振動力學2單自由度系統(tǒng)受迫振動之線性系統(tǒng)的受迫振動

1、主講：周利東太原科技大學機械工程學院2011-10-20單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 線性系統(tǒng)的受迫振動 簡諧力激勵的強迫振動簡諧力激勵的強迫振動彈簧質(zhì)量系統(tǒng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)設設tieFtF0)(0F外力幅值外力幅值外力的激勵頻率外力的激勵頻率tieFkxxcxm0 振動微分方程：振動微分方程：x 為復數(shù)變量，分別與為復數(shù)變量，分別與實部和虛部分別與實部和虛部分別與tFsin0tFcos0 mxcxm kx)(tF單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧力激勵的強迫振動簡諧力激勵的強迫振動受力分析，以靜平衡位置為坐標原點，建立圖示的坐標

2、系受力分析，以靜平衡位置為坐標原點，建立圖示的坐標系kcx0m)(tF和和相對應相對應tFsin0tFcos0和和相對應相對應參考文獻參考文獻振動力學振動力學(劉延柱劉延柱)P31振動力學振動力學(倪振華倪振華)P79tieFkxxcxm0 振動微分方程：振動微分方程：顯含時間顯含時間 t非齊次微分方程非齊次微分方程非齊次微分方程非齊次微分方程通解通解齊次微分方程齊次微分方程通解通解非齊次微分方程非齊次微分方程特解特解阻尼自由振動阻尼自由振動逐漸衰減逐漸衰減暫態(tài)響應暫態(tài)響應持續(xù)等幅振動持續(xù)等幅振動穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧力激勵的強迫振動

3、簡諧力激勵的強迫振動tieFkxxcxm0 振動微分方程：振動微分方程：設：設：tiexx0)(FHx代入，有：代入，有：21( )Hkmic復頻響應函數(shù)復頻響應函數(shù) 振動微分方程：振動微分方程：tieBxxx202002 mk0kmc2kFB0引入：引入：0s2222112( )(1)(2)ssiHkss222)2()1 (1)(sss2112)(sstgs振幅放大因子振幅放大因子相位差相位差則：則：iek1 ：穩(wěn)態(tài)響應的：穩(wěn)態(tài)響應的復振幅復振幅 x靜變形靜變形單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧力激勵的強迫振動簡諧力激勵的強迫振動00( )cossini tF tF eFti

4、t 222020220020002=-0-=01-=-i ti ti ti ti ti ti ti ti ti ti txxexxi ex xi i exiexemxcxkxF emxec xi ek xeF eemxcxikx Fmxcxikx Fx k micFxFx HFk mic 0202002220020222221( )212( )221( )121111( )( )( )2121212(kkmmHckkikckmHkmkkkiksHkmicsisHHHks kiskkksississisH22222222121)121( )( )121( )(cossin )1( )(1)(2)

5、 iisiskssHssisHekkzabiriresss122 ( )1sstgstieFkxxcxm0 tiexxieksssiskH1)2()1 (211)(22220)(FHx代入，有：代入，有：)(0tiekFxBA穩(wěn)態(tài)響應的實振幅穩(wěn)態(tài)響應的實振幅 222)2()1 (1)(ssskFB0 tFtFcos)(0若：若：)cos()(tAtx則：則：tiesBtx21)(無阻尼情況：無阻尼情況：)(tiAetieskF20112112)(sstgs單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧力激勵的強迫振動簡諧力激勵的強迫振動tieFkxxcxm0 222)2()1 (1)(ss

6、s)()(0titiAeekFx2112)(sstgs2220)2()1 (1sskFA結(jié)論：結(jié)論：單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧力激勵的強迫振動簡諧力激勵的強迫振動幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 穩(wěn)態(tài)響應的特性穩(wěn)態(tài)響應的特性以以s為橫坐標畫出為橫坐標畫出 曲線曲線 )(s222)2()1 (1)(sss幅頻特性曲線幅頻特性曲線 簡諧激勵作用下穩(wěn)態(tài)響應特性：簡諧激勵作用下穩(wěn)態(tài)響應特性： （1）當）當s1（ ） 00激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很高激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很高 結(jié)論：響應的振幅結(jié)論：響應的振幅 很小很小)()(0tit

