《橢圓的簡單性質(zhì)》教案

1、橢圓的簡單性質(zhì)教案教學(xué)目的:1 .熟練掌握橢圓的范圍，對稱性，頂點等簡單幾何性質(zhì)。2 .掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中4,仇。的幾何意義，以及。力,的相互關(guān)系。3 .理解、掌握坐標(biāo)法中根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的一般方法。教學(xué)重點：橢圓的幾何性質(zhì)教學(xué)難點：如何貫徹數(shù)形結(jié)合思想，運用曲線方程研究幾何性質(zhì)授課類型：新授課。課時安排：1課時。教具：多媒體、實物投影儀。內(nèi)容分析：根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一，根據(jù)曲線的條件列出方程，如果說是解析幾何的手段，那么根據(jù)曲線的方程研究它的性質(zhì)、畫圖就是解析幾何的目的。怎樣用代數(shù)的方法來研究曲線原性質(zhì)呢？本節(jié)內(nèi)容為系

2、統(tǒng)地按照方程來研究曲線的幾何性質(zhì)提供了一個范例，因此，本節(jié)內(nèi)容在解析幾何中占有非常重要的地位。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握應(yīng)從哪些方面來討論一般曲線的幾何性質(zhì)，從而對曲線的方程和方程的曲線彼此之間的相輔相成的辯證關(guān)系，對解析幾何的基本思想有更深的了解。通過對橢圓幾種畫法的學(xué)習(xí)，能深化對橢圓定義的認(rèn)識，提高畫圖能力；通過幾何性質(zhì)的簡單的應(yīng)用，了解到如何應(yīng)用幾何性質(zhì)去解決實際問題，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。本節(jié)內(nèi)容的重點是橢圓的幾何性質(zhì)一一范圍、對稱性、頂點、離心率、準(zhǔn)線方程；根據(jù)方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思路與方法；橢圓的幾種畫法。難點是橢圓的離心率、準(zhǔn)線方程及橢圓的第二定義的理解，關(guān)鍵

3、是掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓圖形的對應(yīng)關(guān)系，理解關(guān)掌握兩種橢圓的定義的等價性。根據(jù)教學(xué)大綱的安排，本節(jié)內(nèi)容分4個課時進行教學(xué)，本節(jié)內(nèi)容的課時分配作如下設(shè)計:第一課時，橢圓的范圍、對稱性、頂點坐標(biāo)、離心率、橢圓的畫法；第二課時，橢圓的第二定義、橢圓的準(zhǔn)線方程；第三課時，焦半徑公式與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第四課時，橢圓的參數(shù)方程及應(yīng)用。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入:1 .橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點距離之和等于定長(定長大于兩定點間的距離)的動點的軌跡。2 .標(biāo)準(zhǔn)方程：二+二=1,二+(心)cr/?crb-3 .問題：(1)橢圓曲線的幾何意義是什么？(2) “范圍”是方程中變量的取值范圍，是曲線所在的位置的范圍

4、，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的，取值范圍是什么？其圖形位置是怎樣的？(3)標(biāo)準(zhǔn)形式的方程所表示的橢圓，其對稱性是怎樣的？(4)橢圓的頂點是怎樣的點？橢圓的長軸與短軸是怎樣定義的？長軸長、短軸長各是多少？”,4c的幾何意義各是什么？(5)橢圓的離心率是怎樣定義的？用什么來表示？它的范圍如何？在這個范圍內(nèi)，它的變化對橢圓有什么影響？(6)畫橢圓草圖的方法是怎樣的？二、講解新課：Ai Fi -OF2 LV_JQ瓦p由橢圓方程二+二=1(。0)研究橢圓的性a-lr質(zhì).(利用方程研究，說明結(jié)論與由圖形觀察一致)(1)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程得出4i,4i,即有crbaxa,-bye = J_g)2范圍：0 v e v 1

