奧數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)例題練習(xí)及答案

1、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)(一)教學(xué)目標(biāo)：1. 通過(guò)學(xué)生對(duì)應(yīng)用題的條件與問(wèn)題的全面分析，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的意識(shí)。2. 通過(guò)比較與辨析，使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握“最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)”應(yīng)用題的解題規(guī)律。3. 培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念與想像力。教學(xué)過(guò)程： 一、基本概念知識(shí)公約數(shù)和最大公約數(shù)如果一個(gè)白然數(shù)a能被白然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。如果一個(gè)白然數(shù)同時(shí)是若干個(gè)白然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個(gè)白然數(shù)是這若干個(gè)白然數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為這若干個(gè)白然數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12的約數(shù)有：1,2,3,4,6,12;18的約數(shù)有：1,2

2、,3,6,9,18。自然數(shù)a1,a2,an的最大公約數(shù)通常用符號(hào)(aa?,an)表示，例如，12和18的公約數(shù)有：1,2,3,6.其中6是12和18的最大公約數(shù)，記作(12,18)=6。(8,12)=4,(6,9,15)=3。1. 公倍數(shù)和最小公倍數(shù)如果一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是若十個(gè)自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個(gè)自然數(shù)是這若十個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個(gè)公倍數(shù)，稱為這若十個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：12的倍數(shù)有：12,24,36,48,60,72,84,18的倍數(shù)有：18,36,54,72,90,自然數(shù)a1，a2，an的最小公倍數(shù)通常用符號(hào)a1，a2，an表示，例如12和18的公倍數(shù)有：36,

3、72,.其中36是12和18的最小公倍數(shù)，記作12,18=36。8,12=24,6,9,15=90。3.互質(zhì)數(shù)如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1,那么這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。用短除法求若十個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的區(qū)別：求n個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)：(1) 必須每次都用n個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除；(2) 一直除到n個(gè)數(shù)的商互質(zhì)(但不一定兩兩互質(zhì))；(3) n個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)即為短除式中所有除數(shù)的乘積。求n個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)：(1) 必須先用(如果有)n個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除，除到n個(gè)數(shù)沒(méi)有除去1以外的公約數(shù)后，在用n1個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除，除到n1個(gè)數(shù)沒(méi)有除1以外的公約

4、數(shù)后，再用n2個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除，如此繼續(xù)下去，為保證這一條，每次所用的除數(shù)均可選質(zhì)數(shù)；（2）只要有兩個(gè)數(shù)（被除數(shù)）能被同一數(shù)整除，就要繼續(xù)除，一定要除到n個(gè)數(shù)的商兩兩互質(zhì)為止；（3）n個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)即為短除式中，所有除數(shù)和最后兩兩互質(zhì)的商的乘積。例1用60元錢可以買一級(jí)茶葉144克，或買二級(jí)茶葉180克，或買三級(jí)茶葉240克?，F(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價(jià)格都相等，那么每袋的價(jià)格最低是多少元錢？分析與解：因?yàn)?44克一級(jí)茶葉、180克二級(jí)茶葉、240克三級(jí)茶葉都是60元，分裝后每袋的價(jià)格相等，所以144克一級(jí)茶葉、180克二級(jí)茶葉、240克三級(jí)茶葉，分裝的袋數(shù)應(yīng)相同，即分裝的袋

5、數(shù)應(yīng)是144,180,240的公約數(shù)。題目要求每袋的價(jià)格盡量低，所以分裝的袋數(shù)應(yīng)盡量多，應(yīng)是144,180,240的最大公約數(shù)。是144,180,240的最大公約數(shù)。所以（144,180,240）=2X2X3=12,即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價(jià)格最低是60+12=5（元）。例2用白然數(shù)a去除498,450,414,得到相同的余數(shù)，a最大是多少？分析與解：因?yàn)?98,450,414除以a所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩之差的公約數(shù)應(yīng)能被a整除。498-450=48,450-414=36,498-414=84。所求數(shù)是（48,36,84）=12。例3現(xiàn)有三個(gè)白然數(shù)，它們的和是1111,這樣的

6、三個(gè)白然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？分析與解：只知道三個(gè)白然數(shù)的和，不知道三個(gè)白然數(shù)具體是幾，似乎無(wú)法求最大公約數(shù)。只能從唯一的條件“它們的和是111T入手分析。三個(gè)數(shù)的和是1111,它們的公約數(shù)一定是1111的約數(shù)。因?yàn)?111=101x11,它的約數(shù)只能是1,11,101和1111,由于三個(gè)白然數(shù)的和是1111,所以三個(gè)白然數(shù)都小于1111,1111不可能是三個(gè)白然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比如取三個(gè)數(shù)為101,101和909。所以所求數(shù)是101。例4在一個(gè)30X24的方格紙上畫(huà)一條對(duì)角線（見(jiàn)下頁(yè)上圖），這條對(duì)角線除兩個(gè)端點(diǎn)外，共經(jīng)過(guò)多少個(gè)格點(diǎn)（橫線與豎線的交叉點(diǎn)）？分析與解：（3

