關(guān)于貸款的問題

1、關(guān)于貸款的問題摘要本文分析了關(guān)于幾種貸款方式下，不同的方式借貸人所要承受的還款的壓力，旨在對(duì)幾種方式的優(yōu)劣進(jìn)行比較。我們?cè)诿糠N還款方式下分析其貸款總額、月利率、還款期數(shù)、月還款額之間的關(guān)系，進(jìn)而得出了問題的結(jié)論。對(duì)于案例一，我們通過對(duì)其借貸關(guān)系的分析得出了其貸款總額、月利率、還款期數(shù)、月還款額的關(guān)系表達(dá)式，可以對(duì)任意量進(jìn)行推導(dǎo)，而由于在對(duì)這四種變量的運(yùn)算中，在對(duì)月利率的計(jì)算過程中，出現(xiàn)了高次方程，因此，顯然是不能手算的，我們?cè)诔绦蛑杏昧硕址▽?duì)月利率進(jìn)行求解，得出了其月利率大概是0.92%。對(duì)于借貸公司所提出的方案，我們通過對(duì)其所收入的和其所支出的進(jìn)行求解，得出其可以盈利，并且求出其盈利額大約

2、在14852元。對(duì)于案例二，利用第一問的公式得出了每月還款額的計(jì)算方法。對(duì)于“利隨本清等本不等息償還法”，其月還款額是根據(jù)其貸款本金分?jǐn)偟矫恳粋€(gè)月上的金額加上剩余未還款金額所產(chǎn)生的利息。我們運(yùn)用累加的方式求得其還款總額，進(jìn)而求出“等本、等息、等額還款法”的月還款額。最后，我們通過在不同借貸條件下三種方法的還款方式，得出了“等本、等息、等額還款法”是比較適合大眾的還款方式。最后，我們利用實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)模型作了檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)，通過我們利用程序所得出的結(jié)論與世紀(jì)數(shù)據(jù)相對(duì)比，誤差在千分之一之內(nèi)。說明我們的程序是可行的。關(guān)鍵字四種變量關(guān)系 公式推導(dǎo) 二分法 貸款方式選擇一、問題重述現(xiàn)代社會(huì)人們經(jīng)常需要利用貸

3、款來進(jìn)行一些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，比如貸款創(chuàng)業(yè)，貸款買房，貸款買車等等，但是貸款利息及每月還款額等等是怎樣計(jì)算的呢？如果假設(shè)采用等額還貸，已知貸款總額、月利率、總貸款時(shí)間，如何計(jì)算每月還款額？更一般地，若已知貸款總額、月利率、總貸款時(shí)間，每月還款額這四個(gè)變量中的任意三個(gè)，能否求出另外一個(gè)？同時(shí)，根據(jù)以下兩個(gè)案例，分析其中所包含的問題：1. 甲從一個(gè)借貸公司貸款60000美元, 年利率為12%, 25年還清。 假設(shè)是月等額還款(即一月為一期), 問他每月要還多少美元? (答案: 約632美元。 總還款額為189600美元。)這時(shí)有另一家借貸公司出來跟甲說：“我可以幫你提前2年還清貸款，并且每個(gè)月不需要多交還

4、款”。 該借貸公司提出的條件是: 1. 每半個(gè)月交一次還款，每次還款額是原來的一半(這似乎并沒有增加甲的負(fù)擔(dān)); 2. 因?yàn)槊堪雮€(gè)月就要給甲開一張收據(jù), 文書工作多了, 所以要求甲預(yù)付3個(gè)月的還款，即先付 632´3 = 1896美元, (這似乎也有一定的道理)。甲想了想：提前兩年還清貸款就可以少還632´24= 15168美元, 而先付的1896美元只是15168美元的八分之一。 于是甲認(rèn)為這是一筆合算的買賣。 試問這另一家借貸公司是會(huì)賠錢(它是一家慈善機(jī)構(gòu)！)還是仍然可以賺錢? 把原來的一期(一個(gè)月)拆分為相等的兩期, 從而將每期的還款額x替換成 x/2,每期的利率r替

5、換成 r/2 確實(shí)能夠提前還清嗎? 如果是, 能提前多少時(shí)間還清? 2為什么同樣的借貸利率，總還款額(本息合計(jì))會(huì)有不同呢?請(qǐng)仔細(xì)閱讀1998年12月30日金陵晚報(bào)下面的報(bào)道: 一筆總額為 13. 5 萬元的個(gè)人住房組合貸款, 在兩家銀行算出了兩種還款結(jié)果,而差額高達(dá)萬元以上, 這讓首次向銀行借款的江蘇某進(jìn)出口公司程姓夫婦傷透了腦筋。 據(jù)介紹, 小程打算貸8萬元公積金貸款和5.5萬元商業(yè)性貸款, 他分別前往省建行直屬支行和市建行房地產(chǎn)信貸部咨詢, 其結(jié)果是, 這 13. 5 萬元貸款, 分 15 年還清, 在利率相同的情況下省建行每月要求還本付息1175. 46元（其中公積金貸款660. 88

