教案--第二章矩陣

1、物流學(xué)院20152016學(xué)年度第 1 學(xué)期 線性代數(shù) 課堂教學(xué)方案授課年級 2014 專業(yè)層次 會計學(xué)本科 授課班級 1、2、3、4班 授課教師 2015 年 8 月 28 日線性代數(shù)教案任課教師 授課班級2014級會計學(xué)本科班授課時間教學(xué)時間安排0.5學(xué)時授課題目（章節(jié)）第二章 矩陣第一節(jié) 矩陣的概念教學(xué)目的、要求（教學(xué)目標(biāo)） 了解矩陣的概念 掌握幾種特殊矩陣教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)幾種特殊矩陣教學(xué)方式、方法與手段 講授與練習(xí)相結(jié)合、板書與多媒體相結(jié)合教學(xué)基本內(nèi)容及過程問題導(dǎo)入：矩陣是研究線性變換、向量的線性相關(guān)性及線性方程組的解法等的有力且不可替代的工作,在線性代數(shù)中具有重要地位. 本章中我們首先要

2、引入矩陣的概念,深入討論矩陣的運(yùn)算、矩陣的變換以及矩陣的某些內(nèi)在特征.本節(jié)中的幾個例子展示了如何將某個數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H應(yīng)用問題與一張數(shù)表矩陣聯(lián)系起來,這實(shí)際上是對一個數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H應(yīng)用問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的第一步.內(nèi)容要點(diǎn)一、引例 引例1 線性方程組與數(shù)表的關(guān)系 引例2 航空公司航班圖與數(shù)表的關(guān)系 引例3 某企業(yè)季度、產(chǎn)品、產(chǎn)值與數(shù)表的關(guān)系二、矩陣的概念定義1 由個數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為行列矩陣, 簡稱矩陣. 為表示它是一個整體, 總是加一個括弧, 并用大寫黑體字母表示它, 記為 這個數(shù)稱為矩陣的元素, 稱為矩陣的第行第列元素. 一個矩陣也可簡記為.元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣, 元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為

3、復(fù)矩陣, 本書中的矩陣都指實(shí)矩陣(除非有特殊說明).所有元素均為零的矩陣稱為零矩陣, 記為O.所有元素均為非負(fù)數(shù)的矩陣稱為非負(fù)矩陣.若矩陣的行數(shù)與列數(shù)都等于n，則稱為階方陣, 記為.如果兩個矩陣具有相同的行數(shù)與相同的列數(shù)，則稱這兩個矩陣為同型矩陣.定義 如果矩陣同型矩陣, 且對應(yīng)元素均相等, 則稱矩陣與矩陣相等，記為.例1 設(shè)，已知,求.三、矩陣概念的應(yīng)用矩陣概念的應(yīng)用十分廣泛,這里,我們先展示矩陣的概念在解決邏輯判斷問題中的一個應(yīng)用. 某些邏輯判斷問題的條件往往給的很多,看上去錯綜復(fù)雜,但如果我們能恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計一些矩陣,則有助于我們把所給條件的頭緒理清,在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行推理,將能起到化簡解決問

4、題的目的.四、幾種特殊矩陣只有一行的矩陣稱為行矩陣或行向量. 為避免元素間的混淆，行矩陣也記作只有一列的矩陣稱為列矩陣或列向量.階方陣稱為階對角矩陣,對角矩陣也記為.階方陣稱為階單位矩陣, 階單位矩陣也記為 （或 ）當(dāng)一個階對角矩陣的對角元素全部相等且等于某一數(shù)時，稱為階數(shù)量矩陣, 即.例題選講例2甲、乙、丙、丁、戊五人各從圖書館借來一本小說,他們約定讀完后互相交換,這五本書的厚度以及他們五人的閱讀速度差不多,因此,五人總是同時交換書,經(jīng)四次交換后,他們五人讀完了這四本書,現(xiàn)已知:(1) 甲最后讀的書是乙讀的第二本書；(2) 丙最后讀的書是乙讀的第四本書；(3) 丙讀的第二本書甲在一開始就讀了