7、0,24）=6,說(shuō)明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分成6X6個(gè)相同的矩形，那么每個(gè)矩形是由（30-6）X（24+6）=5X4（個(gè)）小方格組成。在6X6的簡(jiǎn)化圖中，對(duì)角線也是它所經(jīng)過(guò)的每一個(gè)矩形的對(duì)角線，所以經(jīng)過(guò)5個(gè)格點(diǎn)（見(jiàn)左下圖）。在對(duì)角線所經(jīng)過(guò)的每一個(gè)矩形的5X4個(gè)小方格中，對(duì)角線不經(jīng)過(guò)任何格點(diǎn)（見(jiàn)右下圖）。所以，對(duì)角線共經(jīng)過(guò)格點(diǎn)（30,24）-1=5（個(gè)）。例5甲、乙、丙三人繞操場(chǎng)競(jìng)走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，最少需多長(zhǎng)時(shí)間才能再次在起點(diǎn)相會(huì)？分析與解：甲、乙、丙走一圈分別需60秒、75秒和90秒，因?yàn)橐谄瘘c(diǎn)相會(huì)，即三人都要走整圈數(shù)，所以需要

8、的時(shí)間應(yīng)是60,75,90的公倍數(shù)。所求時(shí)間為60,75,90=900(秒)=15(分)。例6爺爺對(duì)小明說(shuō)：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過(guò)幾年是你的6倍，再過(guò)若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！蹦阒罓敔敽托∶鳜F(xiàn)在的年齡嗎？分析與解：爺爺和小明的年齡隨著時(shí)間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不變的。爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的7倍，說(shuō)明他們的年齡差是6的倍數(shù)；同理，他們的年齡差也是5,4,3,2,1的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是6,5,4,3,2的公倍數(shù)。6,5,4,3,2=60,爺爺和小明的年齡差是60的整數(shù)倍?？紤]到年齡的實(shí)際情況，爺爺與小明的年齡差應(yīng)是60歲。所以現(xiàn)在小明的年齡=60

9、+(7-1)=10(歲)，爺爺?shù)哪挲g=10X7=70(歲)。習(xí)題三二、隨堂練習(xí)i-J邱時(shí)二刀VjTXVIHJJE"取小公倍數(shù)是$4,甲魏是多少？乙數(shù)是多少？2.一塊長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)120米寬&0米裳在它的四周和四角種樹(shù)每?jī)煽弥g的距莒相等，最少旻種樹(shù)苗多少裸1每相鄰兩裸之間的距葛是多少米？M已知兩個(gè)自然數(shù)的積是5766,它們的最大公約數(shù)是3L求這兩個(gè)自然4,兄弟三人在外工作，大哥&天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次,兄弟三人同時(shí)在十月一日回家，下一次三人再見(jiàn)面是哪一天？將長(zhǎng)無(wú)分米，寬20分米，高15分米的長(zhǎng)方體木塊鍋成完全一樣的盡可能大的立另體，不能有剩條

10、，鋰個(gè)立方體的體積是多少？一共可鋸多少琪？&.一箱地雷，每個(gè)地雷的重量相同，且都是超過(guò)1的整千克數(shù)，去掉箱子后弛蕾凈置201千克，拿出含干個(gè)施蕾宿*凈重1舞千克求一個(gè)址雷的董量？最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)(二)摘要：這一講主要講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系，并對(duì)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的概念加以推廣。在求18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)時(shí)，由短除法可知，(18,12)=2X3=6,18,12=2X3X3X2=36。如果把18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)相乘，那么(18,12)X18,12=(2X3)x(2X3X3X2)=(2X3X3)x(2X3X2)=18X12也就是說(shuō)，18與12的最大

11、公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于18與12的乘積。當(dāng)把18,12換成其它白然數(shù)時(shí)，依然有類似的結(jié)論。從而得出一個(gè)重要結(jié)論：兩個(gè)白然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個(gè)白然數(shù)的乘積。即，（a,b）xa,b=axb。例1兩個(gè)白然數(shù)的最大公約數(shù)是6,最小公倍數(shù)是72。已知其中一個(gè)白然數(shù)是18,求另一個(gè)白然數(shù)。解：由上面的結(jié)論，另一個(gè)白然數(shù)是（6X72）+18=24。例2兩個(gè)白然數(shù)的最大公約數(shù)是乙最小公倍數(shù)是210。這兩個(gè)白然數(shù)的和是77,求這兩個(gè)白然數(shù)。分析與解：如果將兩個(gè)白然數(shù)都除以乙則原題變?yōu)椋骸皟蓚€(gè)白然數(shù)的最大公約數(shù)是1,最小公倍數(shù)是30。這兩個(gè)白然數(shù)的和是11,求這兩個(gè)白然數(shù)?！备淖円?/p>

