二次函數(shù)與方程組或不等式

1、2009年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教材回歸知識講解+例題解析+強(qiáng)化訓(xùn)練二次函數(shù)與方程（組）或不等式知識講解 （1）最大值或最小值的求法 第一步確定a的符號：a>0有最小值，a<0有最大值；第二步求頂點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對應(yīng)的最大值或最小值 （2）y軸與拋物線y=ax2+bx+c的交點(diǎn)為（0，c） （3）與y軸平行的直線x=h與拋物線y=ax2+bx+c有且只有一個(gè)交點(diǎn)（h，ah2+bh+c） （4）拋物線與x軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2是對應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式

2、判定： 有兩個(gè)交點(diǎn)>0拋物線與x軸相交 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）=0拋物線與x軸相切； 沒有交點(diǎn)<0拋物線與x軸相離 （5）平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同（4）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)，1個(gè)交點(diǎn)，2個(gè)交點(diǎn)當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是ax2+bx+c=k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 （6）一次函數(shù)y=kx+n（k0）的圖像L與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖像G的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目確定：當(dāng)方程組有兩組不同的解時(shí)L與G有兩個(gè)交點(diǎn)；方程組只有一組解時(shí)L與G只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無解時(shí)L與G沒有交點(diǎn) （7）利用函數(shù)圖像求不等式的解集，先觀察圖像，找出拋物線與x軸

3、的交點(diǎn)，再根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)寫出不等式的解集注意：觀察圖像時(shí)不要看漏了其中的部分例題解析 例1 如圖所示，已知拋物線y=x2+（5）x+m3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，且OA=OB（1）求m的值；（2）求拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）問在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，MACOAC，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 【分析】拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，OA=OB，故A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，就可求得m的值，由拋物線交y軸的正半軸，得m的確定值 【解答】（1）拋物線與y軸交于正半軸，且OA=OB 由得m=±5，由m>

4、3，故m=5應(yīng)舍去m=5 （2）拋物線的解析式為y=x2+2，對稱軸是y軸，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，2） （3）令y=0得 x2+2=0，x=±2 A（2，0），B（2，0），C（0，2），OAC是等腰直角三角形 若存在一點(diǎn)M，使MACOAC，AC為公共邊，OA=OC， 點(diǎn)M與O關(guān)于直線AC對稱，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2） 當(dāng)x=2時(shí)，x2+2=02 M（2，2）不在拋物線上，即不存在一點(diǎn)M，使MACOAC 【點(diǎn)評】存在性問題，通常是先假定存在，若能找出具備某種條件或性質(zhì)的對象，就說明存在，其敘述過程就是理由；若不存在，就需要進(jìn)一步說明理由 例2 已知二次函數(shù)y=x2（2m+4）x+m24

5、（x為自變量）的圖像與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，且A，B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離AO，OB滿足3（OBAO）=2AO·OB，直線y=kx+k與這個(gè)二次函數(shù)圖像的一個(gè)交點(diǎn)為P，且銳角POB的正切值4 （1）求m的取值范圍； （2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式； （3）確定直線y=kx+k的解析式 【分析】利用拋物線與x軸的交點(diǎn)A，B的位置及與y軸交點(diǎn)的位置和A，B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離可以求出m的值，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求解 【解答】（1）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（x1，0），B（x2，0）（x1<x2），依題意，方程x2（2m+4）x+m24=0

6、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 =（2m+4） 24（m24）>0 解得m>2 又函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)下方， m24<0，2<m<2 （2）圖像交y軸于負(fù)半軸，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且x1<x2， x1<0，x2>0 由3（OBAO）=2AO·OB可得 3x2（x1）=2（x1）·x2 即3（x1+x2）=2x1x2 由于x1，x2是方程x2（2m+4）x+m24=0的兩個(gè)根，所以x1+x2=2m+4，x1·x2=m24 3（2m+4）=2（m24） 整理，得m2+3m+2=0 m=1或m=2（舍去） 二次函數(shù)的解析式

7、為y=x22x3 （3）由y=x22x3，得A（1，0），B（3，0） 直線y=kx+k與拋物線相交， 由 解得 或 POB為銳角 點(diǎn)P在y軸右側(cè)， 點(diǎn)P坐標(biāo)為（k+3，k2+4k），且k+3>0 tanPOB=4， =4如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí) =4解得k1=2，k2=2 經(jīng)檢驗(yàn)，k1=2，k2=2都是方程的解，但k2+3<0 k2=2舍去 直線的解析式為y=2+2 當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，=4， 解得k3=2，k4=6 經(jīng)檢驗(yàn)，k3=2，k4=6是方程的解，但k4+3<0 k4=6舍去 y=2x2 所求直線的解析式為y=2x+2，或y=2x2 【點(diǎn)評】本題以求解析式為目標(biāo)