6、元, 商業(yè)性貸款514. 58元）, 而市建行每月要求還1116. 415元（其中公積金貸款634. 56元，商業(yè)性貸款481. 855元）。 按貸款 180 個(gè)月一算, 省建行的貸款比在市建行貸款要多10628. 1元。但兩家銀行均稱, 結(jié)果不一樣純屬正常。 有關(guān)行家向記者解釋說, 省建行雖然也是等額還款, 但實(shí)行的是先還息后還本原則, 用行話說就是按月結(jié)息, 每月還本還息不等, 但每月總額一樣。 舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子, 若每月等額還款1,000元, 第一個(gè)月還本息分別為100元、900元，而第二個(gè)月還本息分別變?yōu)?00元、800元, 依此類推。 而市建行實(shí)行的是較便于市民理解的等本、等息、等額還

7、款法。 為不讓市民首期還款時(shí)面對(duì)巨額利息為難, 該行取了一個(gè)利息平均值, 平攤到每個(gè)月中。 上述兩種算法都是人民銀行許可的。 值得一提的是, 小程夫婦的麻煩已引起了央行的重視, 為規(guī)范個(gè)人住房貸款計(jì)息辦法, 央行重新明確了個(gè)人住房貸款的利息計(jì)算方法。 從1999年1月1日起, 除保留每月等額本息償還法外, 又推出了利隨本清的等本不等息遞減還款法公式是：每月還款額=(貸款本金÷貸款期月數(shù))(本金 已還本金累計(jì)額)×月利率同一筆貸款按這兩種方法計(jì)算還款, 償還總金額相同。請(qǐng)回答下面的問題: 1.省建行的“每月等額本息償還法（先還息后還本原則）”中的每月還款額是怎樣算出來的?2.

8、央行推出的“利隨本清等本不等息償還法”的每月還款額是怎樣算出來的? 并用市建行的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算。3.市建行的“等本、等息、等額還款法”是怎樣得到的?4.試分析這三種算法的不同之處及利弊。二、問題分析首先，我們需要按照每月等額本息償還法的相關(guān)數(shù)據(jù)，分析出這種還款方式下的每月還款額，我們經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，其月還款額可以通過一個(gè)遞推的的表達(dá)式化簡(jiǎn)出來，進(jìn)而得到一個(gè)月還款額、還款月數(shù)、月利率、總貸款額之間的關(guān)系式，再通過對(duì)這個(gè)式子的變形，得出四個(gè)變量的關(guān)系。對(duì)于問題二，我們根據(jù)已經(jīng)給出的式子進(jìn)行了推導(dǎo)，從題目中所給的信息可以分析出其月還款額的值。對(duì)于問題三，我們可以根據(jù)問題二中已經(jīng)分析過的還款額的計(jì)算方法來

9、用累加求平均數(shù)的方式求得等本、等息、等額還款法中的月還款額。最后，對(duì)于問題四，我們將從月還款額，還款總額，還款月數(shù)等方面來分析每種還款方式的利弊，根據(jù)設(shè)計(jì)出的程序假定幾個(gè)數(shù)據(jù)來比較每種方式的區(qū)別。三、基本假設(shè)1、在貸款的工程中，貸款人員不存在任何的經(jīng)濟(jì)問題以至于無法支付其應(yīng)該支付的款額。2、貸款人員可以在任何時(shí)刻還任何數(shù)目的款項(xiàng)，且不需要任何的違約金。3、銀行的利率不存在任何的變動(dòng)。四、文中符號(hào)說明符號(hào)含義符號(hào)含義貸款總金額還款期數(shù)單期利率每月還款額W1所獲得的金錢W2所付出的金錢W凈賺的金錢五、模型的建立與求解案例一：?jiǎn)栴}一通過我們對(duì)資料的查閱以及自己的思考和判斷，我們得到計(jì)算貸款利息的方法

10、，如下：設(shè)貸款本金為，單期利率為，還款期限為，每期還款額為。等額還款的原則是每期還款額一定，即每次還款的本金與利息之和一定，但是本金與利息的比值會(huì)發(fā)生改變，通過如下方法來進(jìn)行計(jì)算：第一期還款后虧欠第二期還款后虧欠；第三期還款后虧欠以此類推在第期還款后應(yīng)不再虧欠，即將后面中括號(hào)內(nèi)的等比數(shù)列求和得求得通過上式，事實(shí)上可以解得和，即，；也就是說，我們知道，中的三個(gè)時(shí)，我們除了無法直接由其余三個(gè)量通過初等函數(shù)的形式表出； ，三個(gè)量都可以通過初等函數(shù)的形式來由其他三個(gè)量表出。而求解的過程，實(shí)際上是解關(guān)于的次方程，這個(gè)除特殊情況外，我們沒有辦法直接求解，一般的解法目前我們用二分法。即利用電腦計(jì)算，無限逼近