5、；(4) 丁最后讀的書是丙讀的第三本；(5) 乙讀的第四本書是戊讀的第三本書；(6) 丁第三次讀的書是丙一開始讀的那本書.試根據(jù)以上情況說出丁第二次讀的書是誰最先讀的書? 理論講解15分鐘，習(xí)題選講10分鐘，練習(xí)、答疑5分鐘注: 在第三章中還將進(jìn)一步證明,如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式則齊次線性方程組(2)有非零解.作業(yè)與課外訓(xùn)練課外閱讀資料或自主學(xué)習(xí)體系安排課后小結(jié)本節(jié)介紹矩陣的概念以及幾種特殊矩陣，特別是幾種特殊矩陣要牢記。線性代數(shù)教案任課教師 授課班級2014級會計學(xué)本科班授課時間教學(xué)時間安排1.5學(xué)時授課題目（章節(jié)）第二節(jié) 矩陣的運(yùn)算教學(xué)目的、要求（教學(xué)目標(biāo)） 了解線性變換的概念 掌握

6、矩陣的各種運(yùn)算法則教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)矩陣的乘法及行列式運(yùn)算教學(xué)方式、方法與手段 講授與練習(xí)相結(jié)合、板書與多媒體相結(jié)合教學(xué)基本內(nèi)容及過程內(nèi)容要點(diǎn)一、矩陣的線性運(yùn)算定義1 設(shè)有兩個矩陣和,矩陣與的和記作, 規(guī)定為注：只有兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行矩陣的加法運(yùn)算. 兩個同型矩陣的和, 即為兩個矩陣對應(yīng)位置元素相加得到的矩陣.設(shè)矩陣記,稱為矩陣的負(fù)矩陣, 顯然有.由此規(guī)定矩陣的減法為.定義2 數(shù)與矩陣A的乘積記作或, 規(guī)定為數(shù)與矩陣的乘積運(yùn)算稱為數(shù)乘運(yùn)算.矩陣的加法與矩陣的數(shù)乘兩種運(yùn)算統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算. 它滿足下列運(yùn)算規(guī)律:設(shè)都是同型矩陣, 是常數(shù), 則(1) (2) ;(3) (4) (5) (

7、6) (7) (8) 注：在數(shù)學(xué)中，把滿足上述八條規(guī)律的運(yùn)算稱為線性運(yùn)算.二、矩陣的相乘定義3 設(shè)矩陣與矩陣的乘積記作, 規(guī)定為其中 ，(記號常讀作左乘或右乘.若，則矩陣的元素即為矩陣的第行元素與矩陣的第列對應(yīng)元素乘積的和. 即.矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)律(假定運(yùn)算都是可行的):（1）（2）（3）（4）注: 矩陣的乘法一般不滿足交換律, 即例如, 設(shè) 則而 于是 且從上例還可看出: 兩個非零矩陣相乘, 可能是零矩陣, 故不能從必然推出或此外, 矩陣乘法一般也不滿足消去律,即不能從必然推出 例如, 設(shè)則 但 定義4 如果兩矩陣相乘, 有則稱矩陣A與矩陣B可交換.簡稱A與B可換.注：對于單位矩陣,

8、 容易證明或簡寫成可見單位矩陣在矩陣的乘法中的作用類似于數(shù)1.更進(jìn)一步我們有命題1 設(shè)是一個n階矩陣，則是一個數(shù)量矩陣的充分必要條件是與任何n階矩陣可換.命題2 設(shè)均為n階矩陣，則下列命題等價:（1）（2）（3）（4）三、線性方程組的矩陣表示設(shè)有線性方程組若記則利用矩陣的乘法, 線性方程組(1)可表示為矩陣形式： (2)其中矩陣稱為線性方程組(1)的系數(shù)矩陣. 方程(2)又稱為矩陣方程. 如果是方程組(1)的解, 記列矩陣則，這時也稱是矩陣方程(2)的解; 反之, 如果列矩陣是矩陣方程(2)的解, 即有矩陣等式成立, 則 即也是線性方程組(1)的解. 這樣, 對線性方程組(1)的討論便等價于對

