提能拔高限時訓(xùn)練35雙曲線

1、提能拔高限時訓(xùn)練35雙曲線一、選擇題1. 設(shè) F1、 F2 分別是雙曲線x2y21的左、右焦點(diǎn) , 若雙曲線上存在點(diǎn)A, 使F1AF2=90, 且a2b2|AF|=3|AF|, 則雙曲線的離心率為（）12A.5B.10C.1552D.22解析 : 設(shè) |AF2|=t(t0),則 |AF 1|=3t. |AF 1|-|AF 2|=2t=2a.又 t 2+(3t) 2=4c2, c10 .a2答案:B2. 設(shè)雙曲線x 2y21(a0,b0) 的離心率為3 , 且它的一條準(zhǔn)線與拋物線2的準(zhǔn)線重a 2b2y =4x合 , 則此雙曲線的方程為（）A. x2y 21B.x2y2112244896C.x22

2、 y2D.x2y 2133136解析 : ec3 , c3a .a而a21, a 21 .cc a= 3 ,c=3.222b=c -a =9-3=6.故雙曲線的方程為x 2y231.6答案:D3. 設(shè) a1, 則雙曲線 x2y21的離心率 e 的取值范圍是（）a2(a 1) 2A.(2 ,2)B.(2, 5)C.(2,5)用心愛心專心D.(2,5 )解析 :ea2( a1) 211)21,a(aa1, 00,b0)的左準(zhǔn)線為l, 左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F和 F;拋物線C的準(zhǔn)線為 l,焦點(diǎn)為 F2,C 1 和 C2 的一個交點(diǎn)為 M,則 | F1 F2| MF1| 等于（）| MF1| MF2|用

3、心愛心專心A.-1B.1C.11D.22解析 : 設(shè) M到 l 的距離為 d, 由題意得 |MF2|=d,|MF1|=ed,|MF 1|-|MF 2|=2a,2a2a2ed-d=2a, dc.e 1a | F1 F2 | | MF1 | 2c ed2cc1.| MF1 | | MF2 | eddc 2a2aa c a答案:A7.(2009湖北部分重點(diǎn)中學(xué)高三第二次聯(lián)考) 雙曲線的實(shí)軸長、虛軸長與焦距的和為8, 則半焦距的取值范圍是（）A. 42 -4,4)B.4 2 -4,2 C.(4 2 -4,2)D. 4 2 -4,2)解析 : 設(shè)雙曲線的方程為x2y21(a0,b0),a 2b2其中 a

4、2+b2=c2, 2a+2b+2c=8,a+b+c=4. (a+b) 22(a 2+b2),(4 -c) 22c2c2+8c- 160c4 2 -4 或 c -42 -4( 負(fù)根舍去 ).又a2+b2=c 2, a+bc.而 a+b+c=4,c2, 即 4 2 - 4c0,b0) 的半焦距為 c, 離心率為5 . 若直線 y=kx 與雙曲線的一個交a 2b24點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰為c, 則 k 等于（）4B.3C.99A.520D.525解析 : 由題意 , 知點(diǎn) (c,kc)在雙曲線上 , c2(kc )21.a 2b2又 c5 , k 2 c29, k 29(c2a2 )9(116)99.a4b2

5、1616c216251625| k |9即 k9,.2020用心愛心專心答案:C9. 設(shè) F1、 F2 為曲線 C1: x2y21 的焦點(diǎn) ,P 是曲線 C2: x2y 21與 C1 的一個交點(diǎn) , 則623PF1 ? PF2| PF |?| PF |的值為（）12A. 1B.1C.2D.14333解析 : C1為橢圓 ,ca2b22 ,F1(-2,0),F2(2,0).x 2y21,62解方程組得四組解 , 即 C1與 C2 有四個交點(diǎn) ( 關(guān)于 x 軸、 y 軸對稱 ), 不妨取第一象x 2y21,3限的交點(diǎn)P(3,1).22PF1 ? PF2( 2,3311)( 2) (0)(0)122

6、22.| PF1 |?|PF2 |( 23 ) 2(01)2? (23 ) 2(01)2 32222答案:B10. 雙曲線 x2y 21 的兩個焦點(diǎn)為F1 、 F2, 點(diǎn) P 在雙曲線上 , F 1PF2的面積為3 , 則4PF1 ? PF2 等于（）A.2B.3C.-2D.3解 析 :S F1PF21| PF1| PF2 | sin F1PF2, 再 由 雙 曲 線 中 焦 三 角 形 面 積 公 式2S FPF2b2 cotF1 PF2 , 知F1PF2=60,12 | PF1 | PF2|234 .sinF1 PF2用心愛心專心 PF1 F2 的內(nèi)切圓的圓心必在直線 PF1 F2 的內(nèi)切