11、正確值。我們?cè)诟戒浿杏型暾某绦?。問題二根據(jù)以上的推導(dǎo)公式，對(duì)于資料一中所給的例子，我們得出如下結(jié)論：對(duì)于這家借貸公司，甲所交給他的總金額為而對(duì)于借貸公司所要上繳的金額，其貸款總額變?yōu)橘J款期數(shù)變?yōu)槊恳黄诘睦首優(yōu)楣蔬@家公司所需要的交給銀行的錢為故這家公司所能獲得的錢數(shù)為所以，這家機(jī)構(gòu)是可以盈利的。案例二:問題一對(duì)于“每月等額本息償還法”我們?cè)谏弦粋€(gè)案例中已經(jīng)有了詳細(xì)的闡述，故在此不另作討論，只在此引用上面的結(jié)論。問題二我們跟據(jù)題目所給的信息，探索“利隨本清等本不等息還款法”“利隨本清等本不等息還款法”的基本原則是，每月償還固定的本金，而利息是由上次還款結(jié)束到這次還款之前所虧欠的本金來計(jì)算。通過

12、公式進(jìn)而有：設(shè)第期還款額為，則容易得到如下公式：即得到其計(jì)算方式，其貸款總額和市建行的結(jié)果相等，市建行的的每月還款額是月還款額的平均值。問題三“等本等息等額還款法”這種還款方法由上面所述的等本不等息還款法所得到。容易發(fā)現(xiàn)，等本不等息還款法，每個(gè)月所償還的一般情況下是不同的，而且，第一期最多，每期遞減，故等本等息等額還款法講等本不等息還款法所有的利息加在一起在平均分到每期當(dāng)中。設(shè)第期利息為，則對(duì)其求和對(duì)取算術(shù)平均值，則每期的還款額為.問題四為了方便對(duì)三種貸款方式進(jìn)行比較，我們假定一種借貸方式，以求出其按每種方式所需的月還款額。故令：總借貸額為50000，月利率為1%，借貸時(shí)間為15年即180個(gè)月

13、，分別求出其月還款額。有：等額還款法月還款額：,利隨本清等本不等息還款法第一月還款額： 最后一個(gè)月還款額為：等本等息等額還款法月還款額：根據(jù)我們?cè)谏厦娴贸龅乃惴?，“利隨本清等本不等息還款法”和“等本、等息、等額還款法”所需的還款總額是相等的，而經(jīng)由計(jì)算得出等額還款法相比于另外兩種所需的錢款更多。我們可以從圖片中直觀的看到在總貸款額、還款期數(shù)相同的情況下，月利率的變化導(dǎo)致“等本、等息、等額還款法”和“每月等額本息償還法”兩種還款方式月還款額的變化。而“等本、等息、等額還款法”的月還款額總是小于另外一種的還款方式，而其總還款額是與“利隨本清等本不等息償還法”相同的，因此，“每月等額本息償還法”對(duì)于

14、借貸人所構(gòu)成的實(shí)際上的壓力是最大的。對(duì)于“利隨本清等本不等息償還法”，我們可以從圖上得出：其月還款額在逐步下降。但相比于“等本、等息、等額還款法”，其前幾個(gè)月的還款數(shù)過大，對(duì)還款人壓力太大。而對(duì)于需要向銀行借款的人，其經(jīng)濟(jì)狀況本身就不好，其很難在前幾個(gè)月的時(shí)間里在滿足自身需要的情況下還款。而“等本、等息、等額還款法”，其還款總額較低，且其每月所還的錢相等，不會(huì)在短時(shí)間對(duì)借貸人造成太大的壓力，相比與其他幾種方式，是一種比較好的選擇。六、模型的檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)1.模型的檢驗(yàn)我們將問題所提供的數(shù)據(jù)代入到我們的模型當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)計(jì)算利率的誤差為1%，計(jì)算單期還款額的誤差為萬分之一，計(jì)算總貸款期數(shù)的誤差為萬分之一，計(jì)算總貸款額的誤差為萬分之一。故，我們所建立的模型是非常具有可靠性的。2.模型的評(píng)價(jià)我們所建立的模型是由利息計(jì)算公式及一系列的相關(guān)的數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)得到的。從本質(zhì)上講，我們的模型本應(yīng)不存在任何的誤差。但是，在等額本息還款法環(huán)境下，通過貸款總額，貸款總期數(shù)，單期還款額來計(jì)算單期利率時(shí)，由于要解一個(gè)關(guān)于單期利率的一元高次方程，我們用計(jì)算機(jī)來解決這個(gè)問題，使用了二分法來解這個(gè)高次方程，可以說是無法避免地會(huì)出現(xiàn)一定的誤差，但是這個(gè)誤差是