12、后的兩個(gè)數(shù)的乘積是1X30=30,和是11。30=1x30=2X15=3X10=5X6,由上式知，兩個(gè)因數(shù)的和是11的只有5X6,且5與6互質(zhì)。因此改變后的兩個(gè)數(shù)是5和6,故原來(lái)的兩個(gè)白然數(shù)是7X5=35和7X6=42。例3已知a與b,a與c的最大公約數(shù)分別是12和15,a,b,c的最小公倍數(shù)是120,求a,b,c。分析與解：因?yàn)?2,15都是a的約數(shù)，所以a應(yīng)當(dāng)是12與15的公倍數(shù)，即是12,15=60的倍數(shù)。再由a,b,c=120知，a只能是60或120。a,c=15,說(shuō)明c沒(méi)有質(zhì)因數(shù)2,又因?yàn)閍,b,c=120=23x3X5,所以c=15。因?yàn)閍是c的倍數(shù)，所以求a,b的問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為：

13、“a是60或120,(a,b)=12,a,b=120，求a,b?！碑?dāng)a=60時(shí)，b=(a,b)xa,b+a=12X120+60=24;當(dāng)a=120時(shí)，b=(a,b)xa,b+aI132=12X例4有甲、乙、丙三種溶液，分別重4：千克、3；千克和2?千克。現(xiàn)649120+120=12。所以a,b,c為60,24,15或120,12,15。要將它們?nèi)糠謩e裝入小瓶中，每個(gè)小瓶裝入液體的重量相同。問(wèn)：每瓶最多裝多少千克？分析與解：如果三種溶液的重量都是整數(shù)，那么每瓶裝的重量就是三種溶液重量的最大公約數(shù)?，F(xiàn)在的問(wèn)題是三種溶液的重量不是整數(shù)。要解決這個(gè)問(wèn)題，可以將重量分別乘以某個(gè)數(shù)，將分?jǐn)?shù)化為整數(shù)，求出

14、數(shù)值后，再除以這個(gè)數(shù)。為此，先求幾個(gè)分母的最小公倍數(shù)，6,4,9=36,三種溶液的重量都乘以36后，變?yōu)?50,135和80,(150,135,80)=5。上式說(shuō)明，若三種溶液分別重150,135,80千克，則每瓶最多裝5千克?？蓪?shí)際重量是150,135,80的1/36,所以每瓶最多裝在例4中，出現(xiàn)了與整數(shù)的最大公約數(shù)類似的分?jǐn)?shù)問(wèn)題。為此，我們將最大公約數(shù)的概念推廣到分?jǐn)?shù)中。如果若干個(gè)分?jǐn)?shù)(含整數(shù))都是某個(gè)分?jǐn)?shù)的整數(shù)倍，那么稱這個(gè)分?jǐn)?shù)是這若干個(gè)分?jǐn)?shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為這若干個(gè)分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)。由例4的解答，得到求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)的方法：(1) 先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分

15、數(shù);求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a;求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b;b即為所求。a例5求55,25,6的最大公約數(shù)。689類似地，我們也可以將最小公倍數(shù)的概念推廣到分?jǐn)?shù)中。如果某個(gè)分?jǐn)?shù)(或整數(shù))同時(shí)是若干個(gè)分?jǐn)?shù)(含整數(shù))的整數(shù)倍，那么稱這個(gè)分?jǐn)?shù)是這若干個(gè)分?jǐn)?shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個(gè)公倍數(shù)，稱為這若干個(gè)分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)。求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)的方法：(1) 先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最小公倍數(shù)a;求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最大公約數(shù)b;一個(gè)陷井。它們之中誰(shuí)先掉進(jìn)陷井？它掉進(jìn)陷井時(shí)另一個(gè)跳了多遠(yuǎn)？同理，黃鼠狼掉進(jìn)陷井時(shí)與起點(diǎn)的距離為所以黃鼠狼掉進(jìn)陷井時(shí)跳了311/2+63/10=5(次)。黃鼠狼先掉進(jìn)陷井，它掉進(jìn)陷井時(shí)，狐貍跳了專題練習(xí)1. 將72和120的乘積寫(xiě)成它們的最大公約數(shù)和最最小公倍數(shù)的乘積的形式。兩個(gè)白然數(shù)的最大公約數(shù)是12,最小公倍數(shù)是72。滿足條件的白然數(shù)有哪幾組？2. 求下列各組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)：3. 求下列各組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù):部分別裝入小瓶中，每個(gè)小瓶裝入液體的重量相同。問(wèn)：最少要裝多少瓶?于同一處只有一次，求圓形綠地的周長(zhǎng)