黃岡金牌第三章指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)講義

1、景德鎮(zhèn)黃岡金牌奧數(shù)學(xué)校專題三、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 一、 指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則1、 指數(shù)的運(yùn)算法則 例一、 1把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式(其中a，b0)（1）_；（2）=_；2_3化簡(jiǎn)_4=_ 5_6計(jì)算1、 2、 3、2、 對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互換（且）、（上式中，）3、 對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則（1）對(duì)數(shù)運(yùn)算法則 （2）幾個(gè)常用的恒等式 （換底公式） (3) 常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)：（1）常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)稱為常用對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)記為lgN.如log102=lg2(2)自然對(duì)數(shù)：以e（e=2.7182818）為底的對(duì)數(shù)成為自然對(duì)數(shù),即logeN，簡(jiǎn)記為lnN。例二、1.用，表示下列各式： （1）； （2）

2、2求下列各式的值：（1）； （2） 3.計(jì)算：（1）lg1421g； （2）； （3）4（1）已知，用a表示；（2）已知，用、表示 換底公式：例三、1計(jì)算：（1） ； （2）2已知，求（用 a, b 表示）3設(shè) ，求證：4若，求5計(jì)算：6若 ，求二、 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，所以它們的圖像關(guān)于對(duì)稱指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)一般形式（且）（且）定義域值域圖像Oxy1Oxy1性質(zhì)（1）（1）（2）圖像經(jīng)過點(diǎn)（2）圖像經(jīng)過點(diǎn)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減三、指數(shù)函數(shù)1比較大小例1已知函數(shù)滿足，且，則與的大小關(guān)系是_分析：先求的值

3、再比較大小，要注意的取值是否在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)解：，函數(shù)的對(duì)稱軸是故，又，函數(shù)在上遞減，在上遞增若，則，；若，則，綜上可得，即評(píng)注：比較大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函數(shù)的單調(diào)性或中間量等對(duì)于含有參數(shù)的大小比較問題，有時(shí)需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論2求解有關(guān)指數(shù)不等式例2已知，則x的取值范圍是_分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，注意底數(shù)的取值范圍解：，函數(shù)在上是增函數(shù)，解得x的取值范圍是評(píng)注：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式，并判斷底數(shù)與1的大小，對(duì)于含有參數(shù)的要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論3求定義域及值域問題例3求函數(shù)的定義域和值域解：由題意可得，即，故 函數(shù)的定義域是令，

4、則，又， ，即，即函數(shù)的值域是評(píng)注：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域時(shí)，要注意定義域?qū)λ挠绊?最值問題例4函數(shù)在區(qū)間上有最大值14，則a的值是_分析：令可將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題，需注意換元后的取值范圍解：令，則，函數(shù)可化為，其對(duì)稱軸為當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，解得或（舍去）；當(dāng)時(shí)，即， 時(shí)，解得或（舍去），a的值是3或評(píng)注：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最值時(shí)注意一些方法的運(yùn)用，比如：換元法，整體代入等5圖象變換及應(yīng)用問題例5為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象（）A向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度 B向右平移9個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度 D向

5、右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度分析：注意先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再利用圖象的平移規(guī)律進(jìn)行判斷解：，把函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象，故選（C）評(píng)注：用函數(shù)圖象解決問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，利用其直觀性實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題，所以要熟悉基本函數(shù)的圖象，并掌握?qǐng)D象的變化規(guī)律，比如：平移、伸縮、對(duì)稱等四、對(duì)數(shù)函數(shù)例1求下列函數(shù)的定義域：（1）； （2）； （3）分析：此題主要利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求解。解：（1）由>0得，函數(shù)的定義域是；（2）由得，函數(shù)的定義域是；（3）由9-得-3，函數(shù)的定義域是說明：此題只是對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意書寫格

