第9期31課時函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用

1、函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用一、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1.函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系：一般地，對于函數(shù) y = f (x) （ x Î D ）我們稱方程f (x) = 0 的實數(shù)根 x 也叫做函數(shù)的零點，即函數(shù)的零點就是使函數(shù)值為零的自變量的值. 求綜合方程 f(x)=g(x)的根或根的個數(shù)就是求函數(shù) y = f (x) - g(x) 的零點.2.函數(shù)的圖像與方程的根的關(guān)系：一般地，函數(shù) y =f (x) （ x Î D ）的圖像與 x 軸交點的橫坐標(biāo)就是f (x) = 0 的根.綜合方程 f(x)=g(x)的根，就是求函數(shù) yf(x)與 y=g(x)的圖像的交點或交點個數(shù)，或求方程y =f (

2、x) - g(x) 的圖像與 x 軸交點的橫坐標(biāo).3.一個函數(shù)是否有零點的方法：如果函數(shù) y = f (x) 在區(qū)間(a, b) 上圖像是連續(xù)不斷的曲線，并且有 f (a) × f (b) < 0 ，那么，函數(shù) y = f (x) 在區(qū)間(a, b) 上至少有一個零點，即至少存在一個數(shù) c Î(a, b) 使得f (c) = 0 ，這個 c 就是函數(shù) y = f (x) 的零點.對于我們學(xué)習(xí)的簡單函數(shù)，可以借助 y = f (x)解的個數(shù)，或者把 f (x) 寫成 g(x) - h(x) ，然后借助 y = g(x) 、 y = h(x) 的圖像圖像函數(shù) f (x)

3、的零點情況.的交點去4. 二次函數(shù)、一元二次方程、二次函數(shù)圖像之間的關(guān)系：二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的零點，就是二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根，也是二次函數(shù)y = ax2 + bx + c 的圖像與 x 軸交點的橫坐標(biāo).5. 二分法：對于區(qū)間(a, b) 上的連續(xù)不斷，且 f (a) × f (b) < 0 的函數(shù) y = f (x) ，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.二、疑難1. 關(guān)于函數(shù) y = f (x) - g(x) 的零點， 就是方程 f (x) = g(x

4、) 的實數(shù)根， 也就是y = f (x) 與函數(shù) y = g(x) 圖像的交點的橫坐標(biāo). 要深刻理解，解題中靈活運用.2.如果二次函數(shù) y = f (x) = ax2 + bx + c ，在閉區(qū)間m,n上滿足 f (m) × f (n) < 0 ，那么方程 ax2 + bx + c = 0 在區(qū)間（m,n）上有唯一解，即存在唯一的 x Î(m, n) ，使 f (x ) = 0 ，11方程 ax2 + bx + c = 0 另一解 x Î(-¥, m) È (n, +¥) .23. 二次方程 ax2 + bx + c = 0 的

5、根在某一區(qū)間時，滿足的條件具體情形而定.如二次方程 f (x) ax2 + bx + c = 0 的根都在區(qū)間(m, n) 時ìD³ 0ïbïm < -< n應(yīng)滿足： í2aï f (m) > 0ïïî f (n) > 04.用二分法求二次方程的近似解一般步驟是（1）取一個區(qū)間（ a, b ）使 f (a) × f (b) < 0a + b（2）取區(qū)間的中點， x0 =2（3）計算 f (x0 ) ，若 f (x0 ) = 0 ，則 x0 就是 f (x) = 0

6、的解，計算終止；f (a) × f (x0 ) < 0 ，則解位于區(qū)間（ a, x0 ）中，令a1 = a, b1 = x0 ；若f (x0 ) × f (b) < 0若則解位于區(qū)間（ x0 , b ）令 a1 = x0 , b1 = b（4）取區(qū)間是（ a , b ）的中點， x = a1 + b1 重服第二步、第三驟直到第n 步，方程的解1 112總位于區(qū)間（ an , bn ）內(nèi)（5）當(dāng)an , bn 精確到規(guī)定的精確度的近似值相等時，那么這個值就是所求的近似解.三、典例導(dǎo)析1、函數(shù)方程中參數(shù)問題：例 1、已知mx2 + x +1 = 0 有且只有一根在區(qū)