7、iAeekFx0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 01單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應的特性穩(wěn)態(tài)響應的特性 穩(wěn)態(tài)響應特性穩(wěn)態(tài)響應特性（3）在以上兩個領域）在以上兩個領域 s1，s1結(jié)論：系統(tǒng)即使按無阻尼情況考慮也是可以的結(jié)論：系統(tǒng)即使按無阻尼情況考慮也是可以的 對應于不同對應于不同 值值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著 222)2()1 (1)(sss0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 01單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應的特性穩(wěn)態(tài)響應的特性 穩(wěn)

8、態(tài)響應特性穩(wěn)態(tài)響應特性結(jié)論：共振結(jié)論：共振 振幅無窮大振幅無窮大222)2()1 (1)(sss（4）當）當1s0對應于較小對應于較小 值，值， 迅速增大迅速增大 )(s當當0)(s但共振對于來自阻尼的影響很敏感，在但共振對于來自阻尼的影響很敏感，在 s=1 附近的區(qū)域內(nèi)，附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅明顯下降增加阻尼使振幅明顯下降 )()(0titiAeekFx0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 01單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應的特性穩(wěn)態(tài)響應的特性 穩(wěn)態(tài)響應特性穩(wěn)態(tài)響應特性222)2()1 (1)(sss)()(0titiAeekFx

9、（5）對于有阻尼系統(tǒng)，）對于有阻尼系統(tǒng)， 并不并不出現(xiàn)在出現(xiàn)在s=1處，而且稍偏左處，而且稍偏左 max0dds2max121221s0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 01單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應的特性穩(wěn)態(tài)響應的特性 穩(wěn)態(tài)響應特性穩(wěn)態(tài)響應特性222)2()1 (1)(sss（6）當）當2/11振幅無極值振幅無極值 0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 01單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應的特性穩(wěn)態(tài)響應的特性 穩(wěn)態(tài)響應特性穩(wěn)態(tài)響應特性222)2()1 (1)(sss)()(0t

10、itiAeekFx112sQ記：記：品質(zhì)因子品質(zhì)因子 在共振峰的兩側(cè)取與在共振峰的兩側(cè)取與 對應的兩點對應的兩點 ， 2/Q1212帶寬帶寬Q與與 有關系有關系 ：0Q阻尼越弱，阻尼越弱，Q越大，帶越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭寬越窄，共振峰越陡峭 s2Q2/Q01021單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應的特性穩(wěn)態(tài)響應的特性 穩(wěn)態(tài)響應特性穩(wěn)態(tài)響應特性相頻特性曲線相頻特性曲線 （1）當）當s1（ ） 0位移與激振力反相位移與激振力反相 （3）當）當1s0共振時的相位差為共振時的相位差為 ，與阻尼無關，與阻尼無關 2)(s0123090180s單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫

11、振動 / 穩(wěn)態(tài)響應的特性穩(wěn)態(tài)響應的特性有阻尼單自由度系統(tǒng)有阻尼單自由度系統(tǒng)外部作用力規(guī)律：外部作用力規(guī)律：tFtFcos)(0假設系統(tǒng)固有頻率：假設系統(tǒng)固有頻率：10從左到右：從左到右：6 . 1,01. 1, 4 . 0單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應的特性穩(wěn)態(tài)響應的特性0 0 0 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段在系統(tǒng)受到激勵開始振動的初始階段，其自由振動伴隨受迫在系統(tǒng)受到激勵開始振動的初始階段，其自由振動伴隨受迫振動同時發(fā)生。系統(tǒng)的響應是暫態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應的疊加振動同時發(fā)生。系統(tǒng)的響應是暫態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應的疊加 tieF

12、kxxcxm0 顯含顯含 t，非齊次微分方程，非齊次微分方程非齊次微分方程非齊次微分方程通解通解齊次微分方程齊次微分方程通解通解非齊次微分方程非齊次微分方程特解特解阻尼自由振動阻尼自由振動逐漸衰減逐漸衰減暫態(tài)響應暫態(tài)響應持續(xù)等幅振動持續(xù)等幅振動穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應回顧：回顧：單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段先考慮無阻尼的情況先考慮無阻尼的情況 tFkxxmsin0 假定正弦激勵假定正弦激勵0)0(xx0)0(xxtBxxsin2020 kFB0tsBtctctxsin1sincos)(20201通解：通解：齊次

