第2章 矩陣與數(shù)組

1、第二章第二章 矩陣與數(shù)組矩陣與數(shù)組 引言引言 矩陣的創(chuàng)建矩陣的創(chuàng)建 矩陣的訪問矩陣的訪問 矩陣的操作矩陣的操作1 1 引言引言1.1 變量與常量變量與常量 常常(變變)量：程序運(yùn)行的過程中不需要量：程序運(yùn)行的過程中不需要(可能需要可能需要)改改變數(shù)值的量。變數(shù)值的量。 note：c語言中語言中const作為標(biāo)記；作為標(biāo)記；而而M語言中不存語言中不存在常量的定義在常量的定義，MATLAB中提供了一些常用的常中提供了一些常用的常數(shù)作為常量，例如數(shù)作為常量，例如pi，i, j等。等。1 引言1.2 標(biāo)量標(biāo)量-向量向量-矩陣矩陣 “一般量一般量”：?jiǎn)蝹€(gè)數(shù)值；比如：?jiǎn)蝹€(gè)數(shù)值；比如 3，4，pi等等；等等

2、； 向量向量：行、列向量；比如一段時(shí)間序列（溫度）；：行、列向量；比如一段時(shí)間序列（溫度）；（一維數(shù)組一維數(shù)組） 矩陣矩陣：線性代數(shù)中的矩陣；（：線性代數(shù)中的矩陣；（二維數(shù)組二維數(shù)組）；比如）；比如座位號(hào)碼；座位號(hào)碼； (多維數(shù)組多維數(shù)組)； note：向量是矩陣的特例（：向量是矩陣的特例（1N、N1的矩陣）。的矩陣）。2 矩陣的創(chuàng)建2.1 向量的創(chuàng)建（向量的創(chuàng)建（P39） 1）直接逐個(gè)輸入）直接逐個(gè)輸入 空格、逗號(hào)；分號(hào)空格、逗號(hào)；分號(hào) 2）利用運(yùn)算符）利用運(yùn)算符“：” 3）線性等分功能函數(shù)）線性等分功能函數(shù)linspace 4）對(duì)數(shù)等分功能函數(shù)）對(duì)數(shù)等分功能函數(shù)logspace 列向量列向

3、量的創(chuàng)建：的創(chuàng)建： 1）注意）注意“；” 2）轉(zhuǎn)置）轉(zhuǎn)置2 矩陣的創(chuàng)建2.2 矩陣的創(chuàng)建（矩陣的創(chuàng)建（P42） 1）直接輸入小矩陣）直接輸入小矩陣 2）創(chuàng)建）創(chuàng)建M文件輸入大矩陣文件輸入大矩陣 3）數(shù)組編輯器）數(shù)組編輯器 4）特定矩陣的生成：）特定矩陣的生成：0矩陣，矩陣，1矩陣，單位矩陣，矩陣，單位矩陣， 隨機(jī)矩陣隨機(jī)矩陣 例子：例子： a=rand(3,3); openvar a;2 2 矩陣的創(chuàng)建矩陣的創(chuàng)建3 矩陣的訪問（索引）3.1 向量元素的訪問向量元素的訪問 訪問向量的元素只要使用相應(yīng)元素的訪問向量的元素只要使用相應(yīng)元素的索引索引即可。即可。 索引：坐標(biāo)索引：坐標(biāo)，以課堂的位置為例

4、。，以課堂的位置為例。 例子：例子：A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 %訪問向量的第三個(gè)元素訪問向量的第三個(gè)元素 A(3)Note：c語言中采用的是語言中采用的是“”,matlab中是中是”()”. %訪問向量的第一、三、七個(gè)元素訪問向量的第一、三、七個(gè)元素 A(1 3 7)ans = 1 3 7 %訪問向量的第一、三、五個(gè)元素訪問向量的第一、三、五個(gè)元素 A(1:2:5) 或或 A(1:2:5)ans = 1 3 5 %訪問向量的最后四個(gè)元素訪問向量的最后四個(gè)元素 A(end-3:end)ans = 7 8 9 0 %重復(fù)訪問向量中的元素重復(fù)訪問向量中的元素 A(1:5,5:

