等差數(shù)列的求和公式教學(xué)設(shè)計

1、等差數(shù)列前n項和教學(xué)案例：一、教學(xué)設(shè)計思想本堂課的設(shè)計是以個性化教學(xué)思想為指導(dǎo)進行設(shè)計的。本堂課的教學(xué)設(shè)計對教材部分內(nèi)容進行了有意識的選擇和改組，為了體現(xiàn)個性化教學(xué)的教學(xué)理念，在教法上，采用了以學(xué)生為主體，以問題為中心，以老師為引導(dǎo)，以小組的合作為主要學(xué)習(xí)方式。課堂結(jié)構(gòu)個性化，讓學(xué)生在探究中展現(xiàn)個性，在合作中促進學(xué)生的個性發(fā)展。在教學(xué)中通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感，體驗在學(xué)習(xí)中獲得成功。二、學(xué)生情況與教材分析1、學(xué)生通過上一節(jié)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)了解了等差數(shù)列的定義，基本上掌握了通項公式，會運用等差數(shù)列的通

2、項公式進行解題，因此只要簡單地回顧上一節(jié)課的知識就可引入新課；2、幾何能直觀地啟迪思路，幫助理解，特別是對于職中類學(xué)生，他們對知識的理解還是處于模糊階段，因此，借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。因此在教學(xué)中，要鼓勵學(xué)生借助幾何直觀進行思考，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，從而滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。3、學(xué)習(xí)應(yīng)該是學(xué)生積極主動的建構(gòu)知識的過程，應(yīng)該與學(xué)生熟悉的背景相聯(lián)系。本課要求學(xué)生通過自主地觀察、討論、歸納、反思來參與學(xué)習(xí)，認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)知識，學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題并嘗試解決問題，在學(xué)習(xí)活動中進一步提升自己的能力。三、教學(xué)目標(biāo)1、知識目標(biāo)(1)掌握等

3、差數(shù)列前n項和公式，理解公式的推導(dǎo)方法；(2)能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式求和。2、能力目標(biāo)經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、反思和邏輯推理的能力。3、情感目標(biāo)通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感，體驗在學(xué)習(xí)中獲得成功。四、教學(xué)重點、難點1、等差數(shù)列前n項和公式是重點。2、獲得等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)的思路是難點。教學(xué)過程：1、引入新課(1)復(fù)習(xí)師：上一節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義及通項公式，知道了公差d=,通項公式an="(見黑板)生：

4、(回答黑板上的問題)(2)故事引入師：那等差數(shù)列的前n項和怎樣求？今天，我們主要探討等差數(shù)列的前n項和公式。古算書張邱建算經(jīng)中卷有一道題：今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，共有百人，問共與幾錢？師生共同讀題師：題目當(dāng)中我們可以得到哪些信息？要解決的問題是什么？生1:第一人給1錢，第二人給2錢，第三人給3錢，以后每個人都比前一個人多給一錢，共有100人，問共給了多少錢？師：很好，問題已經(jīng)呈現(xiàn)出來了，你能用數(shù)學(xué)符號語言表示嗎？生2:用an表示第n個人所得的錢數(shù)，則由題意得：a1=1,a2=2,a3=3,a©=100只要求出1+2+3+,+100=?

5、師：你能求出這個式子的值嗎？生2:（猶豫片刻）1+100=101,2+99=101,3+98=101,50+51=101,所求的和為101x102=5050.2師：對于這個算法，著名的數(shù)學(xué)家高斯10歲時曾很快就想出來了高斯的算法是：首項與末項的和：1+100=101,第2項與倒數(shù)第2項的和：2+99=101,第3項與倒數(shù)第3項的和：3+98=101,第50項與倒數(shù)第50項的和：50+51=101,于是所求的和是101X122=50502上面的問題可以看成是求等差數(shù)列1,2,3,n,的前100項的和.在上面解決問題的過程中，我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項、末項及項數(shù)n來表示，且任意的第k項與倒數(shù)第k項

6、的和都等于首項與末項的和，從中你有何啟發(fā)？我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項和？設(shè)計意圖：通過情景引入活動、任務(wù)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用得過程，其作用就在于提升學(xué)生的經(jīng)驗，使之連續(xù)地向形式的、抽象的數(shù)學(xué)知識的轉(zhuǎn)變.構(gòu)筑在學(xué)生已有生活經(jīng)驗與生命體驗基礎(chǔ)之上的數(shù)學(xué)課程大大激發(fā)了學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的熱情，數(shù)學(xué)課變得更生動、更活潑，更能引發(fā)學(xué)生的興趣.新教材中增添了一些數(shù)學(xué)史的知識，從課改的一些舉措上我感到在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)適時掀起數(shù)學(xué)史的教學(xué)蓋頭。向同學(xué)們介紹了張邱建算經(jīng)和高斯及他的算法，講課的過程中適當(dāng)插入數(shù)學(xué)史，為數(shù)學(xué)教學(xué)輸入了新鮮血液.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化，營造濃郁的

7、“人文”氛圍.師：設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,則Sn=a1+a2+,+an=?生3:（直接給出公式）由剛才問題的結(jié)果可知n(a1-an)Sn-2師：非常好，由具體的推廣到一般，這也是研究數(shù)學(xué)的一種思想方法由特殊到一般，但是這種方法是猜想、推測，是不完全歸納.數(shù)學(xué)公式的得出需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程和相關(guān)的理論依據(jù).你能否推導(dǎo)這個公式?生4：Sn=（a1+an）+（a2+an）+,+?（遇到困惑，最后一組怎樣表示？是剩一項還是兩項？）師：我們再回顧一下剛才解決的問題，共有100項，兩兩分組正好分為50組,如果1+2+3+,+101=?n項時又應(yīng)如何分組？最后一組應(yīng)怎樣表示?生4(繼續(xù)回答)：1+10

