行列式乘法規(guī)則的證明方法及其應(yīng)用 2

1、 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題 目： 行列式乘法規(guī)則的證明方法及其應(yīng)用 學(xué) 生： 學(xué)號(hào)： 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)學(xué)院 專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 入學(xué)時(shí)間： 年 月 日指導(dǎo)教師： 職稱： 完成日期： 年 月 日誠(chéng) 信 承 諾我謹(jǐn)在此承諾：本人所寫的畢業(yè)論文行列式乘法規(guī)則的證明方法及其應(yīng)用均系本人獨(dú)立完成，沒有抄襲行為，凡涉及其他作者的觀點(diǎn)和材料，均作了注釋，若有不實(shí)，后果由本人承擔(dān)。 承諾人（簽名）： 年 月 日行列式乘法規(guī)則的證明方法及其應(yīng)用姓名： 學(xué)號(hào)： 指導(dǎo)老師： 摘 要：行列式的乘法規(guī)則是解決行列式相關(guān)問題的重要理論依據(jù)。通過對(duì)它的學(xué)習(xí)，有利于我們更好的掌握和運(yùn)用行列式的解題技巧去解決相關(guān)問題。本文首先

2、用三種方法證明了行列式的乘法規(guī)則，包括數(shù)學(xué)歸納法，利用拉普拉斯定理證明和用矩陣分塊思想證明，最后，還給出了行列式乘法規(guī)則的應(yīng)用。關(guān)鍵字：行列式；拉普拉斯定理；分塊矩陣Proof Method of Determinant Multiplication Rule and Its ApplicationName: Student Number: Advisor: Abstract: Determinant of the multiplication rule is the important theoretical basis to solve the problem of determinant

3、 associated. Through learning about it, be helpful for our better master and use the determinant problem solving skills to solve related problems. In this paper, using three methods proved determinant of the multiplication rule. Including mathematical induction, the use of Laplace theorem proving an

4、d the matrix block .And also gives a few examples.Key words: determinant; Laplace theorem; partitioned matrix目 錄1引言及預(yù)備知識(shí)52行列式乘法規(guī)則的證明方法52.1利用數(shù)學(xué)歸納法證明52.2利用拉普拉斯定理證明92.3利用矩陣分塊證明123行列式乘法規(guī)則的應(yīng)用舉例134結(jié)束語15參考文獻(xiàn)15致謝171引言及預(yù)備知識(shí)線性方程組是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)也是應(yīng)用最廣泛的內(nèi)容之一，而行列式是解線性方程組的一個(gè)基本工具。隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，行列式的應(yīng)用已經(jīng)不僅僅局限于線性代數(shù)，在數(shù)學(xué)分析、解析幾何、概率

5、論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。在學(xué)習(xí)行列式的過程中，它自身的特點(diǎn)和性質(zhì)是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，決定著其它有關(guān)內(nèi)容的掌握程度。當(dāng)然行列式的計(jì)算也是相當(dāng)重要之內(nèi)容。由于行列式的計(jì)算方法多樣，應(yīng)用靈活，我們要根據(jù)題目的具體要求選擇簡(jiǎn)便的方法，使問題解決簡(jiǎn)單化。 行列式的乘法規(guī)則是行列式中最基礎(chǔ)也是必須掌握的內(nèi)容之一，它的應(yīng)用非常廣泛，是解決相關(guān)問題的依據(jù)。通過對(duì)行列式乘法規(guī)則的掌握，也有利于我們進(jìn)一步的理解和應(yīng)用行列式去探討其它一些重要問題。本文主要采用數(shù)學(xué)歸法，利用拉普拉斯定理和利用矩陣分塊這三種方法完整的證明了行列式乘法規(guī)則，同時(shí)給出了它們的常見應(yīng)用。命題1（ 行列式的乘法規(guī)則）若兩個(gè)階