5、-1:1)ans = 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 note： * 關(guān)鍵字關(guān)鍵字end在訪問向量元素時(shí)，表示向量中最后在訪問向量元素時(shí)，表示向量中最后一個(gè)元素的序號(hào)。一個(gè)元素的序號(hào)。(方便：方便：無需知道向量的實(shí)際長(zhǎng)度，無需知道向量的實(shí)際長(zhǎng)度，即可操作即可操作)。 * 訪問向量元素時(shí)，序號(hào)的數(shù)值必須介于數(shù)值訪問向量元素時(shí)，序號(hào)的數(shù)值必須介于數(shù)值1end之間。之間。例子例子 對(duì)向量的元素進(jìn)行對(duì)向量的元素進(jìn)行賦值賦值。 %對(duì)向量的第三個(gè)元素賦值對(duì)向量的第三個(gè)元素賦值 A(3) = -3A = 1 2 -3 4 5 6 7 8 9 0 %對(duì)向量中不存在的數(shù)據(jù)賦值對(duì)向量中不存在的數(shù)據(jù)賦值 A

6、(15) = -15A = Columns 1 through 10 1 2 -3 4 5 6 7 8 9 0 Columns 11 through 15 0 0 0 0 -15 note： 在例子在例子2-9中，對(duì)向量的第中，對(duì)向量的第15個(gè)元素賦值，在賦值之個(gè)元素賦值，在賦值之前向量的第前向量的第1115個(gè)元素不存在，但是在賦值之后，將自個(gè)元素不存在，但是在賦值之后，將自動(dòng)創(chuàng)建這些元素，并且為沒有明確賦值的元素賦默認(rèn)值動(dòng)創(chuàng)建這些元素，并且為沒有明確賦值的元素賦默認(rèn)值0，這就是這就是MATLAB的數(shù)據(jù)自動(dòng)擴(kuò)充和初始化機(jī)制的數(shù)據(jù)自動(dòng)擴(kuò)充和初始化機(jī)制。 （這點(diǎn)這點(diǎn)在在c語言中無法實(shí)現(xiàn)的語言中無法

7、實(shí)現(xiàn)的）。）。3.2 矩陣元素的訪問矩陣元素的訪問 矩陣元素的索引矩陣元素的索引： 1）全下標(biāo)全下標(biāo)形式；形式； 2）單下標(biāo)單下標(biāo)形式；形式； 例例2-10: MATLAB工作空間中具有一個(gè)工作空間中具有一個(gè)55的矩陣，該矩陣的矩陣，該矩陣是五階的幻方，通過命令行獲取矩陣的第二行、第四列是五階的幻方，通過命令行獲取矩陣的第二行、第四列的元素，于是在的元素，于是在MATLAB命令行窗口中鍵入下面的指令：命令行窗口中鍵入下面的指令： %創(chuàng)建矩陣創(chuàng)建矩陣 A = magic(5)A = 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 1

8、8 25 2 9 %使用全下標(biāo)的形式訪問元素使用全下標(biāo)的形式訪問元素 A(2,4)ans = 14 %使用單下標(biāo)的形式訪問元素使用單下標(biāo)的形式訪問元素 A(17) 注：是注：是17不是不是9！ans = 14 note： * 使用了使用了MATLAB函數(shù)函數(shù)magic創(chuàng)建幻方。所謂幻方，創(chuàng)建幻方。所謂幻方，就是就是n階的方陣，該方陣的行元素和列元素的和都相等。階的方陣，該方陣的行元素和列元素的和都相等。 * 全下標(biāo)的形式全下標(biāo)的形式：簡(jiǎn)單、直接，同線性代數(shù)的矩陣：簡(jiǎn)單、直接，同線性代數(shù)的矩陣元素的概念一一對(duì)應(yīng)。元素的概念一一對(duì)應(yīng)。 * 單下標(biāo)單下標(biāo)：是矩陣元素在內(nèi)存中存儲(chǔ)的序列號(hào)，一：是矩陣元

9、素在內(nèi)存中存儲(chǔ)的序列號(hào)，一般地，同一個(gè)矩陣的元素存儲(chǔ)在連續(xù)的內(nèi)存單元中。般地，同一個(gè)矩陣的元素存儲(chǔ)在連續(xù)的內(nèi)存單元中。 * 單下標(biāo)與全下標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：?jiǎn)蜗聵?biāo)與全下標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：矩陣的第矩陣的第i行第行第j列的元素全下標(biāo)表示為單下標(biāo)列的元素全下標(biāo)表示為單下標(biāo)l=(j-1)m+i。 note： MATLAB的矩陣元素的排列以列元素優(yōu)先的矩陣元素的排列以列元素優(yōu)先，C語言語言的的二維數(shù)組元素排列以二維數(shù)組元素排列以行元素行元素優(yōu)先。優(yōu)先。 全下標(biāo)和單下標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換全下標(biāo)和單下標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換：MATLAB提供了兩個(gè)函提供了兩個(gè)函數(shù)分別完成兩者之間的相互轉(zhuǎn)化：數(shù)分別完成兩者之間的相互轉(zhuǎn)化：* su

