個(gè)不同的元素排成一列

1、把把 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 個(gè)元個(gè)元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）nn個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)用個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)用 表示，表示，且且 nnP!nPn 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列，逆序數(shù)為，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列在一個(gè)排列在一個(gè)排列 中，若數(shù)中，若數(shù) ，則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序逆序 nstiiiii21stii 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆逆序數(shù)序數(shù)分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比

2、它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)方法方法2 2方法方法1 1分別計(jì)算出排在分別計(jì)算出排在 前面比它大的前面比它大的數(shù)碼之和，即分別算出數(shù)碼之和，即分別算出 這這 個(gè)元素個(gè)元素的逆序數(shù)，這的逆序數(shù)，這 個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)n,n,121 n,n,121 nn定義定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，稱為一次對(duì)換將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，素不動(dòng)，稱為一次對(duì)換

3、將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換叫做相鄰對(duì)換定理定理一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性變奇偶性推論推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù) npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121222211121121211 ., 2 , 1;, 2 , 12121列列取取和和的的所所有有排排表表示示對(duì)對(duì)個(gè)個(gè)排排列列的的逆逆序序數(shù)數(shù)為為這這的的一一個(gè)個(gè)排排列列為為自自然然數(shù)數(shù)其其中中ntnppppppnn .,)1(21212121的

4、的逆逆序序數(shù)數(shù)為為行行標(biāo)標(biāo)排排列列其其中中亦亦可可定定義義為為階階行行列列式式ppptaaaDDnnnpppppptnn . ,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式乘此行列式等于用數(shù)等于用數(shù)一數(shù)一數(shù)中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行等于零等于零則此行列式則此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有兩行如果行列式有兩行行列式變號(hào)行列式變號(hào)列列互換行列式的兩行互換行列式的兩行即即式相等式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列行列式與它的轉(zhuǎn)置行列kk ., )( , )( )8., )( )7., )( )6. )( )5行列式的值不變行列式的值不變對(duì)應(yīng)的元

5、素上去對(duì)應(yīng)的元素上去行行后加到另一列后加到另一列然然的各元素乘以同一數(shù)的各元素乘以同一數(shù)行行把行列式的某一列把行列式的某一列式之和式之和此行列式等于兩個(gè)行列此行列式等于兩個(gè)行列則則的元素都是兩數(shù)之和的元素都是兩數(shù)之和行行若行列式的某一列若行列式的某一列式為零式為零則此行列則此行列元素成比例元素成比例列列行列式中如果有兩行行列式中如果有兩行提到行列式符號(hào)的外面提到行列式符號(hào)的外面以以的所有元素的公因子可的所有元素的公因子可列列行列式中某一行行列式中某一行）余子式與代數(shù)余子式）余子式與代數(shù)余子式.,)1(1 的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式叫叫做做元元素素；記記的的余余子子式式，記記作作階階行行列列式式叫

6、叫做做元元素素列列劃劃去去后后，留留下下來(lái)來(lái)的的行行和和第第所所在在的的第第階階行行列列式式中中，把把元元素素在在aAMAManjianijijijjiijijijij ）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ., 0;, 1., 0;,., 0;,11jijijijiDDAajijiDDAaijijjknkikijkinkki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)其中其中當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)或或當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所得到的行列式所得到的行列式，換成常數(shù)項(xiàng)換成常數(shù)項(xiàng)列列中第中第）是把系數(shù)行列式）是把系數(shù)行列式（其中其中那么它有唯一解那么它有唯

7、一解的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式如果線性方程組如果線性方程組bbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnn 克拉默法則的理論價(jià)值克拉默法則的理論價(jià)值., 0., 22112222212111212111唯唯一一那那么么它它一一定定有有解解，且且解解的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式如如果果線線性性方方程程組組 Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn. 必必為為零零解解，則則它它的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式解解或或有有兩兩個(gè)個(gè)不不同同的的如如果果上上述述線線性性方方程程組組無(wú)無(wú)定理定理定理定理., 0. 0, 0, 0 22112222

