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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本初等函數(shù),有關(guān)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的題目類型較多,同時(shí)也是學(xué)習(xí)后續(xù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)和高考考查的重點(diǎn),本文對(duì)此部分題目類型作了初步總結(jié),與大家共同探討1比較大小例1已知函數(shù)滿足,且,則與的大小關(guān)系是_分析:先求的值再比較大小,要注意的取值是否在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)解:,函數(shù)的對(duì)稱軸是故,又,函數(shù)在上遞減,在上遞增若,則,;若,則,綜上可得,即評(píng)注:比較大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函數(shù)的單調(diào)性或中間量等對(duì)于含有參數(shù)的大小比較問(wèn)題,有時(shí)需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論2求解有關(guān)指數(shù)不等式例2已知,則x的取值范圍是_分析:利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解,注
2、意底數(shù)的取值范圍解:,函數(shù)在上是增函數(shù),解得x的取值范圍是評(píng)注:利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式,需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式,并判斷底數(shù)與1的大小,對(duì)于含有參數(shù)的要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論3求定義域及值域問(wèn)題例3求函數(shù)的定義域和值域解:由題意可得,即,故 函數(shù)的定義域是令,則,又, ,即,即函數(shù)的值域是評(píng)注:利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域時(shí),要注意定義域?qū)λ挠绊?最值問(wèn)題例4函數(shù)在區(qū)間上有最大值14,則a的值是_分析:令可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問(wèn)題,需注意換元后的取值范圍解:令,則,函數(shù)可化為,其對(duì)稱軸為當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),解得或(舍去);當(dāng)時(shí),即, 時(shí),解得或(舍去),a的值是3或評(píng)注:利用指數(shù)
3、函數(shù)的單調(diào)性求最值時(shí)注意一些方法的運(yùn)用,比如:換元法,整體代入等5解指數(shù)方程例5解方程解:原方程可化為,令,上述方程可化為,解得或(舍去),經(jīng)檢驗(yàn)原方程的解是評(píng)注:解指數(shù)方程通常是通過(guò)換元轉(zhuǎn)化成二次方程求解,要注意驗(yàn)根6圖象變換及應(yīng)用問(wèn)題例6為了得到函數(shù)的圖象,可以把函數(shù)的圖象()A向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平移9個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度D向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度分析:注意先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再利用圖象的平移規(guī)律進(jìn)行判斷解:,把函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,可得到函數(shù)的圖象
