雨中行走問題

1、一 雨中行走問題一個(gè)雨天，你有件急事需要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅一公里，況且事情緊急，你來不及花時(shí)間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個(gè)似乎很簡(jiǎn)單的事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時(shí)間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學(xué)模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。1 建模準(zhǔn)備建模目標(biāo)：在給定的降雨條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小。主要因素：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠(yuǎn)近，行走的速度2）降雨大小用降雨強(qiáng)度 厘米

2、/時(shí)來描述，降雨強(qiáng)度指單位 時(shí)間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。3）風(fēng)速保持不變。4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。h2 模型假設(shè)及符號(hào)說明1）把人體視為長(zhǎng)方體，身高 米，寬度 米，厚度 米。 淋雨總量用 升來記。wdCIvD3 模型建立與計(jì)算1）不考慮雨的方向，此時(shí)，你的前后左右和上方都將淋雨。淋雨的面積 )( 222米wddhwhS雨中行走的時(shí)間 )(秒vDt 降雨強(qiáng)度)/()3600/01. 0()/(01. 0)/(smIII時(shí)米時(shí)厘米（升）米SIvDSItC3600/)/(10)(01. 0)3600/(3模型中為變量。為參數(shù)，而vSID,結(jié)論，結(jié)論，淋雨量與速度成

3、反比。這也驗(yàn)證了盡可能快跑能減少淋雨量。米即米米米小時(shí)厘米米若取參數(shù)22 . 2,20. 0,50. 0,50. 1,/2,1000SdwhID秒。分秒，即你在雨中行走了每秒，則計(jì)算得米度你在雨中行走的最大速472167/6v從而可以計(jì)算被淋的雨水的總量為2.041（升）。經(jīng)仔細(xì)分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水，大約有4 酒瓶的水量。這是不可思議的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實(shí)際。原因：不考慮降雨的方向的假設(shè)， 使問題過于簡(jiǎn)化。2）考慮降雨方向。vhwd人前進(jìn)的方向若記雨滴下落速度為 （米/秒）r雨滴的密度為雨滴下落的反方向1 ,pp表示在一定的時(shí)刻在單

4、位體積的空間內(nèi)，由雨滴所占的空間的比例數(shù)，也稱為降雨強(qiáng)度系數(shù)。所以，rpI 因?yàn)榭紤]了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計(jì)算淋雨量。頂部的淋雨量)sin()/(1prwdvDC 度。表示雨滴垂直下落的速表示頂部面積，表示在雨中行走的時(shí)間sin,/rwdvD前表面淋雨量)cos()/(2vrpwhvDC總淋雨量（基本模型）)cos(sin(21vrhdrvpwDCCC61039. 1,/23600,/4pscmIsmr取參數(shù))5 . 1cos6sin8 . 0(1095. 64vvC可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。問題轉(zhuǎn)化為給定 ，如何選擇 使得 最小。vC情形190)

5、5 . 18 . 0(1095. 64vC結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得升13. 1103 .1134mC情形2 60/ ) 334 . 0(5 . 1 1095. 64vC結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得升47. 1107 .1434mC情形3 18090此時(shí)，雨滴將從后面向你身上落下。5 . 1/ )cos6sin8 . 0(1095.

6、 64vC5 . 1/)90cos(6)90sin(8 . 0(1095. 64vC5 . 1/ )sin6cos8 . 0(1095. 64vC能的?？赡苋∝?fù)值，這是不可時(shí)，當(dāng)C900 出現(xiàn)這個(gè)矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對(duì)雨從我們給出的基本模型是針對(duì)雨從你的前面落到身上情形你的前面落到身上情形。因此，對(duì)于這種情況要另行討論。當(dāng)行走速度慢于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即sinrv 這時(shí)，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是vvrpwDh/ )sin(淋雨總量為vvrhdrpwDC/)sin(cos。，則令90090 取到最小值。時(shí)，當(dāng)CrvsincossinwdprrDC 再次代如數(shù)據(jù)，得)s

7、in4/()cos8 . 0(1095. 64C結(jié)果表明：當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時(shí)，淋當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時(shí)，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。若雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角從背后落下，你應(yīng)該以12030的速度行走，smv/230sin4此時(shí)，淋雨總量為升24. 02/ )2/38 . 0(1095. 634mC這意味著你剛好跟著雨滴前進(jìn)，前后都沒淋雨。當(dāng)行走速度快于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即sinrv 你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是vrvpwDh/ )sin(淋雨總量為vrvhdrpwDC/)sin(cos

8、/ )sincos(rhvrdpwDrC才可能小。盡可能大，當(dāng)Cvrd, 0sincos才可能小。盡可能小，當(dāng)Cvrd, 0sincos，而sinrv ，所以sinrv 才可能小。C升。時(shí)，取77. 06/ )634 . 0(1095. 630,/634mCsmv4 結(jié)論若雨是迎著你前進(jìn)的方向向你落下，這時(shí)的策略很簡(jiǎn)單，應(yīng)以最大的速度向前跑；若雨是從你的背后落下，你應(yīng)控制你在雨中的行走速度，讓它剛好等于落雨速度的水平分量。5 注意 關(guān)于模型的檢驗(yàn)，請(qǐng)大家觀察、體會(huì)并驗(yàn)證。雨中行走問題的建模過程又一次使我們看到模型假設(shè)的重 要性，模型的階段適應(yīng)性。二 席位分配問題 某校有200名學(xué)生，甲系100

