行程問題歸納

1、1、為什么說行程問題可以說是難度最大的奧數專題?類型多：行程分類細，變化多，工程抓住工作效率和比例關系，而行程每個類型重點不一，因此沒有一個關鍵點可以抓題目難：理解題目、動態(tài)演繹推理一一靜態(tài)知識容易學，動態(tài)分析需要較高的理解能力、邏輯分析和概括能力跨度大：從三年級到六年級都要學行程一一四年的跨度，需要不斷的復習鞏固來加深理解、夯實基礎2、那么想要學好行程問題，需要掌握哪些要訣呢？要訣一：大部分題目有規(guī)律可依，要訣是"學透"基本公式要訣二：無規(guī)律的題目有“攻略"，一畫（畫圖法）二抓（比例法、方程法）3、行程模塊中包含哪些知識點，有何解題技巧？例題講解？行程問題包含多

2、人行程、二次相遇、多次相遇、火車過橋、流水行船、環(huán)形跑道、鐘面行程、走走停停、接送問題、發(fā)車問題、電梯行程等更新目錄：多人行程的要點及解題技巧例題及答案（一）二次相遇的要點及解題技巧例題及答案（一）追及問題的要點及解題技巧例題及答案（一）火車過橋的要點及解題技巧例題及答案（一）流水行船的要點及解題技巧例題及答案（一）環(huán)形跑道的要點及解題技巧例題及答案（一）鐘面行程的要點及解題技巧例題及答案（一）走走停停的要點及解題技巧例題及答案（一）接送問題的要點及解題技巧例題及答案（一）發(fā)車問題的要點及解題技巧例題及答案（一）例題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（二）例

3、題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（二）電梯行程的要點及解題技巧例題及答案（一）獵狗追兔的要點及解題技巧例題及答案（一）平均速度的要點及解題技巧例題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（二）例題及答案（一）奧數行程：多人行程的要點及解題技巧行程問題無論怎么變化，都離不開“三個量，三個關系”：這三個量是：路程（s）、速度（v）、時間三個關系：1 .簡單行程：路程交度X時間2 .相遇問題：路程和=速度和x時間3 .追擊問題：路程差=速度差x時間牢牢把握住這三個量以及它們之間的三種關系，就會發(fā)現解決行程問題還是有很多方法可循的。如“多人行程問題”，實際最常見的

4、是“三人行程”例：有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米？分析：這個三人行程的問題由兩個相遇、一個追擊組成，題目中所給的條件只有三個人的速度，以及一個“3分鐘”的時間。第一個相遇：在3分鐘的時間里，甲、丙的路程和為（40+36）X3=228（米）第一個追擊：這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時間為228+（38-36）=114（分鐘）第二個相遇：在114分鐘里

5、，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長為（40+38）X114=8892（米）我們把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題，使解題思路更加清晰?？傊?，行程問題是重點，也是難點，更是鍛煉思維的好工具。只要理解好“三個量”之間的“三個關系”，解決行程問題并非難事！奧數行程：多人行程例題及答案（一）多人行程-這類問題主要涉及的人數為3人，主要考察的問題就是求前兩個人相遇或追及的時刻，第三個人的位置，解題的思路就是把三人問題轉化為尋找兩兩人之間的關系。例1.甲乙丙三人同時從東村去西村，甲騎自行車每小時比乙快12公里，比丙快15公里，甲行3.5小時到達西村后立刻返回。在距西村30公里處和乙相聚，

6、問：丙行了多長時間和甲相遇？答案一：設乙每小時行x公里，則甲為x+12,丙為x-15+12=x-33.5*12=（x+12）*2x=9甲為21公里，丙為6公里，21*3.5*2/（21+6）=5.44小時丙行了5.44小時和甲相遇答案二：在距西村30公里處和乙相聚，則甲比乙多走60公里，而甲騎自行車每小時比乙快12公里，所以，甲乙相聚時所用時間是60/12=5小時，所以甲從西村到和乙相聚用了5-3,5=1.5小時，所以，甲速是：30/1,5=20公里/小時，所以，丙速是：20-15=5公里/小時，東村到西村的距離是：20*3,5=70公里，所以，甲丙相遇時間是：（2*70）/（20+5）=5.

7、6小時例2.難度：高難度甲、乙、丙三輛車同時從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車的速度分別為60千米/時和48千米/時。有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后6時、7時、8時先后與甲、乙、丙三輛車相遇。求丙車的速度。【解答】解題思路：（多人相遇問題要轉化成兩兩之間的問題，咱們的相遇和追擊公式也是研究的兩者。另外ST圖也是很關鍵）第一步：當甲經過6小時與卡車相遇時，乙也走了6小時，甲比乙多走了660-486=72千米；（這也是現在乙車與卡車的距離）第二步：接上一步，乙與卡車接著走1小時相遇，所以卡車的速度為72-481=24第三步：綜上整體看問題可以求出全程為：（60+24）6=504或（48+24）7

