第二章導(dǎo)數(shù)與微分

1、第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念第二第二節(jié)導(dǎo)數(shù)公式與運算法則節(jié)導(dǎo)數(shù)公式與運算法則第三第三節(jié)函數(shù)的微分節(jié)函數(shù)的微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中的基本概念導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中的基本概念反映了函數(shù)相對于自變量的變化率反映了函數(shù)相對于自變量的變化率一、導(dǎo)數(shù)的定義一、導(dǎo)數(shù)的定義1、案例引入、案例引入 案例一 變速直線運動的瞬時速度 在物理學(xué)中當(dāng)物體做勻速直線運動時，它的任何時刻的速度為 但在實際問題中，運動往往是非勻速的，因此，上述公式反映的只能是物體在某段時間內(nèi)的平均速度，二不能反映物體在每一時刻的速度，即瞬時速度 設(shè)一物體作變速直線運動，對于每一個時刻

2、 ， s與 之間存在函數(shù)關(guān)系 ，我們來考察該物體在 時刻的瞬時速度0ttt( )ss t 當(dāng)時間由 變到 時，物體經(jīng)過的路程為 ，于是物體在 到 這段時間的平均速度為0t0tt 00()( )ss tts t 0t0tt 當(dāng) 時的平均速度的極限值就是 時刻的瞬時速度0t 0t案例案例2 產(chǎn)品總成本的變化率 奧運會前夕，某服裝廠生產(chǎn)印有福娃圖案的T恤衫總成本C 是產(chǎn)量Q 的函數(shù)，當(dāng)產(chǎn)量由 變到 時，總成本相應(yīng)的改變量為0Q0QQ00()()CC QQC Q則，產(chǎn)量由 變到 時，總成本的平均變化率為0Q0QQ00()()C QQC QCQQ當(dāng) 時，如果極限0Q0000()()limlimQQC Q

3、QC QCQQ 存在，則稱此極限是產(chǎn)量為 時總成本的變化率，又稱邊際成本.2、概念闡述、概念闡述定義定義2.1 設(shè)函數(shù) 在點 的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，若極限存在，則稱函數(shù) 在點 可導(dǎo)，并稱該極限值為函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù)，記作 ，也可記作 ，即 ( )yf x0 x000( )()limxxf xf xxx( )yf x0 x( )yf x0 x0()fx0()fx000( )()limxxf xf xxx 所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量 與自變量增量 之比的極限，這個增量比稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率（又稱為差商），而導(dǎo)數(shù) 則是在 處關(guān)于x的變化率，它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度若令 ，則 ，上

4、式可寫為0 xxx00()()yf xxf x 00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx yx0()fx0 x若極限不存在，則稱函數(shù)在點 不可導(dǎo).0 x導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)定義定義2.2 如果函數(shù) 在開區(qū)間 內(nèi)的每一點處都可導(dǎo)，就稱函數(shù) 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)。這時，對開區(qū)間內(nèi)每一個確定的值 都有對應(yīng)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值 ，這樣就在開區(qū)間 內(nèi)構(gòu)成了一個新的函數(shù)，我們把這一新的函數(shù)稱為 的導(dǎo)函數(shù)。在不混淆的情況下，導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)，記作 ， ， 或 即 ( )yf x( )yf x( )f x, a b, a b0 x0()fx, a b( )fxydydx( )df xdx0()( )

5、( )limxf xxf xfxx 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義定義2.3 設(shè)函數(shù) 在點 的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，若極限 或?qū)懗纱嬖?，則稱該極限值為函數(shù) 在點 處的右導(dǎo)數(shù)，記作 .( )yf x0 x000( )()limxxf xf xxx( )f x0 x0()fx0000()()limlimxxf xxf xyxx 類似的， 或?qū)懗傻闹捣Q為函數(shù) 在點 處右導(dǎo)數(shù).000( )()limxxf xf xxx0000()()limlimxxf xxf xyxx ( )f x0 x定理定理2.1 間間3.方法展示方法展示用定義求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟（1）求增量（2）求比值（3）取極限00()()yf xxf x 0