8、1211212111那么它沒(méi)有非零解那么它沒(méi)有非零解的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組 Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn. 它它的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式必必為為零零組組有有非非零零解解，則則如如果果上上述述齊齊次次線線性性方方程程定理定理定理定理一、計(jì)算排列的逆序數(shù)一、計(jì)算排列的逆序數(shù)二、計(jì)算（證明）行列式二、計(jì)算（證明）行列式三、克拉默法則三、克拉默法則分別算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼之分別算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù) .,并討論奇偶性并討

9、論奇偶性的逆序數(shù)的逆序數(shù)求排列求排列kkkkkk 解解例例; 0,2故故逆逆序序數(shù)數(shù)為為排排在在首首位位k; 1),2(11故故逆逆序序數(shù)數(shù)為為大大的的數(shù)數(shù)有有一一個(gè)個(gè)的的前前面面比比k; 1),2()12()12( 逆序數(shù)為逆序數(shù)為故故大的數(shù)有一個(gè)大的數(shù)有一個(gè)的前面比的前面比kkk ; 2),12 ,2(22 數(shù)數(shù)為為故故逆逆序序大大的的數(shù)數(shù)有有兩兩個(gè)個(gè)的的前前面面比比 kk; 2),12 ,2(2222 故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為大的數(shù)有兩個(gè)大的數(shù)有兩個(gè)的前面比的前面比 kkkk ; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故故逆逆序序數(shù)數(shù)為為個(gè)個(gè)大大的的數(shù)數(shù)有有的的前前面面比比; 1),

10、2, 12 ,2(111 kkkkkkk故故逆逆序序數(shù)數(shù)為為個(gè)個(gè)大大的的數(shù)數(shù)有有的的前前面面比比;),1, 12 ,2( kkkkkkk故故逆逆序序數(shù)數(shù)為為個(gè)個(gè)大大的的數(shù)數(shù)有有的的前前面面比比 kkkt 1122110 kkk 211122k 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，k當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列k于是排列的逆序數(shù)為于是排列的逆序數(shù)為用定義計(jì)算（證明）用定義計(jì)算（證明）例例用行列式定義計(jì)算用行列式定義計(jì)算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD 的的非非零零元元素素

11、分分別別得得到到行行可可能能中中第第那那么么，由由行行的的元元素素分分別別為為中中第第設(shè)設(shè)5 , 4 , 3 , 2 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1554321554321DaaaaaDppppp解解. 3 , 2; 3 , 2; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 3 , 254321 ppppp. 05,554321 Dppppp故故元元排排列列也也不不能能組組成成，一一個(gè)個(gè)在在上上述述可可能能取取的的代代碼碼中中因因?yàn)闉樵u(píng)注評(píng)注本例是從一般項(xiàng)入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)本例是從一般項(xiàng)入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)順序排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注順序

12、排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注意每一項(xiàng)的符號(hào)，這是用定義計(jì)算行列式的一般意每一項(xiàng)的符號(hào)，這是用定義計(jì)算行列式的一般方法方法. 2于于零零還還多多，則則此此行行列列式式必必等等素素比比階階行行列列式式中中等等于于零零的的元元如如果果一一個(gè)個(gè)nnn 注意注意例例設(shè)設(shè),2122221112111aaaaaaaaaDnnnnnn ,221122222111112112abababaabababaaDnnnnnnnnnn .2DD 證證明明：證明證明由行列式的定義有由行列式的定義有.,)1( 2121121的的逆逆序序數(shù)數(shù)是是排排列列其其中中ppptaaaDnpnpptn .,)1( )()()

13、1( 21)()21(212211221212211的的逆逆序序數(shù)數(shù)是是排排列列其其中中ppptbaaabababaDnpppnpnpptpnpnpppptnnnn ,212npppn 而而.)1(121221DaaaDpppnnt 所所以以評(píng)注評(píng)注本題證明兩個(gè)行列式相等，即證明兩本題證明兩個(gè)行列式相等，即證明兩點(diǎn)，一是兩個(gè)行列式有完全相同的項(xiàng)，二是每一點(diǎn)，一是兩個(gè)行列式有完全相同的項(xiàng)，二是每一項(xiàng)所帶的符號(hào)相同這也是用定義證明兩個(gè)行列項(xiàng)所帶的符號(hào)相同這也是用定義證明兩個(gè)行列式相等的常用方法式相等的常用方法利用范德蒙行列式計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算例例計(jì)算計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德