9、矩陣方程(2)的討論. 特別地, 齊次線性方程組可以表示為將線性方程組寫成矩陣方程的形式，不僅書寫方便，而且可以把線性方程組的理論與矩陣?yán)碚撀?lián)系起來，這給線性方程組的討論帶來很大的便利.四、線性變換的概念變量與變量之間的關(guān)系式： 稱為從變量到變量的線性變換. 其中為常數(shù). 線性變換(2)的系數(shù)構(gòu)成矩陣，稱其為線性變換(1)的系數(shù)矩陣.易見線性變換與其系數(shù)矩陣之間存在一一對應(yīng)關(guān)系. 因而可利用矩陣來研究線性變換，亦可利用線性變換來研究矩陣. 線性變換稱為恒等變換，其系數(shù)矩陣就是單位矩陣.五、矩陣的轉(zhuǎn)置定義6 把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣, 稱為的轉(zhuǎn)置矩陣, 記作(或). 即若則.矩陣的轉(zhuǎn)

10、置滿足以下運(yùn)算規(guī)律(假設(shè)運(yùn)算都是可行的):(1) (2) (3) (4) 六、方陣的冪定義5 設(shè)方陣, 規(guī)定稱為的次冪.方陣的冪滿足以下運(yùn)算規(guī)律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）： (1) (2) 注: 一般地, 為自然數(shù)命題3 設(shè)均為n階矩陣， 則有 為自然數(shù)，反之不成立。七、方陣的行列式定義7 由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式(各元素的位置不變),稱為方陣的行列式,記作或方陣的行列式滿足以下運(yùn)算規(guī)律(設(shè)為階方陣, 為常數(shù)):(1) (2) (3) 進(jìn)一步八、對稱矩陣定義8 設(shè)為階方陣, 如果 即則稱為對稱矩陣. 顯然，對稱矩陣的元素關(guān)于主對角線對稱. 例如 , 均為對稱矩陣.如果則稱為反對稱矩陣.九、共軛

11、矩陣定義9 設(shè)為復(fù)（數(shù)）矩陣, 記其中表示的共軛復(fù)數(shù), 稱為A的共軛矩陣.共軛矩陣滿足以下運(yùn)算規(guī)律(設(shè)為復(fù)矩陣,為復(fù)數(shù), 且運(yùn)算都是可行的):(1) (2) (3) 例題選講矩陣的線性運(yùn)算例1 已知, 求例2 已知 且求注: n階數(shù)量矩陣=例3 若 求例5 求與矩陣可交換的一切矩陣.例6 證明: 如果 則有例7 解矩陣方程 為二階矩陣.例8設(shè)有線性變換,其中,試求出向量,并指出該變換的幾何意義.例9 已知 求 例10 設(shè) 求 理論講解25分鐘，習(xí)題選講30分鐘，練習(xí)、答疑5分鐘提問：矩陣乘法與之前學(xué)習(xí)的數(shù)量乘法是否相同？注: 只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時, 兩個矩陣才能進(jìn)行乘法運(yùn)算

