冪函數(shù)與二次函數(shù)

1、(2)(2014(2)(2014南京模擬南京模擬) )已知實(shí)數(shù)已知實(shí)數(shù)a0,f(x)=a0,f(x)=若方程若方程f(x)=- af(x)=- a2 2有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，且較大實(shí)根大于有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，且較大實(shí)根大于2 2，則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是_._.212x2ax,x1,log x,x1.34(2)(2)根據(jù)題意，作出函數(shù)根據(jù)題意，作出函數(shù)y=f(x)+y=f(x)+的圖象，的圖象，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x1x1時(shí)，函數(shù)的圖象是由時(shí)，函數(shù)的圖象是由y=y=log xlog x的圖象向上平移的圖象向上平移 個(gè)單位而個(gè)單位而得，它與得，它與x x軸必有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫

2、坐標(biāo)大于軸必有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1 1；而；而x1x1時(shí)時(shí)的圖象是拋物線的一部分，各段圖象如圖，的圖象是拋物線的一部分，各段圖象如圖，23a41223a4若方程若方程f(x)=- f(x)=- 有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，且較大實(shí)根大于有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，且較大實(shí)根大于2 2，則有：，則有： 解得解得即即 a2, 1a1且且g(2)=6-2a0,g(2)=6-2a0,即即1a3,1a0,a1),(8-ax)(a0,a1),若若f(x)1f(x)1在區(qū)間在區(qū)間1,21,2上恒成立上恒成立, ,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)a a的取值范圍為的取值范圍為. .【解析】【解析】當(dāng)當(dāng)a1a1時(shí)時(shí),f(x)=log

3、,f(x)=loga a(8-ax)(8-ax)在在1,21,2上是減函數(shù)上是減函數(shù), ,由由f(x)1f(x)1恒成立恒成立, ,則則f(x)f(x)minmin=log=loga a(8-2a)1,(8-2a)1,解之得解之得1a ,1a ,83若若0a10a1f(x)1恒成立恒成立, ,則則f(x)f(x)minmin=log=loga a(8-a)1,(8-a)1,且且8-2a0,8-2a0,所以所以a4,a4,且且a4,a0)+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)單調(diào)性單

4、調(diào)性在在 上遞減上遞減, ,在在 上遞增上遞增在在 上遞增上遞增, ,在在 上遞減上遞減奇偶性奇偶性當(dāng)當(dāng)_時(shí)為偶函數(shù)時(shí)為偶函數(shù)對稱軸對稱軸函數(shù)的圖象關(guān)于函數(shù)的圖象關(guān)于 成軸對稱成軸對稱b(,2a b,)2ab=0b=0bx2a b(,2a b,)2a考點(diǎn)考點(diǎn)1 1 冪函數(shù)及其圖象與性質(zhì)冪函數(shù)及其圖象與性質(zhì)【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014許昌模擬許昌模擬) )若若則則a,b,ca,b,c的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是( )( )A.abc B.cab C.bca D.bacA.abc B.cab C.bca D.bac(2)(2)已知冪函數(shù)已知冪函數(shù)f(x)= (mNf(x)= (

5、mN* *) )的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于y y軸對稱，且軸對稱，且在在(0(0，+)+)上是減函數(shù)，求滿足上是減函數(shù)，求滿足(a+1) (3-2a) (a+1) (3-2a) 的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)a a的取的取值范圍值范圍. .221333111a( )b( ) ,c( )252，2m2m 3xm2m2【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選D.D.因?yàn)橐驗(yàn)閥= y= 在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，所以所以 因?yàn)橐驗(yàn)閥= y= 是減函數(shù)，是減函數(shù)，所以所以 所以所以bac.bac.(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是減函數(shù)，上是減函數(shù)，所以所以m m2 2-2m-

6、30,-2m-30,解之得解之得-1m3.-1m3.又又mNmN* *，所以，所以m=1m=1或或m=2.m=2.23x223311a( )b( )25，x1( )2213311a( )c( ) ,22由于由于f(x)f(x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于y y軸對稱軸對稱. .所以所以m m2 2-2m-3-2m-3為偶數(shù)，為偶數(shù)，又當(dāng)又當(dāng)m=2m=2時(shí)，時(shí)，m m2 2-2m-3-2m-3為奇數(shù)，所以為奇數(shù)，所以m=2m=2舍去，因此舍去，因此m=1.m=1.又又y=x y=x 在在0,+)0,+)上為增函數(shù)，上為增函數(shù)，所以所以(a+1) (3-2a) (a+1) (3-2a) 等價(jià)于等價(jià)于0a+