8、=504第四步：收官之戰(zhàn)：5048-24=39（千米）注意事項：畫圖時，要標上時間，并且多人要同時標，以防思路錯亂！例3.難度：高難度李華步行以每小時4千米的速度從學校出發(fā)到20.4千米外的冬令營報到。0.5小時后，營地老師聞訊前來迎接，每小時比李華多走1.2千米，又經過了1.5小時，張明從學校騎車去營地報到。結果3人同時在途中某地相遇。問：張明每小時行駛多少千米？【解答】老師出發(fā)時和李華相距20.4-4X0.5=18.4千米，再過18.4+(4+4+1.2)=2小時相遇，相遇地點距學校2X4+2=10千米,張明行駛的時間為0.5小時，因此張明的速度為10+0.5=20千米/時。奧數行程：多人

9、行程例題及答案(二)行程問題是小學奧數中難度系數比較高的一個模塊，在小升初考試和各大奧數杯賽中都能見到行程問題的身影。多人行程-這類問題主要涉及的人數為3人，主要考察的問題就是求前兩個人相遇或追及的時刻，第三個人的位置，解題的思路就是把三人問題轉化為尋找兩兩人之間的關系。例1.AB兩地相距30千米，甲乙丙三人同時從A到B,而且要求同時到達?，F在有兩輛自行車，但不許帶人，但可以將自行車放在中途某處，后來的人可以接著騎。已知騎自行車的平均速度為每小時20千米，甲步行的速度是每小時5千米，乙和丙每小時4千米，那么三人需要多少小時可以同時到達？【解答】因為乙丙步行速度相等，所以他們兩人步行路程和騎車路

10、程應該是相等的。對于甲因為他步行速度快一些，所以騎車路程少一點，步行路程多一些。現在考慮甲和乙丙步行路程的距離。甲多步行1千米要用1/5小時，乙多騎車1千米用1/20小時，甲多用1/5-1/20=3/20小時。甲步行1千米比乙少用1/4-1/5=1/20小時。，所以甲比乙多步行的路程是乙步行路程的：1/20/（3/20=1/3.這樣設乙丙步行路程為3份，甲步行4份。如下圖安排：33I1-1丙放車乙放/車4這樣甲騎車行騎車的3/5,步行2/5.所以時間為：30*3/5/20+30*2/5/5=3.3小時。例2.有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行

11、。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問：這個花圃的周長是多少米？【解答】這個三人行程的問題由兩個相遇、一個追擊組成，題目中所給的條件只有三個人的速度，以及一個“3分鐘”的時間。第一個相遇：在3分鐘的時間里，甲、丙的路程和為（40+36）X3=228（米）第一個追擊：這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時間里,乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時間為228+（38-36）=114（分鐘）第二個相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長為（40+38）X114=8892（米）我們把這樣一個抽象的三人

12、行程問題分解為三個簡單的問題，使解題思路更加清晰?？傊?，行程問題是重點，也是難點，更是鍛煉思維的好工具。只要理解好“三個量”之間的“三個關系”，解決行程問題并非難事!奧數行程：二次相遇的要點及解題技巧一、概念：兩個運動物體作相向運動或在環(huán)形跑道上作背向運動，隨著時間的發(fā)展，必然面對面地相遇，這類問題叫做相遇問題。二、特點：它的特點是兩個運動物體共同走完整個路程。小學數學教材中的行程問題，一般是指相遇問題。三、類型：相遇問題根據數量關系可分成三種類型：求路程，求相遇時間，求速度。四、三者的基本關系及公式：它們的基本關系式如下：總路程=（甲速+乙速）X相遇時間相遇時間=總路程+（甲速+乙速）另一個

13、速度二甲乙速度和-已知的一個速度奧數行程：二次相遇例題及答案（一）答題思路點撥：甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)相向而行，兩人在C地相遇，相遇后甲繼續(xù)走到B地后返回，乙繼續(xù)走到A地后返回，第二次在D地相遇。一般知道AC和AD的距離，主要抓住第二次相遇時走的路程是第一次相遇時走的路程的兩倍。例1.甲乙兩車同時從AB兩地相向而行，在距B地54千米處相遇，它們各自到達對方車站后立即返回，在距A地42千米處相遇。請問A、B兩地相距多少千米？A.120B.100C.90D.80【解答】A解析：設兩地相距x千米，由題可知，第一次相遇兩車共走了x,第二次相遇兩車共走了2x,由于速度不變，所以，第一次相遇到第二次相

14、遇走的路程分別為第一次相遇的二倍，即54X2=x-54+42,得出x=120。例2.兩汽車同時從AB兩地相向而行，在離A城52千米處相遇，到達對方城市后立即以原速沿原路返回，在離A城44千米處相遇。兩城市相距（）千米A.200B.150C.120D.100【解答】Do解析：第一次相遇時兩車共走一個全程，第二次相遇時兩車共走了兩個全程，從A城出發(fā)的汽車在第二次相遇時走了52X2=104千米，從B城出發(fā)的汽車走了52+44=94千米，故兩城間距離為（104+96）+2=100千米。繞圈問題：例3.在一個圓形跑道上，甲從A點、乙從B點同時出發(fā)反向而行，8分鐘后兩人相遇，再過6分鐘甲到B點，又過10分