6、0()()f xxf xyxx0limxyyx 4.應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例例例2.1（1）求增量（2）求比值（3）取極限00()()0yf xxf xCC 00yxx0lim0 xyyx 解例例2.2 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).2yx（1）求增量（2）求比值（3）取極限222()2()yxxxx xx 22()2yx xxxxxx 00limlim(2)2xxyyxxxx 解即即 ( )0C即即 2()2xx一般地一般地1()xx（ 為任意實數(shù)）例例2.3 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 解000loglog ()loglimlimlimaaaxxxxxxxxyxyxxx 1001limloglim log ()xaaxxx

7、xxxxxx 1100lim log (1)lim log (1)xxxxaaxxxxxx 1101loglim(1)loglogxxxxaaaxxeexx 即即1lnxa1(log)lnaxxa1(ln )xxlog(0,1)ayx aa例例2.4 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)解00sin()sinlimlimxxyxxxyxx 02cos()sin22limxxxxx 00sin2lim cos() lim22xxxxxx cosx(sin )cosxx即即sinyx例例2.6 討論函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù)解211( )(1)3(1)limlim11xxf xfxfxx 11( )(1)21 3(1)liml

8、im211xxf xfxfxx (1)(1)ff2,13,121,1xxyxxx1x 所以函數(shù)在 不導(dǎo)數(shù)1x 二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.割線的極限位置-切線位置()Mfx2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義過點過點M的的3.應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例例例2.7 求曲線 在點 處的切線方程和法線方程3yx2,8解22(2)312xkfx所以，所求切線方程812(2)yx12160 xy即所求法線方程18(2)12yx 12980 xy即三、可導(dǎo)與連續(xù)三、可導(dǎo)與連續(xù)1.案例引入案例引入 觀察下圖xy00 xx00 x在 點不連續(xù)不可導(dǎo)0 x0 x在 點連續(xù)不可導(dǎo)2.方法展示方法展示定理定理2.2

9、如果函數(shù) 在點 處可導(dǎo)，則函數(shù) 在點 處一定連續(xù).( )yf x( )yf x0 x0 x證明設(shè)函數(shù) 在點 處可導(dǎo)，則有( )yf x0 x00lim()xyfxx 0000limlim() lim0 xxxyyxfxxx 所以函數(shù) 在點 處連續(xù)( )yf x0 x3.應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例例例2.8 證明函數(shù) 在 處連續(xù)，但不可導(dǎo).,0,0 x xyxx x0 x 證明00limlim0 xxyx00 xy所以函數(shù)在 處連續(xù).0 x 但是00( )(0)0(0)limlim100 xxf xfxfxx00( )(0)0(0)limlim100 xxf xfxfxx 所以函數(shù)在 處不可導(dǎo).0 x 作

10、業(yè)： P39 3第二節(jié)第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)公式與運算法則導(dǎo)數(shù)公式與運算法則一、導(dǎo)數(shù)基本公式與運算法則一、導(dǎo)數(shù)基本公式與運算法則1.方法展示方法展示 ;0)( C（C為任意常數(shù)）1()(xx為任意常數(shù)）);1, 0(ln)( aaaaxx;)(xxee 1101(log)log(,)lnxeaaaaxxa1(ln )xx;cos)(sinxx ;sin)(cosxx ;sec)(tan2xx P41全部;11)(arcsin2xx ;11)(arccos2xx ;tansec)(secxxx ;csc)(cot2xx ;cotcsc)(cscxxx ;11)(arctan2xx ;11)cotarc(2

11、xx - 23 -函數(shù)函數(shù)的和、差、積、商的和、差、積、商的求導(dǎo)的求導(dǎo)法則法則定理定理2.3(1)()() )()(xvxuxvxu (2)()()()() )()(xvxuxvxuxvxu 特別特別)()() )(為常數(shù)為常數(shù)kxukxku (3)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu )0)( xv特別特別)()()(1(2xvxvxv )0)( xv且且并并處也可導(dǎo)處也可導(dǎo)在點在點分母不為零分母不為零的和、差、積、商的和、差、積、商則它們則它們處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu- 24 -推論推論; )( )()1(11 niiniixu

