數(shù)學(xué)研究課題---空間幾何體地外接球與內(nèi)切球問題

1、實(shí)用文案高中數(shù)學(xué)課題研究幾何體與球切、接的問題縱觀近幾年高考對于組合體的考查，與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題是高考命題的熱點(diǎn)之一.高考命題小題綜合化傾向尤為明顯， 要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計算能力，才能順利解答.從實(shí)際教學(xué)來看，這部分知識學(xué)生掌握較為薄弱、認(rèn)識較為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題目的入手確實(shí)不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.下面結(jié)合近幾年高考題對球與幾何體的切接問題作深入的探究，以便更好地把握高考命題的趨勢和高考的命題思路，力爭在這部分內(nèi)容不失分.從近幾年全國高考命題來看 ，這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很

2、少見首先明確定義1:若一個多面體的各頂點(diǎn)都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這 個球是這個多面體的外接球。 定義2:若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切球. 1球與柱體的切接 規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合， 通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題1.1球與正方體如圖所示，正方體 ABCD - AB1GD1,設(shè)正方體的棱長為 a, E,F,H,G為棱的中點(diǎn)，O為球的球心.常 見組合方式有三類：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截

3、面圖為正方形 EFGH和其內(nèi)切圓，則 Oj|=r=a；二 是與正萬體各棱相切的球，截面圖為正萬形EFGH和其外接圓，則 GO =R =a；三是球?yàn)檎襟w的23外接球，截面圖為長萬形 ACAC1和其外接圓，則|AO =R =7ya.通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方 體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的 位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題標(biāo)準(zhǔn)文檔正方體中心與球心重合；(1)正方體的內(nèi)切球，如圖1.位置關(guān)系：正方體的六個面都與一個球都相切, 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為 a ,球的半徑為r ,這時有2r =

4、a .數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為 a ,球的半徑為r ,這時有2r = J3a.正方體中心與球心重合；(3)正方體的棱切球，如圖3.位置關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合;據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為a ,球的半徑為r,這時有2r = J2a .DAB曰1例i 棱長為1的正方體ABCD - ABiCiDi的8個頂點(diǎn)都在球O的表面上，E,F分別是棱AA , DD1的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長為（Ci孝思路分析：由題意推出，球?yàn)檎襟w的外接球.平面AADDi截面所得圓面的半徑AD12二烏得知直2線EF被球O截得的線段就是球的截面圓的直徑【解析】由題意可知，球?yàn)檎襟w的外接球

5、.平面AADDi截面所得圓面的半徑_ ADi J2 一:R=-,.EF仁面AADDi,，直線EF被球O截得的線段為球的截面圓的直徑2R = J2.22點(diǎn)評：本題考查球與正方體“接”的問題，利用球的截面性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成為求球的截面圓直徑i.2 球與長方體例2自半徑為R的球面上一點(diǎn) M ,引球的三條兩兩垂直的弦 MA, MB,MC ,求MA2 +MB2+MC2的值.思路分析：此題欲計算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián).【解析】以MA, MB , MC為從一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐M -ABC補(bǔ)成一個長方體，則

6、另外四個頂點(diǎn)必在球面上，故長方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑.二 MA2 +MB2 +MC2=（2R）2 =4R2 .點(diǎn)評：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計算.例3已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱高為4,體積為i6,則這個球的表面積為（）.A. i6 二 B. 20 二 C. 24 二 D.32二2,可得長方體的思路分析：正四棱柱也是長方體.由長方體的體積16及高4可以求出長方體的底面邊長為長、寬、高分別為 2, 2, 4,長方體內(nèi)接于球，它的體對角線正好為球的直徑【解析】正四棱柱也是長方體。由長方體的體積16及高4可以求出長方體的底面邊

7、長為2,因此，長方體的長、寬、高分別為 2, 2, 4,因?yàn)殚L方體內(nèi)接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑.長方體體對角線長為2而，故球的表面積為 24n .故選C.點(diǎn)評：本題考查球與長方體“接”的問題，利用長方體的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成為求其體對角線2球與錐體的切接規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題2.1正四面體與球的切接問題（1） 正四面體的內(nèi)切球，如圖4.位置關(guān)系：正四面體的四個面都與一個球相切，正四面體的中心與球心重合;數(shù)據(jù)關(guān)系:設(shè)正四面體的棱長為高為h

8、 ；球的半徑為R,這時有4R = h = +6a ；（可以利用體積橋證明）正四面體的外接球，如圖(2)5.位置關(guān)系：正四面體的四個頂點(diǎn)都在一個球面上，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為高為h ;球的半徑為 R,這時有4R = 3h = J6a;（可用正四面體高h(yuǎn)減去內(nèi)切球的半徑得到）(3) 正四面體的棱切球，如圖 6.位置關(guān)系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重 合；6 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為 a,高為h；球的半徑為 R,這時有4R = J3h = J2a,h = "6a.3AO /«.DC圖6例4設(shè)正四面體中，第一個球是它的內(nèi)切球