14、利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。.333222111222nnnDnnnn ，于是得到，于是得到增至增至冪次數(shù)便從冪次數(shù)便從則方則方若提取各行的公因子，若提取各行的公因子，遞升至遞升至而是由而是由變到變到序排列，但不是從序排列，但不是從次數(shù)自左至右按遞升次次數(shù)自左至右按遞升次方冪方冪數(shù)的不同方冪數(shù)的不同方冪中各行元素分別是一個(gè)中各行元素分別是一個(gè)10.1, 10, nnnDn解解.1333122211111!121212nnnnDnn

15、nn 上面等式右端行列式為上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin評(píng)注評(píng)注本題所給行列式各行（列）都是某元本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德

16、蒙行列式用化三角形行列式計(jì)算用化三角形行列式計(jì)算例例計(jì)算計(jì)算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 解解列列都都加加到到第第一一列列，得得將將第第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加加到到第第列列的的將將第第)(1,3)(12)(11aaan . )()(

17、11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(評(píng)注評(píng)注本題利用行列式的性質(zhì)，采用本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式化零時(shí)一般盡量選含有的行（列）及含零較多化零時(shí)一般盡量選含有的行（列）及含零較多的行（列）；若沒(méi)有，則可適當(dāng)選取便于化零的行（列）；若沒(méi)有，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為化為1 1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)

18、充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的化為三角形行列式之目的，得，得提取公因子提取公因子行中行中行，并從第行，并從第行都加到第行都加到第、的第的第將將dcbaD 114324用降階法計(jì)算用降階法計(jì)算例例計(jì)算計(jì)算.4abcdbadccdabdcbaD 解解,1111)(4abcdbadccdabdcbaD 列，得列，得列都減去第列都減去第、再將第再將第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 行展開(kāi)，得行展開(kāi)，得按第按第1.)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD ，得得中中提提取取

19、公公因因子子行行行行，再再?gòu)膹牡诘谛行屑蛹拥降降诘诎寻焉仙厦婷嬗矣叶硕诵行辛辛惺绞降诘赿cba 112,011)(dadbdccbcacddcbadcbaD 列，得列，得列減去第列減去第再將第再將第12行行展展開(kāi)開(kāi)，得得按按第第1)()( )(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba ,001)(4dacbdccbdacddcbadcbaD dacbcbdadcbadcbaD )(評(píng)注評(píng)注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后按此行（列）展開(kāi)，每展開(kāi)一次，

20、行列式的階數(shù)按此行（列）展開(kāi)，每展開(kāi)一次，行列式的階數(shù)可降低可降低 1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計(jì)算出來(lái)為止（一般展開(kāi)成二階行列式）這種計(jì)算出來(lái)為止（一般展開(kāi)成二階行列式）這種方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用用拆成行列式之和（積）計(jì)算用拆成行列式之和（積）計(jì)算例例證明證明. 02sin)sin()sin()sin(2sin)sin()sin()sin(2sin 證證. 0000sinsinsincoscoscos0cossin0cossin0cossin 左邊左邊用遞推法計(jì)算用遞推法計(jì)算例例計(jì)算計(jì)算.21xaaaax

21、aaaaxaDnn 解解拆拆成成兩兩個(gè)個(gè)行行列列式式之之和和列列把把依依第第DnnaaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxann .1121DxaxxxDnnnn 從從而而得得列展開(kāi)列展開(kāi)第第右端的第二個(gè)行列式按右端的第二個(gè)行列式按列列加到第加到第倍分別倍分別列的列的將第將第右端的第一個(gè)行列式右端的第一個(gè)行列式,1, 2 , 1)1(, nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn 由此遞推，得由此遞推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于是于是如此繼續(xù)下去