4、,故選(C)評(píng)注:用函數(shù)圖象解決問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法,利用其直觀性實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題,所以要熟悉基本函數(shù)的圖象,并掌握?qǐng)D象的變化規(guī)律,比如:平移、伸縮、對(duì)稱等習(xí)題1、比較下列各組數(shù)的大小:(1)若 ,比較 與 ;(2)若 ,比較 與 ;(3)若 ,比較 與 ;(4)若 ,且 ,比較a與b;(5)若 ,且 ,比較a與b分析:設(shè) 均為正數(shù),則 ,即比較兩個(gè)正數(shù)的大小,可比較它們的商與1的大小掌握指數(shù)函數(shù)的圖象規(guī)律,還要掌握底的變化對(duì)圖象形狀的影響這主要有兩方面:其一是對(duì) ;對(duì) 用語(yǔ)言敘述即在y軸右側(cè),底越大其圖象越遠(yuǎn)離x軸;在y軸左側(cè),底越大,其圖象越接近x軸這部分內(nèi)容即本題(2),(3)所說(shuō)的
5、內(nèi)容其二是當(dāng)?shù)拙笥?時(shí),底越大,其圖象越接近y軸;當(dāng)?shù)拙∮?時(shí),底越小,其圖象越接近y軸一個(gè)便于記憶的方法是:若以離1遠(yuǎn)者為底,則其圖象接近y軸當(dāng)然這是指底數(shù)均大于1或均小于1這部分內(nèi)容即本題(4)與(5)解:(1)由 ,故 ,此時(shí)函數(shù) 為減函數(shù)由 ,故 (2)由 ,故 又 ,故 從而 (3)由 ,因 ,故 又 ,故 從而 (4)應(yīng)有 因若 ,則 又 ,故 ,這樣 又因 ,故 從而 ,這與已知 矛盾(5)應(yīng)有 因若 ,則 又 ,故 ,這樣有 又因 ,且 ,故 從而 ,這與已知 矛盾小結(jié):比較通常借助相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖象來(lái)求解2、(1)指數(shù)函數(shù) 滿足不等式 ,則它們的圖象是 ( )
6、. 分析:此題應(yīng)首先根據(jù)底數(shù)的范圍判斷圖象的升降性,再根據(jù)兩個(gè)底數(shù)的大小比較判斷對(duì)應(yīng)的曲線.解:由 可知應(yīng)為兩條遞減的曲線,故只可能是 或 ,進(jìn)而再判斷與 和 的對(duì)應(yīng)關(guān)系,此時(shí)判斷的方法很多,不妨選特殊點(diǎn)法,令 ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為 和 ,由 可知應(yīng)選 . (2)曲線 分別是指數(shù)函數(shù) , 和 的圖象,則 與1的大小關(guān)系是 ( ). ( 分析:首先可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性,確定 ,在 軸右側(cè)令 ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值由小到大依次為 ,故應(yīng)選 .小結(jié):這種類型題目是比較典型的數(shù)形結(jié)合的題目,第(1)題是由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化,第(2)題則是由圖到數(shù)的翻譯,它的主要目的是提高學(xué)生識(shí)圖,用圖的
7、意識(shí).求最值3 求下列函數(shù)的定義域與值域.(1)y2; (2)y4x+2x+1+1.解:(1)x-30,y2的定義域?yàn)閤xR且x3.又0,21,y2的值域?yàn)閥y>0且y1.(2)y4x+2x+1+1的定義域?yàn)镽.2x>0,y4x+2x+1+1(2x)2+2·2x+1(2x+1)2>1.y4x+2x+1+1的值域?yàn)閥y>1.4 已知-1x2,求函數(shù)f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值解:設(shè)t=3x,因?yàn)?1x2,所以,且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故當(dāng)t=3即x=1時(shí),f(x)取最大值12,當(dāng)t=9即x=2時(shí)f(x)取最小值-