15、鐘兩人再次相遇，則甲環(huán)行一周需要（）？A24分鐘B.26分鐘C.28分鐘D.30分鐘【解答】C。解析：甲、乙兩人從第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分鐘。也就是說，兩人16分鐘走一圈。從出發(fā)到兩人第一次相遇用了8分鐘，所以兩人共走半圈，即從A到B是半圈，甲從A至（JB用了8+6=14分鐘，故甲環(huán)行一周需要14X2=28分鐘。也是一個倍數關系。奧數行程：二次相遇例題及答案（二）例1.兩輛汽車同時從甲、乙兩地相對開出，一輛汽車每小時行56千米，另一輛汽車每小時行63千米，經過4小時后相遇。甲乙兩地相距多少千米？（適于五年級程度）【解答】兩輛汽車從同時相對開出到相遇各行4小時。一輛汽車的速度

16、乘以它行駛的時間，就是它行駛的路程；另一輛汽車的速度乘以它行駛的時間，就是這輛汽車行駛的路程。兩車行駛路程之和，就是兩地距離。56X4=224（千米）63X4=252（千米）224+252=476（千米）綜合算式：56x4+63X4=224+252=476（千米）答：甲乙兩地相距476千米。例2.兩列火車同時從相距480千米的兩個城市出發(fā)，相向而行，甲車每小時行駛40千米，乙車每小時行駛42千米。5小時后，兩列火車相距多少千米？（適于五年級程度）解：此題的答案不能直接求出，先求出兩車5小時共行多遠后，從兩地的距離480千米中，減去兩車5小時共行的路程，所得就是兩車的距離。480-(40+42)

17、X5=480-82X5=480-410=70(千米)答：5小時后兩列火車相距70千米。例3.兩列火車從甲、乙兩地同時出發(fā)對面開來，第一列火車每小時行駛60千米，第二列火車每小時行駛55千米。兩車相遇時,第一列火車比第二列火車多行了20千米。求甲、乙兩地間的距離。(適于五年級程度)解：兩車相遇時，兩車的路程差是20千米。出現路程差的原因是兩車行駛的速度不同，第一列火車每小時比第二列火車多行(60-55)千米。由此可求出兩車相遇的時間，進而求出甲、乙兩地間的距離。(60+55)X20+(60-55)=115X20+5=460(千米)答：甲、乙兩地間的距離為460千米。奧數行程：追及問題的要點及解題

18、技巧一、多人相遇追及問題的概念及公式多人相遇追及問題，即在同一直線上，3個或3個以上的對象之間的相遇追及問題。所有行程問題都是圍繞""這一條基本關系式展開的，比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的本質也是這三個量之間的關系轉化.由此還可以得到如下兩條關系式：多人相遇與追及問題雖然較復雜，但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及的數量，問題即可迎刃而解。二、多次相遇追及問題的解題思路所有行程問題都是圍繞""這一條基本關系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復雜，但只要抓住這個公式，逐步表征題目中所涉及的數量，問題即可迎刃而解.多次相遇與全程的關系

19、1.兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個全程；第2次相遇，共走3個全程；第3次相遇，共走5個全程；第N次相遇，共走2N-1個全程；注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。2.同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個全程;第2次相遇，共走4個全程;第3次相遇，共走6個全程;第N次相遇，共走2N個全程；3、多人多次相遇追及的解題關鍵多次相遇追及的解題關鍵幾個全程多人相遇追及的解題關鍵路程差奧數行程：追及問題例題及答案(一)例1.一條街上，一個騎車人和一個步行人相向而行，騎車人的速度是步行人的3倍,每個隔10分鐘有一輛公交車超過一個行人。每個隔20分鐘有一

20、輛公交車超過一個騎車人，如果公交車從始發(fā)站每隔相同的時間發(fā)一輛車，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車？A.10B.8C.6D.4【解答】我們知道這個題目出現了2個情況，就是(1)汽車與騎自行車的人的追擊問題，(2)汽車與行人的追擊問題追擊問題中的一個顯著的公式就是路程差=速度差X時間我們知道這里的2個追擊情況的路程差都是汽車的間隔發(fā)車距離。是相等的。因為我們要求的是關于時間所以可以將汽車的間隔距離看作單位1.那么根據追擊公式(V汽車V步行)=1/10(2)(V汽車3V步行)=1/20(1)X3(2)=2V汽車=3/10-1/20很快速的就能解得V汽車=1/8答案顯而易見是8例2.小明在商場的一樓要乘扶

21、梯到二樓。扶梯方向向上，小芳則從二樓到一樓。已知小明的速度是小芳的2倍。小明用了2分鐘到達二樓，小芳用了8分鐘到達一樓。如果我們把一個箱子放在一樓的第一個階梯上問多長時間可以到達二樓？【解答】跟上面一題一樣。這個題目也是2個行程問題的比較(1)小明跟扶梯之間是方向相同(V小明+V扶梯)=1/2(2)小芳跟扶梯的方向相反(V小芳V扶梯)=1/8(1)-2X(2)=3V扶梯=1/4可見扶梯速度是1/12答案就顯而易見了?？偨Y：在多個行程問題模型存在的時候。我們利用其速度差，速度和的關系將未知的變量抵消?？梢院茌p松的一步求得結果！奧數行程：追及問題例題及答案（二）例1.上午8點8分，小明騎自行車從家

