人教版初中數學講義第9章中心對稱圖形——平行四邊形09圖形的鑲嵌

1、圖形的鑲嵌地板、瓷磚當你在為家庭裝修忙碌時，是否知道這其中也有著數學問題呢？例如，最常見的瓷磚拼裝，同樣都是方方正正的瓷磚，為什么效果不一樣呢？如下圖，這是常見的兩種瓷磚如今，家庭裝修大多使用第二種正方形瓷磚這種瓷磚比較適合矩形房間的地面裝飾，通常這種瓷磚圖案形成中心對稱圖形這樣無論如何鋪設都能形成圖案而在街道道路上，通常用第一種瓷磚作鋪墊當然，還有其他形狀的瓷磚，這里就不一一作介紹了顯而易見，這兩種常規(guī)瓷磚都是正多邊形那么，是不是所有的正多邊形都能作為瓷磚拼裝呢？顯而易見，在現實生活中，一般就只有這幾種形狀的瓷磚在裝修中，瓷磚拼裝首先要拼基本圖案說到拼裝，就要先談一談嵌合圖形的拼裝在一種拼裝

2、圖案里，如果基本元素圖案只有一種，這就叫做單元拼裝在單元拼裝里，如果基本元素是正多邊形，這種拼裝便稱為正規(guī)拼裝當拼裝時各個基本單元圖案的邊與邊完全吻合，這種拼裝可以稱為棱對棱拼裝瓷磚拼裝其實是正規(guī)的棱對棱的單元拼裝如圖1，它就是一種棱對棱的單元正規(guī)拼裝它的基本元素就是圖2的正方形那么，棱對棱的正規(guī)單元拼裝有幾種呢？是不是所有的正多邊形都能進行棱對棱的單元拼裝呢？由圖1可以看到，它是一個由4個小正方形組成的大正方形取它的中心對稱點來分析，在此點周圍一共就有4個小正方形，同理可得，該大正方形的其他的頂點周圍應該也有4個小正方形假設某種N邊的正多邊形能進行棱對棱的單元拼裝，且在它的每一個頂點周圍有M

3、個該正多邊形因為M為頂點，所以M應該能被360整除由多邊形內角和公式可以得到：即因為M、N都是正整數，且N3，所以只有當N為3，4，5和6時符合條件而當N5時，即基本圖形為正五邊形時，內角為108°，而108不能除盡360，所以也舍去所以當N3、4、6時滿足條件因此，只有3種單元正規(guī)棱對棱的拼裝這也就是為什么現代地瓷裝修主要是這幾種形式以上三種就是正多邊形棱對棱正規(guī)拼裝的一些示例在三角形、四邊形和六邊形中，當多邊形的邊數為3時，它的一個頂點可容納6個此種多邊形當多邊形的邊數為4時，它的一個頂點可容納4個此種多邊形當多邊形的邊數為6時，它的一個頂點可容納3個此種多邊形當基本元素是三角形

4、或矩形時，環(huán)繞在一個頂點的多邊形的棱正好形成以此點為中心的中心對稱圖形又因為正方形與現代居室相近，所以現代裝修中瓷磚拼裝以正方形為主變換一下顏色或是改變一下擺放次序，就能產生新的圖案在公園或街道上有時會有一種呈矩形的地磚在這種地磚的鏤空處可以種植草坪如：也有像正方形的鏤空地磚，如：在嵌合圖形的拼裝中，正多邊形的棱對棱的正規(guī)拼裝只是其中極小的一小塊而已有時候，為了達到美觀效果，還會采取多元拼裝，就是一個基本單元里有兩種以上的基本圖案以上圖中的左圖來分析，在它的一個基本單元里，有兩種正多邊形正方形和正八邊形它的一個頂點有一個正方形和兩個正八邊形為什么會這樣排列呢？因為正八邊形的一個內角為135&#

5、176;，正方形的一個內角為90°，而135×290360，所以這個組合可以成功再以上圖中的右圖來分析，在它的一個基本單元里，它雖然也只有兩種正多邊形正六邊形和正三角形，但它的頂點就有兩種情況：一是周圍有六個正三角形，二是周圍有兩個正三角形和兩個正六邊形再以下圖為例，它的基本單元里仍是正六邊形和正三角形兩種，在它的一個頂點周圍只有兩個正三角形和一個正六邊形可見，同樣的基本圖形組成的不同的圖形之間有著很大的差異倘若有一個圖形的基本元素由m個正M多邊形和n個正N多邊形組成，且該圖形為多元正規(guī)棱對棱拼裝，那么會有幾種這樣的圖形呢？這個問題的答案就留給讀者思考吧上述的圖形拼裝都建立

