學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法(轉(zhuǎn)自“未來北大人,作者：SU)打印版

1、關(guān)于精做高考數(shù)學(xué)試題最近在北京與大學(xué)同班同學(xué)交換高考數(shù)學(xué)的意見，他是高考數(shù)學(xué)的權(quán)威。他贊同我的觀點：掌握基本理論， 適當(dāng)做題。適當(dāng)做題，一是數(shù)量不多。二是精選典型試題。如何精選，我建議從去年高考試題中先選，只選同一類型的題，然后和 06 年考綱提出的知識點對照。將未覆蓋知識點的部分從05 年高考試題中補(bǔ)充。（要考的七種數(shù)學(xué)思想和五種數(shù)學(xué)能力 06 年試題已包括了）。做高考試題必須在讀完課本后再做。也就是中學(xué)數(shù)學(xué)的公式和定理你全能獨立推出。做到知識系統(tǒng)化、條理化。做高考試題必須要做四次（能力強(qiáng)的可做三次，較次的做五次）。第一次要理解出題者的意圖，對所包含的知識點要理解，要一題多解。第二次、第三次

2、重點是鞏固，只做最佳解法。第四次是升華。要從課文中找到試題的原型（在30%以上），要將試題變形，自己成為出題者。我未指定十年高考書，國為版本太多，只有全看完才知優(yōu)劣?？催^二本，各有優(yōu)劣。但不完全。完全的試題應(yīng)包括三部分：（一）試題（二）參考答案（各種解法）（三）評分標(biāo)準(zhǔn)中學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)要養(yǎng)成的幾個好習(xí)慣中學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)要養(yǎng)成的幾個好習(xí)慣一、要重視概念。數(shù)學(xué)是由概念（最原始的定義）和幾個公理（公設(shè)）出發(fā)經(jīng)過推理建立一門數(shù)學(xué)體系。因此對數(shù)學(xué)概念要深刻理解，為此，對每個概念都要讀，要咬文嚼字，要注意概念間的區(qū)別和聯(lián)系，如集合中屬于和包含，反函數(shù)與互為倒數(shù)，函數(shù)與映射等等。二、公式要獨立推導(dǎo)，定理要自己證明。

3、學(xué)定理時，除了弄清條件和結(jié)論外，還要寫出逆否定理，并看逆命題能否成立，如成立需要證明，不成立要舉反例。也就是看定理條件是否充分且必要。公式則要將其變形，如正切兩角和的公式。三、做習(xí)題一定要做到一題多解和多題一解。四、對數(shù)學(xué)， 0 分和 99 分是一回事。因此要保證解答正確。中學(xué)的數(shù)學(xué)都是可解的，做完習(xí)題后一定要檢查，要學(xué)會判斷是否正確，如尾數(shù)是 2， 3，7 等肯定不是平方數(shù)。求幾個數(shù)的和，答案是否正確，一般做法是再算一次，兩次結(jié)果一樣，并不能保證你是對的，因為有人習(xí)慣將3+5 7。如果你反過來算，出現(xiàn)5+37 的概率極小，或用逆運算。五、做選擇題和填空題一定要備一個本子，記下解題過程。高考復(fù)

4、習(xí)時如何讀課本高考復(fù)習(xí)不同初學(xué)，要系統(tǒng)，以重要知識點為核心，相關(guān)知識點集中在一起。以函數(shù)為例。將四個知識點集中，即定義、性質(zhì)、圖象和應(yīng)用。復(fù)習(xí)定義時，要準(zhǔn)確默寫出來，然后再分析。集合是非空數(shù)集，要進(jìn)一步思考：我們學(xué)過那些數(shù)集，有那些函數(shù)以自然數(shù)為定義域，那些函數(shù)定義域是全集，那些是子集。對集合 A，要求是任何一個元素，實際上是全部元素。對集合B，要求是存在并唯一，不一定是全部。如果是全部，集合 A 和集合 B 互為反函數(shù)。在理解抽象函數(shù)定義后，再理解具體函數(shù)的定義。這些函數(shù)的定義域和值域。如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等。函數(shù)的性質(zhì)。單調(diào)性、奇偶性、周期性、連續(xù)性、可導(dǎo)性等。先掌握抽象函數(shù)然后討論具體函