12、. .注: 方陣與行列式是兩個不同的概念, 階方陣是個數(shù)按一定方式排成的數(shù)表,而階行列式則是這些數(shù)按一定的運(yùn)算法則所確定的一個數(shù)值（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）.注：補(bǔ)充矩陣多項式的概念，并以此方法講解例10類型題目注：強(qiáng)調(diào)行列式與矩陣的差異注：在第四章應(yīng)用作業(yè)與課外訓(xùn)練1.設(shè)為三階矩陣, 若已知 求2.計算矩陣乘積 P46 2 5 6課外閱讀資料或自主學(xué)習(xí)體系安排1.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)編寫組編，線性代數(shù)與線性規(guī)劃學(xué)習(xí)指導(dǎo)，同心出版社，19952.張?zhí)斓?，線性代數(shù)習(xí)題精選精解，山東科學(xué)技術(shù)出版社，20093. 課后小結(jié)本節(jié)介紹用矩陣的各種運(yùn)算，這是本課程討論的基礎(chǔ)，要牢牢掌握。線性代數(shù)教案任課教師 授課班級20

13、14級會計學(xué)本科班授課時間教學(xué)時間安排2學(xué)時授課題目（章節(jié)）第三節(jié) 逆矩陣教學(xué)目的、要求（教學(xué)目標(biāo)） 了解逆矩陣的概念，理解伴隨矩陣的概念 掌握逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的充分必要條件教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)逆矩陣的性質(zhì)教學(xué)方式、方法與手段 講授與練習(xí)相結(jié)合、板書與多媒體相結(jié)合教學(xué)基本內(nèi)容及過程內(nèi)容要點(diǎn)一、逆矩陣的概念在數(shù)的運(yùn)算中, 對于數(shù) 總存在唯一一個數(shù),使得數(shù)的逆在解方程中起著重要作用，例如，解一元線性方程，當(dāng)時，其解為. 由于矩陣乘法不滿足交換律,因此將逆元概念推廣到矩陣時,式中的兩個方程需同時滿足. 此外,根據(jù)兩矩陣乘積的定義,僅當(dāng)我們所討論的矩陣是方陣時,才有可能得到一個完全的推廣.定義1

14、對于階矩陣,如果存在一個階矩陣,使得則稱矩陣為可逆矩陣,而矩陣稱為的逆矩陣.命題 若矩陣是可逆的, 則的逆矩陣是唯一的.定義2 如果階矩陣的行列式,則稱為非奇導(dǎo)的,否則稱為奇異的.二、伴隨矩陣及其與逆矩陣的關(guān)系定義3 行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣.稱為矩陣的伴隨矩陣.定理1 階矩陣可逆的充分必要條件是其行列式. 且當(dāng)可逆時, 有其中為的伴隨矩陣.注：由定理1求逆矩陣的方法稱為伴隨矩陣法.由定理證明得伴隨矩陣的一個基本性質(zhì)可以推廣為：推論 若(或), 則.三、逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)(1) 若矩陣可逆, 則也可逆, 且(2) 若矩陣可逆,數(shù) 則 ;(3) 兩個同階矩陣可逆矩陣,的乘積是可逆矩

15、陣, 且(4) 若矩陣可逆, 則也可逆, 且有 (5) 若矩陣可逆, 則.補(bǔ)充：伴隨矩陣的性質(zhì)(1) (2) 若矩陣可逆,數(shù) 則 ;(3) (4) (5) .四、矩陣方程對標(biāo)準(zhǔn)矩陣方程利用矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律和逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì), 通過在方程兩邊左乘或右乘相應(yīng)的矩陣的逆矩陣, 可求出其解分別為而其它形式的矩陣方程, 則可通過矩陣的有關(guān)運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)矩陣方程后進(jìn)行求解.例題選講逆矩陣的概念例1 如果 其中. 驗證伴隨矩陣及其與逆矩陣的關(guān)系例2 矩陣求矩陣的伴隨矩陣.例3 求例2中矩陣的逆矩陣.例4 已知 試用伴隨矩陣法求.矩陣方程例5 設(shè)是同階矩陣, 且A可逆, 下列結(jié)論如果正確, 試證明之,

