與第一型曲面積分的關系

1、n定義定義n性質性質n計算計算n與第一型曲面積分的關系與第一型曲面積分的關系第第 28 講、講、 第二型曲面積分第二型曲面積分單側、雙側曲面單側、雙側曲面單側單側 雙側雙側 空間曲面在坐標面的投影空間曲面在坐標面的投影n 1若選擇外側為正向若選擇外側為正向 s s x yn 2d d x yxyzOs s x y 0d d x y 0曲面塊在曲面塊在 x o y 面的投面的投影是一個影是一個數(shù)值數(shù)值，其大，其大小為投影區(qū)域的面積，小為投影區(qū)域的面積，符號由曲面塊上指向符號由曲面塊上指向正向的法矢量在正向的法矢量在 z 軸軸方向的方向角決定。方向的方向角決定。設設 S S 為為定向定向光滑曲面，

2、函數(shù)光滑曲面，函數(shù) R ( x , y , z ) 在在 S S 上有界。上有界。S S 任意分為任意分為 n 個小曲面塊個小曲面塊 D D S i , 記記 D D S i 在在 x o y面的投影為面的投影為( D D S i ) x y ,在每個在每個 D D S i 上任取一點上任取一點 x x i ( a a i , b b i , g g i ) . D DniyxiiSR1 0 ) ( ) ( lim總存在，且等于確定的常數(shù)總存在，且等于確定的常數(shù) A ,徑的最大值徑的最大值 l l 趨于趨于 0 0 時，時，則稱則稱 A 為函數(shù)為函數(shù) R 在曲面在曲面 S S當各小塊曲面直當各

3、小塊曲面直定義定義將將 . ) 1 ( ni 如果不論如果不論 S S 如何分割，每個如何分割，每個 x x i 如何選取，如何選取，極限極限上上對坐標對坐標 x , y 的曲面積分的曲面積分，記作記作. d d ),( S S yxzyxRA對坐標對坐標的曲面積分也稱的曲面積分也稱第二型曲面積分第二型曲面積分。類似地可定義函數(shù)類似地可定義函數(shù) P 在曲面在曲面 S S 上上對坐標對坐標 y , z 的曲面積分的曲面積分: d d ),( S SzyzyxP及函數(shù)及函數(shù) Q 在曲面在曲面 S S 上上對坐標對坐標 z , x 的曲面積分的曲面積分 : d d ),( S SxzzyxQ D D

4、 nizyiiSP1 0 ) ( ) ( lim D D nixziiSQ1 0 ) ( ) ( lim應用中往往考慮應用中往往考慮上述三個上述三個第二型曲面積分第二型曲面積分的和，的和， 簡記為簡記為 ： d d d d d d yxRxzQzyP S S性質性質1、（有向性）、（有向性）2、（線性性）、（線性性）3、（區(qū)域可加性）、（區(qū)域可加性）. d d d d S SS S yxRyxR S SS S yxRyxR d d d d 2 1 b ba a. d d ) ( 2 1 S S yxRRb ba a. d d d d d d 212 1 S SS SS S S S yxRyxR

5、yxR計算計算 d d ),( S SyxzyxR設設定向定向光滑曲面光滑曲面 S S : z = z (x , y) 在在 x y 面的投影區(qū)域為面的投影區(qū)域為 S S x y . D D niyxiiSR1 0 ) ( ) ( lim D D niyxiiiiSR1 0 ) ( ), ,( limg gb ba a D D niyxiiiiiSzR1 0 ) ( ) ,( , , limb ba ab ba a若若 S S 上任一點處指向正向的法矢量與上任一點處指向正向的法矢量與 z 軸正向軸正向夾角為銳角夾角為銳角，則上式右端為重積分則上式右端為重積分. d d ),(, S Syxyx

6、yxzyxR計算計算 d d ),( S SyxzyxR設設定向定向光滑曲面光滑曲面 S S : z = z (x , y) 在在 x y 面的投影區(qū)域為面的投影區(qū)域為 S S x y . D D niyxiiiiiSzR1 0 ) ( ) ,( , , limb ba ab ba a若若 S S 上任一點處指向正向的法矢量與上任一點處指向正向的法矢量與 z 軸正向軸正向夾角為鈍角夾角為鈍角，則上式右端為重積分則上式右端為重積分. d d ),( , S S yxyxyxzyxR綜上綜上, d d ),( S SyxzyxR, d d ),( , S S yxyxyxzyxR符號由曲面的正向決

7、定。符號由曲面的正向決定。是平面是平面 1 zyx例例 1. 求求 , d d d d d d yxzxzyzyxI S S解：解： 先算先算 故故 其中其中 S S與三個坐標面所圍成的四面體的外側。與三個坐標面所圍成的四面體的外側。 . d d 1 S S yxzI. d d d d 43211 S S S S S S S SS S yxzyxzI如圖，如圖， S S 2 , S S 3 在在 x y 面的投影為面的投影為 0, S S 1 上上 z=0. d d 41 S S yxzI xyyxx1 0 1 0 d ) 1 ( d . 61 根據(jù)對稱性，根據(jù)對稱性， . 21 31 IIx

8、zy1 S S2 S S3 S S4 S S和平面和平面 ) 0 ( , RRzRz例例 2. 求求 , d d S S zyxI解：解： 如圖如圖, 記記 其中其中 S S 是柱面是柱面所圍成的立體的表面所圍成的立體的表面, 取外側。取外側。 xzy. 323121S S S S S S S S S S1 S2 S31 S其中，其中，S S 1 , S S 2 在在 y z 面的投影為面的投影為 0, , , , RRRRzy S S則則2 2 2 Ryx 32 S) ( , :22 31RzRyRx S S) ( , :22 32RzRyRx S S S SS S 3132 d d d d