5、數(shù)。函數(shù)圖像。由f(x) 的圖象得出f(x)+a,f(x+a),f(wx),Af(x)，再研究具體函數(shù)圖像。函數(shù)應(yīng)用。主要是兩方面。一是用于研究其他數(shù)學(xué)對象如方程；一是研究實際問題，建立數(shù)學(xué)模型。在系統(tǒng)了解后，對有些知識點還要深入討論。如指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的異同，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，兩角和、差、倍、半公式，正弦定理，余弦定理等。將要考的知識點復(fù)習(xí)完后，將相近的概念、公式、定理作對比研究，如數(shù)( 式) 、集合、向量運算，等差數(shù)列和等比數(shù)列，空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)、定理。至此，課本復(fù)習(xí)可告一段落。再將公式推導(dǎo)、定理證明、例題用到的數(shù)學(xué)思想和方法歸類。最后做高考試題。六、考前不

6、要做新題，看做過的習(xí)題（同類型只要看一兩個即可）和錯題本。七、使用計算器前，先要檢查計算器，辦法是算12345679×9 如全是 111 則此計算器可用。八、演算草稿必須從左到右，不要東寫一處，西寫一處，發(fā)現(xiàn)錯誤，無法檢查，只有重做一次，浪費時間。充分利用高考試卷數(shù)學(xué)備考之一你們要找到全國試卷及本省試卷。不僅要做，不限時間，做完試卷后還要做幾件事：( 一 )全卷研究。各分支比例，即代數(shù)立體幾何，解析幾何比例。易、中、難比例。（三種題型）( 二 )與考綱對照。該題考哪些知識點，有沒有考綱沒有的。( 三 )與題型示例對照。哪些有，哪些沒有。( 四 )與十年高考試題對照，哪些有，哪些沒有。

7、( 五 )有無新題型，若有，從課本能否找到解法。過去的試題都可以從課本找到解法。對今年是否適用，尚未得知。如適用，得到新題型可以從課本找到解法。這是用的不完全歸納法。備考之二復(fù)習(xí)三階段 - 數(shù)學(xué)備考之二第一階段，認(rèn)真讀課本。很多學(xué)校不用課本采用輔導(dǎo)資料，我認(rèn)為用輔導(dǎo)資料不如用課本。課本學(xué)過一次，再看印象會 深一些，效果會好一些。課本要看三次。第一次對概念要求知道“是什么”“為什么”，“如何用”。要會用文字語言，符號語言，圖形語言表達(dá)概念。不同概念的區(qū)別要分清，如函數(shù)和映射，數(shù)學(xué)的向量和物理矢量的區(qū)別。 研究三角函數(shù)為什么將平面分為四個象限， 不分為三個象限或六個象限。 對性質(zhì)，法則，公式，定理

8、要能夠進(jìn)行推導(dǎo)證明。例題要獨立做一次，領(lǐng)會所學(xué)知識的應(yīng)用，課本上的習(xí)題不用做，看看和哪個例題相似。如果沒有則要做。第二次建立知識框架。將知識歸納。如函數(shù)性質(zhì)分幾本書講，歸納時要集中，將單調(diào)性，奇偶性，周期性，連續(xù)性，可導(dǎo)性集中一起。第三次將解法歸納。如求函數(shù)定義域，函數(shù)極值，最小正周期等。你的分?jǐn)?shù)可在120-130 之間。第二階段， 將知識從數(shù)學(xué)思想方法高度總結(jié)。 高考要考的數(shù)學(xué)思想方法包括： 函數(shù)與方程的思想， 數(shù)形結(jié)合思想，分類與整合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，特殊與一般思想，有限與無限思想，或然與必然思想。數(shù)學(xué)基本方法有待定系數(shù)法，換元法， 配方法， 割補(bǔ)法，反證法等，它們是數(shù)學(xué)通法主體。數(shù)學(xué)

9、思維方法有分析與綜合，歸納與演繹，比較與類比，具體與抽象等。如求直線斜率用分類與整合思想，點到直線距離公式用轉(zhuǎn)化思想。你的分?jǐn)?shù)可到130 138 之間。第三階段，做高考試題，重點是提高解題速度。將高考試題分成四組。一。函數(shù)；集合，函數(shù)概念，一次函數(shù)，二次函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，數(shù)列，不等式。二概率與統(tǒng)計。三。立體幾何。四。解析幾何。采用新課標(biāo)的省還要增加算法。題不在多， 200 題左右。原則是根據(jù)考綱，包括全部知識點，數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)能力。各種題型都有。要做四次。第一次。一題多解。第二次，第三次。用最佳解法。第三次還要將試題按問題分類。第四次，做完后從課本中找試題原型，其