16、如果不正確, 試舉反例說明之.(1) 若 則(2) 若 則例6 設(shè) 求矩陣X使?jié)M足例7 設(shè) 求例8 設(shè)方陣A滿足方程 證明A為可逆矩陣, 并求(為常數(shù), ).理論講解45分鐘，習(xí)題選講40分鐘，練習(xí)、答疑5分鐘注：重點(diǎn)介紹伴隨矩陣的結(jié)構(gòu)注：稱為伴隨矩陣求逆法，可用來證明克萊姆法則注:重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)公式的變形應(yīng)用，并補(bǔ)充伴隨矩陣的性質(zhì)：若矩陣可逆，則有：注：又稱為穿脫原理注：例8結(jié)果的寫法，上一節(jié)補(bǔ)充矩陣多項式部分已強(qiáng)調(diào)作業(yè)與課外訓(xùn)練1.求方陣的逆矩陣.2.設(shè)是同階矩陣, 且A可逆, 下列結(jié)論如果正確, 試證明之, 如果不正確, 試舉反例說明之.(1) 若 則(2) 若 則3. 求解矩陣方程P46 2

17、 5 6課外閱讀資料或自主學(xué)習(xí)體系安排1.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)編寫組編，線性代數(shù)與線性規(guī)劃學(xué)習(xí)指導(dǎo)，同心出版社，19952.張?zhí)斓?，線性代數(shù)習(xí)題精選精解，山東科學(xué)技術(shù)出版社，20093. 課后小結(jié)本節(jié)介紹用矩陣的伴隨矩陣、利用其求逆矩陣的方法及相關(guān)內(nèi)容，要掌握相關(guān)性質(zhì)及結(jié)論，對于伴隨矩陣求逆法了解即可，其理論意義大于應(yīng)用。線性代數(shù)教案任課教師 授課班級2014級會計學(xué)本科班授課時間教學(xué)時間安排2學(xué)時授課題目（章節(jié)）第四節(jié) 分塊矩陣教學(xué)目的、要求（教學(xué)目標(biāo)） 了解矩陣分塊的方法原則 掌握分塊矩陣作加、減、數(shù)乘法、轉(zhuǎn)置運(yùn)算及性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)分塊矩陣作加、減、數(shù)乘法、轉(zhuǎn)置運(yùn)算及性質(zhì)教學(xué)方式、方法與手段

18、 講授與練習(xí)相結(jié)合、板書與多媒體相結(jié)合教學(xué)基本內(nèi)容及過程內(nèi)容導(dǎo)入:在這一節(jié)里，我們將介紹一種在處理階數(shù)較高的矩陣時常用的技巧矩陣的分塊有時，我們把一個大矩陣看成是由一些小矩陣組成的，就如矩陣是由數(shù)組成的一樣特別是在運(yùn)算中，把這些小矩陣當(dāng)作數(shù)一樣來處理這就是所謂的矩陣的分塊內(nèi)容要點(diǎn)一、分塊矩陣的概念對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣, 為了簡化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成若干小矩陣間的運(yùn)算，同時也使原矩陣的結(jié)構(gòu)顯得簡單而清晰. 具體做法是：將大矩陣用若干條縱線和橫線分成多個小矩陣. 每個小矩陣稱為的子塊, 以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣. 矩陣的分塊有多種方式，可根據(jù)具體需要而定二、分

19、塊矩陣的運(yùn)算分塊矩陣的運(yùn)算與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相似. 分塊時要注意，運(yùn)算的兩矩陣按塊能運(yùn)算，并且參與運(yùn)算的子塊也能運(yùn)算，即，內(nèi)外都能運(yùn)算.1. 加法運(yùn)算:設(shè)矩陣與的行數(shù)相同、列數(shù)相同,并采用相同的分塊法,則的每個分塊是與中對應(yīng)分塊之和. 2. 數(shù)乘運(yùn)算:設(shè)是一個分塊矩陣,為一實(shí)數(shù),則的每個子塊是與中相應(yīng)子塊的數(shù)乘. 3. 乘法運(yùn)算:兩分塊矩陣與的乘積依然按照普通矩陣的乘積進(jìn)行運(yùn)算,即把矩陣與中的子塊當(dāng)作數(shù)量一樣來對待,但對于乘積,的列的劃分必須與的行的劃分一致.4. 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè) 則5. 設(shè)為階矩陣, 若的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊, 其余子塊都為零矩陣, 且在對角線上的子塊都是方陣