13、通解齊次通解非齊次特解非齊次特解0s21cc、初始條件決定初始條件決定 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段tFkxxmsin0 0)0(xx0)0(xxtsBtctctxsin1sincos)(202010)0(xx01xc 0)0(xx202(0)1Bxcs20021sBsxc tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021 初始條件響應初始條件響應自由伴隨振動自由伴隨振動強迫響應強迫響應特點：以系統(tǒng)特點：以系統(tǒng)固有頻率為振固有頻率為振動頻率動頻率單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫

14、振動的過渡階段受迫振動的過渡階段tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021 初始條件響應初始條件響應自由伴隨振動自由伴隨振動強迫響應強迫響應如果是零初始條件如果是零初始條件tsBtsBstxtxtxsin1sin1)()()(20221自由伴隨振動自由伴隨振動強迫響應強迫響應單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段零初始條件零初始條件tsBtsBstxtxtxsin1sin1)()()(20221(2) s 1)(0)(0TT (1) s 1)(0)(0TT 穩(wěn)態(tài)受迫振動進行一個循環(huán)時間內(nèi)，穩(wěn)態(tài)受迫振

15、動進行一個循環(huán)時間內(nèi)，自由伴隨振動完成多個循環(huán)自由伴隨振動完成多個循環(huán)自由伴隨振動進行一個循環(huán)時間自由伴隨振動進行一個循環(huán)時間內(nèi)，穩(wěn)態(tài)受迫振動完成多個循環(huán)內(nèi)，穩(wěn)態(tài)受迫振動完成多個循環(huán)受迫振動響應成為自由振動響應受迫振動響應成為自由振動響應曲線上迭加的一個振蕩運動曲線上迭加的一個振蕩運動受迫振動響應成為穩(wěn)態(tài)響應曲線受迫振動響應成為穩(wěn)態(tài)響應曲線上迭加的一個振蕩運動上迭加的一個振蕩運動0/2/20t)(tx0/2/20t)(tx穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應全響應全響應單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段由于系統(tǒng)是線性的，也可利用疊加定理求解由于系統(tǒng)是線性的，也可利用

16、疊加定理求解 000)0()0(sinxxxxtFkxxm ， 0020)0()0(0 xxxxxx ， 0)0(0)0(sin2020 xxtBxx ，txtxtx000001sincos)(tsBtsBstxsin1sin1)(2022 )()()(21txtxtx通解：通解：tsBtsBstxtxsin1sin1sincos20200000初始條件響應初始條件響應自由伴隨振動自由伴隨振動強迫響應強迫響應單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021 )sin(

17、sin1sincos 0200000tstsBtxtx tFkxxmsin0 0)0(xx0)0(xx實際中總是存在著阻尼的影響，因而上式右端的暫態(tài)運動會實際中總是存在著阻尼的影響，因而上式右端的暫態(tài)運動會逐漸衰減，進而消失，最終系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)響應逐漸衰減，進而消失，最終系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)響應 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段00 x例：例：計算初始條件，以使計算初始條件，以使tFkxxmsin0 的響應只以頻率的響應只以頻率 振動振動解：解：tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021的全解：的全解：tF

18、kxxmsin0 如果要使系統(tǒng)響應只以如果要使系統(tǒng)響應只以 為頻率振動為頻率振動必須成立：必須成立：2001sBsx初始條件：初始條件：00 x2001sBsxkFB00s單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段例：例：計算初始條件，以使計算初始條件，以使tFkxxmcos0 的響應只以頻率的響應只以頻率 振動振動解：解：tsBtctctxcos1sincos)(20201的全解：的全解：tFkxxmcos0 tsBtsBstxtxtxtxtxcos1sin1sincos)()()(2020000021正確？正確？tsin全解：全解：由由0)0(xx2

19、011sBxctsBtctctxcos1cossin)(2002001求一階導數(shù)：求一階導數(shù)：由由0)0(xx020cx 002/xc單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段tsBtctctxcos1sincos)(20201全解：全解：2011sBxc002xc因此：因此：tsBtxtsBxtxcos1sincos)1()(2000020tsBtsBtxtxcos1cos1sincos20200000的全解：的全解：tFkxxmsin0 tsBtsBstxtxtxsin1sin1sincos)(20200000相同相同不同不同單自由度系統(tǒng)受迫振動單自

