隨機(jī)變量的分布函數(shù)

1、2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) |xX x定義定義2.3設(shè)設(shè) X 是一個(gè)是一個(gè) r.v，稱(chēng)，稱(chēng))()(xXPxF)(x為為 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 記作記作 X F(x) 或或 FX(x). 如果將如果將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示的值就表示 X落在區(qū)間落在區(qū)間,(x的概率的概率. 2.3.1分布函數(shù)的概念分布函數(shù)的概念 問(wèn)：?jiǎn)枺?在上在上 式中，式中，X, x 皆為變量皆為變量. 二者有什二者有什么區(qū)別？么區(qū)別？ x 起什么作用？起什么作用？ F(x) 是不是概率？是不是概率？X是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量,

2、x是參變量是參變量.F(x) 是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.xxXPxF),()( 由定義，對(duì)任意實(shí)數(shù)由定義，對(duì)任意實(shí)數(shù) x1x2，隨機(jī)點(diǎn)落，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間（在區(qū)間（ x1 , x2 的概率為：的概率為：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了隨機(jī)變量因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函的分布函數(shù)，數(shù)， 它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.xxXPxF),()( 分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過(guò)它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來(lái)通過(guò)它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工

3、具來(lái)研究研究 隨機(jī)變量隨機(jī)變量.xxXPxF),()(2.3.2 分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)(1) F(x) 非降，即若非降，即若 x1x2，則，則F(x1) F(x2) ;(2) F( ) = F(x) = 0 xlim(3) F(x) 右連續(xù)，即右連續(xù)，即 )()(lim00 xFxFxx 如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)個(gè)r.v X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 也就是說(shuō)，性質(zhì)也就是說(shuō)，性質(zhì)(1)-(3)是是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分的分布函數(shù)的充分必要條件必要條件.F( ) = F(x) = 1xlim試說(shuō)明試說(shuō)

4、明F(x)能否是某個(gè)能否是某個(gè)r.v 的分布函數(shù)的分布函數(shù).例例4 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) F(x)其它00sin)(xxxF解：解： 注意到函數(shù)注意到函數(shù) F(x)在在 上下降，上下降，不滿(mǎn)足性質(zhì)不滿(mǎn)足性質(zhì)(1)，故，故F(x)不能是分布函數(shù)不能是分布函數(shù).,2不滿(mǎn)足性質(zhì)不滿(mǎn)足性質(zhì)(2)， 可見(jiàn)可見(jiàn)F(x)也不能是也不能是r.v 的的分布函數(shù)分布函數(shù).或者或者0)(lim)(xFFx 例例5 在區(qū)間在區(qū)間 0，a 上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以以 X 表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo). 設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在 0, a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這

5、個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比長(zhǎng)度成正比，試求，試求 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 解解： 設(shè)設(shè) F(x) 為為 X 的分布函數(shù)，的分布函數(shù)，當(dāng)當(dāng) x a 時(shí)，時(shí)，F(xiàn)(x) =1當(dāng)當(dāng) 0 x a 時(shí)，時(shí)， P(0 X x) = kx (k為常數(shù)為常數(shù) ) 由于由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a0a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)=x / a 例例5 在區(qū)間在區(qū)間 0，a 上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以以 X 表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo) . 設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在 0, a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的中任意小區(qū)間內(nèi)的概率

6、與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比長(zhǎng)度成正比，試求，試求 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 解：解： 設(shè)設(shè) F(x) 為為 X 的分布函數(shù)，的分布函數(shù)，axaxaxxxF, 10,0, 0)( 例例5 在區(qū)間在區(qū)間 0，a 上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以以 X 表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo) . 設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在 0, a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比長(zhǎng)度成正比，試求，試求 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 這就是在區(qū)間這就是在區(qū)間 0，a上服從均勻分布上服從均勻分布的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的隨機(jī)變量的分布函數(shù).1.離散型離散型 r.v的分布

7、函數(shù)的分布函數(shù)設(shè)離散型設(shè)離散型r.vX 的概率函數(shù)是的概率函數(shù)是P X=xk = pk , k =1,2,3,xxkkp則則 F(x) = P(X x) = 由于由于F(x) 是是 X 取取 的諸值的諸值 xk 的概率之和，的概率之和，故又稱(chēng)故又稱(chēng) F(x) 為累積概率函數(shù)為累積概率函數(shù).x 當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)， X x = ， 故故 F(x) =0例例2.7212613110X，求，求 當(dāng)當(dāng) 0 x 1 時(shí)，時(shí)， F(x) = P(X x) = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解解:（2）PX1/2（3）P1/2X3/2（4）P1X2(1) F(x)(1)當(dāng)當(dāng) 1 x 2 時(shí)，

8、時(shí)， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =316121當(dāng)當(dāng) x 2 時(shí)，時(shí)， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1例例2.7212613110X，求，求 F(x).F(x) = P(X x)解解:即即注意右連續(xù)注意右連續(xù)下面我們從圖形上來(lái)看一下下面我們從圖形上來(lái)看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF例例2.7212613110X，求，求 F(x).31120 x)(xXP61211212121103100 xxxxxF,/,/,)(概率函數(shù)圖概率函數(shù)圖3121120)(xXP612161OOO1)(xF分布函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫(huà)畫(huà) 分布函分布函數(shù)圖數(shù)圖212613110X 不難看出，不難看出，F(xiàn)(x) 的圖形是階梯狀的圖形，的圖形是階梯狀的圖形，在在 x=0，1，2 處有跳躍，其躍度分別等于處有跳躍，其躍度分別等于 P(X=0) , P(X=1)