22、里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米。問這時是幾點幾分？國,也.衣法熱小照I爸爸【I*-H"V、飛家4千米"6-4"千米圖27-1【解答】先畫出示意圖圖37-1如下（圖37-1中A點表示爸爸第一次追上小明的地方，B點表示他第二次追上小明的地方）。從圖37-1上看出，在相同時間（從第一次追上到第二次追上）內，小明從A點至UB點，行完（8-4=）4千米；爸爸先從A點到家，再從家到B點，行完（8+4=）12千米。可見，爸爸的速度是小明的（12+4=）3倍。從而，行

23、完同樣多的路程（比如從家到A點），小明所用的時間就是爸爸的3倍。圖37-1由于小明從家出發(fā)8分鐘后爸爸去追他，并且在A點追上，所以，小明從家到A點比爸爸多用8分鐘。這樣可以算出，小明從家到A所用的時間為8-(3-1)X3=12(分)+(3-1)X3XX2=24(分)例2.A、B兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)，步行到B地，乙騎摩托車從B地出發(fā)，不停地往返于A、B兩地之間，他們同時出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問：當甲到達B地時，乙追上甲幾次？甲一4H&!：BIlI乙第一次相遇第一次追上【解答】由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在100-80=20

24、（分鐘）內所走的路程恰等于線段FA的長度再加上線段AE的長度，即等于甲在（80+100）分鐘內所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（=180+20）,則BF的長為AF的9倍，所以，甲從A到B,共需走80X（1+9）=800（分鐘），乙第一次追上甲時，所用的時間為100分鐘，且與甲的路程差為一個AB全程.從第一次追上甲時開始，乙每次追上甲的路程差就是兩個AB全程，因此，追及時間也變?yōu)?00分鐘，所以，在甲從A到B的800分鐘內，乙共有4次追上甲，即在第100分鐘，300分鐘，500分鐘和700分鐘.奧數行程：火車過橋的要點及解題技巧一、什么是過橋問題？火車過橋問題是行程問題的一種，也有路程、速度

25、與時間之間的數量關系，同時還涉及車長、橋長等問題。基本數量關系是火車速度X時間=車長+橋長二、關于火車過橋問題的三種題型：(1)基本題型：這類問題需要注意兩點：火車車長記入總路程；重點是車尾：火車與人擦肩而過，即車尾離人而去。如：火車通過一條長1140米的橋梁用了50秒，火車穿過1980米的隧道用了80秒，求這列火車的速度和車長。(過橋問題)一列火車通過800米的橋需55秒，通過500米的隧道需40秒。問該列車與另一列長384、每秒鐘行18米的列車迎面錯車需要多少秒鐘？(火車相遇)(2)錯車或者超車：看哪輛車經過，路程和或差就是哪輛車的車長如：快、慢兩列火車相向而行，快車的車長是50米，慢車的

26、車長是80米，快車的速度是慢車的2倍，如果坐在慢車的人見快車駛過窗口的時間是5秒，那么，坐在快車的人見慢車駛過窗口的時間是多少？(3)綜合題：用車長求出速度；雖然不知道總路程，但是可以求出某兩個時刻間兩人或車之間的路程關系如：鐵路旁有一條小路，一列長為110米的火車以每小時30千米的速度向南駛去，8點時追上向南行走的一名軍人，15秒后離他而去，8點6分迎面遇到一個向北走的農民，12秒后離開這個農民。問軍人與農民何時相遇？奧數行程：火車過橋的例題及答案（一）例1.一列火車長150米，每秒鐘行19米。全車通過長800米的大橋，需要多少時間？【解答】列車過橋，就是從車頭上橋到車尾離橋止。車尾經過的距

27、離=車長+橋長，車尾行駛這段路程所用的時間用車長與橋長和除以車速。解：（800+150）+19=50（秒）答：全車通過長800米的大橋，需要50秒。例2.一列火車長200米，以每秒8米的速度通過一條隧道，從車頭進洞到車尾離洞，一共用了40秒。這條隧道長多少米？【解答】先求出車長與隧道長的和，然后求出隧道長。火車從車頭進洞到車尾離洞，共走車長+隧道長。這段路程是以每秒8米的速度行了40秒。解：（1）火車40秒所行路程：8X40=320（米）（2）隧道長度：320-200=120（米）答：這條隧道長120米。例3.一列火車長119米，它以每秒15米的速度行駛，小華以每秒2米的速度從對面走來，經過幾

28、秒鐘后火車從小華身邊通過？【解答】本題是求火車車頭與小華相遇時到車尾與小華相遇時經過的時間。依題意，必須要知道火車車頭與小華相遇時，車尾與小華的距離、火車與小華的速度和。解：（1）火車與小華的速度和：15+2=17（米/秒）（2）相距距離就是一個火車車長：119米（3）經過時間：119+17=7（秒）答：經過7秒鐘后火車從小華身邊通過。奧數行程：火車過橋的例題及答案（二）例1.某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米的鐵橋用23秒，該列車與另一列長320米，速度為每小時行64.8千米的火車錯車時需要（）秒?！窘獯稹炕疖囘^橋問題公式：（車長+橋長）/火車車速=火車過橋時間速度為每小時行6

