圓知識點總結及對應練習

1、考點一、圓的相關概念-1、圓的定義2、圓的幾何表示：以點。為圓心的圓記作“。0”，讀作“圓O”考點二、弦、弧等與圓有關的定義(1)弦 連接圓上任意兩點的線段叫做弦。(如圖中的AB)(2)直徑經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。(如途中的CD)/一(3)半圓(口、(4)弧、優(yōu)弧、劣弧c r'j 口圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。弧用符號“c”表示，以 a, B為端點的弧記作“病”，讀作“圓弧AB” 或“弧 AB”。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧(多用三個字母表示)；小于半圓的弧叫做劣弧(多用兩 個字母表示)考點三、垂徑定理及其推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。推論1:(1)平分弦

2、(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。(3)平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括為：過圓心垂直于弦直彳4 平分弦I 知二推三平分弦所對的優(yōu)弧平分弦所對的劣弧考點四、圓的對稱性1、圓的軸對稱性2、圓的中心對稱性：圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。考點五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理1、圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等

3、，所對的弦想等，所對的弦的弦心 距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心 距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。考點六、圓周角定理及其推論1、圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1: 也相等。 推論2: 推論3: 形?？键c七、同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑。 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角點和圓的位置關系設。的半徑是r,點P到圓心O的距離為d,則有:d<y點P在。O內(nèi)；d=y點P在。O上

4、；d>y點P在。O外?？键c八、過三點的圓1、過三點的圓：不在同一直線上的三個點確定一個圓。2、三角形的外接圓：3、三角形的外心：三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點共圓的判定條件）圓內(nèi)接四邊形對角互補?？键c九、直線與圓的位置關系直線和圓有三種位置關系，具體如下：如果。的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d,那么:直線l與。相交u d<r；直線l與。相切u d=r；直線l與。相離u d>r；考點十、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。即：在。中，二.四邊ABCD是內(nèi)接四邊形2C +/BAD =18

5、0* /B+/D =180。 DAE 二，C4一、切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個條件:過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：= MN _LOA且MN過半徑OA外端 MN是。的切線2、性質(zhì)定理:推論1:推論2:切線垂直于過切點的半徑（如上圖）過圓心垂直于切線的直線必過切點。過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個考點十二、切線長定理切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長 相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：: PA、PB是的兩

6、條切線 .PA=PB; PO 平分 NBPAA考點十三、圓幕定理1、相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在。中，;弦AB、CD相交于點P,b二 PA PB= PC PD推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑 所成的兩條線段的比例中項。即：在。中，二.直徑AB_LCD ,b2 CE = AE BE2、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交 點的兩條線段長的比例中項。即：在。中，: PA是切線，PB是割線PA2=PC PB3、割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條 割線與圓的交點的兩條線段長的積相等(如右圖)。即：在。中，:

7、PB、PE是割線PC PB = PD PE考點十四、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦如圖：0102垂直平分AB。即：.。01、。02相交于A、B兩點:0102垂直平分AB考點十五、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：(1)公切線長：RtAOQzC 中，AB2 =CO： =JdO22 -CO22 ；(2)外公切線長：CO2是半徑之差； 內(nèi)公切線長：CO2是半徑之和考點十六、三角形的內(nèi)切圓和外接圓1、三角形的內(nèi)切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點，考點十七、圓和圓的位置關系1、圓和圓

8、的位置關系2、圓心距3、圓和圓位置關系的性質(zhì)與判定設兩圓的半徑分別為R和r,圓心距為d,那么兩圓外離=d>R+r兩圓外切:二d=R+r兩圓相交=R-r<d<R+r (R>r)兩圓內(nèi)切 =d=R-r (R>r)兩圓內(nèi)含 二d<R-r (R>r) 4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的 連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。考點十八、圓內(nèi)正多邊形的計算1、正多邊形的定義各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形和圓的關系只要把一個圓分成相等的一些弧， 就可以做出這個圓的內(nèi)接

9、正多邊形， 這個圓就 是這個正多邊形的外接圓。3、正三角形在。中 ABC是正三角形，有關計算在R6BOD進行：O D B D O B1二 3; : 24、正四邊形同理，四邊形的有關計算在 RtAOAE中進行，OE: AE:OA=1:1:我：5、正六邊形同理，六邊形的有關計算在RtiOAB中進行，SAB:OB:OA=1: .3:2.考點二十、正多邊形的對稱性1、正多邊形的軸對稱性、中心對稱性注：邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，考點二十一、弧長和扇形面積1、弧長公式n。的圓心角所對的弧長l的計算公式為l ="180 no 12、扇形面積公式 5扇= HR = 1R360213、圓錐的

10、側面積 S='l,2nr=nrl2其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑。考點二十二、內(nèi)切圓及有關計算。(1)三角形內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點，它到三邊的距離相等。(2) ABC, /C=90° , AC=b BC=a AB=g 則內(nèi)切圓的半徑 r= a + bc 02，一一 1 (3) $ AB(=-r(a +b +c),其中a, b, c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。精選考題考點一：與圓相關概念的應用1 .運用圓與角(圓心角，圓周角)，弦，弦心距，弧之間的關系進行解題例 如圖，A、R C是。上的三點，/ AOC=100 ,則/ ABC的度數(shù)為().A. 30。B .

11、 45°C. 50。D. 60 j2 .利用圓的定義判斷點與圓，直線與圓、圓與圓的位置關系【例3】 已知。的半徑為3cm, A為線段OM勺中點，當OA滿足：(1)當OA=1cnW,點 M與。的位置關系是 .(2)當OA=1.5cm時，點 M與。O的位置關系是 .(3)當OA=3crnW,點M與。O的位置關系是 .【例4】。的半徑為4,圓心 O到直線l的距離為3,則直線l與。的位置關系是A.相交B .相切C .相離 D.無法確定【例 5】 兩圓的半徑分別為3cm和4cm,圓心距為 2cm,那么兩圓的位置關系是3 .正多邊形和圓的有關計算72cnx求正六邊形的半徑，邊心距和面積【例6】已

12、知正六邊形的周長為4 .運用弧長及扇形面積公式進行有關計算【例71 如圖，矩形ABCM, BC=2 DC=4,以AB為直徑的半圓 。與DC相切于點 E,則陰影部分的面積為 (結果保留叮).5 .運用圓錐的側面弧長和底面圓周長關系進行計算【例8】 已知圓錐的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的母線長與底面半徑長的比是 .考點二：圓中計算與證明的常見類型1 .利用垂徑定理解題垂徑定理及其推論中的三要素是：直徑、平分、過圓心2 .利用“直徑所對的圓周角是直角”解題【例2】 如圖，在。的內(nèi)接 ABC中，CD是AB邊上的高，求證：/ ACD= OCB.3 .利用圓內(nèi)接四邊形的對角關系解題圓內(nèi)接四邊形的對角互補【例3】如圖，四邊形ABCM圓內(nèi)接四邊形，E為DA延長線上一點，若/ C= 45° , AB=廣， 則點B到AE的距離為 .4 .判斷圓的切線的方法及應用判斷