8、24。5、設(shè) ,求函數(shù) 的最大值和最小值分析:注意到 ,設(shè) ,則原來(lái)的函數(shù)成為 ,利用閉區(qū)間上二次函數(shù)的值域的求法,可求得函數(shù)的最值解:設(shè) ,由 知, ,函數(shù)成為 , ,對(duì)稱軸 ,故函數(shù)最小值為 ,因端點(diǎn) 較 距對(duì)稱軸 遠(yuǎn),故函數(shù)的最大值為 6(9分)已知函數(shù)在區(qū)間1,1上的最大值是14,求a的值.解: , 換元為,對(duì)稱軸為.當(dāng),即x=1時(shí)取最大值,略解得 a=3 (a= 5舍去)7已知函數(shù) ( 且 )(1)求 的最小值; (2)若 ,求 的取值范圍解:(1) , 當(dāng) 即 時(shí), 有最小值為 (2) ,解得 當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 時(shí), 8(10分)(1)已知是奇函數(shù),求常數(shù)m的值; (2)
9、畫(huà)出函數(shù)的圖象,并利用圖象回答:k為何值時(shí),方程|3k無(wú)解?有一解?有兩解?解: (1)常數(shù)m=1(2)當(dāng)k<0時(shí),直線y=k與函數(shù)的圖象無(wú)交點(diǎn),即方程無(wú)解;當(dāng)k=0或k1時(shí), 直線y=k與函數(shù)的圖象有唯一的交點(diǎn),所以方程有一解; 當(dāng)0<k<1時(shí), 直線y=k與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn),所以方程有兩解。9若函數(shù) 是奇函數(shù),求 的值解: 為奇函數(shù), ,即 ,則 , 10. 已知9x-10.3x+90,求函數(shù)y=()x-1-4·()x+2的最大值和最小值解:由已知得(3x)2-10·3x+90 得(3x-9)(3x-1)013x9 故0x2 而y=()x-1-
10、4·()x+2= 4·()2x-4·()x+2 令t=()x()則y=f(t)=4t2-4t+2=4(t-)2+1 當(dāng)t=即x=1時(shí),ymin=1 當(dāng)t=1即x=0時(shí),ymax=2 11已知 ,求函數(shù) 的值域解:由 得 ,即 ,解之得 ,于是 ,即 ,故所求函數(shù)的值域?yàn)?12. (9分)求函數(shù)的定義域,值域和單調(diào)區(qū)間定義域?yàn)镽 值域(0,8。(3)在(-, 1上是增函數(shù)在1,+)上是減函數(shù)。13 求函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間.分析 這是復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題可設(shè)y,ux2-3x+2,其中y為減函數(shù)ux2-3x+2的減區(qū)間就是原函數(shù)的增區(qū)間(即減減增)ux2-3x+2的增區(qū)
11、間就是原函數(shù)的減區(qū)間(即減、增減)解:設(shè)y,ux2-3x+2,y關(guān)于u遞減,當(dāng)x(-,)時(shí),u為減函數(shù),y關(guān)于x為增函數(shù);當(dāng)x,+)時(shí),u為增函數(shù),y關(guān)于x為減函數(shù).14 已知函數(shù)f(x) (a>0且a1).(1)求f(x)的定義域和值域;(2)討論f(x)的奇偶性;(3)討論f(x)的單調(diào)性.解:(1)易得f(x)的定義域?yàn)閤xR.設(shè)y,解得ax-ax>0當(dāng)且僅當(dāng)->0時(shí),方程有解.解->0得-1<y<1.f(x)的值域?yàn)閥-1y1.(2)f(-x)-f(x)且定義域?yàn)镽,f(x)是奇函數(shù).(3)f(x)1-.1°當(dāng)a>1時(shí),ax+1為增函
12、數(shù),且ax+1>0.為減函數(shù),從而f(x)1-為增函數(shù).2°當(dāng)0<a<1時(shí),類似地可得f(x)為減函數(shù).15、已知函數(shù)f(x)=a(aR),(1) 求證:對(duì)任何aR,f(x)為增函數(shù)(2) 若f(x)為奇函數(shù)時(shí),求a的值。(1)證明:設(shè)x1x2f(x2)f(x1)=0故對(duì)任何aR,f(x)為增函數(shù)(2),又f(x)為奇函數(shù) 得到。即16、定義在R上的奇函數(shù)有最小正周期為2,且時(shí),(1)求在1,1上的解析式;(2)判斷在(0,1)上的單調(diào)性;(3)當(dāng)為何值時(shí),方程=在上有實(shí)數(shù)解.解(1)xR上的奇函數(shù) 又2為最小正周期 設(shè)x(1,0),則x(0,1),(2)設(shè)0<