29、4.8千米的火車，每秒的速度為18米/秒,某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米的鐵橋用23秒，則該火車車速為：（250-210）/（25-23）=20米/秒路程差除以時間差等于火車車速.該火車車長為：20*25-250=250（米）或20*23-210=250（米）所以該列車與另一列長320米，速度為每小時行64.8千米的火車錯車時需要的時間為（320+250）/（18+20）=15（秒）例2.一列火車長160m勻速行駛，首先用26s的時間通過甲隧道（即從車頭進入口到車尾離開口為止），行駛了100km后又用16s的時間通過乙隧道，到達了某車站，總行程100.352km。求甲、乙隧道

30、的長？【解答】設甲隧道的長度為xm那么乙隧道的長度是(100.352-100)(單位是千米！)*1000-x=(352-x)那么(x+160)/26=(352-x+160)/16解出x=256那么乙隧道的長度是352-256=96火車過橋問題的基本公式(火車的長度+橋的長度)/時間=速度例3.甲、乙兩人分別沿鐵軌反向而行，此時，一列火車勻速地向甲迎面駛來，列車在甲身旁開過，用了15秒，然后在乙身旁開過，用了17秒，已知兩人的步行速度都是3.6千米/小時，這列火車有多長？【解答】從題意得知，甲與火車是一個相遇問題，兩者行駛路程的和是火車的長.乙與火車是一個追及問題，兩者行駛路程的差是火車的長，因

31、此，先設這列火車的速度為x米/秒，兩人的步行速度3.6千米/小時=1米/秒，所以根據甲與火車相遇計算火車的長為(15x+1X15)米，根據乙與火車追及計算火車的長為(17x-1X17)米，兩種運算結果火車的長不變，列得方程為15/+1X15=17/-1X17解得：x=16故火車的長為17X16-1X17=255米奧數行程：流水行船的要點及解題技巧一、什么叫流水行船問題船在水中航行時，除了自身的速度外，還受到水流的影響，在這種情況下計算船只的航行速度、時間和行程，研究水流速度與船只自身速度的相互作用問題，叫作流水行船問題。二、流水行船問題中有哪三個基本量？流水行船問題是行程問題中的一種，因此行程

32、問題中的速度、時間、路程三個基本量之間的關系在這里也當然適用.三、流水行船問題中的三個基本量之間有何關系？流水行船問題還有以下兩個基本公式：順水速度=船速+水速，（1）逆水速度=船速-水速.（2）這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時間里所走過的路程.水速，是指水在單位時間里流過的路程.順水速度和逆水速度分別指順流航行時和逆流航行時船在單位時間里所行的路程。根據加減法互為逆運算的關系，由公式（1）可以得到：水速=順水速度-船速，船速=順水速度-水速。由公式（2）可以得到:水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。這就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實際速度和水速這三個量中的任

33、意兩個，就可以求出第三個量。另外，已知船的逆水速度和順水速度，根據公式（1）和公式（2）,相加和相減就可以得到：船速=（順水速度+逆水速度）+2,水速=（順水速度-逆水速度）+2。奧數行程：流水行船的例題及答案（一）例1.一艘輪船從河的上游甲港順流到達下游的丙港，然后調頭逆流向上到達中游的乙港，共用了12小時。已知這條輪船的順流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小時2千米，從甲港到乙港相距18千米。則甲、丙兩港間的距離為（）A.44千米B,48千米C,30千米D.36千米【答案】A。解析：順流速度逆流速度=2X水流速度，又順流速度=2X逆流速度，可知順流速度=4X水流速度=8千米/時,逆流速度

34、=2X水流速度=4千米/時。設甲、丙兩港間距離為X千米,可列方程X+8+（X18）+4=12解得X=44例2.一艘輪船在兩碼頭之間航行。如果順水航行需8小時,如果逆水航行需11小時。已知水速為每小時3千米，那么兩碼頭之間的距離是多少千米？A.180B.185C.190D.176【答案】Do解析：設全程為s,那么順水速度為，逆水速度為，由（順水速度-逆水速度）/2=水速，知道=6,得出s=176c【知識點撥】我們知道，船順水航行時，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行進，同時整個水面又按水流動的速度在前進，因此船順水航行的實際速度（簡稱順水速度）就等于船速和水速的和，即：順水速度=船速+水速

35、同理：逆水速度抽速-水速可推知：船速=（順水速度+逆水速度）/2;水速=（順水速度-逆水速度）/2奧數行程：流水行船的例題及答案（二）例1.甲、乙兩港間的水路長208千米，一只船從甲港開往乙港，順水8小時到達，從乙港返回甲港，逆水13小時到達，求船在靜水中的速度和水流速度?！痉治觥扛鶕}意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本數量關系先求出順水速度和逆水速度，而順水速度和逆水速度可按行程問題的一般數量關系，用路程分別除以順水、逆水所行時間求出。解：順水速度：208+8=26（千米/小時）逆水速度：208+13=16（千米/小時）船速：（26+16）+2=21（千米/小時）水速：（2616）+2

