新課標(biāo)高一數(shù)學(xué)解題直觀感知的培養(yǎng)例探

1、新課標(biāo)高一數(shù)學(xué)解題直觀感知的培養(yǎng)例探林坤成(福建省東山一中)摘要 本文主要通過夯實根底、挖掘特征、數(shù)形結(jié)合、設(shè)疑頓悟、題型特例、變式類比等方面介紹了高一數(shù)學(xué)解題直觀感知培養(yǎng)的嘗試做法，強(qiáng)調(diào)了直觀感知在高一新生新課程數(shù)學(xué)解題中的重要性，同時對高一數(shù)學(xué)教學(xué)教育做了適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)和分析，有利于進(jìn)一步教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生更好的數(shù)學(xué)思維能力。關(guān)鍵詞 直觀感知、例探直觀感知是新課標(biāo)數(shù)學(xué)思維能力的根底性要求，是其它思維能力的開展平臺，它不受邏輯規(guī)那么的約束，是數(shù)學(xué)問題的一種迅速的識別和判斷。高一年學(xué)生的思維的自由度大，不受框框束縛，由于知識水平的缺陷及邏輯思維力度不夠，據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)大局部學(xué)生都不適應(yīng)新課標(biāo)的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

2、，做題束手無策，雖有時能“感覺到數(shù)學(xué)問題的某種關(guān)系，但又說不出或說不清理由。究其原因，多數(shù)學(xué)生數(shù)學(xué)解題的直觀感知很差，因此，要完成高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，首先必須培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的直觀感知，以便提高數(shù)學(xué)的其它思維能力。下面本人就如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題直觀感知提出幾點看法：1、夯實根底，啟迪直感進(jìn)入高中，數(shù)學(xué)能力要求較高，知識內(nèi)容多，課堂教學(xué)容量較大，大局部學(xué)生一時難以適應(yīng)，如對函數(shù)的一些根本概念、根本性質(zhì)等，很多學(xué)生沒有掌握好，做起題目來，常常張冠李戴，一頭霧水。例1：判定f(x)=ln( +x)的奇偶性.誤解： x-x， + x0 f(x)的定義域為R , 又f(-x)=ln( -x)=ln( -

3、x)±f(x)f(x)為非奇非偶函數(shù)。1剖析：雖然注意到定義域的考察，但演變過程不到位，沒有注意到+x-x= 這一知識點，導(dǎo)致解題錯誤。例2：A=x|x2-2x-30，B=x|a-1x2a,假設(shè)AB=B時，求實數(shù)a的取值范圍。分析：有很多學(xué)生對“AB=B這一關(guān)鍵知識點理解為"A B"，導(dǎo)致主要錯誤。有的學(xué)生注意到“B A這一關(guān)鍵，但又往往遺漏B 這一特殊情況的知識點。類似例1、例2、這樣的題目在高一新教材中有很多，雖然難度不大，但很少學(xué)生做得完美，這表達(dá)了學(xué)生根底知識的不扎實，因此數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，要切實抓好學(xué)生的根底知識，落實于每節(jié)課的教學(xué)中，讓每個同學(xué)都意

4、識到根底知識的重要性，使學(xué)生能有效地掌握好根底知識，為培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀感知奠定根底。2、挖掘特征，培養(yǎng)直覺每道習(xí)題都有一定的數(shù)學(xué)特征：如數(shù)字特征，結(jié)構(gòu)特征，命題特征等等，在解題時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)注意、觀察和利用題目特征，提高解題速度和準(zhǔn)確性，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀感知。例3、f(x)=ax5+bx3+cx+8，且有f(-2)=10,求f(2)的值.分析：函數(shù)有a、b、c三個特定系數(shù)，由f(-2)=10，只能列出一個方程，顯然不能確定a、b、c。假設(shè)注意到±2是一對相反數(shù)，結(jié)合函數(shù)特點，那么有以下解法：解：由f(x)=ax5+bx3+cx+8可行f(-x)=-ax5-bx5-cx+8那么由