10、b2ind：根據(jù)全下標(biāo)計(jì)算單下標(biāo)。根據(jù)全下標(biāo)計(jì)算單下標(biāo)。* ind2sub：根據(jù)單下標(biāo)計(jì)算全下標(biāo)。根據(jù)單下標(biāo)計(jì)算全下標(biāo)。 表表2-1 使用索引訪問矩陣元素的方法使用索引訪問矩陣元素的方法 例子例子2-11 用不同的方法訪問矩陣的元素用不同的方法訪問矩陣的元素。在在MATLAB命令行中鍵入下面的指令：命令行中鍵入下面的指令： % 創(chuàng)建矩陣創(chuàng)建矩陣 A = 1:25; A = reshape(A,5,5)A = 1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25 %訪問矩陣的第三行第一列元素訪問矩陣的第三行第一列元素

11、A(3,1)或或A(3)ans = 3 % 訪問矩陣第三行的所有元素訪問矩陣第三行的所有元素 A(3,:)ans = 3 8 13 18 23 %訪問矩陣第四列的所有元素訪問矩陣第四列的所有元素 A(:,4)ans = 16 17 18 19 20 %訪問矩陣的最后一行元素訪問矩陣的最后一行元素 A(end,:)ans = 5 10 15 20 25 %獲取矩陣的子矩陣獲取矩陣的子矩陣 I = 1 3 5;J = 2 4; A(I,J)ans = 6 16 8 18 10 20 4 矩陣的基本運(yùn)算矩陣的基本運(yùn)算 4.1 矩陣生成函數(shù)矩陣生成函數(shù) 表表2-2 MATLAB的矩陣生成函數(shù)的矩陣生成

12、函數(shù) 例子例子2-12 矩陣生成函數(shù)的示例矩陣生成函數(shù)的示例。在在MATLAB命令行中鍵入下面的指令：命令行中鍵入下面的指令： %創(chuàng)建三階帕斯卡矩陣創(chuàng)建三階帕斯卡矩陣 A = pascal(3)A = 1 1 1 1 2 3 1 3 6 %從矩陣從矩陣A生成生成下三角矩陣下三角矩陣 tril(A)ans = 1 0 0 1 2 0 1 3 6 %獲取矩陣獲取矩陣A的的對(duì)角線元素對(duì)角線元素 diag(A)ans = 1 2 6 %利用向量利用向量生成對(duì)角矩陣生成對(duì)角矩陣 diag(ans)ans = 1 0 0 0 2 0 0 0 6 4.2 基本矩陣運(yùn)算基本矩陣運(yùn)算表表2-3 矩陣的基本運(yùn)算矩

13、陣的基本運(yùn)算note： 在在MATLAB中，獲取矩陣中，獲取矩陣(線性代數(shù)線性代數(shù))的運(yùn)算函數(shù)列的運(yùn)算函數(shù)列表請(qǐng)?jiān)诒碚?qǐng)?jiān)贛ATLAB命令行窗口中鍵入如下命令：命令行窗口中鍵入如下命令： help matfun在在MATLAB命令行窗口中將顯示相應(yīng)的函數(shù)列表：命令行窗口中將顯示相應(yīng)的函數(shù)列表：Matrix functions - numerical linear algebra.Matrix analysis. norm - Matrix or vector norm. normest - Estimate the matrix 2-norm. 例子例子2-13 矩陣的基本運(yùn)算示例矩陣的基本運(yùn)算

14、示例求解方程組求解方程組4436322321321321xxxxxxxxx %創(chuàng)建線性方程組的系數(shù)矩陣和向量創(chuàng)建線性方程組的系數(shù)矩陣和向量 A = -1 1 2; 3 -1 1; -1 3 4; b = 2;6;4; %求解方程，使用求解方程，使用矩陣求逆矩陣求逆的方法的方法 x = inv(A)*b %求解方程，使用求解方程，使用矩陣左除運(yùn)算矩陣左除運(yùn)算 x = Abx = 1.0000 -1.0000 2.0000 note（擴(kuò)展）（擴(kuò)展）：超定方程組，最小二乘法：超定方程組，最小二乘法4.3 基本數(shù)組運(yùn)算（針對(duì)矩陣元素的運(yùn)算）基本數(shù)組運(yùn)算（針對(duì)矩陣元素的運(yùn)算） 1）針對(duì)矩陣針對(duì)矩陣的運(yùn)算

