公差d = -2，為其前n項和.若，則=（ ）A.18 B.20 C.22 D.242、（2006重慶）在等差數(shù)列中，若a4+a6=12，Sn是數(shù)列的前n項和，則S9的值為（ ）A.48 B.54 C.60 D.663、（2009福建）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若，則（ ）A1 B-1C2 D4、（2011上海）設(shè)數(shù)列的首項，則_.5、(2008海南)已知an為等差數(shù)列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，則a5 = _.6、（2012北京）已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若，S2=a3，則a2=_，Sn=_.7、（

9、2012浙江）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，Sn=，nN，數(shù)列bn滿足an=4log2bn3，nN.（1）求an，bn；（2）求數(shù)列anbn的前n項和Tn.8、（2012北京理）已知是等差數(shù)列，；也是等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式及前項和的公式；（2）數(shù)列與是否有相同的項？ 若有，在100以內(nèi)有幾個相同項？若沒有，請說明理由.9、（2006北京）設(shè)等差數(shù)列an的首項a1及公差d都為整數(shù)，前n項和為Sn.()若a11=0,S14=98,求數(shù)列an的通項公式；()若a16，a110，S1477，求所有可能的數(shù)列an的通項公式.【課后作業(yè)】1、(2007安徽)等差數(shù)列的前項和為，若（）A12B1

10、0C.8D62、(2008廣東)記等差數(shù)列的前n項和為，若，則該數(shù)列的公差d=（） A7 B. 6 C. 3 D. 23、（2009全國）等差數(shù)列中，已知，則n為（）A48 B49 C.50 D514、（2007四川）等差數(shù)列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n項和Sn=100,則n=（）A9 B10 C.11 D12 5、（2008福建）設(shè)Sn是等差數(shù)列的前n項和，若（）A1 B1 C2 D6、（2010北京）已知等差數(shù)列an滿足1231010則有( )A11010 B21000C3990D5151 7、（2010全國II理）如果，為各項都大于零的等差數(shù)列，公差，則( ) ABC.+D

11、=8、（2012北京理）若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有（） A13項 B12項 C.11項 D10項9、（2007全國）已知數(shù)列的通項an= -5n+2,則其前n項和為Sn= .10、（2006山東）設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，14，則.11、（2011全國）等差數(shù)列的前n項和記為Sn.已知（）求通項；（）若Sn=242，求n.12、(2008寧夏理)已知數(shù)列是一個等差數(shù)列，且，.（1）求的通項；（2）求前n項和的最大值.13、（2010全國）設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，已知，為數(shù)列的前項和，求.【參考答案】【課堂練習】1、B 2、B 3

12、、A 4、153 5、15 6、，7、（1）由Sn=，得：當n=1時，；當n2時，nN.由an=4log2bn3，得，nN.（2）由（1）知，nN所以，nN.8、解：（1）設(shè)an的公差為d1，bn的公差為d2 由a3=a1+2d1得 所以，所以a2=10, a1+a2+a3=30依題意，得解得，所以bn=3+3(n-1)=3n（2）設(shè)an=bm,則8n-6=3m, 既，要是式對非零自然數(shù)m、n成立，只需 m+2=8k,所以m=8k-2 ，代入得，n=3k, ,所以a3k=b8k-2=24k-6,對一切都成立。所以，數(shù)列與有無數(shù)個相同的項。令24k-6<100,得又，所以k=1,2,3,4.即100以內(nèi)有4個相同項。9.解：（）由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0,故解得d=2,a1=20.因此，an的通項公式是an=222n,n=1,2,3（）由得即由+得7d11。即d.由+得13d1 即d于是d又dZ, 故d=1將代入得10a112. 又a1Z,故a1=11或a1=12.所以，所有可能的數(shù)列an的通