12、xunnnnuuuuuuuuuuuu 21212121)2(設(shè)設(shè)處處可可導(dǎo)導(dǎo)，則則在在xxuxuxun)(,),(),(21例例2.9 2.9 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)解解例例2.10解解323529yxxx323529()()()( )yxxx29102xx求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)42132yxxxex321462yxxx例例2.11 2.11 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)例例2.12 2.12 設(shè)函數(shù) ，求3 (ln )(3cos )(5)yxxx解解解解4( )23sinln33f xxx3ln3cos5yxxx213sin15xxx(2)f4( )(23sinln3)3fxxx383x2(2)( )|61xffx例例2

13、.15 2.15 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)3sinlnyxxx3 3() sinln(sin ) lnsin(ln )yxxxxxxxxx解解2323sinlncoslnsinxxxxxxxx善于靈活運用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則善于靈活運用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則例例2.16 2.16 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)3227xxxyx例例2.17 2.17 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)32227721xxxyxxxx 解解2722xx22sincos3sin cosxxxxyexx3(tan )(cot )xyexx22(3 ) ln3seccscxeexx二、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.案例引入案例引入案例 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)sin2yx

14、（1）(sin2 )cos2yxx（2） (sin2 )(2sin cos )yxxx222cos2sinxx第1種做法只是對中間變量求導(dǎo)，但要求是對自變量求導(dǎo)2.方法展示方法展示定理定理2.4 設(shè)函數(shù) 由 和 復(fù)合而成，如果函數(shù) 在點 處可導(dǎo)，而函數(shù) 在對應(yīng)的點 處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù) 也在點 處可導(dǎo)，且有 yfx yf u( )ux( )uxx yf uux yfxdydy dudxdu dx也可寫成,xuxyyu或 xyfux- 29 -以上以上法則可以推廣到多個函數(shù)的復(fù)合中去法則可以推廣到多個函數(shù)的復(fù)合中去, ,例如例如則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)),(),(),(xvvuufy 的導(dǎo)數(shù)為的

15、導(dǎo)數(shù)為)(xfy dxdy或xy dvdu dudy .dxdv )(uf )(v )(x 3.應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例例例2.18 2.18 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù). 425yx解解設(shè)4,yu25ux33428 25dydy duuxdxdu dx則例例2.21 2.21 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù). 2lnsinyx解解設(shè)2ln ,sinyu uv vx212sincos2cotsinxxxx則12cosdydy du dvvxdxdu dv dxu熟練之后不必寫出中間變量例例2.22 2.22 求冪函數(shù) 的導(dǎo)數(shù). lnxyxe解 因為 yx所以 lnln1xxyeexxxx例例2.22 2.22 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).

16、22yax解22222212yaxaxax2222122xxaxax 例例2.23 2.23 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù). 2ln1yxx.)(形形式式稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題: :隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)? ?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則, 0),( yxF所確定，那么這種函數(shù)就叫做由方程確定的隱函數(shù).（1）視方程0),( yxF中的y為x的函數(shù)),(xyy 求導(dǎo)法則在方程兩邊對 求導(dǎo).利用復(fù)合函數(shù)的三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地，如果變量 之間的函數(shù)關(guān)系由方程, x y1.概念闡述概念闡述2

17、.方法展示方法展示x注注：隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)往往是一個含有 的表達式，有時 解不出，結(jié)果中可以含有, x yyy（3）最后解出 y（2） 對含有 的方程進行簡化整理y 取對數(shù)求導(dǎo)法：取對數(shù)求導(dǎo)法： 對于冪指函數(shù) 和連乘及乘方、開方等類型的函數(shù)利用兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)求導(dǎo)將非?？旖?、準確.例2.25 求由方程 所確定的隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 4.應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例2225xyyy解兩邊同時對求導(dǎo)，得x220,xy y.xyy 例2.26 求由方程 所確定的隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) . 0yxexyeyy解兩邊同時對求導(dǎo)，得x0yxeyyxyexyyeyex例2.27 利用對數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù). sinxyx解將兩邊同