6、行列式，則與的乘積是一個(gè)行列式其中2行列式乘法規(guī)則的證明方法 2.1利用數(shù)學(xué)歸納法證明 要證明行列式的乘法規(guī)則，需先證明以下兩個(gè)引理： 引理1 證明: .證明 首先我們對(duì)的個(gè)數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)時(shí)，左邊=右邊，故引理結(jié)論成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)，引理結(jié)論成立,即 現(xiàn)在我們來看當(dāng)時(shí)，引理結(jié)論是否成立。首先我們按第一行展開，則有 可見，當(dāng)時(shí)，引理的結(jié)論也成立。因此根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，引理1得證。引理2 證明:其中證明 首先對(duì)作以下變換:第一列乘以，第二列乘以，依此類推，第列乘以，之和加到第列；第一列乘以，第二列乘以，依此類推，第列乘以，之和加到第列；如此下去，第一列乘以，第二列乘以，依此類推，第列乘以，之和加

7、到第列；第一列乘以，第二列乘以，依此類推，第列乘以，之和加到第列，則有然后再依次按行，行, 行展開，則有原式=因此，由引理1及引理2知行列式的乘法規(guī)則成立。2.2利用拉普拉斯定理證明 首先需證明以下引理：引理3 行列式的任一子式與它的代數(shù)余子式的乘積中的每一項(xiàng)都是行列式的展開式中的一項(xiàng)，而且符號(hào)也一致。 證明 令為行列式的任一階子式,為對(duì)應(yīng)的余子式。令展開后的一般項(xiàng)為,（1）其中為從小到大的行排列，為次序不定的列排列。 再令展開后的一般項(xiàng)為,（2）其中為從小到大的列排列，為次序不定的行排列。又與都為的一個(gè)排列。從而將式（1）（2）相乘，得.顯然為展開后的任意項(xiàng)。 再者,（3）我們注意到，因?yàn)橹?/p>

8、的任意項(xiàng)也會(huì)與中的任意項(xiàng)構(gòu)成逆序，產(chǎn)生逆序數(shù)。在中能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)，能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)，依此類推，能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)。所以有（3）式成立。 又由于,（4）我們注意到，因?yàn)橹械娜我忭?xiàng)也與中的項(xiàng)構(gòu)成逆序，產(chǎn)生逆序數(shù)。比項(xiàng)大的有項(xiàng)，而中有項(xiàng)，所以能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)，同理在中能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)，依此類推，能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)。所以有（4）成立。因此，我們有從而有即的一般項(xiàng)為.又為的代數(shù)余子式。所以的一般項(xiàng)為.這剛好是行列式的一般項(xiàng)，所以引理3得證。定理1 若為行列式，為的取定行后得到的子式，分別為的代數(shù)余子式。則有證明 我們知道的每一項(xiàng)就是中的一項(xiàng)且有相同的符號(hào)。又與無公共項(xiàng)，所以只需證明兩邊項(xiàng)數(shù)相同

9、便可得到上式。由于的項(xiàng)數(shù)式，而的項(xiàng)數(shù)是，的項(xiàng)數(shù)式，又所以被證等式右邊的項(xiàng)數(shù)是，故定理1得證。 其實(shí)該定理就是拉普拉斯定理的簡(jiǎn)單敘述，以上也給出了一般的證明方法。拉普拉斯定理是行列式計(jì)算中的一個(gè)重要定理，是行列式展開的理論依據(jù)，有很多教材都給出了詳細(xì)證明，例如北大教研組編的高等代數(shù)，及張禾瑞，郝鈵新編的高等代數(shù)等。大家可以參見這些資料，來具體學(xué)習(xí)拉普拉斯定理，在這里也不再做詳細(xì)說明。 現(xiàn)在來給出行列式乘法規(guī)則的第二種證明方法。 證明 首先我們作一個(gè)階的行列式，利用拉普拉斯定理，將按前行展開，可見只有左上角的那個(gè)階子式不為零，則，這與引理1所得的結(jié)果相同。其實(shí)這不是偶然，引理1中的行列式是的特例，