7、圓的圓心必在直線 PF1 F2 的內(nèi)切圓的圓心必在直線 PF1 ? PF2| PF1 | PF2| ? cos12.F1PF2 42答案:A二、填空題11. 與橢圓 x 2y 21有相同焦點(diǎn) , 且以 y4 x 為漸近線的雙曲線方程為_.49243解析 : 雙曲線焦點(diǎn)在x 軸上 , 且半焦距 c4924 5 . 又 b4 , a2b2c2 , a=3,b=4.a3所求雙曲線方程為x 2y21.916答案 : x2y 2191612. 設(shè)雙曲線 x2y 21(a0,b0)的右焦點(diǎn)為 F, 右準(zhǔn)線 l 與兩條漸近線交于P、Q兩點(diǎn) , 如果a2b2PQF是直角三角形 , 則雙曲線的離心率 e=_.解

8、 析 : 由 題 設(shè) ,|yp|=ca2, 即 abb2, 得 a=b, 又 雙 曲 線 的 兩 條 漸 近 線 的 夾 角 為ccc90, e= 2 .答案 :213. 過雙曲線 x2y21(a0,b0)的一個焦點(diǎn)作垂直于漸近線的直線, 與雙曲線的兩支都相a 2b2交 , 則雙曲線的離心率的取值范圍是_.解析 : 不妨取漸近線22222aba 0,b0 且 ab) 的兩個焦點(diǎn) ,P 為雙曲線右支上異于頂a 2b2點(diǎn)的任意一點(diǎn),O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . 下面四個命題:x=a 上 ; x=b 上 ;OP上;用心愛心專心 PF1 F2 的內(nèi)切圓必通過點(diǎn) (a,0).其中真命題的代號是_.( 寫出所有真命

9、題的代號 )解析 : 設(shè) PF1F2 的內(nèi)切圓與 PF1F2 的三邊PF1,PF 2,F 1F2相切的切點(diǎn)分別為S、 T、 M,則有|PF|-|PF2|=|PS|+|SF|-|PT|-|TF|=|SF|-|TF |=|FM|-|MF|. 又由雙曲線的定義知1121212|PF 1|-|PF2|=2a,|F 1M|-|F 2M|=2a. 設(shè)點(diǎn) M 坐標(biāo)為 (x m,0),則有 (x m+c)-(c-xm)=2a, 求得 xm=a, 即 PF1F2 的內(nèi)切圓的圓心在直線 x=a 上 , 且與 x 軸相切 , PFF 的內(nèi)切圓過點(diǎn) (a,0). 綜上所述 , 正確命題的代號12為.答案:三、解答題1

10、5. 已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為 (2,0), 右頂點(diǎn)為 ( 3 ,0).(1) 求雙曲線 C 的方程 ;(2) 若直線 l:y=kx+2 與雙曲線 C 恒有兩個不同的交點(diǎn)A和 B, 且 OA ?OB 2( 其中 O為坐標(biāo)原點(diǎn) ), 求 k 的取值范圍 .解: (1)設(shè)雙曲線方程為x2y21(a0,b0).a2b2由已知得 a=3 ,c=2, b=1.故所求雙曲線方程為x2y21.3(2) 將 y=kx+2 代入x2y21, 可得223(1-3k )x -6 2 kx-9=0,由直線 l 與雙曲線交于不同的兩點(diǎn), 得13k 20,36(1k 2 )0,故 k2 1 且 k22, 得

11、 x1x2+y1y22.而 x1x2+y1y2=x1x2+(kx 1+2 )(kx2+2 )=(k 2+1)x 1x2+ 2 k(x 1+x2)+2=(k 2+1) 92k ? 62k23k 27 ,13k 213k 23k 21用心愛心專心于是 3k 272,解得 1k23 . 3k 213由得 1k 21,3故 k 的取值范圍為 (-1,3) (3 ,1).33216. 設(shè)雙曲線C: xy21(a0) 與直線 l:x+y=1相交于不同的兩點(diǎn)A、B.2a(1) 求雙曲線 C 的離心率 e 的取值范圍 ;(2) 設(shè)直線 l 與 y 軸的交點(diǎn)為 P, 且 PA = 5 PB , 求 a 的值 .