9、名，乙系60名，丙系40名，若學(xué)生代表會(huì)議設(shè)20個(gè)席位，問三系各有多少個(gè)席位？按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則Npqm 表示某單位的席位數(shù)m 表示某單位的人數(shù)p 表示總?cè)藬?shù)N 表示總席位數(shù)q1 問題的提出問題的提出2020個(gè)席位的分配結(jié)果個(gè)席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲100100/200(50/100)20=10乙6060/200(30/100)20=6丙40 40/200(20/100)20=4現(xiàn)丙系有6名學(xué)生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5% 51.5 %20 =10.3乙6363/200=31.5%31.5%

10、20=6.3丙34 34/200=17.0%17.0%20=3.410641064現(xiàn)象現(xiàn)象1 1 丙系雖少了丙系雖少了6 6人，但席位仍為人，但席位仍為4 4個(gè)。（不公平?。﹤€(gè)。（不公平?。榱嗽诒頉Q提案時(shí)可能出現(xiàn)10：10的平局，再設(shè)一個(gè)席位。2121個(gè)席位的分配結(jié)果個(gè)席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5% 51.5 %21 =10.815乙6363/200=31.5%31.5%21=6.615丙34 34/200=17.0%17.0%21=3.5701173現(xiàn)象現(xiàn)象2 2 總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平?。┛傁辉黾右幌?，丙系反而減少一席

11、。（不公平！）慣例分配方法慣例分配方法：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。按慣例分給小數(shù)部分較大者。存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？2 建模分析建模分析目標(biāo)：建立公平的分配方案。反映公平分配的數(shù)量指標(biāo)可用每席位代表的人數(shù)每席位代表的人數(shù)來衡量。系別 人數(shù) 席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲1031031010103/10=10.3103/10=10.3中中乙63636 663/6=10.563/6=10.5差差丙34 34 4 434/4=8.534/4=8.5好好

12、系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)甲1001001010100/10=10100/10=10乙60606 660/6=1060/6=10丙40 40 4 440/4=1040/4=10系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲1031031111103/11=9.36103/11=9.36中中乙63637 763/7=963/7=9好好丙34 34 3 334/3=11.3334/3=11.33差差一般地，單位人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)A AB B1p2p1n2n11np22np當(dāng)2211npnp席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標(biāo)準(zhǔn)來判斷。準(zhǔn)。稱為“絕對(duì)不公平”標(biāo) ) 122

13、11npnp此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個(gè)好的衡量標(biāo)準(zhǔn)。單位人數(shù)p席位數(shù)n每席位代表的人數(shù)絕對(duì)不公平標(biāo)準(zhǔn)A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,DC,D的不公平程度大為改善！2） 相對(duì)不公平np表示每個(gè)席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時(shí)，此值越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。2211npnp則A吃虧,或?qū) 是不公平的。定義“相對(duì)不公平”則稱，若 2211npnp1),(122122221121npnpnpnpnpnnrA對(duì)A 的相對(duì)不公平值；同理，可定義對(duì)B 的相對(duì)不公平值為：則稱，若 2211npnp1),(21

14、1211112221npnpnpnpnpnnrB對(duì)B 的相對(duì)不公平值；建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標(biāo)BArr ,制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。3 3 建模建模若A、B兩方已占有席位數(shù)為,21nn用相對(duì)不公平值討論當(dāng)席位增加1 個(gè)時(shí)，應(yīng)該給A 還是B 方。不失一般性， 2211，若npnp有下面三種情形。情形情形1 1 1 2211，npnp說明即使給A 單位增加1席，仍對(duì)A 不公平，所增這一席必須給A單位。情形情形2 2 1 2211，npnp說明當(dāng)對(duì)A 不公平時(shí)，給A 單位增加1席，對(duì)B 又不公平。計(jì)算對(duì)B 的相對(duì)不公平值1) 1() 1() 1(), 1(21121111

15、2221npnpnpnpnpnnrB情形情形3 3 1 2211，npnp說明當(dāng)對(duì)A 不公平時(shí)，給B 單位增加1席，對(duì)A 不公平。計(jì)算對(duì)A 的相對(duì)不公平值1) 1() 1() 1() 1,(122122221121npnpnpnpnpnnrA),1,(), 1(2121nnrnnrAB若則這一席位給A 單位，否則給B 單位。1) 1(), 1(211221npnpnnrB1) 1() 1,(122121npnpnnrA12212112) 1() 1(npnpnpnp(*) ) 1() 1(11222212nnpnnp結(jié)論結(jié)論：當(dāng)（當(dāng)（* *）成立時(shí)，增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給）成立時(shí)，增加的一個(gè)席

16、位應(yīng)分配給A A 單位，單位，反之，應(yīng)分配給反之，應(yīng)分配給 B B 單位。單位。記記21 ) 1(2, innpQiiii則增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給則增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給QQ值值 較大的一方。較大的一方。這樣的分配席位的方法稱為QQ值方法值方法。若A、B兩方已占有席位數(shù)為,21nn4 4 推廣推廣 有m 方分配席位的情況設(shè)iA方人數(shù)為ip，已占有in個(gè)席位，mi,2, 1當(dāng)總席位增加1 席時(shí)，計(jì)算m, innpQiiii, 21 ) 1(2則1 席應(yīng)分給Q值最大的一方。從1in開始，即每方至少應(yīng)得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，則把它排除在外。）5 舉例舉例甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個(gè)席位，如何分配？按按Q值方法：值方法：3 , 21 ) 1(2, innpQiiii1, 1, 1321nnn785) 11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 163 5304.5,) 11 ( 1103232221QQQ785) 11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 1632 .7681) 12(2103232221QQQ甲1乙1丙1785)11 (1345 .661)12(2632 .7681)12(2103232221QQQ785)11 (1345 .661)12(2634 .888)13(31