22、，可得如此繼續(xù)下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 )(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 時(shí)，還可改寫(xiě)成時(shí)，還可改寫(xiě)成當(dāng)當(dāng)021 xxxn).111(12121xxxaxxxDnnn 評(píng)注評(píng)注.1 1 .1,1 1的遞推關(guān)系的遞推關(guān)系列式更低階行列式之間列式更低階行列式之間階行階行，建立比，建立比階更低階的行列式表示階更低階的行列式表示比比用同樣形式的用同樣形式的階行列式階行列式時(shí)，還可以把給定的時(shí)，還可以把給定的有有之間的遞推關(guān)系之

23、間的遞推關(guān)系階行列式階行列式與與建立了建立了階行列式表示出來(lái)階行列式表示出來(lái)用同樣形式的用同樣形式的行列式行列式階階質(zhì)把所給的質(zhì)把所給的本題是利用行列式的性本題是利用行列式的性 nnDnDnDnDnnnnn用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法例例證明證明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 證證對(duì)階數(shù)對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221結(jié)論成立結(jié)論成立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?nnDD 得得展展開(kāi)開(kāi)按按最最后后一一行行現(xiàn)現(xiàn)將將的的行行列列式式也也成成立立于于階階數(shù)數(shù)等等于于下下證證對(duì)對(duì)的的行行列

24、列式式結(jié)結(jié)論論成成立立假假設(shè)設(shè)對(duì)對(duì)階階數(shù)數(shù)小小于于,.,Dnnn.cos221DDDnnn ,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由歸納假設(shè)由歸納假設(shè);cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .結(jié)結(jié)論論成成立立所所以以對(duì)對(duì)一一切切自自然然數(shù)數(shù) n評(píng)注評(píng)注.,)1(1,)(, 21同型的行列式同型的行列式是與是與不不否則所得的低階行列式否則所得的低階行列式展開(kāi)展開(kāi)列列或第或第行行按第按第不能不能展開(kāi)展開(kāi)列列或第或第行行本例必須按第本例必須按第表示表示展開(kāi)成能用其同型的展開(kāi)成能用其同型的為了將為了將DnnDDDnnnn .,.,其其猜猜

25、想想結(jié)結(jié)果果成成立立然然后后用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明也也可可先先猜猜想想其其結(jié)結(jié)果果如如果果未未告告訴訴結(jié)結(jié)果果納納法法來(lái)來(lái)證證明明可可考考慮慮用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸結(jié)結(jié)論論時(shí)時(shí)證證明明是是與與自自然然數(shù)數(shù)有有關(guān)關(guān)的的而而要要我我們們當(dāng)當(dāng)行行列列式式已已告告訴訴其其結(jié)結(jié)果果一一般般來(lái)來(lái)講講計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式法綜合應(yīng)用在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變?cè)跇?gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式

26、的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法換后，再考察它是否能用常用的幾種方法小結(jié)小結(jié)當(dāng)線性方程組方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等、當(dāng)線性方程組方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等、且系數(shù)行列式不等于零時(shí)，可用克萊姆法則為且系數(shù)行列式不等于零時(shí)，可用克萊姆法則為了避免在計(jì)算中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，可對(duì)有的方程乘以適了避免在計(jì)算中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，可對(duì)有的方程乘以適當(dāng)整數(shù)，把原方程組變成系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都是整數(shù)當(dāng)整數(shù)，把原方程組變成系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都是整數(shù)的線性方程組后再求解的線性方程組后再求解.28)3(, 3)2(, 0)1( ),( fffxf使使求求一一個(gè)個(gè)二二次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式例例1 10 0解解設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為設(shè)所求的

27、二次多項(xiàng)式為,)(2cbxxaxf 由題意得由題意得,2839)3(, 324)2(, 0)1( cbafcbafcbaf., 的線性方程組的線性方程組數(shù)數(shù)這是一個(gè)關(guān)于三個(gè)未知這是一個(gè)關(guān)于三個(gè)未知cba.20,60,40, 020321 DDDD由克萊姆法則，得由克萊姆法則，得. 1, 3, 2321 DDcDDbDDa于是，所求的多項(xiàng)式為于是，所求的多項(xiàng)式為. 132)(2 xxxf證證.0, 0, 01,),(0000從而有系數(shù)行列式從而有系數(shù)行列式的非零解的非零解可視為齊次線性方程組可視為齊次線性方程組則則點(diǎn)點(diǎn)設(shè)所給三條直線交于一設(shè)所給三條直線交于一必要性必要性 bzaycxazcybx