9、 zyxzyxI記記 xzy1 S S2 S S31 S S, , , RRRRzy S S則則32 S S) ( , :22 31RzRyRx S S) ( , :22 32RzRyRx S S S SS S 3132 d d d d zyxzyxI S SS S yzyzzyyRzyyR 2 2 2 2 d d d d d d 2 2 2 RRRRyyRz. 23R 練練. 求求 , d d S S yxzI解：解： 其中其中 S S 是球面是球面422 2 zyx的部分取外側。的部分取外側。按照按照 z 的符號可將的符號可將 S S 分為分為 S S 1 和和 S S 20 , 0 yx

10、兩部分，其中兩部分，其中 S S 1 上上 d 4 d 22 0 2 0 2 rrr . 3 8 上上xzy . 0 z d d d d 12 S SS S yxzyxzI d d 4 d d 4 2222 xyxyDDyxyxyxyx滿足滿足 d d 4 2 22 xyDyxyx因此，因此， 和平面和平面 2 , 1 zz練練. 求求 , d d 2 2 S S yxyxeIz解：解： 如圖如圖, 其中其中 S S 是錐面是錐面所圍成的立體的表面所圍成的立體的表面, 取外側。取外側。 xzy. 321S S S S S S S S1 S S2 S S3 S S2 2 yxz d d 2 0

11、1 0 rrre d d 1 2 2 1 S S yxyxeIz. 2 e d d 2 0 2 0 2 rrre d d 2 2 2 2 S S yxyxeIz. 42e d d 2 0 2 1 rrrer d d 3 3 S S yxzeIz. ) ( 22ee . 223 2 1 eIIII 與第一型曲面積分的關系與第一型曲面積分的關系 d d d d d d yxRxzQzyP S S d ) cos cos cos ( SRQPg gb ba a S S其中其中 P , Q , R 是是 ( x , y , z ) 的函數(shù)，的函數(shù)，g gb ba a cos , cos , cos 是

12、點是點 ( x , y , z ) 處處指向正向指向正向的法矢量的方向余弦的法矢量的方向余弦 。若若 S S 的方程為的方程為 F( x , y , z ) 0，則點，則點( x , y , z ) 處有法矢量處有法矢量 , , , zyxFFF 根據(jù)根據(jù) S S 的方向選符號，的方向選符號，. cos , cos , cos g gb ba a即得即得再再將其單位化將其單位化其中其中 S S 是平面是平面 1 zyx例例 3. 求求 , d d )( d d )2( d d ) ( S S yxzfxzyfzyxfI f ( x , y , z ) 在在 S S 上連續(xù)。上連續(xù)。在第四卦限部

13、分的上側。在第四卦限部分的上側。 函數(shù)函數(shù) 根據(jù)兩類曲面積分的關系，根據(jù)兩類曲面積分的關系，. 21 解：解： S S 的指向上側的單位法矢量為的指向上側的單位法矢量為. 31 , 31 , 31 SzfyfxfI d )(31 )2 (31 ) (31 S SSzyx d ) ( 31 S SS d 31 S S 其中其中 S S 是曲面是曲面 , 4 22yxz 例例 4. 求求 , d d d d d d 2 S S yxzxzyzzyxzI取上側。取上側。. 16 解：解： S S 上點上點 ( x, y, z ) 處處指向上側的單位法矢量為指向上側的單位法矢量為 , 2 , 2 ,

14、2 zyxSzzyzxI d ) 2 2 2 ( 322 S S因此因此 d d )()(1 ) 2 2 2 ( 22322 yxzzzzyzxyxyx S S d d ) ( 222 yxzyxyx S S d d 4 yxyx S S 其中其中 S S 是曲面是曲面 22yxz 練練. 求求 , d d d d 2 S S yxzzyxI介于介于 z 0, z 1 之間的部分取下側。之間的部分取下側。. 2 解：解： S S 上點上點 ( x, y, z ) 處處指向下側的單位法矢量為指向下側的單位法矢量為 , 441 1 , 441 2 , 441 2 222222 yxyxyyxxSy

15、xzyxxI d ) 441 441 2 ( 22223 S S因此因此yxyxyxyxyxxxy d d 441 ) 441 441 2 ( 222222 223 S Syxyxxxy d d ) 2 ( 22 3 S Syxyxxy d d ) ( 22 S S d d 1 0 3 20rr 練練. 求求 , d d d d d d yxzzzyzyxI S S解：解： 其中其中 S S 是柱面是柱面42 2 yxxzy夾在夾在 z 0, z 4 之間且在第一卦限部分的外側。之間且在第一卦限部分的外側。S S 上點上點 ( x, y, z ) 處處指向外側的單位法矢量為指向外側的單位法矢量

16、為 , 0 ,2 ,2 yxSyxI d ) ( 212 2 S S因此因此S d 2 S S . 8 ) , , (zyx注意注意：若積分柱面取內側，則：若積分柱面取內側，則 S S 上點上點 . 0 ,2 ,2 yx ( x, y, z ) 處處指向內側的單位法矢量為指向內側的單位法矢量為其中其中 S S 是錐面是錐面 ) 10 ( , 22 zyxz練練. . 求求 , d d ) 1( 3 d d 2 d d S S yxzxzyzyxI的下側。的下側。答：答： . 2 I練練. 求求 , d d d d d d 22 2yxzzzyzyxI S S解：解： 其中其中 S S 是球面是球面2 2 2 2