36、=5（千米/小時）答：船在靜水中的速度為每小時21千米，水流速度每小時5千米。例2.某船在靜水中的速度是每小時15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小時，水速每小時3千米，問從乙地返回甲地需要多少時間？【分析】要想求從乙地返回甲地需要多少時間，只要分別求出甲、乙兩地之間的路程和逆水速度。解：從甲地到乙地，順水速度：15+3=18（千米/小時），甲乙兩地路程：18X8=144（千米），從乙地到甲地的逆水速度：15-3=12（千米/小時），返回時逆行用的時間：144+12=12（小時）。答：從乙地返回甲地需要12小時。例3.甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需35小時，逆流航行比順流航

37、行多花了5小時,現在有一機帆船，靜水中速度是每小時12千米，這機帆船往返兩港要多少小時？【分析】要求帆船往返兩港的時間，就要先求出水速.由題意可以知道，輪船逆流航行與順流航行的時間和與時間差分別是35小時與5小時，用和差問題解法可以求出逆流航行和順流航行的時間.并能進一步求出輪船的逆流速度和順流速度.在此基礎上再用和差問題解法求出水速。解：輪船逆流航行的時間：（35+5）+2=20（小時），順流航行的時間：（355）+2=15（小時），輪船逆流速度：360+20=18（千米/小時），順流速度：360+15=24（千米/小時），水速：（2418）+2=3（千米/小時），帆船的順流速度：12+3=

38、15（千米/小時），帆船的逆水速度：12-3=9（千米/小時），帆船往返兩港所用時間：360+15+360+9=24+40=64（小時）。答：機帆船往返兩港要64小時。奧數行程：環(huán)形跑道的要點及解題技巧一、什么是環(huán)形跑道問題？環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關鍵是看我們是否能夠準確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進行分析。二、在做出線段圖后，反復的在每一段路程上利用：路程和=相遇時間X速度和路程差=a及時間X速度差三、解環(huán)形跑道問題的一般方法：環(huán)形跑道問題，從同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相

39、遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次.這個等量關系往往成為我們解決問題的關鍵。環(huán)線型同一出發(fā)點直徑兩端同向；路程差門5"介。.55相對（反向）：路隹和話3735奧數行程：環(huán)形跑道的例題及答案（一）環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關鍵是看我們是否能夠準確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進行分析。下面通過幾道例題來幫助大家鞏固環(huán)形跑道的相關知識。例1.甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點A背向同時出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點與點A沿跑

40、道上的最短路程是多少米？【解答】設乙的速度是x米/分0.1米/秒=6米/分8x+8x+8X6=400X5x=122122X8+400=2.176那么兩人第五次相遇的地點與點A沿跑道上的最短路程是176米例2.二人沿一周長400米的環(huán)形跑道均速前進，甲行一圈4分鐘，乙行一圈7分鐘，他們同時同地同向出發(fā)，甲走10圈，改反向出發(fā)，每次甲追上乙或迎面相遇時二人都要擊掌。問第十五次擊掌時，甲走多長時間乙走多少路程？【解答】甲走完10圈走了10*400=4000米他們每擊掌一次，甲走一圈（畫畫圖就會明白的），則15*400=6000米總共走了6000+4000=10000米10000/400=25分鐘因為

41、甲乙所走時間想同所以乙走了25/7*400=1428米例3.林玲在450米長的環(huán)形跑道上跑一圈，已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4米，那么他后一半路程跑了多少秒？【解答】總共用日寸為450+（5+4）=50秒后半程用時=（225-4X50）+5+50=55秒例4.某人在360米的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4米，則他后一半路程跑了多少秒？【解答】44秒因為共花了80秒的時間（80/2）-360/2）/5+80/2=44例5.一條環(huán)形跑道長400米，小青每分鐘跑260米，小蘭每分鐘跑210米，兩人同時出發(fā)，經過多少分鐘兩人相遇（不用解方程）【解答】

42、小青每分鐘比小蘭多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分鐘例6.兩人在環(huán)形跑道上跑步，兩人從同一地點出發(fā)，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后兩人相遇。如果同向而行，幾秒后兩人再次相遇【解答】（4+3）X45=315米一一環(huán)形跑道的長（相遇問題求解）315+（4-3）=315秒一一（追及問題求解）答：315秒后兩人再次相遇.奧數行程：環(huán)形跑道的例題及答案（二）環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關鍵是看我們是否能夠準確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進行分析。下面通過幾道例題來幫助大

43、家鞏固環(huán)形跑道的相關知識。例1.甲、乙兩人同時從400米的環(huán)形路跑道的一點A背向出發(fā)，8分鐘后兩人第三次相遇。已知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0.1米，兩人第三次相遇的地點與A點沿跑道上的最短距離是（）。A.166米B.176米C.224米D.234米【解答】甲、乙兩人三次相遇，共行了三個全程，即是3X400=1200（米）。根據題意，甲乙兩人的速度和為1200/8=150（米/分）因為甲乙兩人的每分速度差為0.1X60=6（米/分），所以甲的速度為（150+6）/2=78（米/分）甲8分鐘行的路程為78X8=624（米），離開原點624-400=224米，因為224>400/2,所以400-