8、1=102,2+100=102,3+99=102,50+52=102,10251=(1101)共有50組多出第51項n分奇偶性討論，n為偶數(shù)時正好分成二組，n為奇數(shù)時分成2上1組還多一項，當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn=(a1+an)+(a2+an1)+,+(an+ann(a1-an)當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=(a+an)+(a2+an)+,(an1a1),aF22二(a1an)(a2-an1),(an1an1）十十a(chǎn)n）_n(aan)2師：好通過分類討論我們得出了等差數(shù)列an的前n項和Sn公式，從所得的結(jié)果看無論是奇數(shù)還是偶數(shù)Sn的公式一樣.那么我們是否可以避開討論n的奇偶性去推導(dǎo)呢？怎樣出現(xiàn)首末兩項的和?（

9、學(xué)生觀察幻燈片上以等差數(shù)師：下面我們從一個稍稍簡單一點的等差數(shù)列來推導(dǎo)探討列逐層排列的一堆鋼管。）師：如何求？（課件演示：引導(dǎo)學(xué)生設(shè)想，如果將鋼管倒置，能得到什么啟示）生：每一層都和上一層是一樣多的。一共有8層，所以為8X（4+11）,但一共有兩堆,所以為師：那如果如下圖所示共有n層，第一層為a1,第n層為an,請大家來猜想一下這個呈等差數(shù)列排列的鋼管的總和sn等于多少？.，_鞭（為+%）生:師：所以我們還可以如何求等差數(shù)列通項公式?生5:Sn=ai-a2一，,anSn=an.an;i將上面兩式左右兩邊分別相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an)十，十(an+a1)=n(ai-an).cn

10、(ai-an)思想方法：方程思想.設(shè)計意圖：學(xué)以致用，直接運用公式加深對公式的認(rèn)識和理解.主要通過方程的思想進行基本量的運算.注意解題格式和規(guī)范.例2求集合M=mm=7n,nWN州mHi。中元素的個數(shù)，并求這些元素的和.n二2師：此種方法簡潔明了，且避開討論n的奇偶性，我們將這種方法稱為“逆序相加法”，在以后解決數(shù)列問題是也經(jīng)常運用“逆序相加法”，主要運用了等差數(shù)列下標(biāo)等距性質(zhì).(有學(xué)生舉手)生6:我用另外一種方法得出的結(jié)果不一樣Sn=a1-a2，-an=a1-da1-2dja11n-1)d=na1H,2,3,(n1)Idn(n1)=na1d2師：這個結(jié)果對否？為何會有兩個公式？它們之間有聯(lián)系

11、嗎?大家一起發(fā)現(xiàn)Snn(n1)=na1d2n(ai-an)nlai-ai-(n1)d一2一2n(ai-an)n(n-1)，等差數(shù)列an前n項和公式：Sn=nai+d22師(總結(jié))：我們得到了兩個計算等差數(shù)列前n項和的公式.由公式可知，只要知道ai,n,an,d這四個量中的三個就可以求出等差數(shù)列前n項和Sn.設(shè)計意圖：新課標(biāo)指出“學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就是在教師指導(dǎo)下的再創(chuàng)造的過程”在教學(xué)的過程中，教師要指導(dǎo)學(xué)法，把教與學(xué)的過程很好地統(tǒng)一起來，想方法鼓勵學(xué)生積極參與，大膽設(shè)疑、質(zhì)疑、釋疑、辨錯、修正，突出過程教學(xué).教師同通過問題情境或?qū)W習(xí)情境以誘發(fā)他們進行探索與問題的解決活動.應(yīng)用舉例例1等差數(shù)列一i0

12、,6,2,2,前多少項的和是54?解：設(shè)題中的等差數(shù)列為an,前n項和為Sn,則a=。d=6-(44=,Sn=54由題意得-i0-n(n-i)4=54214(7-98)S14二7352答：集合M中的元素共有14個元素，它們的和等于735.變式1:M=mm=7n,nWNW,n<100分析：n<100,/.M中有99個元素，分別為7,7X2,7X3,7X99,變式2:在1到100中被7除余1的正整數(shù)共有多少個？它們的和是多少？分析：設(shè)m是滿足條件的數(shù)，則m=7n+1,且m<100,nwN或m=7n-6,且m<100,nWN沖設(shè)計意圖：高中數(shù)學(xué)課程倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，這要求我們轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，豐富教學(xué)形式，改進學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，加大課堂教學(xué)的研究性、開放性和自主性，在開展探究活動中培養(yǎng)學(xué)生的基本技能，將變式訓(xùn)練與引導(dǎo)學(xué)生感悟反思放到同樣的高度，進而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力練習(xí)課本P118ex1(板演)，2,3,4小結(jié)：(1)了解等差數(shù)列心口的前n項和公式的推導(dǎo)思想(逆序相加法、分組配對法)(2)掌握等差數(shù)列前n項和的兩個公式并能靈活運用解決相關(guān)問題.(3)研究問題的方法：由特殊到一般.(4)方程思想：基本量的運算.課后作業(yè)：P