5、+得f(x)+f(-x)=16f(-2)+f(2)=16 又f(-2)=10f(2)=6例4：a+lga=3 , b+10b=3,求a+b的值。解法1：由得a=103-a , 3-b=10b兩式相減得， 3-a-b=10b-103-a (1)假設(shè)3-a-b>0,那么3-a>b,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得103-a >10b代入得0 < 3-a-b=10b -1010-a <0矛盾(2)假設(shè)3-a-b<0那么3-a<b,同理得103-a <10b代入得0>3-a-b=10b-103-a >0矛盾綜上得3-a-b=0,即a+b=3解法2：此題

6、的幾何意義是：a是ylgx與y=3-x交點A的橫坐標(biāo)，b是y=10x與y=3-x交點B的橫坐標(biāo)，(如圖1)由兩互為反函數(shù)圖象的對稱性，知A與B關(guān)于直線y=x對稱。解方程組 可得C(，) 圖1 但C為A、B的中點，故 = ,a+b=3 解法3：條件a+lga=3,10b+b=3,說明單調(diào)函數(shù)f(x)=x+lgx,當(dāng) x1=a , x2=10b(其中l(wèi)gx2=b)時，函數(shù)值相等f(a)=f(10b)據(jù)單調(diào)性，必有自變量相等a=10ba+b=10b+b=3評析：解法1的本質(zhì)是利用函數(shù)的單調(diào)性，解法2的本質(zhì)是利用互為反函數(shù)的性質(zhì)，解法3的本質(zhì)是法1和法2的兩個性質(zhì)集中起來的。通過挖掘題目的特征，使解題

7、多樣化，讓學(xué)生享受到學(xué)數(shù)學(xué)的無窮樂趣，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的直覺。3、數(shù)形結(jié)合，誘發(fā)直感2數(shù)形結(jié)合是解題的有效途徑之一，它的最大優(yōu)點是簡明直觀，因此，在解題時，假設(shè)能以“形助“數(shù)，由“數(shù)思“形，數(shù)形轉(zhuǎn)化往往能巧妙地翻開解題的突破口，有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)解題感知的培養(yǎng)。例5、設(shè)函數(shù)f(x)=loga(1-x),g(x)=loga(1+x) (a>0,a1),假設(shè)關(guān)于x方程ag(x-x +1)=af(k) -x有一實根，求k的取值范圍。略解：依題意，可得aloga(x-x2 +2)=aloga(1-k)-xx2-2x-1=k (-1<x<2 , k<1) 令y1=x2-2x-1,y2=

8、k,那么它們的圖象(2)如下所示圖 (2)由圖象可知 當(dāng)-1k<1或k=-2時，方程有一個實根評析：判斷方程根的個數(shù)，而不求出方程的根，通常是將方程轉(zhuǎn)化為兩個易作圖象的函數(shù)，兩函數(shù)圖象交點個數(shù)就是原方程的根的個數(shù)，在?新教材新學(xué)案?練習(xí)中，這類題目很多，教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)化指導(dǎo)學(xué)生充分利用數(shù)形結(jié)合的方法。4、設(shè)疑頓悟，激發(fā)直感問題是數(shù)學(xué)的靈魂。在教學(xué)中，我們要把學(xué)習(xí)主動權(quán)交給學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑的良好學(xué)習(xí)品質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會質(zhì)疑、釋疑，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀感知。例6、求方程2x=x2的解的個數(shù)很多學(xué)生用作圖法常常只考慮了y=2x與y=x2有兩個交點，果真如此嗎？其實不然。其原因是學(xué)生沒有注意到它們的增

9、長速度的不同而漏掉x =4這個解。通過頓悟，引發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生產(chǎn)生了很強(qiáng)的激疑效果，記憶深刻。 a a a a 例7、在進(jìn)行線面平行的判定定理的教學(xué)中，首先請同學(xué)們畫出表示線面平行的圖甲、圖乙。 b (丁)(丙)(乙)(甲)接著老師畫出圖丙，問學(xué)生直線a與平面平行嗎？結(jié)果，學(xué)生答復(fù)多種多樣，于是教師在內(nèi)添上直線b，追問直線a與平面平行嗎？這時大多數(shù)學(xué)生就馬上領(lǐng)悟到圖丁中直線a與平面是平行的，因此，假設(shè)平面外的一條直線a與平面內(nèi)的一條直線b平行，那么有a ,這時線面平行的判定定理就活生生地提了出來。這樣就使學(xué)生為了“問題而去找解題方法，主動去思考問題，感悟數(shù)學(xué)問題的抽象性，把抽象問題具體化、形