12、12解 : (1) 由 C 與 l 相交于兩個不同的點(diǎn)x 2y21,. 消去 y 并, 知方程組 a 2有兩個不同的實(shí)數(shù)解xy1整理得 (1-a 2)x 2+2a2x-2a 2=0. 1a20,4a48a2 (1a 2 )0,解得 0a2 且 a1. 雙曲線的離心率e0a6且 e 2 ,2即離心率 e 的取值范圍為 (6, 2)(2(2) 設(shè) A(x 1,y 1),B(x2,y 2),P(0,1),PA =5PB ,12(x ,y-1)=5,y-1).(x211122由此得 x1= 5 x2.12由于 x1、 x2 都是方程的根, 且 1-a 20,172a 2,52x+x =x2x1x2x2

13、121 a212121 a 211 .aa22 ,+ ).2a222a2289 .1 a2 , 消去 x , 得1 a260用心愛心專心 a0, a17. 此時滿足0.13教學(xué)參考例題志鴻優(yōu)化系列叢書【例 1】過雙曲線 C: x2y 21的右頂點(diǎn) A 作兩條斜率分別為k1、 k2 的直線 AM、 AN交雙曲m2線 C 于 M、 N 兩點(diǎn) , 其中 k 、 k 滿足關(guān)系式2且 k +k 0,kk .k k=-m11212122(1) 求直線 MN的斜率 ;2時 , 若 MAN=60, 求直線MA、 NA的方程 .(2) 當(dāng) m=2+ 3解: (1)雙曲線 C: x2y 21的右頂點(diǎn) A 坐標(biāo)為

14、(1,0),m2設(shè)直線 MA方程為 y=k1(x-1),代入 m2x2-y 2-m2=0 中 ,22222222222則 mx -k 1 (x-1)-m =0,整理得 (m -k 1)x +2k1 x-(k 1+m)=0,由根與系數(shù)的關(guān)系可知k12m2,xmx=a2m2k1而 xa=1, 又 k1k2=-m2, xMk12m2k12k1 k2k1k2 .k12m2k12k1k2k1k2于是 ym=k1(x m-1)= k1( k1k21)2k1 k2 .k1k2k1k2同理可知 yN2k1k2 , 于是有 yM=yN,k1k2MNx軸 , 從而直線 MN的斜率 kMN=0.(2) MAN=60

15、, 說明AM到 AN的角為 60或 AN到 AM的角為 60,則 k2k1或 k1k23 .1 k1k23k1k21又 k1k2=-(2+3 ),k1k2,從而k2 k133,k1k2( 23),則求得k11,或 k123,k2( 23)k21,因此直線 MA,NA的方程為 y=x-1,y=-(2+3 )(x-1) 或 y=(2+ 3 )(x-1),y=-(x-1).用心愛心專心【例 2】雙曲線 x2y21(a1,b0)的焦距為 2c, 直線 l 過點(diǎn) (a,0)和 (0,b), 且點(diǎn) (1,0) 到直a2b2線 l 的距離與點(diǎn) (-1,0)到直線 l 的距離之和 s 4 c, 求雙曲線的離心

16、率 e 的取值范圍 .的方程為 xy5解 : 直線 l1 , 即 bx+ay-ab=0. 由點(diǎn)到直線的距離公式, 且 a1, 得到點(diǎn) (1,0)到ab直 線l的 距 離d1b(a1),同理得到點(diǎn)(-1,0)到 直 線 l的 距 離a2b2d2b(a1),s=d 1+d2=2abb22ab .a2b2a2c由 s 4 c, 得 2ab4 c , 即 5ac2a22c2.5c5于是得 5e21 2e2 , 即 4e4-25e 2+250.解不等式 ,得 5e25.4由于 e10, 所以 e 的取值范圍是5e5 .2【例 3】已知焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線 C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn) , 且兩條漸近線與

17、以點(diǎn)A(0,2 )為圓心 ,1 為半徑的圓相切, 又知 C 的一個焦點(diǎn)與A 關(guān)于直線y=x 對稱 .(1) 求雙曲線 C 的方程 ;(2) 若 Q 是雙曲線 C 上的任一點(diǎn) ,F 1、 F2 為雙曲線 C 的左、右兩個焦點(diǎn) , 從 F1 引F1QF2 的平分線的垂線 , 垂足為 N,試求點(diǎn) N的軌跡方程 .解 : (1) 設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx,即 kx-y=0,該直線與圓x2+(y-2 ) 2=1 相切 ,雙曲線 C的兩條漸近線方程為y=x.故設(shè)雙曲線 C 的方程為 x2y 21,a2a 2又雙曲線 C 的一個焦點(diǎn)為 (2 ,0), 2a2=2,a 2=1.雙曲線C的方程為x2-y 2=1.(2) 若