7、間（0,1）內(nèi)，求 m 的取值范圍.思路導(dǎo)析：根據(jù)方程 mx2 + x +1 = 0 ，可創(chuàng)設(shè)函數(shù) f (x) = mx2 + x +1，利用函數(shù)的性質(zhì)求解。解：設(shè) f (x) = mx2 + x +1，（1）當(dāng)m 0 時方程的根為1，不滿足條件.（2）當(dāng)m 0 mx2 + x +1 = 0 有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)又 f (0) 10有兩種可能情形 f (1) < 0 得 m 21f (1) = 0且0< -<1得 m 不存在，綜上所得， m 2或者2m規(guī)律總結(jié)：對于一般 f (x) ，若 f (a) × f (b) < 0 ，那么，函數(shù) y = f

8、(x) 在區(qū)間（a,b）上至少有一個零點，但不一定唯一.對于二次函數(shù) f (x) ，若 f (a) × f (b) < 0 則在區(qū)間（a,b）上存在唯一的零點，一次函數(shù)有同樣的結(jié)論成立.2、利用二分法解決問題例 2、試確定方程2x2 - 4x + 2 = 0 最小根所在的區(qū)間，并使區(qū)間兩個端點是兩個連續(xù)的整數(shù).思路導(dǎo)析：只要構(gòu)造函數(shù) f (x) 2x2 - 4x + 2 ，計算數(shù)值，根據(jù)其符號，確定方程根的個數(shù)及根的分布.f (x) 的自變量 x 取整數(shù)值時的函解：令 f (x) 2x2 - 4x + 2 f (-3) 549122490f (-2) 16482100f (-1

9、) 214230f (0) 000220f (1) 214210f (2) 1648260根據(jù) f (-2) · f (-1) 0， f (0) · f (1) 0， f (1) · f (2) 0可知 f (x) 的零點分別在區(qū)間（2，1），（0,1），（1,2）內(nèi).因為方程是一個一元三次方程，所以它最多有三個根，所以原方程的最小根在區(qū)間（2，1）內(nèi).規(guī)律總結(jié)：計算一元數(shù)值可借助于計算器來完成，在實數(shù)范圍內(nèi)一元 n 次方程最多有 n 個實根，當(dāng)然本題也可以用因式分解方法來解.3、有關(guān)二次函數(shù)的求解問題：+ c(c < b < 1), f (1) =

10、0 ，且方程 f (x) + 1 = 0 有實根.例 3、 已知函數(shù) f (1)求證：-3<c-1,b0.(2)若 m 是方程 f (x) + 1 = 0 的一個實根，f (m - 4) 的正負(fù)并加以證明思路導(dǎo)析：（1）題中條件涉及不等關(guān)系的有c < b < 1和方程 f (x) + 1 = 0 有實根.及一個等式 f (1) = 0 ，通過適當(dāng)代換及不等式性質(zhì)可f (m - 4)；（2）本小題只要的符號，因而只要研究出 m - 4 值的范圍即可定出f (m - 4) 符號.證明：(1)由 f (1) = 0 ，得 1+2b+c=0,b = - c + 1 ，又c <

11、b < 1，2c + 111 > -> c ，- 3 < c < -，32又由于方程 f (x) + 1 = 0 有實根，即 x 2 + 2bx + c + 1 = 0 有實根，故D = 4b2 - 4(c + 1) ³ 0 即(c + 1)2 - 4(c + 1) ³ 0 - 3 < c £ 1，由b = - c + 1 ，得b 0.c ³ 3 或c £ -12+ c = x2 - (c + 1)x + c = (x - c)(x -1)（2） f ( f (m) = -1 < 0 ，c<m&l

12、t;1（如圖）c4<m4<3<c. f (m - 4) 的符號為正.規(guī)律總結(jié)：二次函數(shù)值的符號，可以求出其值解題.，也可以靈活運用二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)四、隨堂練習(xí)1當(dāng)0 £ x £1時，函數(shù) y = ax + a -1的值有正值也有負(fù)值，則實數(shù) a 的取值范圍是（A a < 1B a >1C a < 1 或a > 1D 1 < a < 12222已知方程(x2 - 2x + m)(x2 - 2x + n) = 0 的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列, 則| m - n |= ()B 3C 1D 3A13已知函數(shù) y =42

13、8f (x) (x Î R) 滿足 f (x + 3) = f (x +1) ，且 x 1,1時， f (x) =| x |，則f (x) 與 y = log5 x 的圖象交點的個數(shù)是(y =A3B4C5 D64已知函數(shù) f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 的圖象如下，則（ ）A b Î(-¥,C b Î (1, 2)B b Î (0,0)1)D b Î(2, +¥)x (0 < a <1) 的解，則 x5 x 是方程 ax = log, 1,a 這三個數(shù)的大小關(guān)系是 0a0的不等式2×