10、象化，誘發(fā)了學(xué)生的直觀感知，提高了學(xué)習(xí)情趣，從而努力完成學(xué)習(xí)目標(biāo)。5、掌握特例，優(yōu)化直感。 “題型就象是街上的一盞盞路燈，在黑暗中照亮著人們。學(xué)(甲)(乙)(丙)(丁) a a a a b 生通過對題型及特例的掌握，加深了對題型相關(guān)知識的理解，同時強(qiáng)化了相應(yīng)的數(shù)學(xué)解題方法，形成直感。例8、(1)求函數(shù)y=log0.5(x+ +1) (x1)的值域。 (2)求函數(shù)y= 的值域. (3)x ,求f(x)= 的最小值.分析：(1)中x+ +1=(x-1) + +2 (2)y= = (x+1)+(3)f(x) = = (x-2)+ 類似這類問題很多，都可視為函數(shù)y=x+ (a0, x0)的應(yīng)用，這里不

11、詳解。通過證明函數(shù)y=x+ (x0, a0)性質(zhì)，可得明確的結(jié)論：函數(shù)在(0，a內(nèi)是單調(diào)遞減，函數(shù)在a,+)是單調(diào)遞增，對該結(jié)論的掌握，可大大促進(jìn)其在解題應(yīng)用的廣泛性。例9、判斷以下兩個函數(shù)f(x)= (a0,a為參數(shù))f(x)=ax3(a為參數(shù))的奇偶性。評析：很多學(xué)生都沒有對參變量a進(jìn)行討論，導(dǎo)致大局部同學(xué)的答案不完整。其實中當(dāng)a1時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，當(dāng)a1時，函數(shù)為奇函數(shù)，中當(dāng)a0時，f(x)=ax3既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，當(dāng)a0時，f(x)是奇函數(shù)。以上問題是典型題和易錯題，象這類問題應(yīng)讓學(xué)生加強(qiáng)注意，認(rèn)真掌握，同時引導(dǎo)學(xué)生要有科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度，自覺感悟數(shù)學(xué)問題。6、變式類比，促發(fā)直感

12、變式教學(xué)，層層類比，步步為營，逐漸深入，使學(xué)生在探索和領(lǐng)悟知識的同時，享受到數(shù)學(xué)解題中的樂趣，促發(fā)解題直感。例10、?新學(xué)案?中P67第8題：方程 3的解是 思路1：很多學(xué)生將原方程化為3x二次方程，去掉增根，得x-，思路2：從原方程中的分子提取3-x,有 =3，馬上得解x-1評析：思路1有“小題大做之嫌。思路2做了技巧性的變式處理，使問題簡捷、迅速。例11、在例2中：Ax| x2-2x-30,B=x |a-1x2a假設(shè)AB=B,求a的取值范圍(問題)評析：“AB=B B A這一“對譯是解題(問題1)的關(guān)鍵。假設(shè)把該條件改為“AB="又如何？(問題2)當(dāng)學(xué)生完成問題2后，老師又可引導(dǎo)“AB"呢？(問題3)這時問題3自然就迎刃而解了。以上兩例說明，變式類比，讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的奇異性、相似性、和諧性等數(shù)學(xué)美感，促發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的直觀感知?？傊?，針對學(xué)生知識結(jié)構(gòu)水平和心理特征，在高一新生數(shù)學(xué)教育中，在高一新課標(biāo)指導(dǎo)下，我們要改變教學(xué)理念，對學(xué)生加強(qiáng)思維訓(xùn)練和研究性學(xué)習(xí)的探究，使學(xué)生的解題直觀感知能力不斷增強(qiáng)，形成數(shù)學(xué)悟性，從而提高數(shù)學(xué)解題思維能力。參考文獻(xiàn)1、郭慧清主編，?新教材新學(xué)案?數(shù)學(xué)必修(A版)，人教出版社