7、13-2a,0a+13-2a,解之得解之得-1a ,-1a ,故實(shí)數(shù)故實(shí)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是a|-1a .a|-1a1101010f(1),f(0)=f(4)f(1),則則( () )A.a0,4a+b=0 B.a0,4a+b=0 B.a0,2a+b=0 D.a0,2a+b=0 D.a0,2a+b=02.2.二次函數(shù)單調(diào)性有關(guān)問題的求解策略二次函數(shù)單調(diào)性有關(guān)問題的求解策略根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性, ,結(jié)合二次函數(shù)圖象的開口方向及升、結(jié)合二次函數(shù)圖象的開口方向及升、降情況對對稱軸進(jìn)行分析、討論降情況對對稱軸進(jìn)行分析、討論, ,進(jìn)而求解進(jìn)而求解. .【加固訓(xùn)練】【加固訓(xùn)

8、練】1.1.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2+(2a-1)x-3.+(2a-1)x-3.(1)(1)當(dāng)當(dāng)a=2,x-2,3a=2,x-2,3時(shí)時(shí), ,求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)的值域的值域. .(2)(2)若函數(shù)若函數(shù)f(x)f(x)在在-1,3-1,3上的最大值為上的最大值為1,1,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a a的值的值. .【解析】【解析】(1)(1)當(dāng)當(dāng)a=2a=2時(shí)，時(shí)，f(x)=xf(x)=x2 2+3x-3+3x-3 又又xx-2,3-2,3，所以所以f(x)f(x)maxmax=f(3)=15,=f(3)=15,所以值域?yàn)樗灾涤驗(yàn)?321(x),24 min321f xf(

9、),24 21,15.4(2)(2)對稱軸為對稱軸為當(dāng)當(dāng) 1,1,即即a- a- 時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)maxmax=f(3)=6a+3,=f(3)=6a+3,所以所以6a+3=1,6a+3=1,即即a=- a=- 滿足題意；滿足題意；當(dāng)當(dāng) , ,即即a- a- 時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)maxmax=f(-1)=-2a-1,=f(-1)=-2a-1,所以所以-2a-1=1,-2a-1=1,即即a=-1a=-1滿足題意滿足題意. .綜上可知綜上可知a=- a=- 或或-1.-1.2a1x.2 2a1212132a1121213考點(diǎn)考點(diǎn)3 3 利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解一元二次利用二次函數(shù)的圖

10、象與性質(zhì)求解一元二次 方程、不等式問題方程、不等式問題【考情】【考情】二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)與一元二次方程、一元二次不二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)與一元二次方程、一元二次不等式等知識交匯命題是高考考查頻率非常高的一個(gè)熱點(diǎn)等式等知識交匯命題是高考考查頻率非常高的一個(gè)熱點(diǎn), ,常以常以選擇、填空題的形式出現(xiàn)選擇、填空題的形式出現(xiàn), ,考查求解一元二次不等式、一元二考查求解一元二次不等式、一元二次不等式恒成立及一元二次方程根的分布等問題次不等式恒成立及一元二次方程根的分布等問題, ,同時(shí)考查函同時(shí)考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想. .高頻考點(diǎn)高頻考點(diǎn)通關(guān)通關(guān) 【典例【

11、典例3 3】(1)(2014(1)(2014珠海模擬珠海模擬) )若當(dāng)若當(dāng)x(1,2)x(1,2)時(shí)時(shí), ,不等式不等式x x2 2+mx+40+mx+40恒成立恒成立, ,則則m m的取值范圍為的取值范圍為. .(2)(2014(2)(2014合肥模擬合肥模擬) )已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2+2bx+c(b,cR).+2bx+c(b,cR).若若f(x)0f(x)0的解集為的解集為x|-1x1,x|-1x1,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)b,cb,c的值的值; ;若若f(x)f(x)滿足滿足f(1)=0,f(1)=0,且關(guān)于且關(guān)于x x的方程的方程f(x)+x+b=0f(x)+x+

12、b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間分別在區(qū)間(-3,-2),(0,1)(-3,-2),(0,1)內(nèi)內(nèi), ,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)b b的取值范圍的取值范圍. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)方法一：令方法一：令f(x)=xf(x)=x2 2+mx+4+mx+4，結(jié)合，結(jié)合f(x)f(x)的的圖象知，圖象知，要使要使f(x)f(x)0 0在在(1(1，2)2)上恒成立，則有上恒成立，則有即即 解得：解得：m-5.m-5. f 10,f 20，1m40,42m40，方法二：由方法二：由x x2 2+mx+4+mx+40,0,當(dāng)當(dāng)x(1x(1，2)2)時(shí)，得時(shí)，得m m-(x+ )-(x+ )，令

13、令g(x)=-(x+ )g(x)=-(x+ )，則，則g(x)= g(x)= 0,x(1,2)0,x(1,2)，所以所以g(x)g(x)在在(1(1，2)2)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，所以所以g(x)g(x)minmin=g(1)=-5,=g(1)=-5,所以所以m-5.m-5.答案：答案：(-(-，-5-54x4x224xx(2)(2)設(shè)設(shè)x x1 1,x,x2 2是方程是方程f(x)=0f(x)=0的兩個(gè)根的兩個(gè)根. .由根與系數(shù)的關(guān)系，得由根與系數(shù)的關(guān)系，得即即 所以所以b=0,c=-1.b=0,c=-1.1212xx2b,x xc. 2b0,c1. 由題知，由題知，f(1)=1+2b+c