20、, 即,其中都是方陣, 則稱為分塊對角矩陣.分塊對角矩陣具有以下性質(zhì)：(1) 若 ，則，且(2) (3) 同結(jié)構(gòu)的對角分塊矩陣的和、差、積、商仍是對角分塊矩陣. 且運(yùn)算表現(xiàn)為對應(yīng)子塊的運(yùn)算。6.形如 或 的分塊矩陣，分別稱為上三角分塊矩陣或下三角分塊矩陣，其中是方陣.同結(jié)構(gòu)的上（下）三角分塊矩陣的和、差、積、商仍是上（下）三角分塊矩陣.補(bǔ)充內(nèi)容：拉普拉斯定理：(1) (2) 其中分別為方陣的階數(shù)分塊矩陣的逆：如果方陣可逆，則(1) (2) (3) (4) 例題選講例1 設(shè)矩陣 用分塊矩陣計算例2設(shè) 求.例3 如果將矩陣分塊為則 例4設(shè) 求.理論講解40分鐘，習(xí)題選講30分鐘，練習(xí)、答疑20分鐘

21、注：由上節(jié)課的矩陣方程引入分塊矩陣，結(jié)合下節(jié)課內(nèi)容給出矩陣乘法的新的計算方法（行列組合）注：一個矩陣也可看作以個元素為1階子塊的分塊矩陣.提問：如果矩陣的加法、乘法要用分塊來計算，那么矩陣該如何分？注：補(bǔ)充矩陣分塊形式，利用行向量、列向量線性組合計算矩陣乘法注：重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)介紹分塊對角矩陣的性質(zhì)注：補(bǔ)充幾種常見特殊分塊矩陣行列式、逆的相關(guān)結(jié)論注：例2給出不同的分塊方法，介紹矩陣乘積的不同于定義的計算方法作業(yè)與課外訓(xùn)練1.設(shè), 求2.分塊方陣 其中A,B均為可逆方陣, 證明D可逆, 并求P51 2 3 4 5 課外閱讀資料或自主學(xué)習(xí)體系安排1.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)編寫組編，線性代數(shù)與線性規(guī)劃學(xué)習(xí)指導(dǎo)，同

22、心出版社，19952.張?zhí)斓拢€性代數(shù)習(xí)題精選精解，山東科學(xué)技術(shù)出版社，20093. 課后小結(jié)在這一節(jié)里，我們介紹了一種在處理階數(shù)較高的矩陣時常用的技巧矩陣的分塊有時，我們把一個大矩陣看成是由一些小矩陣組成的，就如矩陣是由數(shù)組成的一樣特別是在運(yùn)算中，把這些小矩陣當(dāng)作數(shù)一樣來處理合理利用矩陣分塊可以為矩陣運(yùn)算提供很大幫助，希望好好體會矩陣分塊的內(nèi)涵。線性代數(shù)教案任課教師 授課班級2014級會計學(xué)本科班授課時間教學(xué)時間安排2.5學(xué)時授課題目（章節(jié)）第五節(jié) 矩陣的初等變換教學(xué)目的、要求（教學(xué)目標(biāo)） 掌握初等變換、行階梯形和行最簡形等概念 掌握矩陣的初等變換和初等矩陣,會進(jìn)行初等變換教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)初等