8、，綜合了函數(shù)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，三角函數(shù)等知識，綜合性強(qiáng)，靈活性大，解題關(guān)鍵是認(rèn)真審題，認(rèn)真分析紛繁復(fù)雜的條件，從中找到解題的突破口，易錯(cuò)點(diǎn)是在第（3）小題中忽視分類討論而失解強(qiáng)化訓(xùn)練一、填空題1與拋物線y=2x22x4關(guān)于x軸對稱的圖像表示的函數(shù)關(guān)系式是_2已知二次函數(shù)y=（a1）x2+2ax+3a2的圖像最低點(diǎn)在x軸上，那么a=_，此時(shí)函數(shù)的解析式為_3（2006，湖北襄樊）某涵洞的截面是拋物線型，如圖1所示，在圖中建立的直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為y=x2，當(dāng)涵洞水面寬AB為12m時(shí)，水面到橋拱頂點(diǎn)O的距離為_m 圖1 圖24（2006，山西）甲，乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，甲發(fā)出

9、一顆十分關(guān)鍵的球，出手點(diǎn)為P，羽毛球飛行的水平距離s（m）與其距地面高度h（m）之間的關(guān)系式為h=s2+s+如圖2，已知球網(wǎng)AB距原點(diǎn)5m，乙（用線段CD表示）扣球的最大高度為m，設(shè)乙的起跳點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗，則m的取值范圍是_5若拋物線y=x2與直線y=x+m只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值為_6設(shè)拋物線y=x2+（2a+1）x+2a+的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則a18+323a6的值為_7已知直線y=2x+3與拋物線y=x2相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么OAB的面積等于_8（2008，安徽）圖3為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，在

10、下列說法中： ab<0；方程ax2+bx+c=0的根是x1=1，x2=3；a+b+c>0；當(dāng)x>1時(shí)，y隨著x的增大而增大正確的說法有_（請寫出所有正確說法的序號） 圖3 圖4 圖5二、選擇題9（2006，紹興）小敏在某次投籃球中，球的運(yùn)動路線是拋物線y=x2+3.5的一部分（圖4），若命中籃圈中心，則他與籃底的距離是（ ） A3.5m B4m C4.5m D4.6m10當(dāng)m在可以取值范圍內(nèi)取不同的值時(shí)，代數(shù)的最小值是（ ） A0 B5 C3 D911二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖5所示，則下列結(jié)論：a>0，c>0，b24ac>0，其中正確的個(gè)數(shù)是（

11、 ） A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)12拋物線y=x2+（2m1）x+m2與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ） Am> Bm> Cm< Dm<13根據(jù)下列表格中二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍是（ ）x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c0.030.010.020.04 A6<x<6.17 B6.17<x<6.18 C6.18<x<6.19 D6.19<x<6.2014若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖

12、像的頂點(diǎn)在第一象限且經(jīng)過點(diǎn)（0，1）和（1，0），則S=a+b+c的值的變化范圍是（ ） A0<S<2 B0<S<1 C1<S<2 D1<S<115二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的最大值是零，那么代數(shù)式a+的化簡結(jié)果是（ ） Aa Ba C D016（2006，甘肅蘭州）已知y=2x2的圖像是拋物線，若拋物線不動，把x軸，y軸分別向上，向右平移2個(gè)單位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是（ ） Ay=2（x2）2+2 By=2（x+2）22 Cy=2（x2）22 Dy=2（x+2）2+2三、解答題17（2006，吉林?。┤鐖D，三孔橋橫截面的三

13、個(gè)孔都呈拋物線形，兩小孔形狀，大小都相同正常水位時(shí)，大孔水面寬度AB=20m，頂點(diǎn)M距水面6m（即MO=6m），小孔頂點(diǎn)N距水面4.5m（即NC=4.5m）當(dāng)水位上漲剛好淹沒小孔時(shí)，借助圖中的直角坐標(biāo)系，求此時(shí)大孔的水面寬度EF18（2008，安徽）雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點(diǎn)）的路線是拋物線y=x2+3x+1的一部分，如圖所示 （1）求演員彈跳離地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4m，在一次表演中，人梯到起跳點(diǎn)A的水平距離是4m，問這次表演是否成功？請說明理由19（2006，沈陽市）某企業(yè)信息部進(jìn)行市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)： 信息一：如果單獨(dú)投