10、余將試題變形。你的分?jǐn)?shù)可在135 150 之間。高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)每天用時1 小時 -1小時半不包括上課時間。關(guān)于選擇題 - 數(shù)學(xué)備考之三關(guān)于選擇題 - 數(shù)學(xué)備考之三選擇題是高考數(shù)學(xué)一種題型，有4 題（上海）， 8 題北京，廣東等），10 題（天津廣東文科等）12 題（全國等）。選擇題優(yōu)點是： 1。判卷評分準(zhǔn)確。 2?？扇菁{較大題量，可擴(kuò)大考查內(nèi)容的覆蓋面。每道選擇題所考查的知識點一般為 2 5 個，以 3 4 居多，用時每題 1。 5 分。缺點是：難以進(jìn)行深層次的考察；無法考察表達(dá)能力；考生應(yīng)答易投機(jī)。在編制選擇題時，當(dāng)題干與正確的選擇項確定之后，干擾項的設(shè)置，宜圍繞考生可能出現(xiàn)的失誤情況，進(jìn)行編

11、制。如有可能，還要使正確選項多點隱蔽的色彩，干擾項多些迷惑的形態(tài)。在選擇題設(shè)計中，設(shè)計干擾項時常常運用如下的方法和技術(shù)，了解這些對我們解選擇題是有益的。1概念混淆法。針對考生容易產(chǎn)生混淆的概念，性質(zhì)，公式，法則，編制誘誤項。如考生會混淆的兩條直線平行與垂直的判定或性質(zhì)。互為反函數(shù)與互為倒數(shù)。2條件疏漏法。疏漏已知條件是考生解題出錯的一個常見原因，尤其是疏漏隱蔽條件的情況更為普遍。因此，常將由疏漏已知條件所產(chǎn)生的結(jié)果設(shè)計為誘誤項。3計算差錯法。計算差錯，包括公式或運算法則的誤用，錯用，數(shù)值計算或字符的運算的失誤。由此導(dǎo)致錯誤結(jié)論。所以在設(shè)計干擾項時，細(xì)心模擬考生的演算過失和差錯，常常得到迷惑性和

12、干擾性比較大的干擾項。4推理錯亂法。將解題過程中由于不合邏輯的推理而造成的錯誤結(jié)果，設(shè)計成干擾項。5題意誤解法。讀題不慎，誤解題意，引發(fā)錯誤結(jié)論，設(shè)計為干擾項。6集合變更法。有不少數(shù)學(xué)問題的結(jié)論是集合或與集合相關(guān)的事項，即結(jié)論的核心是某一個特定的集合，這時可將集合加以變更，將變更后的相應(yīng)結(jié)果設(shè)計為誘誤項。7字符誤用法。數(shù)學(xué)術(shù)語，數(shù)學(xué)符號的辯識和應(yīng)用，是數(shù)學(xué)考查的重點，考生常錯，用來設(shè)計干擾項。8圖形錯覺法?？村e圖或畫圖錯了引發(fā)失誤，得出錯誤結(jié)果，將其設(shè)計為干擾項。9順序顛倒法。對于結(jié)論是不等式或與排序有關(guān)的命題，起誘誤項可由正確的順序加以顛倒調(diào)亂來獲得。10邏輯排列法。有些數(shù)學(xué)答案，按一定的角

13、度作形式邏輯的演繹，充其量也只能得到另外的3 種形態(tài)，即是說，連答案在內(nèi)，只有4 種邏輯結(jié)構(gòu)。這時，作為選擇項，可以取為4 種邏輯結(jié)構(gòu)，加以適當(dāng)排列。上面 10 種方法，在實踐中是加以混合使用的。在解答選擇題時可用的方法：一直接法從題設(shè)條件出發(fā)，直接通過演算推理得出與某一選項相同的結(jié)論，從而決定選項的方法。這是最基本， 最常用的方法。但我不主張采用此方法。拿到題后可以考慮用此方法墊底，然后再想有無簡便方法。二篩選法又稱淘汰法或排它法。分兩類：1符合條件選由結(jié)論看條件，符合者可選取也可用選項代入已知條件驗證。2用特殊值法（圖形）理論依據(jù)是命題和逆否命題等價，即一般情況成立特殊情況也成立，逆否命題

14、是特殊情況不成立一般情況也不成立。用適合條件某些特殊值或圖形驗算。也可用反例，也就是選取不合適某一選項的特殊值或圖形來驗證已知條件是否成立。三圖象法根據(jù)題設(shè)條件，先畫圖，使問題直觀，再用有關(guān)定理，性質(zhì)分析推理找出正確答案。四變換法1將命題變換為等價命題。例如將命題轉(zhuǎn)化為逆否命題。2將題設(shè)條件進(jìn)行恒等變形。五直覺思維法直覺思維是指不受固定的邏輯規(guī)則約束，直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的一種思維方法。在解答時，不少選擇題可用幾種方法也就是一題多解，有的在解一題時并用幾種方法掌握化歸與轉(zhuǎn)化思想數(shù)學(xué)備考之四化歸與轉(zhuǎn)化思想是指在研究解決數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使原來問題得以解決的一種解題的策