23、矩陣的應(yīng)用教學(xué)方式、方法與手段 講授與練習(xí)相結(jié)合、板書與多媒體相結(jié)合教學(xué)基本內(nèi)容及過程內(nèi)容導(dǎo)入在本章的上幾節(jié)中給出了矩陣可逆的充分必要條件，并同時給出了求逆矩陣的一種方法伴隨矩陣法但是利用伴隨矩陣法求逆矩陣，當(dāng)矩陣的階數(shù)較高時計算量是很大的這一節(jié)將介紹求逆矩陣的另一種方法初等變換法為此我們先介紹初等矩陣的概念，并建立矩陣的初等變換與矩陣乘法的聯(lián)系內(nèi)容要點(diǎn)一、矩陣的初等變換 在計算行列式時，利用行列式的性質(zhì)可以將給定的行列時化為上（下）三角形行列式，從而簡化行列式的計算， 把行列式的某些性質(zhì)引用到矩陣上，會給我們研究矩陣帶來很大的方便，這些性質(zhì)反映到矩陣上就是矩陣的初等變換.定義1 矩陣的下列三

24、種變換稱為矩陣的初等行變換:(1) 交換矩陣的兩行(交換兩行,記作);(2) 以一個非零的數(shù)乘矩陣的某一行(第行乘數(shù),記作);(3) 把矩陣的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,記為).把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義(相應(yīng)記號中把換成).初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.注:初等變換的逆變換仍是初等變換, 且變換類型相同.例如，變換的逆變換即為其本身；變換的逆變換為；變換的逆變換為或.定義2 若矩陣經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣, 則稱矩陣與等價, 記為（或）.注：在理論表述或證明中，常用記號“”，在對矩陣作初等變換運(yùn)算的過程中常用記號“”.矩陣之間的等價關(guān)系具有下列基

25、本性質(zhì):(1) 反身性 ;(2) 對稱性 若,則;(3) 傳遞性 若,則.一般地, 稱滿足下列條件的矩陣為行階梯形矩陣:(1) 零行(元素全為零的行)位于矩陣的下方;(2) 各非零行的首非零元（從左至右的一個不為零的元素）的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大（或說其列標(biāo)一定不小于行標(biāo)）.一般地, 稱滿足下列條件的階梯形矩陣為行最簡形矩陣：(1) 各非零行的首非零元都是1；(2) 每個首非零元所在列的其余元素都是零.一般地，矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形具有如下特點(diǎn)：的左上角是一個單位矩陣，其余元素全為0.定理1 任意一個矩陣經(jīng)過有限次初等變換, 可以化為下列標(biāo)準(zhǔn)形矩陣注: 定理1的證明也實(shí)質(zhì)上給出了下列結(jié)論:定理 任

26、一矩陣A總可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行階梯形矩陣, 并進(jìn)而化為行最簡形矩陣.根據(jù)定理1的證明及初等變換的可逆性,有推論 如果A為n階可逆矩陣, 則矩陣A經(jīng)過有限次初等變換可化為單位矩陣E, 即二、初等矩陣定義3 對單位矩陣施以一次初等變換得到矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換分別對應(yīng)著三種初等矩陣.(1) 的第行(列)互換得到的矩陣(2) 的第行(列)乘以非零數(shù)得到的矩陣(3) 的第行乘以數(shù)加到第行上,或的第列乘以數(shù)加到第列上得到的矩陣命題1 關(guān)于初等矩陣有下列性質(zhì)：(1) ; (2) *定理2 設(shè)是一個矩陣, 對施行一次某種初等行(列)變換, 相當(dāng)于用同種的階初等矩陣左（右）乘.三、求逆矩陣的