9、，第二個球是它的外接球，求這兩個球的表面積之比及體積之 比.思路分析：此題求解的第一個關(guān)鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個關(guān)鍵是兩個球的半徑之 間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的.【解析】如圖，正四面體 ABCD的中心為O , ABCD的中心為01 ,則第一個球半徑為正四面體的中心到 各面的距離，第二個球的半徑為正四面體中心到頂點(diǎn)的距離.設(shè)001 = r ,0A = R ,正四面體的一個面的面積為 S .依題意得又 VA_BCD - 4VO _BCD - 4, R +r =4r 即 R =3r .內(nèi)切球的表面積4nr21pj-r 以=外接球的表面積4nR2943內(nèi)切球的體積 丁 1

10、外接球的體積 一 43 - 27R3點(diǎn)評：正四面體與球的接切問題，可通過線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面1.體局的四等分點(diǎn)，即定有內(nèi)切球的半徑r = h（ h為正四面體的高），且外接球的半徑 R = 3r .42.2其它棱錐與球的切接問題球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時三棱錐的各個頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑R.這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱

11、錐的體積球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.例如,四個面都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定球心位置例5正三棱錐的高為1,底面邊長為2，6,正三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切.求球的表面積與體積.思路分析：此題求解的關(guān)鍵是搞清球的半徑與正三棱錐的高及底面邊長的關(guān)系，由等體積法可得:VP 4BC=V。-PABVO -PACVO -PBC*VOdBC，得到232, 3 3【解析】如圖，球 O是正三棱錐P-ABC的內(nèi)切球，O到正三棱錐四個面的距離都是球的半徑R .8是正三棱錐的高，即 PH =1 .是BC邊中點(diǎn)，H在AE上

12、，3MBC 的邊長為 2而，. HE = <246=42 . PE =736可以得到S pab = S PAC_1 _=S叁BC = BC PE = 3v2 .JIABC =(2,. 6)2 = 6.34由等體積法,Vp -abC =VO_PAB ' VO _PAC ' VO _PBC ' VO -ABC1112 3M6 V3M1= M3v2MRM3 + M6 d 3MR得：R=2="62,3332.3 3 S求=4nR2 =4n(T62)2 =8(52V6)n . V球=-nR3 =-n (/6-2)3 .33點(diǎn)評：球心是決定球的位置關(guān)鍵點(diǎn)，本題利用球

13、心到正三棱錐四個面的距離相等且為球半徑R來求出R,以球心的位置特點(diǎn)來抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問題常用的方法.例6若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為J3,則其外接球的表面積是.思路分析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法.三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長方體的一個角，馬上構(gòu)造長方體，由側(cè)棱長均相等，所以可構(gòu)造正方體模型【解析】此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長方體的一個角，馬

14、上構(gòu)造長方體，且側(cè)棱長均相等，所以可構(gòu)造正方體模型，如圖 1,則AC=BC=CD =G，那么三棱錐的外接球的直徑即為正方體的體對角線，故所求表面積是9n.(如圖1)E點(diǎn)評：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中計算問題，這是解決幾何體與球切接問題常用的方法.例7已知三棱錐S - ABC的所有頂點(diǎn)都在球 O的球面上，AABC是邊長為1的正三角形，SC是球O的直徑，且SC = 2 ;則此棱錐的體積為（）一2。 .3 八、.2 .2A. B. C. D. 思路分析：AABC的外接圓是球面的一個小圓，由已知可得其半徑，從而得到點(diǎn)O到面ABC的距離.由SC為球O的直徑二點(diǎn)S到面A

15、BC的距離即可求得棱錐的體積 .【解析】MBC的外接圓半徑為r = Y3 ,點(diǎn)O到面ABC的距離d = 7r2 -r2 =逅，SC為球O的直徑二332,6113 2,62.點(diǎn)S到面ABC的距離2d =,此棱錐的體積為V = S/ABC父2d = * 父=,選A.333 436點(diǎn)評：本題難度不大，主要是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將棱錐高應(yīng)用球的幾何性質(zhì)計算得到.3球與球相切問題對于球與球的相切組合成復(fù)雜的幾何體問題，要根據(jù)豐富的空間想象力，通過準(zhǔn)確確定各個小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解例8已知有半徑分別為2、3的球各兩個，且這四個球彼此相外切，現(xiàn)有一個球與此四個球都

