人教版高中數(shù)學選修（2-2）-2.2《直接證明與間接證明》參考課件

1、如圖所示：已知如圖所示：已知,BPBAPA 于于PBaABaa 求證：求證：, aPAB由已知開始，結合定由已知開始，結合定理推理，得出結論理推理，得出結論 利用已知條件和某些數(shù)學定義、定理、公理利用已知條件和某些數(shù)學定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論或所要解決的問題的結果。明的結論或所要解決的問題的結果。條件條件結論結論數(shù)學推理數(shù)學推理條件條件定理定理 公理公理定義定義 例例1 在在ABC中，三個內(nèi)角中，三個內(nèi)角A , B , C對應的邊分對應的邊分別是別是a , b , c ，且，且 A , B , C 成等差數(shù)列，

2、成等差數(shù)列，a , b , c 成成等比數(shù)列。求證：等比數(shù)列。求證： ABC是等邊三角形。是等邊三角形。分析：條件是什么？分析：條件是什么？A , B , C 成等差數(shù)列成等差數(shù)列2B = A + Ca , b , c 成等比數(shù)列成等比數(shù)列b2 = a c例例2：設：設 a 0， 是是 R上的偶函數(shù)。上的偶函數(shù)。（1）求）求 a 的值；的值；（2） 證明證明 f(x) 在（在（0，）上是增函數(shù)）上是增函數(shù)xxeaaexf )(abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244 （：求證求證已知已知、求證：、求證： 8)11)(11)(111,3 cbacbaRcba

3、（求求證證：、已已知知的值。的值。求求兩點。兩點。、與拋物線交于與拋物線交于過焦點的弦過焦點的弦、已知拋物線、已知拋物線212122112),(),(, )0(24yyxxyxByxAppxy 已知已知 a、b、c為互不相等的正數(shù)，為互不相等的正數(shù)，cbaaccbbacbacbaabclglglg2lg2lg2lg. 2111,1. 1 求證：求證：求證：求證：若若探究：探究：E為為ABC的中線的中線AD上任意一點上任意一點 B C，求證：求證： EBC ECBABCDE目標：目標： EBC ECBEC BE因為因為 BD =DC , ED =ED EDC EDB因為因為 BD =DC , A

4、D =ADAC AB B CEC BE因為因為 BD =DC , ED =ED EDC EDB因為因為 BD =DC , AD =ADAC AB EBC ECB B C目標：目標： EBC ECBEC BE因為因為 BD =DC , ED =ED EDC EDB因為因為 BD =DC , AD =ADAC AB B C 從結論出發(fā)，尋找結論成立的充分條件直至從結論出發(fā)，尋找結論成立的充分條件直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件。的條件。要證：要證：只要證：只要證：只需證：只需證：顯然成立顯然成立上述各步均可逆上述各步均可逆所以所以 結論

5、成立結論成立要證：要證：所以所以 結論成立結論成立格格 式式例例2 設設a , b , c 為一個三角形的三邊長。為一個三角形的三邊長。asabscbas2,2,)(212 求證：求證：且且 例例1 求證：當一個圓與一個正方形的周長相求證：當一個圓與一個正方形的周長相等時，圓面積比正方形面積大。等時，圓面積比正方形面積大。 例例3 3 如圖：如圖： 過過A A作作SBSB的垂線，垂足為的垂線，垂足為E E，過，過E E作作SCSC的垂線，垂足為的垂線，垂足為F F。求證：求證：BCABABCSA ,平平面面SCAF ASBCEF1、證明：、證明：2、求證：、求證：5273 2121,022 a

6、aaaa則則若若),(3212212 Rbabaabba求證：求證：、 探究探究2： 已知已知 a 0 ,0 ,關于關于 x x 的方程的方程 a x = b 有解嗎？有解嗎？ 探究探究1：將：將9個球分別染成紅色或白色無論怎樣個球分別染成紅色或白色無論怎樣染色，至少有染色，至少有5個球一個球一 定是同色的。正確嗎？定是同色的。正確嗎？ 解唯一嗎？解唯一嗎？（1）假設命題的結論不成立，即假設結論的反）假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；面成立；（2）從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證）從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證,得出矛盾；得出矛盾；（3）由矛盾判定假設不成立，從而肯定命題的）由矛盾判定假設

7、不成立，從而肯定命題的結論正確。結論正確。 適宜使用反證法的情況：適宜使用反證法的情況：（1 1）結論以否定形式出現(xiàn)）結論以否定形式出現(xiàn)（2 2）結論以）結論以“至多至多，”，“至少至少”形式出現(xiàn)形式出現(xiàn)（3 3）唯一性、存在性問題）唯一性、存在性問題（4 4）結論的反面比原結論更具體更容易研究的命題。）結論的反面比原結論更具體更容易研究的命題。 例例1 1：給定實數(shù)：給定實數(shù) 設函數(shù)設函數(shù) 求證：經(jīng)過函數(shù)圖求證：經(jīng)過函數(shù)圖像上任意兩個不同點的直線不平行于像上任意兩個不同點的直線不平行于x x軸。軸。10,aaa且)1,(11)(axRxaxxxf常見否定用語常見否定用語是是不是不是 有有沒有

8、沒有等等不等不等 成立成立不成立不成立都是都是不都是，即至少有一個不是不都是，即至少有一個不是都有都有不都有，即至少有一個沒有不都有，即至少有一個沒有都不是都不是 部分或全部是，即至少有一個是部分或全部是，即至少有一個是唯一唯一至少有兩個至少有兩個至少有一個有（是）至少有一個有（是）全部沒有（不是）全部沒有（不是）至少有一個不至少有一個不全部都全部都41)1( ,)1(,)1(, )1 , 0(,2不能同時大于不能同時大于求證：求證：已知已知】【例【例accbbacba 恒恒成成立立。使使得得在在整整個個定定義義域域內(nèi)內(nèi)，找找不不到到正正數(shù)數(shù)對對于于函函數(shù)數(shù)】【例例AxfAxxf | )(|,1)(3方法總結：方法總結：推出矛盾，可通過特殊值進行說明。推出矛盾，可通過特殊值進行說明。1 1、如果一條直線經(jīng)過平面內(nèi)一點，又經(jīng)過平面