10、是得一般形式。學(xué)過拉普拉斯定理后，類似的行列式都容易計(jì)算多了。 再根據(jù)引理2即可得到行列式的乘法規(guī)則。2.3利用矩陣分塊證明 下面我們將采用矩陣分塊的思想來證明行列式的乘法規(guī)則。 證明 首先作一個(gè)階的行列式令 .所以.根據(jù)分塊矩陣乘法和拉普拉斯定理，得.由此可見利用分塊矩陣和拉普拉斯定理組合也可以得到和引理1一樣的結(jié)果。再由引理2即可得到行列式的乘法規(guī)則。以上我們采用了三種方法證明了行列式的的乘法規(guī)則，分別是數(shù)學(xué)歸納法，利用拉普拉斯定理證明以及利用矩陣分塊證明，下面我們給出其的幾個(gè)常見應(yīng)用。 3行列式乘法規(guī)則的應(yīng)用舉例行列式的的應(yīng)用非常廣泛，以下就行列式乘法規(guī)則的應(yīng)用給出幾個(gè)典型例題，供大家參

11、考。例1 計(jì)算以下行列式.解 原式= 例2 計(jì)算以下行列式(1).解 原式=(2). 解 原式=例3 計(jì)算下列行列式 .解 原式= 例4 計(jì)算以下行列式.解 由于顯然中的系數(shù)為1，所以必是正。即4結(jié)論關(guān)于行列式乘法規(guī)則的詳細(xì)證明在高等數(shù)學(xué)等教材中所占的篇幅都比較少，甚至都不給予單獨(dú)說明。對(duì)于它的學(xué)習(xí)一般都是在學(xué)習(xí)行列式其它內(nèi)容時(shí)才給出一些簡(jiǎn)單說明。但是我們?cè)谧鲂辛惺较嚓P(guān)問題時(shí)，行列式乘法規(guī)則是最基礎(chǔ)也是最常用的理論之一，所以我們應(yīng)該自己組織時(shí)間進(jìn)行具體學(xué)習(xí)。本文運(yùn)用了三種方法（數(shù)學(xué)歸納法，利用拉普拉斯定理及矩陣分塊思想）論證了行列式的乘法規(guī)則，為了讓讀者能夠順利的理解和領(lǐng)會(huì)乘法規(guī)則，還給出了一

12、些典型例題。希望讀者在學(xué)習(xí)此理論的同時(shí)，也能夠很好的掌握它的運(yùn)用技巧。當(dāng)然關(guān)于行列式乘法規(guī)則的證明以及應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，由于本人知識(shí)有限，在這里不能一一說明面面俱到。參考文獻(xiàn)：1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組. 高等代數(shù)M. 北京：高等教育出版社，2003.2張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社，2004.3張金武.行列式的乘法規(guī)則及其應(yīng)用N.成人教育學(xué)報(bào), 1998-4-3(4).4鐘婷.矩陣乘積的一個(gè)行列式等式的證明J.高等數(shù)學(xué)研究，2004,(6):50.5殷紅彩.拉普拉斯(Laplace)定理的新證明N.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)，2012-8-3(9).6楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解（上冊(cè)）M.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2002.7王萼芳，石生明.高等代數(shù)輔導(dǎo)與習(xí)題解答M. 北京:高等教育出版社，2007.8李師正.高等代數(shù)解題方法與技巧M. 北京：高等教育出版社，2005.9黎伯堂，劉桂真.高等代數(shù)解題技巧與方法M. 濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001.10P.Dentoni,M.Sce.Funzioni regolari nell algebra di Cayley,Rend.Sem Mat.Univ. Padova,1998，50（8）：251-267.致謝首先由衷的感謝我的導(dǎo)師唐劍老師，感謝老師為我提供