20、由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段例：例：計算初始條件，以使計算初始條件，以使tFkxxmcos0 的響應只以頻率的響應只以頻率 振動振動全解：全解：tsBtsBtxtxtxcos1cos1sincos)(20200000如果要使系統(tǒng)響應只以如果要使系統(tǒng)響應只以 為頻率振動為頻率振動初始條件：初始條件：00 x 201sBx 0單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段若激勵頻率與固有頻率十分接近若激勵頻率與固有頻率十分接近 （但并不等于）（但并不等于） 0s令：令：21s 小量小量 )sin(sin1)(02tstsBtx ts

21、BtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021 )sin(sin1sincos 0200000tstsBtxtx 考慮零初始條件，有：考慮零初始條件，有：tFkxxmsin0 0)0(xx0)0(xx1單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段)sin(sin1)(02tstsBtx 代入：代入：21s0(sinsin)1 12(1 1 2 ) Btst ttB00cossin2 )sin(sin40tstB sin)21sin(400ttB )sin2sincos2cos(sin400000tttttB tt

22、B002sincos4 tttB000cossin2cos4 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段1ttBtx00cossin2)( 可看作頻率為可看作頻率為 但振幅按但振幅按 規(guī)律緩慢變化的振動規(guī)律緩慢變化的振動 0tB0sin2這種在接近共振時發(fā)生的特殊振動現(xiàn)象稱為這種在接近共振時發(fā)生的特殊振動現(xiàn)象稱為”拍拍”02BtB0sin202tB0sin20t)(tx0拍的周期：拍的周期：tB0sin2 圖形包絡線：圖形包絡線： 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段0當當ttBtx00cossin2)(隨隨

23、 t 增大，振幅無限增大，無阻尼系統(tǒng)共振的情形增大，振幅無限增大，無阻尼系統(tǒng)共振的情形 0)(txttB021tB021 ttB00cos21 響應曲線響應曲線21sttB00cos2單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段討論有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵的響應討論有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵的響應 000)0(,)0(sinxxxxtFkxxcxm )sin(sin)cossin(cossin )sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddtmk0kmc2201d0skFB0222)2()1 (1ss2112sst

24、g初始條件響應初始條件響應自由伴隨振動自由伴隨振動強迫響應強迫響應利用前述相同的方法，有：利用前述相同的方法，有：單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段)sin(sin)cossin(cossin )sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始條件響應初始條件響應經(jīng)過充分長時間后，作為瞬態(tài)響應的前兩種振動都將消失，經(jīng)過充分長時間后，作為瞬態(tài)響應的前兩種振動都將消失，只剩穩(wěn)態(tài)強迫振動只剩穩(wěn)態(tài)強迫振動 自由伴隨振動自由伴隨振動強迫響應強迫響應0)(txt0 x強迫響應強迫響應全響應全響應單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系

25、統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段)sin(sin)cossin(cossin )sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始條件響應初始條件響應自由伴隨振動自由伴隨振動強迫響應強迫響應)sin(sin)cossin(cossin)(00tBtsteBtxdddt0)0(x0)0(x 對于零初始條件：對于零初始條件：單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段受迫振動的過渡階段表示出零初始條件下，表示出零初始條件下， 時系統(tǒng)在過渡階段的振動情況。時系統(tǒng)在過渡階段的振動情況。d（a）激振力）激振力（b）自由伴隨振動）自由

26、伴隨振動（c）穩(wěn)態(tài)強迫振動）穩(wěn)態(tài)強迫振動（d）過渡階段的強迫振）過渡階段的強迫振動動單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動背景：地基振動，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動背景：地基振動，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動特點：激振慣性力的振幅與頻率的平方成正比例特點：激振慣性力的振幅與頻率的平方成正比例 tifDetx)(坐標：坐標：動力學方程：動力學方程： 2111i tmxcxkxmDe基座位移規(guī)律基座位移規(guī)律 ：x1 相對基座位移相對基座位移)(1fxxm 1kx1xcmm)(1fxxm 1xc1kx受力分析（某瞬時受力分析（某瞬時t）xfkc1xmx0mk