13、;x1<x2<1 = 在(0,1)上為減函數(shù)。(3)在(0,1)上為減函數(shù)。 即 同理在(1,0)時(shí),又當(dāng)或時(shí)在1,1內(nèi)有實(shí)數(shù)解。 函數(shù)yax(a>1)的圖像是( )分析 本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)、函數(shù)奇偶性的函數(shù)圖像,以及數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想.解法1:(分類討論):去絕對(duì)值,可得y又a>1,由指數(shù)函數(shù)圖像易知,應(yīng)選B.解法2:因?yàn)閥ax是偶函數(shù),又a>1,所以當(dāng)x0時(shí),yax是增函數(shù);x0時(shí),ya-x是減函數(shù).應(yīng)選B.學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)定義的兩個(gè)注意點(diǎn)指數(shù)函數(shù)施我們學(xué)習(xí)的基本函數(shù)之一,對(duì)于指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí),概念非常重要,因此一定要弄懂指數(shù)函數(shù)的定義。指數(shù)函
14、數(shù)的定義:函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)定義域是R。注意點(diǎn)1:為什么要規(guī)定呢?若,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)當(dāng)時(shí),無(wú)意義. 若,則對(duì)于的某些數(shù)值,可使無(wú)意義. 如,這時(shí)對(duì)于,等等,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在.若,則對(duì)于任何,是一個(gè)常量,沒(méi)有研究的必要性. 為了避免上述各種情況,所以規(guī)定。在規(guī)定以后,對(duì)于任何,都有意義,且. 因此指數(shù)函數(shù)的定義域是,值域是 。注意點(diǎn)2:函數(shù)是指數(shù)函數(shù)嗎?指數(shù)函數(shù)的解析式中,的系數(shù)是1.有些函數(shù)貌似指數(shù)函數(shù),實(shí)際上卻不是,如 (,);有些函數(shù)看起來(lái)不像指數(shù)函數(shù),實(shí)際上卻是,如 (),因?yàn)樗梢曰癁?,其中,且。以上兩點(diǎn)在學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)碰到,希望大家在學(xué)習(xí)中能引起注意,真正理解
15、指數(shù)函數(shù)的定義。是的,又到春分時(shí)分,今日已是晝夜平分春色,這也意味著,我們的春天,轉(zhuǎn)眼已經(jīng)走到一半。不禁,有了些許淡淡的悵然。這歲序更迭啊,從來(lái)不會(huì)給任何人眷戀的機(jī)會(huì)。我們甚至來(lái)不及感嘆,便匆匆走向下一個(gè)節(jié)氣。不經(jīng)意間,我們走著走著,便把春天走成了姹紫嫣紅,草長(zhǎng)鶯飛。此時(shí)正是,春風(fēng)又綠江南岸,萬(wàn)紫千紅總是春。是春風(fēng)花草香,又把新桃換舊符。那些走過(guò)的時(shí)光,隨手握一把,滿是春天新鮮的味道,沁滿春日陽(yáng)光的暖。這春風(fēng)啊,總是來(lái)的那么急,那么聲勢(shì)浩蕩,帶著泥土松軟的芳香,帶著小河流水的嘩嘩聲,還有桃花杏花梨花的艷。我們無(wú)需刻意尋芳,自有滿眼的春色,驚艷了原本平淡的生活。這就是春天,無(wú)論走著,還是睡著。一抬頭,就會(huì)遇見(jiàn)一樹(shù)花開(kāi)。一低眉,便會(huì)遇見(jiàn)一行青柳。那些匆匆擦肩的路人,已是換了薄薄的春衫,令你眼前一亮,心情也隨之明媚起來(lái)。沿河緩緩行走,總會(huì)有姹紫嫣紅的花事,與你撞個(gè)滿懷。那小桃紅,玉蘭粉,梨花白,連翹黃,還有那些婀娜的柳絲,瞬間讓時(shí)光變得柔軟,而詩(shī)意!最喜歡,吹面不寒楊柳風(fēng),斜風(fēng)細(xì)雨不須歸。漫步柳堤,踏著柔軟的土地,看風(fēng)吹葉綠,看花開(kāi)滿枝,心兒也隨風(fēng)怒放。這輕輕楊柳風(fēng),這悠悠桃花水,如詩(shī),如畫(huà),是否也會(huì)醉了你的眼?經(jīng)年的淡定,昔日的重逢,漫過(guò)春天靜好的光陰,讓滄桑了無(wú)痕。走在繁花似錦的陌上,清風(fēng)徐徐,鶯聲燕語(yǔ),該是多么愜意。心底,全是對(duì)這個(gè)世界的感動(dòng)與喜
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