28、czbyaxzyyxxyxM. 00, 0, 0 cbabaycxacybxcbyax條件是條件是相交于一點(diǎn)的充分必要相交于一點(diǎn)的充分必要直線直線證明平面上三條不同的證明平面上三條不同的 例11例11. 0)()()( )(21(222 accbbacbabacacbcba（） baycxacybxcbyax,. 0, cbacba故故同同也不全相也不全相所以所以因?yàn)槿龡l直線互不相同因?yàn)槿龡l直線互不相同將方程組將方程組如果如果充分性充分性, 0 cba. 00,唯唯一一解解下下證證此此方方程程組組（）有有（）到到第第三三個(gè)個(gè)方方程程，得得的的第第一一、二二兩兩個(gè)個(gè)方方程程加加 acybxcby

29、ax. 00)(2)()(002222222 accaaccacacaaccabbacbaccbba，從從而而有有，于于是是得得。由由，則則如如果果.)1(.)2(. 0.00. 0, 02直直線線交交于于一一點(diǎn)點(diǎn)有有唯唯一一解解，即即三三條條不不同同方方程程組組從從而而知知有有唯唯一一解解組組由由克克萊萊姆姆法法則則知知，方方程程故故，與與題題設(shè)設(shè)矛矛盾盾得得再再由由得得由由不不妨妨設(shè)設(shè) cbbaccbabacba例例12有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千克含氮克含氮70克，磷克，磷8克，鉀克，鉀2克；乙種化肥每千克含克；乙種化肥每千克含氮氮64克，磷克，磷

30、10克，鉀克，鉀0.6克；丙種化肥每千克含氮克；丙種化肥每千克含氮70克，磷克，磷5克，鉀克，鉀1.4克若把此三種化肥混合，要克若把此三種化肥混合，要求總重量求總重量23千克且含磷千克且含磷149克，鉀克，鉀30克，問(wèn)三種化克，問(wèn)三種化肥各需多少千克？肥各需多少千克？解解題題意意得得方方程程組組依依千千克克、各各需需設(shè)設(shè)甲甲、乙乙、丙丙三三種種化化肥肥,1xxx .304 . 16 . 02,1495108,23321321321xxxxxxxxx,527 D此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式8127581 321 DDD，又又.15, 5, 332 xxx組組有有唯唯一一解解由由克克萊

31、萊姆姆法法則則，此此方方程程.15,5 ,3 千千克克千千克克千千克克各各需需即即甲甲、乙乙、丙丙三三種種化化肥肥).(40,1552.1355.1357.1360.133020100:.)(000000332210準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到小小數(shù)數(shù)兩兩位位時(shí)時(shí)水水銀銀密密度度求求由由實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)測(cè)測(cè)得得以以下下數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的關(guān)關(guān)系系為為與與溫溫度度設(shè)設(shè)水水銀銀密密度度 thttatataathth例例1313)1(.52.132700090030,5557 6 .13),(3210321032100 aaaaaaaaaaaaath得得方方程程組組將將測(cè)測(cè)得得的

32、的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分別別代代入入解解)2(.008. 02700903,005. 0800402,003. 010010,60.133213213210 aaaaaaaaaa得得方方程程組組分分別別代代入入其其余余三三個(gè)個(gè)方方程程將將,12000 D此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式.0000033. 0,00015. 0,0042. 0)2(,321 aaa的的唯唯一一解解得得方方程程組組由由克克萊萊姆姆法法則則,04. 0, 8 . 1,50321 DDD又又得得將將以以上上四四個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)代代入入又又),(,60.130tha 由此得由此得.0000033. 000015. 00042. 060.13)(32tttth .46.13,56.13,40,15,00水水銀銀密密度度分分別別為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)所所以以 t.46.13)40(,56.13)15( hh一、填空題一、