15、的運(yùn)算 2）針對(duì)矩陣元素針對(duì)矩陣元素的運(yùn)算的運(yùn)算 例子例子：矩陣：矩陣A，B，想得到，想得到C：C中元素是中元素是A、B中位中位置對(duì)應(yīng)元素的乘積。置對(duì)應(yīng)元素的乘積。 方法方法1：for 循環(huán)處理；循環(huán)處理； 方法方法2：.* （點(diǎn)乘）運(yùn)算（點(diǎn)乘）運(yùn)算。 *）數(shù)組乘法（點(diǎn)乘）數(shù)組乘法（點(diǎn)乘） 例子例子2-16 數(shù)組乘法示例。數(shù)組乘法示例。 在在MATLAB命令行中，鍵入下面的指令：命令行中，鍵入下面的指令： %本例子中使用的矩陣本例子中使用的矩陣 AA = 0 + 1.0000i 0 + 3.0000i 0 + 5.0000i 0 + 2.0000i 0 + 4.0000i 0 + 6.0000

16、i %矩陣乘法矩陣乘法 A*5ans = 0 + 5.0000i 0 +15.0000i 0 +25.0000i 0 +10.0000i 0 +20.0000i 0 +30.0000i %數(shù)組乘法數(shù)組乘法 A.*5ans = 0 + 5.0000i 0 +15.0000i 0 +25.0000i 0 +10.0000i 0 +20.0000i 0 +30.0000i %矩陣乘法矩陣乘法 A*Aans = 35 44 44 56 %數(shù)組乘法數(shù)組乘法 A.*Aans = -1 -9 -25 -4 -16 -36 4.4 基本數(shù)學(xué)函數(shù)基本數(shù)學(xué)函數(shù) 在在MATLAB中有部分函數(shù)可以用來進(jìn)行基本中有部分

17、函數(shù)可以用來進(jìn)行基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算，主要有如下類別：的數(shù)學(xué)運(yùn)算，主要有如下類別： 1）三角函數(shù)）三角函數(shù) 2）指數(shù)運(yùn)算函數(shù)）指數(shù)運(yùn)算函數(shù) 3）復(fù)數(shù)運(yùn)算函數(shù)）復(fù)數(shù)運(yùn)算函數(shù) 4）圓整和求余函數(shù)圓整和求余函數(shù)表表2-4 三三 角角 函函 數(shù)數(shù) 表表2-5 指數(shù)運(yùn)算函數(shù)指數(shù)運(yùn)算函數(shù) note： 以以real開頭的函數(shù)僅能處理實(shí)數(shù)，如輸入的參數(shù)為復(fù)開頭的函數(shù)僅能處理實(shí)數(shù)，如輸入的參數(shù)為復(fù)數(shù)，則數(shù)，則MATLAB會(huì)報(bào)錯(cuò)。會(huì)報(bào)錯(cuò)。 函數(shù)函數(shù)nextpow2是用來計(jì)算僅僅比輸入?yún)?shù)大的第一是用來計(jì)算僅僅比輸入?yún)?shù)大的第一個(gè)個(gè)2的冪，例如輸入?yún)?shù)為的冪，例如輸入?yún)?shù)為N，則函數(shù)的計(jì)算結(jié)果整數(shù)則函數(shù)的計(jì)算結(jié)果整數(shù)P需

18、需要滿足的條件為要滿足的條件為2Pabs(N)2P-1。 表表2-6 復(fù)復(fù) 數(shù)數(shù) 運(yùn)運(yùn) 算算 表表2-7 圓整和求余函數(shù)圓整和求余函數(shù) 例子例子2-17 MATLAB的圓整和求余函數(shù)。的圓整和求余函數(shù)。在在MATLAB的命令行中，鍵入下面的指令：的命令行中，鍵入下面的指令： fix(-1.9)ans = -1 floor(-1.9)ans = -2 round(-1.9)ans = -2 ceil(-1.9)ans = -1 2.5.5 矩陣矩陣(數(shù)組數(shù)組)操作函數(shù)操作函數(shù) 在前面的小節(jié)中主要介紹了進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的在前面的小節(jié)中主要介紹了進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的MATLAB函數(shù)，在函數(shù)，在MATLAB中還存在一類函數(shù)用來獲取中還存在一類函數(shù)用來獲取矩陣或者數(shù)組的信息，以及對(duì)數(shù)組進(jìn)行操作，在表矩陣或者數(shù)組的信息，以及對(duì)數(shù)組進(jìn)行操作，在表2-8中中列舉了較常用的函數(shù)。完整的函數(shù)列表內(nèi)容可以在列舉了較常用的函數(shù)。完整的函數(shù)列表內(nèi)容可以在MATLAB命令行中鍵入命令行中鍵入help elmat指令來察看。指令來察看。 表表2-8 用于矩陣用于矩陣(數(shù)組數(shù)組)操作的常用函