27、xxfc1xD：基座位移振幅：基座位移振幅單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動11+0fm xxcxkx 以物體與支座靜止時的平衡位置為原點動力學方程：動力學方程： 2111i tmxcxkxmDetieFkxxcxm0 )(tiBexkFB02221(1)(2)ss2112)(sstgs回顧：回顧：令：令：02FmD)(11tiBex)(01tiekF )(21tiekmD)(22221)2()1 ( tiDesss)(11tiDe有：有：22221)2()1 ()(ssss21112)(sstgs其中：其中：單自由度系統(tǒng)受迫振動單自

28、由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動tiemDkxxcxm21111 )(111tiDex22221)2()1 ()(ssss21112)(sstgs0s0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 )(1ss1 0 0190180s)(1s幅頻曲線幅頻曲線相頻曲線相頻曲線單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動有阻尼的單自由度承受支撐運動有阻尼的單自由度承受支撐運動支撐運動：支撐運動：tDtxfsin)(001. 1系統(tǒng)固有頻率從左到右：系統(tǒng)固有頻率從左到右：63. 0, 0 . 1, 6 . 10

29、00單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動若以絕對位移若以絕對位移 x 為坐標為坐標fxxx1titiDeDex)(11)(111tiDextifDetx)(其中：其中：則有：則有：)(111)(tiiDee22221)2()1 ()(ssss21112)(sstgs0sxfkc1xmx0mkxxfc1x單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動)sin(cos)2()1 (11222211isssei22222)2()1 ()2(1sss)2(12stg)(111)(tiiDeex22

30、221)2()1 ()(ssss21112)(sstgs22222222222)2()1 (2)2()1 (1)2()1 (sssissssss222)2()1 (21sssi22222)2()1 ()2(1iesss22ie22222)2(1)2()1 (1iesss單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動)(111)(tiiDeex2121iiee22222)2()1 ()2(1sss)2(12stg)(2)(221titiDeDex21代入：代入：tiesDx211無阻尼情況：無阻尼情況：22221)2()1 ()(ssss21112

31、)(sstgsxfkc1xmx0mkxxfc1x單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動22222)2()1 ()2(1sss)(2)(221titiDeDex幅頻曲線幅頻曲線01010 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 )(2ss2可看出：可看出：當當 時，時，2s12振幅恒為支撐運動振幅振幅恒為支撐運動振幅D當當 時，時，2s12振幅恒小于振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大增加阻尼反而使振幅增大xfkc1xmx0mkxxfc1x單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動例：例

32、：汽車的拖車在波形道汽車的拖車在波形道路上行駛路上行駛已知拖車的質(zhì)量滿載已知拖車的質(zhì)量滿載時為時為 m1=1000 kg空載時為空載時為 m2=250 kg懸掛彈簧的剛度為懸掛彈簧的剛度為 k =350 kN/m阻尼比在滿載時為阻尼比在滿載時為5 . 01車速為車速為 v =100 km/h路面呈正弦波形，可表示為路面呈正弦波形，可表示為lzaxf2sin求：求： 拖車在滿載和空載時的振幅比拖車在滿載和空載時的振幅比l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動參考文獻參考文獻振動力學振動

33、力學(倪振華倪振華)P107解：解：汽車行駛的路程可表示為：汽車行駛的路程可表示為：路面的激勵頻率：路面的激勵頻率：l =5 mtlvaxf2sinvtz 因此：因此：sradlv/9 .342kmccr202mc得：得：2crcckmc、k 為常數(shù)，因此為常數(shù)，因此 與與 成反比成反比m因此得到空載時的阻尼比為：因此得到空載時的阻尼比為：0 . 12112mm滿載和空載時的頻率比：滿載和空載時的頻率比：87. 11011kms93. 02022kms因為有：因為有：單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動l =5 ml =5 mmk/2c

34、x0k/2xfalxfz滿載時頻率比滿載時頻率比記：滿載時振幅記：滿載時振幅 B1，空載時振幅，空載時振幅 B2有：有：滿載時阻尼比滿載時阻尼比空載時阻尼比空載時阻尼比0 . 1287. 11s空載時頻率比空載時頻率比93. 02s68. 0)2()1 ()2(12112212111sssaB13. 1)2()1 ()2(12222222222sssaB因此滿載和空載時的振幅比：因此滿載和空載時的振幅比：60. 021BB5 . 01單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz 支承運動