15、略。解析幾何就是用坐標(biāo)法將幾何問轉(zhuǎn)題化為代數(shù)問題，經(jīng)過350 年才證明的費馬大定理最后將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題從而得解。波利亞說解題過程就是轉(zhuǎn)化過程，不斷地變換你的問題，重新敘述它， 變換它， 直到最后成功地找到有用的東西為止。一化歸與轉(zhuǎn)化思想主要特點是靈活性與多樣性。數(shù)學(xué)問題組成要素之間相互依存和相互聯(lián)系的形式是夸的，變形不惟一。 因此，進(jìn)行變形時就可以有多種選擇。一般來說， 將復(fù)雜問題化歸轉(zhuǎn)化為簡單問題，難解問題化歸為容易問題，未解決問題化歸為已解決的問題，這也是波利亞如何解題的基本思想。代數(shù)中，式的恒等變形，方程的同解變形，解方程由高次向低次，多元向一元轉(zhuǎn)換。立體幾何中空間問題與相應(yīng)平面

16、問題轉(zhuǎn)換。我們可以變更問題的條件，也可以變更問題的結(jié)論。既可以變換問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，也可以變換問題的外部形式。轉(zhuǎn)化中抓住三點： 1。把什么東西轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化的對象； 2。轉(zhuǎn)化到何處，即轉(zhuǎn)化的目標(biāo)； 3。如何轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化方法。二轉(zhuǎn)化一些常用方法1借助函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。有些數(shù)學(xué)問題，本身無明顯函數(shù)關(guān)系，但經(jīng)過變換，可以找到一個函數(shù)。運用函數(shù)性質(zhì)，將問題解決。前提是要熟悉各種函數(shù)模型。2借助方程（組）進(jìn)行轉(zhuǎn)化。問題不是解方程，但可以根據(jù)題設(shè)各數(shù)量關(guān)系，設(shè)定未知數(shù)，列出方程，將方程求解。3借助輔助命題轉(zhuǎn)化。某些問題求解時，如果缺乏現(xiàn)成依據(jù)，不能直接推出?？梢詷?gòu)造或借用一個輔助命題為依據(jù)，只要證明這個輔助命題是

17、真命題，可以以它為依據(jù)。4。用換元法?？捎么鷶?shù)換元或三角換元。三高考試題實例12005年全國卷（一）11 題。考察恒等變形，同解變形。本題是由繁到簡進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換的典型試題。22004年全國卷（三）7 題。本題用構(gòu)造轉(zhuǎn)移法，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正方體來研究。32003年全國卷理8 題。依據(jù)反函數(shù)定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化。42002年理 6題。把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程。52001年全國卷理1 題。將問題轉(zhuǎn)化為輔助命題，SinA 與 CosA同號，那 A 在第幾象限。62003年全國卷理17 題。用倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后為y=2SIN(WX+Q)+B形式可求。72003年全國卷填空題不等式解集。借助等價變換轉(zhuǎn)化。82

18、001年全國卷8 題。運用轉(zhuǎn)化思想，把a(bǔ),b 用一個同名的三角函數(shù)表示，轉(zhuǎn)化為比較三角函數(shù)值的大小。92000 年全國卷15 題。這是已知數(shù)列前后兩項的關(guān)系（隱形關(guān)系），求數(shù)列通項。直接求解有難度，需要將隱形關(guān)系轉(zhuǎn)化為前后兩項的顯性關(guān)系，再運用特殊化思想，由特殊歸納出通項公式。出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此誠危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報之于陛下也。誠宜開張圣聽，以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法也。侍中、侍郎郭攸之、費祎、董允等，此皆良實，志慮忠純，是以先帝簡拔以遺陛下：愚以為宮中之事，事無大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補(bǔ)闕漏，有所廣益。將軍向?qū)櫍孕惺缇?，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱之曰“能 ”，是以眾議舉寵為督：愚以為營中之事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所。親賢臣，遠(yuǎn)小人，此先漢所以興隆也；親小人，遠(yuǎn)賢臣，此后漢所以傾頹也。先帝在時，每與臣論此事，未嘗不嘆息痛恨于桓、靈也。侍中、尚書、長史、參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計日而待也 。臣本布衣，躬耕于南陽，茍全性命于亂世，不求聞達(dá)于諸侯。先帝不以臣卑鄙