6、式。例2比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大?。?（1），； （2），； （3），.解：（1）對(duì)數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，于是；（2）對(duì)數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，于是；（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，于是， 當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，于是例3比較下列比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大?。海?），； （2），； （3），； （4），解：（1）， ，； （2）， ， （3）， ， ， （4）， 例4已知，比較，的大小。解：， ，當(dāng)，時(shí)，得， 當(dāng)，時(shí)，得， 當(dāng)，時(shí)，得， 綜上所述，的大小關(guān)系為或或例5求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）（且）解：（1）令，則， ， ，即函數(shù)值域?yàn)?（2）令，則， ， 即函數(shù)值域?yàn)?（3）

7、令， 當(dāng)時(shí)， 即值域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)， 即值域?yàn)槔?判斷函數(shù)的奇偶性。解：恒成立，故的定義域?yàn)椋?，所以，為奇函數(shù)。例7求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：令在上遞增，在上遞減，又， 或，故在上遞增，在上遞減， 又為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減。說明：利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，首先要考察函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法來求單調(diào)區(qū)間。例8若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，的取值范圍。解：令， 函數(shù)為減函數(shù)，在區(qū)間上遞減，且滿足，解得，所以，的取值范圍為三、反函數(shù)知識(shí)梳理1.反函數(shù)定義：若函數(shù)y=f（x）（xA）的值域?yàn)镃，由這個(gè)函數(shù)中x、y的關(guān)系，用y把x表示出來，得到x=（y）.如果對(duì)于y在C中

8、的任何一個(gè)值，通過x=（y），x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x=（y）就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù).這樣的函數(shù)x=（y）（yC）叫做函數(shù)y=f（x）（xA）的反函數(shù)，記作x=f1（y）.在函數(shù)x=f1（y）中，y表示自變量，x表示函數(shù).習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，y表示函數(shù)，因此我們常常對(duì)調(diào)函數(shù)x=f1（y）中的字母x、y，把它改寫成y=f1（x）.2.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)y=f（x）與y=f1（x）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.3.求反函數(shù)的步驟：（1）解關(guān)于x的方程y=f（x），得到x=f1（y）.（2）把第一步得到的式子中的x、y對(duì)換位置，得到y(tǒng)=f1（x

9、）.（3）求出并說明反函數(shù)的定義域即函數(shù)y=f（x）的值域.典型例題：例1.函數(shù)y=（x1）的反函數(shù)是A.y=1（x0）B.y=+1（x0） C.y=x+1（xR）D.y=x1（xR）練習(xí)：1.函數(shù)y=log2（x+1）+1（x0）的反函數(shù)為A.y=2x11（x1）B.y=2x1+1（x1） C.y=2x+11（x0）D.y=2x+1+1（x0）2.函數(shù)f（x）=（x）的反函數(shù)A.在，+）上為增函數(shù)B.在，+）上為減函數(shù)C.在（，0上為增函數(shù)D.在（，0上為減函數(shù)3.函數(shù)f（x）=x2（x（，2）的反函數(shù)f1（x）=_.4.若函數(shù)f（x）=，則f1（）=_.例2設(shè)函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）=的

10、反函數(shù)，則f（4x2）的單調(diào)遞增區(qū)間為A.0，+） B.（，0 C.0，2）D.（2，0例3 求函數(shù)f（x）=的反函數(shù).例4 已知函數(shù)f（x）是函數(shù)y=1（xR）的反函數(shù)，函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線y=x1成軸對(duì)稱圖形，記F（x）=f（x）+g（x）.（1）求F（x）的解析式及定義域.（2）試問在函數(shù)F（x）的圖象上是否存在這樣兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，使直線AB恰好與y軸垂直?若存在，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.（一）指數(shù)函數(shù)專題訓(xùn)練一、指數(shù)的運(yùn)算(一)選擇題1下列正確的是( )Aa01B C1010.1D2的值為( )ABCD3可以簡(jiǎn)化為( )ABCD4化簡(jiǎn)的結(jié)果是(