5、?？疾鞕E圓形狀與e的關(guān)系：6-0,。-0,橢圓變圓，直至成為極限位置圓, 也可認(rèn)為圓為橢圓在e = 0時的特y此時 Aif,JA2 x例 oefl,c-a,橢圓變扁，直至成為極限位置線段耳F),此時也可認(rèn)為圓為橢圓在，=1時的特例。三、講解范例：例1求橢圓16/+25V=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo)，并用描點法畫出它的圖形。解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程22二十二=1所以，a=5,b=4,c=4=3,5-4一因此，橢圓的長軸的長和短軸的長分別為2a=10,2=8,離心率*=?,兩個焦a5點分別為5(3,0),心(3,0),橢圓的四個頂點是A(-5,0),4(5,0),B(0,-

6、4),B2(0,4).將已知方程變形為)，=1也57?,根據(jù)),=后二7,在04xW5的范圍內(nèi)算出幾個點的坐標(biāo)(x,y)：X012345y43.93.73.22.40先描點畫出橢圓的一部分，再利用橢圓的對稱性畫出整個橢圓:yo|5例2在同一坐標(biāo)系中畫出下列橢圓的簡圖:答：簡圖如下:I/.卜例3分別在兩個坐標(biāo)系中，畫出以下橢圓的簡圖：“一6 一四、課堂練習(xí):1 .已知橢圓的一個焦點將長軸分為6：VT兩段，求其離心率.解：由題意,(a + c): (a-c) = y(3 :&，即1+e _ V3，解得e = 5-2V6 .2 .如圖，求橢圓二+二內(nèi)接正方形crbABCD的面積.積為4a2 b2a2

7、+b2解由橢圓和正方形的中心對稱性知，正方形BFOE的面積是所求正方形面積的1/4,且B點橫縱坐標(biāo)相等，故設(shè)B（?。霗E圓方程求得尸=萼二，即正方形ABCD面cr+Zr五、小結(jié)：這節(jié)課學(xué)習(xí)了川方程討論曲線幾何性質(zhì)的思想方法；學(xué)習(xí)了橢圓的幾何性質(zhì):對稱性、頂點、范圍、離心率；學(xué)習(xí)了橢圓的描點法畫圖及徒手畫橢圓草圖的方法.第二課時教學(xué)目的：1 .掌握橢圓范圍、對稱性、頂點、離心率、準(zhǔn)線方程等幾何性質(zhì):2 .理解橢圓第二定義與第一定義的等價性；3 .掌握根據(jù)曲線方程來研究曲線性質(zhì)的基本思路與方法；培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，概括能力;提高學(xué)生畫圖能力；提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力教學(xué)重點：橢圓的第二定

8、義、橢圓的準(zhǔn)線方程教學(xué)難點：橢圓第二定義授課類型：新授課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1 .橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間的距離）的動點的軌跡.1?，2 .標(biāo)準(zhǔn)方程：*+*+22Q 一 B】P3 .橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程一j-+yv=1（6/?0）“一b-范圍：-cixa,-bye=(2尸.0vev1.aa橢圓形狀與e的關(guān)系：ef0,c-0,橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在e=0時的特例。efl,c一a橢圓變扁，直至成為極限位置線段FxFlt此時也可認(rèn)為圓為橢圓在e=l時的特例。4 .回顧一下焦點在入軸上的橢

9、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程：如果對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)進行適當(dāng)變形，我們會有新的發(fā)現(xiàn)：J(x-c)2+y+yj(x+c)2+y2=2a=yj(x-c)2+y2=a-x=-(-x),即;=(2)a2ax-c同時還有如支客=(3)ac觀察上述三式的結(jié)構(gòu)，說出它們各自的幾何意義,從而引出橢圓的第二定義.二、講解新課：1.橢圓的第二定義:一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(0,1)內(nèi)常數(shù)小那么這個點的軌跡叫做橢圓.其中定點叫做焦點，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)e就是離心率.Zu42F2IIF1；Ai一2.橢圓的準(zhǔn)線方對于二十二=1，相對于左焦點耳（-。,0）對應(yīng)著左準(zhǔn)線L：x=-M;相