44、224=176（米）即為答案。例2.乙兩車同時從同一點出發(fā)，沿周長6千米的圓形跑道以相反的方向行駛。甲車每小時行駛65千米，乙車每小時行駛55千米。一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調頭；一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點距離點有多少米？(每一次甲車追上乙車也看作一次相遇)【解答】第一次是一個相遇過程，相遇時間為：6+(65+55)=0.05小時,相遇地點距離A點:55X0.05=2.75千米.然后乙車調頭，成為追及過程，追及時間為：6+(65-55)=0.6小時，乙車在此過程中走的路程為：55X0.6=33千米，即5圈又3千米，那么這時距離A點3-2.75=0

45、.25千米.此時甲車調頭，又成為相遇過程，同樣方法可計算出相遇地點距離A點0.25+2.75=3千米，然后乙車掉頭，成為追及過程，根據上面的計算，乙車又要走5圈又3千米，所以此時兩車又重新回到了A點，并且行駛的方向與最開始相同.所以，每4次相遇為一個周期，而11+4=2-3,所以第11次相遇的地點與第3次相遇的地點是相同的，與A點的距離是3000米。奧數行程：鐘面行程問題的要點及解題技巧一、什么是鐘面行程問題？鐘面行程問題是研究鐘面上的時針和分針關系的問題，常見的有兩種：研究時針、分針成一定角度的問題，包括重合、成一條直線、成直角或成一定角度；研究有關時間誤差的問題.在鐘面上每針都沿順時針方向

46、轉動，但因速度不同總是分針追趕時針，或是分針超越時針的局面，因此常見的鐘面問題往往轉化為追及問題來解.二、鐘面問題有哪幾種類型？第一類是追及問題（注意時針分針關系的時候往往有兩種情況）；第二類是相遇問題（時針分針永遠不會是相遇的關系，但是當時針分針與某一刻度夾角相等時，可以求出路程和）；第三種就是走不準問題，這一類問題中最關鍵的一點：找到表與現實時間的比例關系。三、鐘面問題有哪些關鍵問題？確定分針與時針的初始位置；確定分針與時針的路程差；四、解答鐘面問題有哪些基本方法？分格方法：時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時走60分格，即一周；而時針只走5分格，故分針每分鐘

47、走1分格，時針每分鐘走1/12分格。度數方法：從角度觀點看，鐘面圓周一周是360,分針每分鐘轉360/60度，即6°,時針每分鐘轉360/12*60度，即1/2度。旱礎裁識1(1)周角是36C*,鐘面上有12個大格，肉個大橋是360“子12=30*；有60個小格，每個小格是35CT子60-曠(2)時針將小時走一個大格30”).所以時針哧分鐘走州.+60F另,;分針每小時走6。個小格.所以分鐘每分鐘走613用大格來描述：酎鐘做小時41火格，分針每小時打12大格.可看出分針速度業(yè)時計速度的12倍.C4)用小格來描述;分針每分鐘行1小格，時針每分鐘行小格.W用度來描述：分針5。分鐘行虢。度

48、，則分什每分鐘行6度時針桿分鐘行0,5度.奧數行程：鐘面行程問題的例題及答案(一)例1:從5時整開始，經過多長時間后，時針與分針第一次成了直線？5 時整時，分針指向正上方，時針指向右下方，此時兩者之間間隔為25個小格(表面上每個數字之間為5個小格)，如果要成直線，則分針要超過時針30個小格，所以在此時間段內，分針一共比時針多走了55個小格。由每分鐘分針比時針都走11/12個小格可知，此段時間為55/(11/12)=60分鐘，也就是經過60分鐘時針與分針第一次成了直線。例2:從6時整開始，經過多少分鐘后，時針與分針第一次重合？6 時整時，分針指向正上方，時針指向正下方，兩者之間間隔為30個小格。

49、如果要第一次重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?,那么分針要比時針多走30個小格，此段時間為30/(11/12)=360/11分鐘。例3:在8時多少分，日寸針與分針垂直？8 時整時，分針指向正上方，時針指向左下方，兩者之間間隔為40個小格。如果要兩者垂直，有兩種情況，一個是第一次垂直，此時兩者間隔為15個小格(分針落后時針)，也就是分針比時針多走了25個小格，此段時間為25/(11/12)=300/11分鐘；另一次是第二次垂直，此時兩者間隔仍為15個小格(但分針超過時針)，也就是分針比時針多走了55個小格，此段時間為55/(11/12)=60分鐘，時間變?yōu)?時，超過了題意的8時多少分要求，所以在8時

50、300/11分時，分針與時針垂直。由上面三個例題可以看出，求解此類問題（經過多少時間，分針與時間成多少夾角）時，采用上述方法是非常方便、簡單、快捷的，解題過程形象易懂，結果正確率高，是一種非常好的方法。解決此類問題的一個關鍵點就是抓住分針比時針多走了多少個小格，而不論兩者分別走了多少個小格。奧數行程：鐘面行程問題的例題及答案(二)例1:從9點整開始，經過多少分，在幾點鐘，時針與分針第一次成直線？9時整時，分針指向正上方，時針指向正右方，兩者之間間隔為45個小格。如果要第一次成直線，也就是兩者之間間隔變?yōu)?0個小格，那么分針要比時針多走15個小格，此段時間為15/(11/12)=180/11分鐘

51、。例2:一個指在九點鐘的時鐘，分針追上時針需要多少分鐘？9時整時，分針指向正上方，時針指向正右方，兩者之間間隔為45個小格。如果要分針追上時針，也就是兩者之間間隔變?yōu)?個小格，那么分針要比時針多走45個小格，此段時間為45/(11/12)=540/11分鐘。例3:時鐘的分針和時針現在恰好重合，那么經過多少分鐘可以成一條直線？時針和分針重合，也就是兩者間隔為0個小格，如果要成一條直線，也就是兩者間隔變?yōu)?0個小格，那么分針要比時針多走30個小格，此段時間為30/(11/12)=360/11分鐘。奧數行程：走走停停的要點及解題技巧一、行程問題里走走停停的題目應該怎么做1. 畫出速度和路程的圖。2.