14、資A種產(chǎn)品，則所獲利潤yA（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在正比例函數(shù)關(guān)系：yA=kx，并且當(dāng)投資5萬元時(shí)，可獲利潤2萬元； 信息二：如果單獨(dú)投資B種產(chǎn)品，則所獲利潤yB（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在二次函數(shù)關(guān)系：yB=ax2+bx，并且當(dāng)投資2萬元時(shí)，可獲利潤2.4萬元；當(dāng)投資4萬元時(shí)，可獲得3.2萬元 （1）請分別求出上述的正比例函數(shù)表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式；（2）如果企業(yè)同時(shí)對A，B兩種產(chǎn)品共投資10萬元請你設(shè)計(jì)一個(gè)能獲得最大利潤的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少20（2008，煙臺）如圖所示，拋物線L1：y=x22x+3交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)拋物線L1向右

15、平移2個(gè)單位后得到拋物線L2，L2交x軸于C，D兩點(diǎn) （1）求拋物線L2對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式； （2）拋物線L1或L2在x軸下方的部分是否存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若點(diǎn)P是拋物線L1上的一個(gè)動點(diǎn)（P不與點(diǎn)A，B重合），那么點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q是否在拋物線L2上，請說明理由21已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），頂點(diǎn)在x軸上，且對稱軸在y軸的右側(cè)設(shè)直線y=x與二次函數(shù)圖像自左向右分別交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點(diǎn)，且OP：PQ=1：3 （1）求二次函數(shù)的解析式； （2）求PAQ的面積

16、；（3）在線段PQ上是否存在一點(diǎn)D，使APDQPA，若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，若不存在，說明理由22（2005，武漢市）已知二次函數(shù)y=ax2ax+m的圖像交x軸于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，x1<x2，交y軸的負(fù)半軸于C點(diǎn)，且AB=3，tanBACtanABC=1 （1）求此二次函數(shù)的解析式； （2）在第一象限，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使SPAC=6？若存在，請你求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； 若不存在，請你說明理由答案:1y=2x2+2x+4 22；y=x2+4x+4 39 45<m<4+5 65796 76 8 9B 10B 11C12C 13C 14A 15B 16B17設(shè)拋物線

17、解析式為y=ax2+6， 依題意得，B（10，0） a×102+6=0，解得a=0.06 即y=0.06x2+6， 當(dāng)y=4.5時(shí)，0.06x2+6=4.5，解得x=±5， DF=5，EF=10， 即水面寬度為10m18（1）y=x2+3x+1=（x）2+ <0，函數(shù)的最大值是 答：演員彈跳離地面的最大高度是m （2）當(dāng)x=4時(shí)，y=×42+3×4+1=3.4=BC，所以這次表演成功19（1）當(dāng)x=5時(shí)，yA=2，2=5k，k=0.4 yA=0.4x，當(dāng)x=2時(shí)，yB=2.4； 當(dāng)x=4時(shí)，yB=3.2 解得 yB=0.2x2+1.6x （2）設(shè)投

18、資B種商品x萬元，則投資A種商品（10x）萬元，獲得利潤W萬元，根據(jù)題意可得W=0.2x2+1.6x+0.4（10x）=0.2x2+1.2x+4 W=0.2（x3）2+5.8 當(dāng)投資B種商品3萬元時(shí)，可以獲得最大利潤5.8萬元 所以投資A種商品7萬元，B種商品3萬元，這樣投資可以獲得最大利潤58萬元20（1）令y=0時(shí)，得x22x+3=0， x1=3，x2=1，A（3，0），B（1，0） 拋物線L1向右平移2個(gè)單位長度得拋物線L2， C（1，0），D（3，0） 拋物線L2為y=（x+1）（x3） 即y=x2+2x+3（2）存在如圖所示 令x=0，得y=3，M（0，3） 拋物線L2是L1向右平移

19、2個(gè)單位長度得到的， 點(diǎn)N（2，3）在L2上，且MN=2，MNAC 又AC=2，MN=AC 四邊形ACNM為平行四邊形 同理，L1上的點(diǎn)N（2，3）滿足NMAC，NM=AC， 四邊形ACMN是平行四邊形 N（2，3），N（2，3）即為所求 （3）設(shè)P（x1，y1）是L1上任意一點(diǎn)（y10）， 則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q（x1，y1）， 且y1=x122x1+3， 將點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)代入L2，得yQ=x122x1+3=y1y1 點(diǎn)Q不在拋物線L2上21（1）拋物線過（0，4）點(diǎn) c=4， y=ax2+bx+4 又OP：PQ=1：3， x1：x2=1：4 由得ax2+（b1）x+4=0， x1，x2是該方程的兩個(gè)根， x1+x2=，x1·x2= 消去x1得25a=（b1）2 拋物線的對稱軸在y軸右側(cè) >0， <0，又拋物線的頂點(diǎn)在x軸上， b2=16a得a=1，b=4（b=舍去） y=x24x+4（2）如圖所示， SPAQ=SAQO SAPO =×4×x2×4