10、對于右焦點cr/rc凡（C,0）對應(yīng)著右準(zhǔn)線，2：X=4.對于E+二=1,相對于下焦點G（0C）對應(yīng)著下準(zhǔn)線cb-/,：y=-；相對于上焦點（0,c）對應(yīng)著上準(zhǔn)線/,:y=.C-Cy準(zhǔn)線的位置關(guān)系：C12212焦點到準(zhǔn)線的距離=4-。=匕匚=（焦參數(shù)）CCC其上任意點P（x,y）到準(zhǔn)線的距離：（分情況討論）.點評：（1）從上面的探索與分析可知，橢圓的第二定義與第一定義是等價的，它是橢圓兩種不同的定義方式.（2）橢圓的準(zhǔn)線方程有兩條，這兩條準(zhǔn)線在橢圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短軸對稱.三、講解范例：例1求下列橢圓的準(zhǔn)線方程：（1）/+4/=4（2）工+t=1.16812解：方程/+4/=4可化為=

11、1,是焦點在x軸上且。=2/=1,。=有的橢圓所以此橢圓的準(zhǔn)線方程為x=C = J方的橢圓.方程看+_=1是焦點在y軸上且a=9力=4,所以此橢圓的準(zhǔn)線方程為），=8181質(zhì)65例2橢圓二+二=1上有一點P,它到橢圓的左準(zhǔn)線10036距離為10,求點P到橢圓的右焦點的距離.解：橢圓工+二=1的離心率為6=3,根據(jù)橢圓的第100365二定義得，點P到橢圓的左焦點距離為18=8.再根據(jù)橢圓的第一定義得，點P到橢圓的右焦點的距離為208=12.四、課堂練習(xí)：1 .求下列橢圓的焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程2 2(1)+=1(2)2x2+y2=S10036答案：焦點坐標(biāo)(8,0),居(8,0)；準(zhǔn)線方程x=W9=

12、U.82Q焦點坐標(biāo)片(0,-2),尼(0,2)；準(zhǔn)線方程x=土=4.22.已知橢圓的兩條準(zhǔn)線方程為)，=9,離心率為;，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.答案：工十二=1.89五、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的第二定義，橢圓兩種定義是等價的；橢圓的兩種類型的準(zhǔn)線方程也是不同的，須區(qū)別開來.2jfflyl(x-a)2+y2=(-x)(2)ac2即yl(x-a)2+y2=(-x)=a-exac同樣(3)也可以這樣處理，這是橢圓的焦半徑公式.六、課后記：本課時背景材料是課本例4,學(xué)生解答例4并不困難，但對例4中直線的出現(xiàn)感到突然與困難，對由此得出的第二定義與第一定義有何內(nèi)在聯(lián)系搞不清楚.本設(shè)計通過反思橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

13、過程，引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)橢圓的第二定義.使學(xué)生明白兩種定義是等價的，消除了學(xué)生困惑.利用引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)定義的教學(xué)，調(diào)動學(xué)生的積極性，加強了知識發(fā)生過程的教學(xué).使用多媒體輔助教學(xué)，增加了課堂教學(xué)容量，提高了課堂教學(xué)效益-第三課時教學(xué)目的：1 .能推導(dǎo)，掌握橢圓的焦半徑公式，并能利用焦半徑公式解決有關(guān)與焦點距離有關(guān)的問題；2 .能利用橢圓的有關(guān)知識解決實際問題，及綜合問題；3 .體會數(shù)學(xué)形式的簡潔美,增強愛國主義觀念。教學(xué)重點：焦半徑公式的的推導(dǎo)及應(yīng)用教學(xué)難點：焦半徑公式的的推導(dǎo)，應(yīng)用問題中坐標(biāo)系的建立授課類型：新授課課時安排：1課時.教具：多媒體、實物投影儀.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1.橢圓定義