52、 要學會讀圖。3. 每一個加速減速、勻速要分清楚，這有利于你的解題思路。4. 要注意每一個行程之間的聯系。二、學好行程問題的要訣行程問題可以說是難度最大的奧數專題。類型多：行程分類細，變化多，工程抓住工作效率和比例關系，而行程每個類型重點不一，因此沒有一個關鍵點可以抓題目難：理解題目、動態(tài)演繹推理一一靜態(tài)知識容易學，動態(tài)分析需要較高的理解能力、邏輯分析和概括能力跨度大：從三年級到六年級都要學行程一一四年的跨度，需要不斷的復習鞏固來加深理解、夯實基礎那么想要學好行程問題，需要掌握哪些要訣呢？要訣一：大部分題目有規(guī)律可依，要訣是“學透"基本公式要訣二：無規(guī)律的題目有"攻略&qu

53、ot;，一畫（畫圖法）二抓（比例法、方程法）競賽考試中的行程題涉及到很多中數學方法和思想（比如：假設法、比例、方程）等的熟練運用，而這些方法和思想，都是小學奧數中最為經典并能考察孩子思維的專項。奧數行程：走走停停的例題及答案(一)例1.甲乙兩人同時從一條800環(huán)形跑道同向行駛，甲100米/分，乙80米/分，兩人每跑200米休息1分鐘，甲需多久第一次追上乙？【解答】這樣的題有三種情況：在乙休息結束時被追上、在休息過程中被追上和在行進中被追上。很顯然首先考慮在休息結束時的時間最少，如果不行再考慮在休息過程中被追上，最后考慮行進中被追上。其中在休息結束時或者休息過程中被追上的情況必須考慮是否是在休息

54、點追上的。由此首先考慮休息800+2001=3分鐘的情況。甲就要比乙多休息3分鐘，就相當于甲要追乙800+80X3=1040米，需要1040+(10080)=52分鐘，52分鐘甲行了52X100=5200米，岡U好是在休息點追上的滿足條件。行5200米要休息5200+2001=25分鐘。因此甲需要52+25=77分鐘第一次追上乙。例2.在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點的跑道相距200米，甲、乙兩人分別從AB兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他們每人跑100米都停5秒.那么，甲追上乙需要多少秒？【解答】這是傳說中的“走走停?！钡男谐虇栴}。這里分三種情況討論休息的時間，第

55、一、如果在行進中追上，甲比乙多休息10秒，第二，如果在乙休息結束的時候追上，甲比乙多休息5秒，第三，如果在休息過程中且又沒有休息結束，那么甲比乙多休息的時間，就在這510秒之間。顯然我們考慮的順序是首先看是否在結束時追上，又是否在休息中追上，最后考慮在行進中追上。有了以上的分析，我們就可以來解答這個題了。我們假設在同一個地點，甲比乙晚出發(fā)的時間在200/7+5=235/7和200/7+10=270/7的之間，在以后的行程中，甲就要比乙少用這么多時間，由于甲行100米比乙少用100/5100/7=40/7秒。繼續(xù)討論，因為270/7+40/7不是整數，說明第一次追上不是在乙休息結束的時候追上的。

56、因為在這個范圍內有240/7+40/7=6是整數，說明在乙休息的中追上的。即甲共行了6X100+200=800米，休息了7次，計算出時間就是800/7+7X5=149又2/7秒。注：這種方法不適于休息點不同的題，具有片面性。例3.在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點的跑道相距200米，甲、乙兩人分別從AB兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他們每人跑100米都停5秒.那么，甲追上乙需要多少秒？這里分三種情況討論休息的時間，第一、如果在行進中追上，甲比乙多休息10秒，第二，如果在乙休息結束的時候追上，甲比乙多休息5秒，第三，如果在休息過程中且又沒有休息結束，那么甲比乙多休息的時間，就在這510秒之間。顯然我們考慮的順序是首先看是否在結束時追上，又是否在休息中追上，最后考慮在行進中追上有了以上的分析，我們就可以來解答這個題了。我們假設在同一個地點，甲比乙晚出發(fā)的時間在200/7+5=235/7和200/7+10=270/7的之間，在以后的行程中，甲就要比乙少用這么多時間，由于甲行100米比乙少用100/5100/7=40/7秒。繼續(xù)討論，因為270/7+40/7不是整數，說明第一次追上不是在乙休息結束的時候追上的。因為在這個范圍內有240/7+40/7=6是整數，說明在乙休息的中追上的。即甲共行了6X100+200=800米，