14、;32x - 3x + a2 - a - 3 > 0 ，當(dāng)0 £ x £成立，則實數(shù) a 的取值范圍6關(guān)于 x為 7.已知函數(shù) f (x) = ax2 + 2ax + 4 (0 < a < 3), 若關(guān)系為 1 + x2 = 1- a, 則 f (x1 ) 與 f (x2 ) 的大小2+ 1 的圖象與直線 y = mx 只有一個公共點，求這個公共點的坐標(biāo)8已知函數(shù) y =x - 19 已 知 f (t) = log2 t ， t 2 ， 8 ，對于 f (t) 值 域 內(nèi) 的 所 有 實 數(shù) m ，不等式 x2 + mx + 4 > 2m + 4x

15、恒成立，求 x 的取值范圍f (x) = 1 - 1( (a > 0, x > 0)ax10已知函數(shù)（1） 求證： f (x) 在(0,+)上是增函數(shù)；（2） 若 f (x) £ 2x 在(0,+)上恒成立，求 a 的取值范圍；（3） 若 f (x) 在m，n上的值域是m，n(mn)，求 a 的取值范圍函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用四、隨堂練習(xí)f (0) f (1) < 0 Þ 1 < a < 1f ( x) = ax + a -121提示：由題意得，設(shè)，故選 D。，則2 提示：由題意，等差數(shù)列的首項為 1 ，四項的和為 4，設(shè)公差為 d，則4 

16、0; 1 + 4 ´ 3 × d = 4442： d = 1 ，故該數(shù)列的四項為： 1 ,3 , 5 , 7 244443提示：由 f (x + 3) = f (x +1) 知 f (x + 2) =f (x) 故 f (x) 是周期為 2 的函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出 y = f (x) 與 y = log5 x 的圖象，可以看出，交點個數(shù)為 4 4提示： f (xx(x -1)(x - 2) = ax3 - 3ax2 + 2ax ， b = -2a 當(dāng) x > 2 時， f (x) > 0 ，當(dāng) x < 0 時， f (x) < 0 ， a >

17、; 0 ，故b < 0 ，為 A5提示：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù) y = ax 和 y = log x 的圖象，a可以看出： x0 < 1 ， loga x0 < 1 ， x0 > a ， a < x0 < 16提示設(shè)t = 3x ，則 t1，3，原不等式可化為： a2 - a - 3 > -2t2 + t, t Î1, 3，等價于 a2 - a - 3 大于 f (t) = -2t2 + t, t Î1, 3 的最大值 f (t) 在1，3上為減函數(shù)， f (t)max =f (1) = -1： a > 2或a < -1

18、a2 - a - 3 > -1 ，7.提示： f (x) = a(x +1)2 + 4 - a 其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為 x = -1 ，1) ， x 與 x 的中點在(1， 1 )之間， xx + x = (1- a) Î(-2,< x1212122 x2 到對稱軸的距離大于 x1 到對稱軸的距離， f (x1 ) <f (x2 ) ，為 A28解：由+1 = mx ，得 mx2 - (m +1)x -1 = 0,x -1因為兩個圖象只有一個公共點，所以D = (m +1)2 + 4m = 0 ，： m = -3 ± 22.2 時， x = m

19、 +1 = - 2 -1， y = mx = m +1 = 2 -1 ；當(dāng)m = -3 + 222m當(dāng)m = -3 - 22 時， x = 2 -1, y = - 2 -1.當(dāng)m = -3 + 22 時，公共點的坐標(biāo)是(- 2 -1, 2 -1) ；當(dāng)m = -3 - 22 時，公共點的坐標(biāo)是( 2 -1, - 2 -1) 2 ，8， f (t) 1 ，3， m 1 ，3 29解：t2原題轉(zhuǎn)化為： m(x - 2) + (x - 2)2 >0 恒成立，當(dāng) x = 2 時，不等式不成立 x ¹ 2 ，令 g(m) = m(x - 2) + (x - 2)2 ，m 1 ，3，21x - 2ìïg( ) =+ (x - 2) > 02，： x > 2或x < -1則： í22ïîg(3) = 3(x - 2) + (x