16、相外切，則此球 的半徑為.思路分析：結(jié)合圖形，分析四個球的球心 A B C D的位置，知AD=AC=BD=BC=5AB=q CD=4設(shè)AB中點(diǎn)為 E、CD中點(diǎn)為F,連結(jié)EF.在 ABF中可得BF =J21,在 EBF中可得EF = 2 J3 .由于對稱性可得第五個球的球心 。在EF上，連結(jié)OA OD設(shè)第五個球的半徑為r,根據(jù)OE+OF=E建立r的方程.【解析】如圖：設(shè)四個球的球心分別為A、B、C D,則AD=AC=BD=BC=5AB=66 CD=4設(shè)AB中點(diǎn)為E、CD中點(diǎn)為F,連結(jié)EF.在4ABF中求得BF=J21 ,在 EBF中求得EF=2j3.由于對稱性可得第五個球的球心 。在EF上，連結(jié)

17、OA OD設(shè)第五個球的半徑為r,則OA=r+3, OD=r+Z于是 OE=J(r+3 j -32 = Jr2+6r , OF=J(r+2 j 22=Jr2+4r ,OE+OF=EF. r2+6r+ , r2+4r=2.3-r2+6r =2、, 3 - r 2+4r 平方整理再平方得一心 6(舍掉)，故答案為-.一 26 ,11r +60r -36=0解得 r = 一 或-611CB點(diǎn)評：本題通過分析球心的位置，根據(jù)它們構(gòu)成的幾何體特征，轉(zhuǎn)化成平面幾何中三角形邊角關(guān)系，利用方程思想得解.例9把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第

18、四個球的最高點(diǎn)與桌面的距離.思路分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面體的四個頂點(diǎn)且正四面體的棱長為兩球半徑之和2.【解析】四球心組成棱長為 2的正四面體的四個頂點(diǎn)，則正四面體的高而第四個球的最高點(diǎn)到第四個球的球心距離為求的半徑1,且三個球心到桌面的距離都為1,故第四個球的一2、6最高點(diǎn)與桌面的距離為2 點(diǎn)評：本題難度不大，主要是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將棱錐高應(yīng)用球的幾何性質(zhì)計算得到.4 球與幾何體的各條棱相切問題a.4球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通 過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.如與

19、正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半:例10把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為（）A. 10、3cm B. 10 cmD. 30cm思路分析：根據(jù)題意球心 O在圖中AP上，過。作BP的垂線ON垂足為N, ON=R OM=R由各個棱都為 20,得到 AM=10 BP=20,BM=10AB=10無，設(shè) ZBPA =a，在 RtA BPM,由 BP2 = BM 2 + PM 2,得 PM =1073 .二 222AB 10,22,在 Rt. ： PAM43,由 PM =AM +APJI|PA=10j2.在

20、 RtAABP 中得，Sina =-=一，在BP 202ON R R.22 RtONP中得，Sina =，從而=，OP = j2R.在 RtA OAM43,由 OM = AO + AMOP OPOP2建立方程R2 =（10后J2R）2+100即可得解.【解析】如圖所示，由題意球心在AP上，球心為O,過O作BP的垂線ON垂足為N, ON=R OM=R因?yàn)楦鱾€棱都為 20,所以AM=1Q BP=20,BM=10 AB=10>/2，設(shè)/BPA =a ,在 RtABPM, BP2 =BM2 + PM 2,所以 PM =10>/3.在 RtA PAM, PM 2 = AM 2+AP2,所以P

21、A =10 2.在 Rt . ：ABP中,AB 10,2、2ONRsin cc = 在 RtA onp中，since =,所以BP202OP OPOM2 =AO2 +AM 2,所以，R2 = （1防V2R）2+100，解R 2=,所以 OP = J2R.在 RtAOAWOP 2得，R=10或30（舍），所以，R=10cm,故選B.點(diǎn)評：本題難度較大，主要是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題，應(yīng)用三角形中的邊角關(guān) 系，建立R的方程.5 球與旋轉(zhuǎn)體切接問題首先畫出球及其它旋轉(zhuǎn)體的公共軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體幾何元素之間的關(guān)系.例11求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比.思路分

22、析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元 素的關(guān)系.【解析】如圖，等邊 ASAB為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形C1CDD1,截球面得球的大圓圓 Oi .設(shè)球的半徑OO1 =R，則它的外切圓柱的高為 2R,底面半徑為 R;OB=OQ cot30° = V3R,SO = OB tan60'= J3r 也=3R,V球=4nR3, V主=nR2 2R=2nR3,V錐=1 n <V3R）2 3R=3rR3,33V球：V柱：V錐=4: 6 ： 9 .點(diǎn)評：本題充分利用軸截面，將問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題，應(yīng)用三角形中的邊角關(guān)系，建立與球半徑R的聯(lián)系.例12在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且又分別與正方體內(nèi)切.（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時，兩球體積之和最小.思路分析：此題的關(guān)鍵在于作截面，一個球在正方體內(nèi)，學(xué)生一般知道作對角面，而兩個球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對角面，得如圖的截面圖