35、小結(jié)支承運動小結(jié)22222)2()1 ()2(1sss)2(12stg21相對位移相對位移tifDetx)(基座位移規(guī)律基座位移規(guī)律 ：tiemDkxxcxm21111 )(111tiDex22221)2()1 ()(ssss21112)(sstgs絕對位移絕對位移)(21tifDexxxxfkc1xmx0mkxxfc1x單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動高速旋轉(zhuǎn)機械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激勵來源。旋轉(zhuǎn)高速旋轉(zhuǎn)機械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激勵來源。旋轉(zhuǎn)機械總質(zhì)量為機械總質(zhì)量為M，轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量為，轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量為

36、m，偏心距為，偏心距為e，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度為，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度為 x：機器離開平衡位置的：機器離開平衡位置的垂直位移垂直位移 則偏心質(zhì)量的垂直位移：則偏心質(zhì)量的垂直位移： texsin由達朗伯原理，系統(tǒng)在垂直方由達朗伯原理，系統(tǒng)在垂直方向的動力學方程：向的動力學方程：0)sin()(22kxxctexdtdmxmM tmekxxcxMsin2 簡化圖形簡化圖形mxc2k2kte單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動Mkctmesin2xMkcxtem參考文獻參考文獻振動力學振動力學(倪振華倪振華)P99tmekxxcxMsin2 me ：不平

37、衡量：不平衡量 ：不平衡量引起的離心慣性力：不平衡量引起的離心慣性力 2me20meF 設：設：)sin()(tBtx222)2()1 (1sskmekFB202112sstg0sMK0得：得：單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動Mkctmesin2x)sin()(tBtx222)2()1 (1sskmekFB202112sstgB 又寫為又寫為 ：MmekmeB2022)sin()2()1 ()(2222 tMmessstx22221)2()1 (sssMmeB 12sMme )sin(11 tB單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振

38、動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動例：偏心質(zhì)量系統(tǒng)例：偏心質(zhì)量系統(tǒng)共振時測得最大振幅共振時測得最大振幅為為0.1 m由自由衰減振動測得阻尼由自由衰減振動測得阻尼系數(shù)為系數(shù)為05.0假定假定%10Mm求：求： （1）偏心距）偏心距 e，（2）若要使系統(tǒng)共振時振幅為）若要使系統(tǒng)共振時振幅為0.01 m，系統(tǒng)的總質(zhì)量需要增加多少？系統(tǒng)的總質(zhì)量需要增加多少？mxc2k2kte單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動Mkctmesin2x解解:（1）共振時測得最大振幅共振時測得最大振幅為為0.1 m由自由衰減振動測得由自由衰減振

39、動測得阻尼系數(shù)為阻尼系數(shù)為05. 0%10Mm共振時最大振幅共振時最大振幅)sin()2()1 ()(2222tMmessstx)(1 . 021mMme)(1 . 0me （2）若要使系統(tǒng)共振時振幅為）若要使系統(tǒng)共振時振幅為0.01 m)(01. 021mMMme)(01. 01 . 005. 021mMMem9MMMM9mxc2k2kte單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動Mkctmesin2x單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動簡諧慣性力激勵的受迫振動tmekxxcxMsin2 mxc2k2kte

40、Mkctmesin2xMkcxtem)sin()(tBtx222)2()1 (1ss kmeB2 2112sstg 0sMk 0 偏心質(zhì)量小結(jié)偏心質(zhì)量小結(jié))sin()(1 tetx22221)2()1 (sss 解解1：解解2：單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 機械阻抗與導納機械阻抗與導納工程中常用機械阻抗來分析結(jié)構(gòu)的動力特性工程中常用機械阻抗來分析結(jié)構(gòu)的動力特性 機械阻抗定義為簡諧激振時復數(shù)形式的輸入與輸出之比機械阻抗定義為簡諧激振時復數(shù)形式的輸入與輸出之比 tieFkxxcxm0 tieF0tiexx 0)(FHx icmkH21)(titixexeFZ0)( 動力學方程：動力學方程：輸入：輸入：輸出：輸出tiexx 代入，得：代入，得：復頻響應函數(shù)復頻響應函數(shù)根據(jù)定義，位移阻抗：根據(jù)定義，位移阻抗：icmk2xF0 )(1H單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 機械阻抗和導納機械阻抗和導納icmkHxFexeFZtitix 200)(1)(icmkH21)(位移阻抗與復頻響應函數(shù)互為