27、初等變換法在§2.3中, 給出了矩陣可逆的充要條件的同時, 也給出了利用伴隨矩陣求逆矩陣的一種方法伴隨矩陣法, 即對于較高階的矩陣, 用伴隨矩陣法求逆矩陣計算量太大, 下面介紹一種較為簡便的方法初等變換法定理3 階矩陣可逆的充分必要條件是可以表示為若干初等矩陣的乘積.因此，求矩陣的逆矩陣時，可構(gòu)造矩陣矩陣 ,然后對其施以初等行變換將矩陣化為單位矩陣，則上述初等變換同時也將其中的單位矩陣化為，即 ，這就是求逆矩陣的初等變換法.四、用初等變換法求解矩陣方程設(shè)矩陣可逆，則求解矩陣方程等價于求矩陣 ，為此，可采用類似初等行變換求矩陣的逆的方法，構(gòu)造矩陣，對其施以初等行變換將矩陣化為單位矩陣，

28、則上述初等行變換同時也將其中的單位矩陣化為，即 .這樣就給出了用初等行變換求解矩陣方程的方法.同理, 求解矩陣方程 等價于計算矩陣 亦可利用初等列變換求矩陣. 即.例題選講矩陣的初等變換例1 已知矩陣 對其作初等行變換，化為行階梯形矩陣.例2 將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形.例3 設(shè)有矩陣而 則 即用左乘相當(dāng)于交換矩陣的第1與第2行.又 即用右乘相當(dāng)于將矩陣的第3列乘2加于第1列.求逆矩陣的初等變換法例4 設(shè) 求.例5 已知矩陣 求.用初等變換法求解矩陣方程例6 求矩陣, 使, 其中例7 求解矩陣方程 其中理論講解40分鐘，習(xí)題選講30分鐘，練習(xí)、答疑20分鐘注：由第三章第一節(jié)前半部分引出初等變換的概念注：

29、結(jié)合線性方程組講解初等行變換的意義？提問：兩個矩陣等價是什么含義？注：結(jié)合初等變換的概念以及矩陣分塊運(yùn)算（補(bǔ)充部分）引出初等矩陣的概念注：重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)三種初等矩陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并結(jié)合定理2介紹其運(yùn)算作用注：重點(diǎn)介紹公式演變推導(dǎo)作業(yè)與課外訓(xùn)練1.化矩陣為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式.2.求矩陣的逆矩陣.3.已知n階方陣 求A中所有元素的代數(shù)余子式之和.P60 2 4 5 課外閱讀資料或自主學(xué)習(xí)體系安排1.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)編寫組編，線性代數(shù)與線性規(guī)劃學(xué)習(xí)指導(dǎo)，同心出版社，19952.張?zhí)斓拢€性代數(shù)習(xí)題精選精解，山東科學(xué)技術(shù)出版社，20093. 課后小結(jié)本節(jié)主要介紹矩陣的初等行（列）變換，要求能熟練的進(jìn)行矩陣的初等變

30、換。線性代數(shù)教案任課教師 授課班級2014級會計學(xué)本科班授課時間教學(xué)時間安排1.5學(xué)時授課題目（章節(jié)）第六節(jié) 矩陣的秩教學(xué)目的、要求（教學(xué)目標(biāo)） 掌握矩陣秩的概念 掌握利用初等變換求解矩陣秩的方法教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)利用初等變換求解矩陣秩的方法教學(xué)方式、方法與手段 講授與練習(xí)相結(jié)合、板書與多媒體相結(jié)合教學(xué)基本內(nèi)容及過程內(nèi)容要點(diǎn)一、矩陣的秩矩陣的秩的概念是討論向量組的線性相關(guān)性、線性方程組解的存在性等問題的重要工具. 從§2.5已看到，矩陣可經(jīng)初等行變換化為行階梯形矩陣，且行階梯形矩陣所含非零行的行數(shù)是唯一確定的, 這個數(shù)實(shí)質(zhì)上就是矩陣的“秩”,鑒于這個數(shù)的唯一性尚未證明，在本節(jié)中，我們首先利用行列式來定義矩陣的秩，然后給出利用初等變換求矩陣的秩的方法.定義1 在矩陣中，任取行列,位于這些行列交叉處的個元素,不改變它們在中所處的位置次序而得到的階行列式, 稱為矩陣的階子式.設(shè)為矩陣