11、)ABx2Cx3Dx4(二)填空題5_6_7計(jì)算_8若aa13，則a2a2_ (三)解答題 9若求的值10 設(shè)a、b為方程x212x90的兩個(gè)根，求的值。二、指數(shù)函數(shù)1、比較下列各組數(shù)的大?。海?）若 ，比較 與 ；（2）若 ，比較 與 ；（3）若 ，比較 與 ；（4）若 ，且 ，比較a與b；（5）若 ，且 ，比較a與b2曲線 分別是指數(shù)函數(shù) , 和 的圖象,則 與1的大小關(guān)系是 (  ).   ( 3 求下列函數(shù)的定義域與值域.(1)y2; (2)y4x+2x+1+1.4 已知-1x2,求函數(shù)f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值5、設(shè) ，求函數(shù) 的最

12、大值和最小值6、已知函數(shù)在區(qū)間1,1上的最大值是14，求a的值.7已知函數(shù) （ 且 ）（1）求 的最小值；  （2）若 ，求 的取值范圍8、（1）已知是奇函數(shù)，求常數(shù)m的值； （2）畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象回答：k為何值時(shí)，方程|無解？有一解？有兩解？9若函數(shù) 是奇函數(shù)，求 的值10. 已知9x-10.3x+90，求函數(shù)y=（）x-1-4·（）x+2的最大值和最小值 11已知 ，求函數(shù) 的值域12. 求函數(shù)的定義域，值域和單調(diào)區(qū)間13 求函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間.14 已知函數(shù)f(x) (a>0且a1).15、已知函數(shù)f（x）=a（aR）， 求證：對(duì)任何aR，f（x）為增函

13、數(shù) 若f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求a的值。16、定義在R上的奇函數(shù)有最小正周期為2，且時(shí)，（1）求在1，1上的解析式；（2）判斷在（0，1）上的單調(diào)性；（3）當(dāng)為何值時(shí)，方程=在上有實(shí)數(shù)解.17 函數(shù)yax(a>1)的圖像是( )（二）對(duì)數(shù)函數(shù)專題訓(xùn)練一、 對(duì)數(shù)的運(yùn)算(一)填空題1、 _ 2、 （1）；（2）3、 3 = a， 7 = b，用 a，b 表示56.4、若，求的值5、(1)已知?jiǎng)t= ,(2)已知?jiǎng)t ,（二）解答題6已知，求7已知，求值8已知，求9.知，求證：二、對(duì)數(shù)函數(shù)1.如圖，曲線是對(duì)數(shù)函數(shù) 的圖象，已知 的取值 ，則相應(yīng)于曲線 的 值依次為(   

14、 )（A）  （B）            （C） （D） 2.函數(shù)y=logx1(3x)的定義域是 3已知關(guān)于的的方程，討論的值來確定方程根的個(gè)數(shù)。4若關(guān)于的方程的所有解都大于1，求的取值范圍51、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。6、設(shè)函數(shù) ，若 的值域?yàn)?，求實(shí)數(shù) 的取值范圍7、的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍。8.函數(shù)y=log(1x)(x+3)的遞減區(qū)間是( )A.(3,1) B.(,1) C.(,3)D.(1，)9.已知函數(shù)yloga(2ax)在0，1上是x的減函數(shù)，則a的

15、取值范圍是( )A.0a1 B.a1 C.1a2D.1a210.求函數(shù)y=loga(2-ax-a2x)的值域。11.求函數(shù)y=log2·log2(x1,8)的最大值和最小值.12.設(shè)函數(shù)y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),（1）求f(x)的表達(dá)式及定義域；（2）求f(x)的值域。13、函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值比最小值大2，則實(shí)數(shù) =_14已知函數(shù) 判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性； 當(dāng) 時(shí)，求 的最大值，最小值及相應(yīng)的 值15、已知函數(shù)y=loga(1ax)(a0且a1)。(1)求函數(shù)的定義域和值域；(2)證明函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。16、.設(shè)，求函數(shù)的最大值。17、已知函數(shù)。(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)求函數(shù)f