18、時取自然對數(shù)，得lnsinlnyxx11coslnsinyxxxyx兩邊同時對 求導(dǎo)，得ysinsincoslnxxyxxxx例2.28 利用對數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù). 2313234xxyxx解 將兩邊同時取自然對數(shù)，得11ln2ln13ln 32ln3ln422yxxxx兩邊同時對 求導(dǎo)，得y29111322324yyxxxx 231322911132232434xxyxxxxxx四、高階導(dǎo)數(shù)（略）四、高階導(dǎo)數(shù)（略）第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的微分函數(shù)的微分 一、微分的概念一、微分的概念案例案例2 函數(shù)的改變量函數(shù)的改變量 一塊正方形金屬薄片（厚度不計），由于溫度的變化，其邊長由 變化到 ，問其面

19、積改變了多少0 xx0 xx0 x變化前面積：20Ax當(dāng)邊長由 變化到 ，面積的改變量為0 xx0 x220020A()2(xxxxxx第一部分為 ，是 的線性函數(shù)，在圖中可用陰影部分表示。02xxx第二部分是 ，可用圖中右上角的小正方形面積表示，是 的高階無窮小 ，當(dāng) 時，此部分可忽略不計，此時可以認為2xx0 x 0A2xx2.概念闡述概念闡述定理2.5 設(shè)函數(shù) 在點 的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)給 一個增量 ， 也在這個領(lǐng)域內(nèi)，相應(yīng)地得到函數(shù)的增量為 如果存在常數(shù)A ，使得 能表示成 則稱函數(shù) 在點 處可微，并稱 是函數(shù)在點 處的微分，記為 或 即( )yf x0 x0 xx0 xx 00,yf

20、xxfx yA,yxx ( )yf x0 xA x0 x0|xxdy 0|,xxdfx 0|Axxdfxx 0|Axxdyx 或 函數(shù)的微分與增量僅相差一個 的高階無窮小，當(dāng) 時，可以用微分 作為 的近似值.x0 xdyy可可微與可導(dǎo)的關(guān)系微與可導(dǎo)的關(guān)系（1）如果函數(shù) 在點 處可微，則有( )yf x0 xAAxyyxxxx 00limAxyfxx （2）如果函數(shù) 在點 處可導(dǎo)，有( )yf x0 x000lim()xyyfxfxxx （ 是當(dāng) 時的高階無窮?。? x 0yfxxx 00|xxdyfxx3.方法展示方法展示定理定理2.5 函數(shù) 在點 處可微 ( )yf x0 x函數(shù) 在點 處可

21、導(dǎo)( )yf x0 x注：注：由于自變量的微分 ，所以函數(shù)在點 處的微分常記為dxx xx 0 x00dy|dx xfxx可可微函數(shù)微函數(shù) 定義定義2.6 如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)每一點處都可微，則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是可微函數(shù) .函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任一點處的微分為 dydfxx 由上式可得 ，即為導(dǎo)數(shù)記號的由來，所以導(dǎo)數(shù)也稱微商. d=dyxfx微分的幾何意義微分的幾何意義Qyx0fxxx00,yfxxfx QNy 如圖P而 0QfxxP所以，函數(shù)( )yf x在點 的微分 在幾何上表示函數(shù)圖像在點 處切線的縱坐標(biāo)的改變量.0 xdy00(,)M xy4.應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例例例2.33 求函數(shù) 在 處的微分.

22、 2yx4x 解 4|42 48xdyfdxdxdx例例2.34 求函數(shù) 的微分. 2lnyxx解 因為212ln2lnyxxxxxxx2lndyxxx dx所以二、微分基本公式和運算法則二、微分基本公式和運算法則1.方法展示方法展示微分基本公式微分基本公式;0)( C（C為任意常數(shù)）1()(xx為任意常數(shù)）);1, 0(ln)( aaaaxx;)(xxee 1101(log)log(,)lnxeaaaaxxa1(ln )xx;cos)(sinxx ;sin)(cosxx ;sec)(tan2xx ;csc)(cot2xx ;tansec)(secxxx ;cotcsc)(cscxxx ;11)(arcsin2xx ;11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx ;11)cotarc(2xx 微分的四則運算法則微分的四則運算法則 1 ddd;u xv xu xv x 2 ddd;u xv xv xu xu xv x 2dd3 d0 ;u xv xu xu xv xv xv xvx復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的的微分法微分法則則 yf u設(shè) ， ，則復(fù)合函數(shù) ( )ux yfx的微分為 ddddxyyxfuxxfuu 無論 是自變