6、在正規(guī)棱對棱拼裝的基礎上，其實嵌合圖形的種類很多，只要是能填滿一個平面的圖案就叫做嵌合圖嵌合圖形是數學和美術的結合，而瓷磚拼裝是其中的一個典范怎么樣？小小的瓷磚拼裝還是大有學問的吧？只要稍微留心一下，生活中處處都可以發(fā)現數學的所在以下是一些是埃舍爾（Maurits Cornelis Escher，1898-1972）荷蘭最著名的版畫，大家可從中感受鑲嵌圖形的魅力 埃舍爾（Maurits Cornelis Escher，1898-1972）是荷蘭最著名的版畫家，1937年以前埃舍爾并沒有多大的名氣，那時他的作品盡可能真實地描繪現實客觀世界一次到西班牙的Alhambra宮殿訪問激發(fā)了他新的創(chuàng)作靈感

7、并使他成名他不再描繪他所看到的而是開始構思他自己的視覺觀念這就有了他后來流行的規(guī)則的平面分割、轉變，錯綜復雜的謎一般的版畫和他天才的空間建筑他的家庭設想他將來能跟隨他的父親從事建筑事業(yè)，但是他在學校里那可憐的成績以及對于繪畫和設計的偏愛最終使得他從事圖形藝術的職業(yè)他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他舉辦了他的第一次重要的畫展，這個畫展得到了時代雜志的好評，并且獲得了世界范圍的名望在他的最熱情的贊美者之中不乏許多數學家，他們認為在他的作品中數學的原則和思想得到了非同尋常的形象化因為這個荷蘭的藝術家沒有受過中學以外的正式的數學訓練，因而這一點尤其令人贊嘆隨著他的創(chuàng)作的發(fā)展，他從他讀到的數

8、學的思想中獲得了巨大靈感，他工作中經常直接用平面幾何和射影幾何的結構，這使他的作品深刻地反映了非歐幾里德幾何學的精髓，下面我們將看到這一點他也被悖論和“不可能”的圖形結構所迷住，并且使用了羅杰·彭羅斯的一個想法發(fā)展了許多吸引人的藝術成果這樣，對于學數學的學生，埃舍爾的工作圍繞了兩個廣闊的區(qū)域：“空間幾何學”和我們或許可以叫做的“空間邏輯學”鑲嵌圖形：規(guī)則的平面分割叫做鑲嵌，鑲嵌圖形是完全沒有重疊并且沒有空隙的封閉圖形的排列一般來說，構成一個鑲嵌圖形的基本單元是多邊形或類似的常規(guī)形狀，例如經常在地板上使用的方瓦然而，埃舍爾被每種鑲嵌圖形迷住了，不論是常規(guī)的還是不規(guī)則的；并且對一種他稱為

9、metamorphoses（變形）的形狀特別感興趣，這其中的圖形相互變化影響，并且有時突破平面的自由他的興趣是從1936年開始的，那年他旅行到了西班牙并且在Alhambra看到了當地使用的瓦的圖案他花了好幾天勾畫這些瓦面，過后宣稱這些“是我所遇到的最豐富的靈感資源”，1957年他寫了一篇關于鑲嵌圖形的文章，其中評論道：“在數學領域，規(guī)則的平面分割已從理論上研究過了，難道這意味著它只是一個嚴格的數學的問題嗎？按照我的意見，它不是數學家們打開了通向一個廣闊領域的大門，但是他們自己卻從未進入該領域從他們的天性來看他們更感興趣的是打開這扇門的方式，而不是門后面的花園” 無論這對數學家是否公平

10、， 有一點是真實的他們指出了在所有的常規(guī)的多邊形中，僅僅三角形，正方形，和正六邊形能被用于鑲嵌但許多其他不規(guī)則多邊形平鋪后也能形成鑲嵌，例如有許多鑲嵌就使用了不規(guī)則的五角星形狀埃舍爾在他的鑲嵌圖形中利用了這些基本的圖案，他用幾何學中的反射、平滑反射、變換和旋轉來獲得更多的變化圖案他也精心地使這些基本圖案扭曲變形為動物、鳥和其他的形狀這些改變不得不通過三次、四次甚至六次的對稱以便得到鑲嵌圖形這樣做的效果既是驚人的，又是美麗的     鳥分割的平面（21k）、蜥蜴（65k）、循環(huán)（40k）、逐步展開1（59k）    在 “蜥蜴”里，鑲嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃離二維平面的束縛到桌面放風，然后又重新陷入原來的圖案埃舍爾在許多六邊形的鑲嵌圖形