14、=0,f(1)=1+2b+c=0,所以所以c=-1-2b.c=-1-2b.記記g(x)=f(x)+x+b=xg(x)=f(x)+x+b=x2 2+(2b+1)x+b+c+(2b+1)x+b+c=x=x2 2+(2b+1)x-b-1,+(2b+1)x-b-1,則則即即b b的取值范圍為的取值范圍為 g357b0,g21 5b0,15b,57g 01b0,g 1b1 0 1 5().5 7，【通關(guān)錦囊】【通關(guān)錦囊】高考指數(shù)高考指數(shù)重點(diǎn)題型重點(diǎn)題型破解策略破解策略求解一元求解一元二次不等二次不等式式先確定相應(yīng)的二次函數(shù)先確定相應(yīng)的二次函數(shù), ,再結(jié)合二次函數(shù)的再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解圖

15、象與性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解求解一元求解一元二次不等二次不等式恒成立式恒成立問題問題方法一方法一: :先構(gòu)建相應(yīng)的二次函數(shù)先構(gòu)建相應(yīng)的二次函數(shù), ,再結(jié)合二次再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)構(gòu)建不等式函數(shù)的圖象與性質(zhì)構(gòu)建不等式( (組組) )求解求解方法二方法二: :分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)最分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)最值問題求解值問題求解高考指數(shù)高考指數(shù)重點(diǎn)題型重點(diǎn)題型破解策略破解策略求解一元二次求解一元二次方程根的分布方程根的分布問題問題先構(gòu)建二次函數(shù)先構(gòu)建二次函數(shù), ,再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象與與x x軸的交點(diǎn)落在某區(qū)間上的問題軸的交點(diǎn)落在某區(qū)間上的問題, ,進(jìn)而數(shù)進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求

16、解形結(jié)合求解, ,一般從四個(gè)方面分析一般從四個(gè)方面分析: :開口開口方向方向; ;對稱軸位置對稱軸位置; ;判別式判別式; ;端點(diǎn)值端點(diǎn)值符號符號求解與一元二求解與一元二次方程有關(guān)方次方程有關(guān)方程的根的個(gè)數(shù)程的根的個(gè)數(shù)問題問題構(gòu)建二次函數(shù)構(gòu)建二次函數(shù), ,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖象與轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖象與其他函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解其他函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解【加固訓(xùn)練】【加固訓(xùn)練】1.(20141.(2014廣州模擬廣州模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2-2ax+5-2ax+5在在(-,2(-,2上是減上是減函數(shù)函數(shù), ,且對任意的且對任意的x x1 1,x,x2 21,

17、a+1,1,a+1,總有總有|f(x|f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)|4,)|4,則實(shí)則實(shí)數(shù)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是( () )A.1,4 B.2,3A.1,4 B.2,3C.2,5 D.3,+)C.2,5 D.3,+)【解析】【解析】選選B.f(x)=(x-a)B.f(x)=(x-a)2 2+5-a+5-a2 2, ,由題意知由題意知a2.a2.則則|f(x|f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)|f(1)-f(a)|f(1)-f(a)=6-2a-(5-a=6-2a-(5-a2 2)4,)4,解得解得-1a3,-1a3,又又a2,a2,所以所以2a3.2a3.3.(201

18、43.(2014天津模擬天津模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=f(x)=則關(guān)于則關(guān)于x x的方程的方程f f2 2(x)-3f(x)+2=0(x)-3f(x)+2=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)是的實(shí)根的個(gè)數(shù)是_._.2xcos, 1x12x1, x1 ，【解析】【解析】由由f f2 2(x)-3f(x)+2=0(x)-3f(x)+2=0得得f(x)=1f(x)=1或或f(x)=2.f(x)=2.當(dāng)當(dāng)-1x1-1x1時(shí)，時(shí)， 此時(shí)此時(shí)0f(x)10f(x)1，由，由f(x)=1f(x)=1，得得x=0.x=0.當(dāng)當(dāng)|x|x|1 1時(shí)，若時(shí)，若f(x)=1f(x)=1，得，得x x2 2-1=1,-1=1,即即x x2 2=2=2，此時(shí)，此時(shí)x=x= . .若若f(x)=2,f(x)=2,得得x x2 2-1=2,-1=2,即即x x2 2=3=3，此時(shí)，此時(shí)x=x= . .所以關(guān)于所以關(guān)于x x的方程的方程f f2 2(x)-3f(x)+2=0(x)-3f(x)