14、：在平面內(nèi)，到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間的距離）的動點的軌跡.1?，2標(biāo)準(zhǔn)方程：%+1G2）3 .橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程9+（1）：-axa,-by=e=、Q|P.0el.橢圓形狀與e的關(guān)系：ef0,c-0,橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在e=0時的特例.”fl,c-橢圓變扁，直至成為極限位置線段大尸2,此時也可認(rèn)為圓為橢圓在e=l時的特例.4 .橢圓的第二定義.:一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個（0,1）內(nèi)常數(shù)e,那么這個點的軌跡叫做橢圓.其中定點叫做焦點，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)e就是離心率.橢圓的第二定義與第一定義是等價的，它是橢圓兩種不同

15、的定義方式.5 .橢圓的準(zhǔn)線方程：橢圓的準(zhǔn)線方程有兩條，這兩條準(zhǔn)線在橢圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短軸對稱.對于1十:=1,左準(zhǔn)線L：x=-4;右準(zhǔn)線/,:x=4erb.cc對于+二=1,下準(zhǔn)線/1：y=一0）的一點，八和A分別是點ab與點五（一。,0）,尸2（。0）的距離，那么（左焦半徑）=4+6X（）,（右焦半徑）-2=4-已，其中e是離心率.推導(dǎo)方法一：四用2=（/+九2,|M/%|?=（x0-c）2+y02MF-MF=4cr。，又；.|+園居|=24+ MF21 = 2a徑）r2= a-ex0c卜W = a + x0 = a + ex0*即（左焦半徑）a =a + ex（）,（右焦半外

16、| = ax0 = a _ exQ推導(dǎo)方法二：，= e,一=eIMF I I MF, I 14= fj = e I MF11= e（f x0） = + % ,2G=elMRI=e（ -Xo） = a-ex0.同理有焦點在y軸上的橢圓的焦半徑公式: cMFI=a+ey0MF2=a-eyQ（其中月F2分別是橢圓的下上焦點）注意：焦半徑公式的兩種形式的區(qū)別只和焦點的左右有關(guān)，而與點在左在右無關(guān).可以記為：左加右減，上減下加.三、講解范例例1如圖所示，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星運行軌道是以地心（地球的中心）尼為一個焦點的橢圓，已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面439km,遠(yuǎn)地點B（離地面最遠(yuǎn)的

17、點）距地面2384km,并且F?、A、B在同一直線上，設(shè)地球半徑約為6371km,求衛(wèi)星運行的軌道方程（精確到1km）.解：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，使點A、B、F?在x軸上，則a-c=IOAI-IOA1=1F,Al=6371+439=68104+c=IOBI+IOf1=1F,Bl=6371+2384=8755一解得4=7782.5,c=972.5b=yla2-c2=y（a+c）（a-c）=J6810x87557722.衛(wèi)星運行的軌道方程為=7V+=J=1778327722222例2橢圓千+1=1（a/70）,其上一點P（3,y）到兩焦點的距離分別是6.5和3.5,求橢圓方程.a + 3e =

18、6.5Xj+x2=83 .設(shè)P是以0為中心的橢圓上任意一點，入為右焦點，求證：以線段吊尸為直徑的圓與此橢圓長軸為直徑的圓內(nèi)切.22證明：設(shè)橢圓方程為二+二=1,（焦半徑F?尸是圓01的直徑，則由4一叱口=竺利3=四=|。|知，兩圓半徑222之差等于圓心距，所以，以線段AP為直徑的圓與此橢圓長軸為直徑的圓內(nèi)切.五、小結(jié)：焦半徑公式的推導(dǎo)方法及形式；實際問題中坐標(biāo)系的建立應(yīng)使問題易求解.第四課時教學(xué)目的：1 .了解橢圓的參數(shù)方程，了解參數(shù)方程中系數(shù)的含義.2 .通過學(xué)習(xí)橢圓的參數(shù)方程，進一步完善對橢圓的認(rèn)識，理解參數(shù)方程與普通方程的相互聯(lián)系.并能相互轉(zhuǎn)化.提高綜合運用能力.教學(xué)重點：進一步鞏固和掌握由曲線求方程及由方程研究曲線的方法及橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo).教學(xué)難點：深入理解推導(dǎo)方程的過程.靈活運用方程求解問題.授課類型：新授課.課時安排：1課時.教具：多媒體、實物投影儀.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1 .橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間的距離）